Ecuaciones de una recta

Transcripción

1 Unidad 9 Geometía analítica lamatematica.e Pedo Cato Otega mateiale de matemática Ecacione de na ecta Matemática I º Bachilleato Ecación ectoial de la ecta Una ecta qeda deteminada ectoialmente dando n pnto A Geometía analítica Página de la ecta (lo qe pone da el ecto de poición OA ), dando n ecto paalelo a la ecta (ecto de diección o ecto diecto de la ecta). De ete modo tendemo qe, dado n pnto calqiea de la ecta (e figa de la deecha): OX OA ( La ecación anteio ecibe el nombe de ecación ectoial de la ecta. Ecacione paamética de la ecta Si en la ecación ectoial e titen lo ectoe po coodenada tenemo: x, a, a,. El egndo miembo lo podemo deaolla qeda x, a, a. Expeando po epaado cada aiable la ecta ) X la podemo expea aí: x a a qe on la ecacione paamética de la ecta. Obéee qe x, on la coodenada de n pnto calqiea (genéico) de la ecta, a, a on la coodenada de n pnto dado, conceto, de la ecta,, on la coodenada de n ecto diecto de la ecta (paalelo o con la mima diección de la ecta) e n númeo eal qe ecibe el nombe de paámeto. Paa cada alo del paámeto e obtiene n pnto x, de la ecta. Ecación contina de la ecta Si en la ecacione paamética de la ecta depejamo el paámeto tenemo: x a x a x a x a a a a a Entonce también podemo ecibi la ecta del igiente modo, conocida como ecación contina de la ecta: x a a Ecación explícita de la ecta. Pendiente de na ecta Si en la ecación en foma contina depejamo la leta e obtiene na ecación de la igiente foma: mx n Eta ecación e conoce con el nombe de ecación explícita o ecación afín de la ecta. Al númeo m qe a mltiplicando a la aiable x e le llama pendiente de la ecta. Al númeo n e le llama odenada en el oigen. Ecación implícita o geneal de la ecta Si en la ecación contina eliminamo denominadoe paamo todo al pime miembo apaece la ecación implícita o geneal de la ecta: Ax B C 0

2 Unidad 9 Geometía analítica lamatematica.e Pedo Cato Otega mateiale de matemática Matemática I º Bachilleato Ejemplo, ecacio n pnto-pendiente haz de ecta Una ecta iene completamente deteminada o bien po n pnto n ecto diecto, o bien po do pnto. Ejemplo A 3,,4 La ecación ectoial de la ecta qe paa po el pnto tiene po ecto diecto x, 3,,4 De aqí e fácil obtene, epectiamente, la ecacione paamética la ecación contina de la ecta: x 3 Paamética:. Contina: 4 x3 4 Si eliminamo lo denominadoe de la ecación contina paamo todo al pime miembo obtenemo la ecación implícita de la ecta: 4 x 3 4x 4x 0 0 Si en la última ecación depejamo obtenemo la ecación explícita de la ecta: Ejemplo 4x 0 A 5, Paa halla la ecación ectoial de la ecta qe paa po lo pnto qe ne lo do pnto anteioe. Ete ecto e n ecto diecto de la ecta:, 4 5, 7, 3 AB B, 4 Geometía analítica Página e: e halla pimeo el ecto Uando calqiea de lo do pnto dado al pincipio, A o B, el ecto diecto anteio, e obtiene la ecación ectoial de la ecta pedida: x, 5, 7, 3 A pati de aqí halla el eto de ecacione de la ecta e encillo pocediendo como en el ejemplo anteio. Ecación pnto-pendiente de la ecta Sabemo qe la ecación contina de la ecta qe paa po el pnto Aa, a tiene ecto diecto, x a a m. Eta ecación la podemo ecibi también del igiente modo: a x a, e. Si llamamo, la ecación anteio ecibe el nombe de ecación pnto-pendiente la podemo ecibi aí: Haz de ecta a m x a Al conjnto de toda la ecta qe paan po n pnto P e le llama haz de ecta de cento P. La expeión P x, e: analítica del haz de ecta con cento 0 0 x x P e x toda ella, abe la qe paa po el pnto Q 3,, e tite x po 3 e po : Po ejemplo, el haz de ecta qe paa po el pnto, Si qiiéamo, de ente Una paeja qe cmple la elación anteio e 3, 4, lego la ecta del haz de ecta qe paa po Q e: 3 x 4 0 3x x 4 0

3 Unidad 9 Geometía analítica lamatematica.e Pedo Cato Otega mateiale de matemática Paalelimo pependiclaidad Matemática I º Bachilleato Dada na ecta en foma implícita o geneal, Ax B C 0, paa expeala en foma explícita lo qe hacemo e depeja la aiable : A C Ax B C 0 B Ax C x B B La pendiente de la ecta anteio e m, donde, A B A m B. Habíamo ito en la ección anteio qe la pendiente también e e n ecto diecto de la ecta. Igalando amba expeione de la pendiente tenemo: B A también n ecto diecto o: B, A ecta. Po tanto, olamente con e na ecta en foma geneal: Ax B C 0, podemo abe. Po tanto, n ecto pependicla o nomal a la ecta podcto ecala de e igal a ceo:. Ete ecto tendá, po tanto, la mima diección o eá paalelo a la A, B eá el ecto B, A A, B BA AB 0 ). (obéee qe el Si la ecta etá dada en foma ectoial, paamética o contina e m fácil halla n ecto diecto o (e dedce,, n ecto ápidamente de la popia ecacione de la ecta). En geneal, dado n ecto pependicla a ) e de la foma,. ( Ejemplo 3 Spongamo qe qeemo halla la ecacione implícita o geneale de do ecta qe paen po el pnto P, qe ean, epectiamente, paalela pependicla a la ecta x 4 0. En ete cao e clao qe A B 4. Po tanto, n ecto diecto de la ecta eá 4,. La ecación x x contina de la ecta eá. Mltiplicando en cz paando al pime miembo e 4 4 x 4 x 4 4 x 4 6 0, qe e la ecación de la ecta paalela a obtiene: qe paa po el pnto P,. Obéee qe también podíamo habelo hecho del igiente modo: como la ecta qe bcamo e paalela a pnto, P tenemo, titendo: no le qeda má emedio qe e de la foma x 4 C 0; como paa po el 4 C 0 4 C 0 C 6, con lo qe la ecta qe bcamo e x Si qiiéamo la ecación explícita o afín de la ecta, bataía depeja aiable : 6 3 x x 6 x x. Obea qe la pendiente e m, la cal cmple la elación m, a qe. 4 4 Paa halla la ecta pependicla tomamo como ecto diecto n ecto pependicla A, B,4 Po tanto, la foma contina de la ecta pependicla a qe paa po el pnto P, e Eliminando denominadoe paando al pime miembo obtenemo la foma geneal o implícita: x 4 x 4x 8 4x De neo, la foma explícita o afín e obtiene depejando : 4x 7 0 4x 7. x. 4 Geometía analítica Página 3

4 Unidad 9 Geometía analítica lamatematica.e Pedo Cato Otega mateiale de matemática Poicione elatia de do ecta Matemática I º Bachilleato Do ecta en el plano peden adopta te poicione elatia: peden cotae en n pnto común (ecta ecante), peden no tene ningún pnto en común (ecta paalela) o peden tene infinito pnto en común (ecta coincidente). Dada do ecta de ectoe diectoe,, qe amba ecta eán paalela o coincidente cando lo ectoe k, k, k Geometía analítica Página 4 k k Po cieto, i e popocional a, eá popocional a, a qe:, epectiamente, e fácil dae centa de ean popocionale, e deci, cando, con k, k 0 k ( k k 0 ). Ditingi el paalelimo de la coincidencia no e difícil a qe, i la ecta on paalela, calqie pnto de na de ella, nnca peteneceá a la ota. Si lo ectoe diectoe no on popocionale, la ecta eán ecante. El pnto de cote e pede halla con facilidad eoliendo el itema fomado po la ecacione geneale de amba ecta. Veamo n pa de ejemplo. Ejemplo 4 Spongamo qe tenemo la ecta x 3 0 4x S ectoe diectoe on, epectiamente, 3, 6,4, qe on popocionale pe claamente. Aí pe, la ecta han de e paalela o coincidente. Un pnto de e obtiene dando alo a na de la aiable depejando la ota. Po ejemplo, i 3 tenemo x 9 0 x 8 0 x 8 x 4. Aí pe, n pnto de la ecta P. Peo P a qe al titi en la ecación de ecta on paalela. e 4,3 : Po tanto, la x 3 0 Dede lego, podíamo habe eelto el itema fomado po :. Mltiplicando la pimea 4x x 6 0 ecación po tenemo:. Ahoa, mando amba: 3 0, qe e na contadicción. Lego el 4x itema no tiene olción. Eto qiee deci qe la ecta on paalela. Ejemplo 5 Calclemo ahoa la poición elatia de la ecta x 3 0 ; Un ecto diecto de la ecta e 3, n ecto diecto de x t. 4t 5 e,4. Como no on popocionale, la ecta on ecante. Paa halla el pnto de cote pocedeemo de do foma ditinta. En la pimea, peto qe la ecta iene dada en paamética, titimo lo aloe de x de en la ecación 6 8 de la ecta : t 34t 5 0 t t 5 0 4t 6 t. Stitendo x x 7 7 ahoa el alo de t en la ecacione paamética de obtenemo el pnto de cote: Aí, el pnto de cote de amba ecta e A,. Ecibiemo a mendo ete hecho aí: A 7 7. La egnda foma conite en paa la ecacione paamética de a la foma geneal eole el itema fomado po, tal como hemo hecho en el ejemplo anteio. Pede compoba qe la olción e la mima qe ante.

5 Unidad 9 Geometía analítica lamatematica.e Pedo Cato Otega mateiale de matemática Á nglo de do ecta Matemática I º Bachilleato Conideaemo qe el ánglo de do ecta en el plano e el meno de lo ánglo qe foman al cotae (e figa de la deecha). Si la ecta on paalela o coincidente ánglo e 0 o. Si ponemo do ecta, de ectoe diectoe epectio,, abemo po la nidad anteio qe co, donde e el ánglo qe foman lo ectoe, también, natalmente, la ecta. Depejando co de la expeión anteio: co En el denominado hemo tomado el alo abolto paa qe el ánglo ea agdo. Ejemplo 6 x t Paa calcla el ánglo qe foman la ecta x 3 0 del ejemplo anteio, hacemo lo 4t 5 3,, igiente: co 0,336. Po tanto, el ánglo de la 3,, ecta eá: acco0,336 70,35º. No e nada difícil dae centa de qe el ánglo fomado po lo ectoe diectoe e el mimo qe el fomado po lo ectoe nomale de cada na de la do ecta. Po tanto, en la fómla anteio también podíamo ecibi lo ectoe nomale en lga de lo ectoe diectoe también obtendíamo el coeno del ánglo fomado po la ecta. Pendiente ánglo de do ecta Toda ecta foma n ánglo agdo con el eje al P x, epeentala en no eje de coodenada. Si Q x, on do pnto de la ecta e PQ x x, Geometía analítica Página 5 X, n ecto diecto o. Claamente, tal como e apecia en la figa de la deecha, tg. Tal como a habíamo x x ito en n apatado anteio, la pendiente m de la ecta e m, donde, e n ecto diecto de la ecta. Po tanto, dedcimo qe la pendiente de na ecta e igal a la tangente tigonomética del ánglo qe foma la ecta con el eje X : m tg. E poible demota también qe i do ecta e el ánglo qe foman m m, e cmple la igiente elación: tg, donde m e la pendiente de la ecta mm la pendiente de la ecta. x x m e Aí po ejemplo, i 5x 4x 3, on la ecacione explícita de do ecta, tenemo qe m m 4. Po tanto, tg, de aqí e dedce qe el ánglo fomado po la ecta 45 e actg, 73º.

6 Unidad 9 Geometía analítica lamatematica.e Pedo Cato Otega mateiale de matemática Ditancia Matemática I º Bachilleato Ditancia ente do pnto P x, La ditancia ente do pnto Q x,, qe denotaemo e apecia claamente también en la figa anteio). E deci: Po ejemplo, la ditancia ente lo pnto d P, Q, d P Q PQ x x P 3,6 Q,4 PQ e: d P, Q ,385, e el módlo del ecto PQ (eto Ditancia de n pnto a na ecta La ditancia de n pnto, ente P P a b a na ecta Ax B C 0 e la mínima ditancia ente P. La ditancia la denotaemo imbólicamente aí: d P,. Paa calclala podemo halla la ecta a, qe paa po el pnto P. Eta ecta cotaá a la ecta eá igal a la ditancia de P a M d P, d P, M. Ejemplo 7 : Paa calcla la ditancia del pnto 6, 3 pependicla a, qe paa po P, pependicla en n pnto M. Pe bien, la ditancia de P a P a la ecta 3x 4 9 0, hallamo peiamente la ecta. Sabemo qe n ecto pependicla o nomal a la ecta e 3, 4. x6 3 Lego la ecta eá:. Si paamo de la foma contina a la foma geneal o implícita tenemo: x x x x Si ahoa eolemo el itema fomado po la ecta obtenemo el pnto M, e deci, M. Lo haemo po edcción: 3x x x x x x x x 59 x 4x x Po tanto, M,. Aí pe: d P, d P, M 6 3 0, También ha na fómla paa halla la ditancia de n pnto,, d P P a b a na Ax B C 0. E la igiente: Aa Bb C Si tilizamo eta fómla e mcho má ápido halla la ditancia ente n pnto na ecta. En el cao del ejemplo anteio: A B Aa Bb C d P, 0,6 A B , Geometía analítica Página 6