Tema 4.-Potencial eléctrico

Transcripción

1 Tema 4: Potencial eléctico Fundamentos Físicos de la Ingenieía Pime cuso de Ingenieía Industial Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III Univesidad de Sevilla 1 Índice Intoducción: enegía potencial electostática Difeencia de potencial Significado físico Popiedades Supeficies equipotenciales Potencial de un sistema de cagas puntuales Deteminación del campo eléctico a pati del potencial Potencial de distibuciones continuas de caga Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III /5

2 Intoducción La fueza asociada a campos elécticos estáticos es consevativa El tabajo ealizado po la fueza cuando actúa en una deteminada tayectoia solamente depende del punto inicial y final, no del camino ecoido. El tabajo ealizado en un camino ceado es nulo. Puede definise una función enegía potencial. Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 3/5 Intoducción El tabajo ealizado po el campo gavitatoio sobe una masa m equivale a la disminución de enegía potencial gavitatoia El tabajo ealizado po el campo electostático sobe la caga +q es igual a la disminución de enegía potencial electostática Tiea Caga negativa Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 4/5

3 Enegía potencial Sea una caga q en un campo exteno Tabajo ealizado po la fueza consevativa dw = F dl Vaiación de enegía potencial du = F dl = q E dl q v dl F = E qe Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 5/5 Difeencia de potencial La vaiación de U es popocional a q Difeencia de potencial: dv du = = E dl q Incemento ente dos puntos: integal de línea B V = VB V = E dl E Menos ciculación de No depende del camino! B Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 6/5

4 Difeencia de potencial La difeencia de potencial (V B -V ) es el menos tabajo ealizado po el campo electostático cuando desplazamos la unidad de caga positiva desde hasta B La difeencia de potencial (V B -V ) es el tabajo que debe ealizase paa desplaza la unidad de caga positiva desde hasta B en el seno de un campo electostático El poceso tiene que se cuasi-estático Paa que no apaezca un témino de vaiación de enegía cinética Paa que no exista pédida de enegía en foma de adiación electomagnética, que apaece cuando hay cagas aceleadas Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 7/5 Popiedades de V Es un campo escala: función de la posición La difeencia de potencial ente dos puntos tiene significado físico, peo no el valo conceto de V en cada punto El oigen de potencial es abitaio La función V es continua en todos los puntos, excepto donde el campo eléctico sea infinito Demostación: dv = E dl = Edl cosθ V( ) Entonces si E es finito dv es infinitesimal V disminuye en la diección indicada po las líneas de campo Unidades: voltio (V); 1V=1J/C=1Nm/C 1V/m=1N/C du = q dv dv = E dl Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 8/5

5 Campo eléctico unifome: supeficies equipotenciales y V 1 x V E = V 3 Ei dv = E dl = Edx Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 9/5 B dv = V V = E dx B V = V V = E dx= E x Supeficies equipotenciales: supeficies tales que en todos sus puntos V=cte. En este ejemplo son todos los planos de x=cte El tabajo paa desplaza una caga de un punto a oto de una supeficie equipotencial es nulo B B B V1 > V > V3 Índice Intoducción: enegía potencial electostática Difeencia de potencial Significado físico Popiedades Supeficies equipotenciales Potencial de un sistema de cagas puntuales Deteminación del campo eléctico a pati del potencial Potencial de distibuciones continuas de caga Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 1/5

6 Potencial de una caga puntual Sea una caga q calculamos dv en : q dv E dl k ˆ = = dl ˆ dl = dl cosφ= d q dv = k d Donde: Integando: q q q P VP Vef = k d = k k ef Punto de efeencia P ef Punto campo Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 11/5 Potencial de una caga puntual La efeencia de potencial es abitaia Tomamos: ef Entonces: = y V( ) = q q V() V( ) = k k q V() = k Punto de efeencia Punto campo POTENCIL DE COULOMB: Potencial de una caga puntual Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 1/5

7 Potencial de una caga puntual Supeficies equipotenciales: esfeas centadas en la caga V i q k = 3 i V 1 1 V V 3 V1 > V > V3 Relación con la enegía potencial Enegía potencial electostática de un sistema de dos cagas tomando U( )= : qq Tabajo paa lleva q () = () = desde hasta en pesencia de q U qv k Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 13/5 Sistema de cagas puntuales El potencial de un sistema de cagas puntuales en un punto P es la suma de los potenciales de cada caga en ese punto V P q = k i i i q 3 3 q P 1 q 1 Esto es una consecuencia del pincipio de supeposición paa el campo eléctico La suma es escala, no vectoial: a veces esulta más fácil calcula V como paso pevio paa obtene el campo eléctico Cómo se detemina el campo eléctico a pati del potencial? Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 14/5

8 Deteminación del campo eléctico a pati del potencial Si dl dv = E dl E = E cosθdl = Etdl θ dv Et = dl dl E cosθ= dv = dl E cosθ=± 1 dv Et Si es máximo El campo eléctico indica la diección de máxima vaiación de V El módulo del campo eléctico en ese punto es la deivada dieccional máxima E dv = dl Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 15/5 max Deteminación del campo eléctico a pati el potencial El gadiente de una función escala es un vecto cuya diección es la de máxima vaiación de esa función y cuyo módulo es la deivada en esa diección f f f Cálculo del gadiente: f = i + j + k x y z En consecuencia: E = V Ejemplo: campo unifome paalelo al eje x dv V( x) = x E = i = i dx Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 16/5

9 Índice Intoducción: enegía potencial electostática Difeencia de potencial Significado físico Popiedades Supeficies equipotenciales Potencial de un sistema de cagas puntuales Deteminación del campo eléctico a pati del potencial Potencial de distibuciones continuas de caga Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 17/5 Potencial de distibuciones continuas de caga Paa una caga puntual: Entonces, dv ceado po dq en P: dv dq = k V q = k x z τ y dq =ρdτ P Potencial en P: dq V = k = k τ ρdτ Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 18/5 τ Intego en el volumen τ Esta ecuación supone V( )= y po tanto no puede usase paa distibuciones de caga que se extiendan hasta el infinito. En estos casos suele pode calculase V a pati del campo eléctico, obtenido a su vez mediante Ley de Gauss

10 Potencial de distibuciones continuas de caga x Distibución supeficial de caga: z y dq =σds Distibución lineal de caga: P z dl λdl V = k dq =λdl l x y P Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 19/5 V = k s σds Cálculo del potencial Ejemplo: Campo eléctico y potencial en puntos del eje de un anillo con caga unifome dq k V = k = dq = k l l x a + = x + a Es el mismo " dq dv E = V = i dx E x dv x = = k dx x a ( + ) 3 Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III /5

11 Cálculo del potencial Ejemplo: Campo eléctico y potencial en puntos del eje de un anillo con caga unifome E = E i Si x>>a (puntos alejados del anillo): En el cento del anillo (x=): x V = k x + a x Ex = k ( x + a ) k x Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 1/5 V E = V() = x k a 3 Potencial de una caga puntual Máximo en el eje x S 1 S Cálculo del potencial Ejemplo: potencial debido a una coteza esféica > < R R R s s 1 En pincipio se puede calcula V po integación diecta lta simetía: es más fácil calcula pimeo el campo eléctico mediante Ley de Gauss E d = E 4π = 4πk E d= E 4π = 4π k = Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III /5 int E E = = k El campo eléctico en el exteio de la esfea coincide con el campo ceado po una caga puntual de valo situada en su cento

12 Cálculo del potencial Ejemplo: potencial debido a una coteza esféica > R R V() V( ) = E d d= k = k V() = k < R Rd V() = E d = k Ed R R V() = k R Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 3/5 Cálculo del potencial Ejemplo: potencial debido a una coteza esféica El potencial y el campo fuea de la esfea son iguales que los que ceaía una caga puntual en su cento El potencial es continuo al atavesa la coteza esféica En el inteio de la esfea el campo eléctico es nulo y el potencial es constante Si E= en una egión, no implica V= sino V constante Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 4/5

13 Resumen Las fuezas electostáticas son consevativas y, po tanto, puede definise una función enegía potencial como el menos tabajo ealizado po la fueza consevativa La vaiación del potencial electostático es el incemento de enegía potencial electostática po unidad de caga Se calcula como una integal de línea (ciculación) del campo eléctico. Significado físico de V: tabajo que hay que ealiza paa desplaza la unidad de caga positiva ente dos puntos El oigen de potencial es abitaio Repesentación gáfica: supeficies equipotenciales Conocido V es posible calcula el campo: Cálculo del potencial: E = V Distibuciones finitas de caga: integación (distibuciones continuas) o sumatoio (distibuciones discetas) Distibuciones con alta simetía: puede esulta más sencillo calcula peviamente el campo eléctico mediante Ley de Gauss Distibuciones infinitas: debe calculase pimeo el campo eléctico Cuso 6/7 Dpto. Física plicada III 5/5