Las imágenes de la presentación han sido obtenidas del libro:

Transcripción

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2 Las imágenes de la pesentación han sido obtenidas del libo: Physics fo Scientists and Enginees Paul A. Tiple Gene Mosca Copyight 2004 by W. H. Feeman & Company

3 Supongamos una función f = f ( x, y, z) Con las siguientes condiciones: unifome continua finita admite deivadas paciales Esta función es unívoca, asocia a cada punto del espacio un valo único y eal CAMPO ESCALAR. Está definido en una deteminada egión del espacio Ejemplos: densidad, pesión

4 Luga geomético de los puntos del espacio en los que el campo escala toma un valo constante. f ( x, y, z) = C Paa cada valo de la constante obtenemos una supeficie de la familia. f ( x, y, z) = C f ( x, y, z) = C 1 f ( x, y, z) = C 2 n f ( x, y, z) = C Las supeficies de nivel no se cotan aunque pueden esta tan póximas como queamos, es deci, no tienen puntos en común.

5 Consideamos tes funciones escalaes y fomamos un vecto: v = v ( x, y, z) i + v ( x, y, z) j + v ( x, y, z) k x y z Este campo vectoial es una función unívoca, asocia a cada punto del espacio un único vecto. Ejemplos: velocidad, aceleación, fueza.

6 Cuvas tales en cada punto del espacio son tangentes al vecto asociado a dicho punto. Se cumple: v ds ds v = 0 Sistema de ecuaciones difeenciales dx d y d z = = v v v x y z Su integación popociona dos supeficies cuya intesección nos da las líneas de campo. campo. po un punto del espacio pasa una sola línea de

7 f = f ( x, y, z) uuuuu f f f gad f = i + j + k x y z uuuuu gad f dx dy dz = = f f f x y z f = Cte El gadiente es pependicula a la supeficie de nivel. Las líneas de gadiente son tangentes al vecto gadiente. En consecuencia, las líneas de gadiente son pependiculaes a la supeficie de nivel en el punto consideado

8 uuuuu uuuuu uuuuu gad( f + f ) = gad f + gad f uuuuu uuuuu uuuuu gad( f f ) = f gad f + f gad f uuuuu f 1 uuuuu uuuuu gad = f gad f f gad f ( 1 ) ( ) f2 f2 uuuuu gad( 1 ) = f 1 f 2 uuuuu gad f

9 v = v ( x, y, z) i + v ( x, y, z) j + v ( x, y, z) k div v Si div v x y z v v x y v z = + + = v x y z = 0 v : solenoidal o adivegente Si la divegencia de en un punto del espacio es: div v > div v < div v = v Punto SURGENTE Punto SUMENTE Punto de flujo estacionaio o consevativo

10 div v f 0 Flujo positivo o saliente div v p 0 Flujo negativo o entante

11 div ( ρ v) = ρ div v + v uuuuu gadρ ( ρ v ) = ρ v + v ρ Siendo: ρ: campo de densidades v : campo de velocidades NOTA: Esta expesión apaece en la ecuación de continuidad (Mecánica de fluidos)

12 div( gad f ) f f f = + + = x y z lap f Si f f f : lap f = 0; + + = x y z El campo escala f es una función amónica ya que cumple la ecuación de Laplace

13 = i + j + k x y z Si se aplica el opeado nabla a un campo escala se obtiene su gadiente f f f f = i + j + k x y z Si se aplica el opeado nabla a un campo vectoial se obtiene su divegencia v v x y v v = + + x y z z

14 = = + + x y z Si se aplica el opeado laplacianoa un campo escala se obtiene: Si f f f f = + + ESCALAR x y z f f f x y z = 0; Si se aplica el opeado laplacianoa un campo vectoial se obtiene: v = v i + v j + v k x y z VECTOR

15 2 2 2 f f f f = x y z Si el laplacianode un campo escala es nulo: Si f f f + + = x y z ; El campo escala f es amónico,ya que cumple la ecuación de Laplace

16 uuu v v v lap v = + + = v x y z v = v i + v j + v k x y z Si v = x v = y v = z 0 0 0,, x y z v v v Son funciones amónicas

17 uuu ot v i j k = = x y z v v v x y z v uuu v v z y vx v v z y v x ot v = ( ) i + ( ) j + ( ) k y z z x x y

18 1. El otacional de un campo de gadientes es ceo uuu uuuuu ot ( gad f ) = f = 0 Los campos de gadientes son iotacionales Si uuu uuuuu ot v = 0 v = gad f 2. La divegencia del otacional de un campo vectoial es ceo uuu div( ot v ) = 0 Los campos otacionales son solenoidales

19 uuu uuu uuuuu ot ( ot v) = gad ( div v) lap v ( v) = ( v) v Casos paticulaes: 1. Si el campo es solenoidal 2. Si el campo es amónico ( v) = v ( v) = ( v) 3. Si el campo es solenoidaly amónico ( v) = 0

20 gad div ot gad gad ( div) div div ( gad) = lap div ( gad ) = 0 ot ot ( gad ) = 0 ot ( ot)

21 Dado un campo escala f = f( x, y, z) y una diección dada po el vecto v = vxi + vy j + vzk La deivada dieccional de un campo escala según una diección se obtiene a pati de la expesión: f f f v + v v f f v x y z = = v v v + v + v x y z x y z ESCALAR

22 La deivada dieccional de un campo escala según una diección es la poyección del gadiente sobe dicha diección. Es una magnitud escala que se obtiene multiplicando el vecto gadiente po un vecto unitaio en la diección dada. f = f uv = f cosϕ v f ϕ v diección

23 Se considea un punto M odeado de un volumen infinitesimal delimitado po una supeficie ceada. La supeficie se epesenta po vecto, de módulo la popia supeficie, sentido positivo hacia el exteio y diección pependicula a la supeficie en el punto consideado. La figua epesenta una supeficie esféica.

24 M dσ M: punto del espacio v: volumen infinitesimal (delimitado po σ) dσ: supeficie infinitesimal ceada dσ: vectosupeficie uuuuu 1 gad f = lim f dσ v 0 v 1 div v = lim v dσ v 0 v uuu 1 ot v = lim v dσ v 0 v

25 dφ = vndσ ; Flujo elemental v = v cos ϕ; v dσ = v cos ϕdσ = v d σ n n Φ = v d σ σ v ϕ v n dσ dσ σ Paa obtene el flujo de un campo vectoial a tavés de una supeficie (σ), tomamos una supeficie infinitesimal (dσ) y el vecto que la epesenta, poyectamos el campo vectoial sobe esa diección (v n ) se obtiene el flujo elemental y po integación el flujo total.

26 Flujo entante (-) v v dσ dσ Flujo saliente (+) Casos: Φ neto Φ > Φ Φ > sale enta = σ v dσ Φ = Φ Φ neto saliente entante 0 Φ = Φ Φ = sale sale enta Φ < Φ Φ < enta 0 0

27 Φ = v d σ σ Φ = v dydz + v dxdz + v dxdy dz dx σ x y z dσ dσ yz xz dσ xy dz dy d σ = d σ yz i + d σ xz j + d σ xy k dσ = dydz i + dxdz j + dxdy k dx dy

28 σ f dσ = uuuuu gad f dv v σ v d σ = div v dv v dσ = ot uuu v dv σ v v Condición: Supeficie ceada

29 La figua epesenta un volumen limitado po supeficie ceada, cuyo inteio se ha dividido en paalelepípedos infinitesimales contiguos. Definición de divegencia: 1 div v = lim v dσ v 0 v ( div v) dv = v dσ ( div v ) dv = v 1d σ1 + v 2d σ 2 Φ = v dσ = div v dv σ v

30 El flujo saliente del infeio es el flujo entante del supeio. Los flujos inteioes se compensan y se anulan, solo queda el flujo a tavés de la supeficie que limita el volumen. Φ = v dσ = div v dv σ v El flujo de v a tavés de la supeficie ceada es equivalente a la integal tiple de la divegencia de v extendida al volumen limitado po la supeficie ceada.

31 A v ds ϕ t v = vx ( x, y, z) i + vy ( x, y, z) j + vz ( x, y, z) k ds = dx i + dy j + dz k Ciculación elemental B Cuva C dl = t v ds v = v cos ϕ ; dl = v cos ϕ ds = v ds t La suma de todas las ciculaciones elementales es: B L = v ds B L v ds v dx v dy v dz = = + + AB x y z A A C

32 dl = v ds ciculación elemental dw = F d tabajo elemental B A En geneal: La ciculación (tabajo) ente dos puntos A y B depende del camino seguido. L L AB( cuva1) AB( cuva 2)

33 El campo vectoial es un campo de gadientes (consevativo o iotacional) f f f v = f = i + j + k x y z f f f dl = f ds = dx + dy + dz = df x y z La ciculación elemental coincide con la difeencial de f B A ( ) ( ) LAB = df = f B f A La ciculación es independiente del camino seguido; solo dependedelvalodelcampoescalafenlospuntosayb.

34 El campo vectoial es un campo de gadientes y la cuva es ceada A f ds = 0 A A df = f ( A ) f ( A ) = 0 Cuando la cuva es ceada, la ciculación de un campo de gadientes es ceo.

35 1. Si un campo vectoial es iotacional es condición necesaia y suficiente paa que la ciculación a lo lago deunacuvaceadaseaceo. v = 0 v = f ; L = f ds = 0 2. Silaciculaciónalolagodeunacuvaceadaseaceo es condición necesaia peo no suficiente paa que el campo vectoial sea iotacional. L = f ds = 0 v = 0 La ciculación puede se ceo y el otacional distinto de ceo.

36 uuu L = v ds = ( ot v) dσ σ La ciculación de v a lo lago de una cuva ceada es equivalente al flujo del otacional a tavés de la supeficie limitada po dicha cuva ceada. uuu uuu Si ot v = 0 L = v ds = ot v dσ = 0 La ciculación de un campo iotacional(campo de gadientes) a lo lago de una cuva ceada es ceo. σ

37 Dado un campo vectoial iotacional v = v ( x, y, z) i + v ( x, y, z) j + v ( x, y, z) k x y z v = 0 Es condición necesaia y suficiente paa que exista una función escala f=f(x,y,z) tal que el campo vectoial se expese como el gadiente de la función escala f = f x y z (,, ) v = 0 v = f Potencial escala matemático Si el campo vectoial es una magnitud física (velocidad, fueza ), f = f ( x, y, z) v = 0 v = f Potencial escala físico

38 Dado un campo vectoial iotacional v 0 f = f ( x, y, z) / v = f f f f f v df = dx+ dy+ dz = x x y z x f integando f=f(x,y,z) = vy y f f f f= dx+ dy+ dz+cte f x y z = v z z =

39 Dado un campo vectoial solenoidal(adiveegente) v = v ( x, y, z) i + v ( x, y, z) j + v ( x, y, z) k x y z v = 0 Es condición necesaia y suficiente paa que exista un campo vectoial A tal que se expese como: A = A i + A j + A k v = 0 v = A x y z Potencial vecto Su divegencia es nula, ya que los campos otacionales son solenoidales v = ( A) = 0

40 1. Calculamos una solución paticula imponiendo tes condiciones v = 0 v = A 2. Calculamos una solución geneal añadiendo un campo abitaio de gadientes A = A + Φ Se cumple que: v = ( A + Φ ) = A + Φ = A ceo

41 v = 0 v = A v i j k = x y z A A A x y z A A z y = vx y z Ax Az = vy integando A z x A A y A x = v z x y A x y z