Transferencia de Energía. Grupo ª

Transcripción

1 Tansfeencia de Enegía 547 Gupo ª

2 ontenido El no hubo clase. Ejemplo de tansfeencia de enegía po difusión a tavés de mateiales compuestos. A 0 T 0 M M 2 A 2L T 2L B T B T 0 T 0 T y z q Q x T T 0 T T0 x q T ka

3 Ejecicio onsidee el caso de un mateial compuesto que consiste de una placa de espeso finito L, peo de un áea A enome. La placa está compuesta de dos mateiales (M y M 2 ), los cuales están pefectamente pegados uno con el oto a tavés de la intefase que los delimita; Los mateiales M y M 2 tienen popiedades difeentes (capacidad caloífica y coeficiente de difusión témica, etcétea). La supeficie extena del mateial M es A 0 y está a la tempeatua T 0, y a supeficie extena del mateial M 2 es A 2L y está a la tempeatua T 2L ; además, T 0 > T 2L Asumiendo que el sistema esta en estado estacionaio, se equiee obtene paa cada mateial el modelo matemático de:. Pefil de tempeatua; 2. Flux de calo; 3. Flujo de calo. 3

4 I. Esquema Placa enome, de espeso finito L; esta compuesta de dos mateiales, los cuales están pefectamente pegados uno con el oto; la supeficie extena de cada placa (A 0 y A 2L ) tiene cieta tempeatua (T 0 y T 2L, espectivamente), siendo T 0 > T 2L. A 0 A 2L M II. Sistema coodenado: catesiano T 0 M 2 T 2L z III. Peguntas ) Pefil de tempeatua en las placas (sistema); x 2) Flux de calo en cada mateial; 3) Flujo de calo en cada mateial. y IV. Modelo (esticciones) ) Popiedades de cada mateial son constantes ρ, p, k ; 2) Estado estacionaio; 3) Tanspote de enegía po difusión solamente (sólido no convección); 4) El tanspote de enegía es unidieccional (enomes supeficies extenas y espeso finito) 5) No hay fuente de enegía (la debida a eacción química, po ejemplo).

5 IV. Modelo (esticciones) ) Popiedades de cada mateial son constantes ρ, p, k ; 2) Estado estacionaio; 3) Tanspote de enegía po difusión solamente (sólido no convección); 4) El tanspote de enegía es unidieccional (enomes supeficies extenas y espeso finito) 5) No hay fuente de enegía (la debida a eacción química, po ejemplo). II. Sistema coodenado: catesiano A 0 M T 0 M 2 q Q q x x 0 A 2L T 2L z y x T T T T q q q t x y z x y z ) p v v x y vz 5) 3) T T x y z x y z v 3) vx vy vz 4) EG v v x y v v x vz y vz 3) xy xz yz y x z x z y Aplicando las esticciones al balance de enegía (flechas), se obtiene el modelo buscado.

6 Balance de enegía: Paa expesa q x en téminos de vaiables medibles se utiliza la ley de Fouie. dt qx k... flujo de calo unidieccional dx 2 d dt d T k k 0 dx dx dx Resolviendo la ecuación difeencial (balance de enegía), se tiene: q x x 0 2 d T dt 0 A T Ax B 2 dx dx Este modelo es válido paa las dos placas, poque ambas tienen las mismas esticciones. El compotamiento de cada placa (pefil de T, etcétea) lo detemina sus popiedades y límites, lo cual se efleja en el valo de las constantes de integación.

7 Mateial (M ). omo: T Ax B T =T x = 0 L A 0 M T 0 M 2 q Q z x A 2L T 2L Paa aplica este modelo a M se considea: T A x B ondiciones límite de M: T x 0 ; T x 0 T B T T T A 0 B B T 0 0 T A B A A T0 T T T0 x 0 y

8 Mateial 2 (M 2 ). omo: T Ax B A 0 T 2 =T 2 x = 0 L A 2L Paa aplica este modelo a M 2 se considea: T A x B ondiciones límite de M: T x ; T x L L T 0 M M 2 T 2L T2L A2 L B2 B2 T2L A2 L y z q Q x T2 A2 B2 B2 T2 A2 T2 T2L T2 T2L T2L A2 L B2 T2 A2 A2 B2 T2L L L L T2 T2L T2 T2L T2 T2L T2 T2L L x T2L L x L L L

9 Mateial compuesto con M y M 2. T =T x = A 0 T 0 M M 2 y z 0 L q Q T 2 =T 2 x = x A 2L T 2L Pefil de tempeatua de cada mateial: T T 0 T T0 x T2 T2L T2 T2L L x L Ambos están en téminos de T y T 2 que son espectivamente las tempeatuas que tendían M y M 2 en la posición x = ; hasta ahoa no se conocen esas tempeatuas. En x se debe cumpli: T T x ; T T x 2 2 T0 T T2 T2L ; L T T T T T L T 0 2 2L 2 Aplicando la suposición del medio continuo, se tiene: T = T T... aún es desconocida 2

10 Tansfeencia de calo en el plano. Se sabe que: T = T 2 T... peo, hasta ahoa esta tempeatua es desconocida q(t ) qt q T q(t 2 ) 2 x k x Paa expesa a T en téminos conocidos se aplica la suposición del continuo al tanspote de calo: dt dt2 Aplicando Fouie: k k2 dx dx x x T0 T d T T2L d k T0 x k2 T2L L x dx dx L x T0 T T T2L k2 k2 k L k L k L 2 x T T T T 0 2L k2 k2 T T0 T2L k L k L

11 Pefil de tempeatua en el mateial compuesto con M y M 2. A 0 0 L M T 0 M 2 q Q z x y A 2L T 2L Pefil de tempeatua de cada mateial: con: T T 0 T T0 x T T2L T2 T2L L x L k2 k2 T T0 T2L k L k L

12 Flux q y flujo Q de calo en los mateiales M y M 2. T =T T 2 =T 2 x = x = 0 L A 0 M T 0 M 2 q Q z x y A 2L T 2L onsideando pimeo al mateial M se tiene: dt T0 T q k como: T T0 x dx d T0 T T0 T q k T0 x k constante- dx T0 T como: Q qa... A constante Q k A constante-a En el mateial M 2 : dt T 2 2 T2L q2 k como: T 2 2 T2L L x dx L d T2 T2L T2 T2L q2 k2 T2L L x k2 constante-2 dx L L T2 T2L como: Q2 q2a... A constante Q2 k2 A constante-b L

13 Ejecicio Enunciado. onsidee el caso de un mateial M que fluye en el inteio de tubo cilíndico (adio, longitud L); algunas otas paticulaidades del sistema son las siguientes: La velocidad (v z ) y las popiedades físicas del fluido (ρ F etcétea) y del tubo (ρ, k, etcétea) se mantienen pácticamente constantes. Las paedes intena ( 0 ) y extena ( ) del tubo están mojadas con sendas películas estacionaias de fluido y de la atmósfea exteio, espectivamente. La tempeatua del fluido de poceso (T ) es mayo que la tempeatua de la paed intena del tubo (T 0 ), la cual es mayo que la tempeatua de la paed extena del tubo(t ), y T es mayo que la tempeatua de la atmosfea que moja al tubo (T B ). Peguntas. Obtene el modelo matemático de: ) Pefil de tempeatua en el tubo; 2) Flux de calo en paedes del tubo: intena (2.) y extena (2.2); 3) Flujo de calo en paedes del tubo: intena (3.) y extena (3.2); 4) El coeficiente global de tansfeencia de calo. 3

14 Esquema tubo con paedes mojadas Las paedes intena y extena del tubo están mojadas espectivamente con una película estacionaia de fluido caliente (coiente de poceso) y una fluido fío (atmósfea exteio). Película de fluido fío que moja al tubo tubo, T Fluido caliente que fluye en el tubo Película de fluido caliente que moja al tubo

15 Esquema tubo con paedes mojadas F T B 0 T 0 T El tanspote de calo a tavés del tubo (sólido) es po difusión molecula: ley de Fouie. q kt T T El tanspote de calo a tavés de fluido que moja a una supeficie (tubo sólido, ene este caso) se modela mediante la ley de enfiamiento de Newton. q h T T a El coeficiente de tansfeencia de calo h se detemina expeimentalmente, y depende de las caacteísticas del poceso (fluido y equipo).

16 Sistema coodenado tubo con paedes mojadas oodenadas cilíndicas B T B T 0 T 0 T q T T T v T T v v vz t z q qz EG z p v v T v z T z v v v v zz z z v v vz v yz z z vz v z

17 Sistema coodenado tubo con paedes mojadas oodenadas cilíndicas B T B T 0 T 0 A. Modelo en el tubo. Tansfeencia de calo unidieccional: en la diección adial; 2. En el tubo (sólido) solamente hay tansfeencia de calo po difusión molecula; 3. Estado estacionaio; T T T v T T v v vz t z q q p v vz z T z z q EG T v T 4. No hay tansfomación (eacción química, po ejemplo). v v vz v v v zz z vz v vz v yz z z z d d 0 q

18 A. Modelo paa el tubo omo: d 0 q d Paa tene el modelo que desciba la tansfeencia de enegía en el tubo en téminos de vaiables que se puedan cuantifica, se utiliza la ley de Fouie paa expesa q en téminos de la tempeatua (medible) poque dicha tansfeencia es po difusión molecula: B T B T 0 T 0 En coodenadas cilíndicas: q k d q d k dt k d T 0 d T T 0 d d d d d T dt K Resolviendo: K dt d T Kln K2 d Las constantes de integación, A y B, se obtienen utilizando las condiciones límite: T T 0 0

19 A. Modelo paa el tubo. Pefil de Tempeatua en el tubo T(). B T B 0 T 0 T omo: T Kln K2 ondiciones límite: T T T 0 0 T K ln K... T K ln K... T T T T K ln ln T T T ln K ln0 Pefil de Tempeatua en el tubo: K T T ln T T K T ln ln0 0 0 T T T T T ln T ln ln ln T T T T ln ln0

20 A. Modelo paa el tubo 2..- Flux de calo en la paed intena del tubo q( ). B T B 0 T omo: 0 q dt k d T además: T T T T T T ln T ln ln ln De la foma: T Kln K2 T T0 T T0 donde: K... K T ln ln ln q k K d q k K ln K d 2 Kk q Kk

21 A. Modelo paa el tubo Flux de calo en la paed extena del tubo q( 0 ): B T B 0 T 0 T T q 0 k K d q k K ln K d q 0 Kk Kk como: q q 0 q 0 La difeencia que existe ente el flux de calo en la paed intena del tubo q( ) y el de la paed extena q( 0 ) se debe a que tienen difeente áea de flujo de cada una de estas supeficies. 3. y 3.2 Flujo de calo en las paedes intena Q( ) y extena Q( 0 ) del tubo. Kk q A 2 L como: Q... Q K k2 L q A 2 L Q qa Kk 0... = K k2 L El flujo de calo esultó constante [Q( ) = Q( 0 )] poque el poducto qa lo fue y el sistema está en estado estacionaio. 0

22 B. oeficiente global de tansfeencia de calo U U es el facto de popocionalidad ente el flujo de calo Q (el que ataviesa el mateial compuesto) y la fueza motiz (T - T B ) que pomueve dicho tanspote de enegía. U engloba todas las esistencias a la tansfeencia de calo del sistema,. Q UA T T B 0 B T T T 0 T B En este caso, Q ataviesa un mateial compuesto po tes películas: la del fluido de poceso (fluido caliente F), la de la paed del tubo, y la del fluido que moja la supeficie extena del tubo (Fluido fío FF). A es áea de tansfeencia de calo (sección tansvesal de flujo de calo) de la paed extena del tubo (medible). T es la tempeatua de la coiente de poceso; T B es la tempeatua del medio que odea al tubo; ambas T y T B son medibles.

23 omo se mencionó anteiomente, el flux de calo q que se tanspota a tavés del fluido que moja una supeficie se modela mediante la ley de enfiamiento de Newton; en este caso se tienen dos películas de esta natualeza: fluido caliente-tubo y fluido fío-tubo. q h T T El coeficiente de tansfeencia de calo h es un paámeto empíico (expeimental), po lo tanto su valo depende de las caacteísticas del poceso (fluido y equipo). (T a - T b ) es la fueza motiz que pomueve dicha tansfeencia de calo. a b T q h T T q h T T F F T 0 T 0 B T B FF FF 0 B Además, paa obtene la expesión de U, es conveniente tene pesente que las siguientes difeencias de tempeatua (fuezas motices): T T T T T T T T 0 0 B B

24 En téminos del flujo de calo: Q = qa, T q h T T q h T T F F T Po el pincipio de continuidad (estado estacionaio )se cumple que el flujo de calo que sale de una película es igual al que enta a la película que esta pegada (moja) a la pimea. flujo de calo que sale de la película caliente, P Flujo de calo que enta en el tubo k T T0 = Q P hp T T 2 L Q 2 L ln 0 T 0 B T B 0 FF FF 0 B flujo de calo que sale del tubo Flujo de calo que enta en la película fía, PF k T T0 Q 0 20 L QPF hpf T0 TB 20 L ln 0 0 Q Q Q Q Q P 2 PF

25 T q h T T q h T T F F T 0 T 0 B T B FF FF 0 B omo el flujo de calo Q es constante: T T h Q 2 L P Q Q Q Q Q P 2 PF T0 Q h T T P P T 2 L= Q k 2 L Q 2 PF PF 0 B 0 ln Q h T T 2 L 0 T Qln0 T k 2 L T 0 TB 0 como: T TB T T T T0 T0 TB 0 Q Q Qln T TB h 2 L k 2 L h 2 L P PF 0 h Q 2 L PF 0 Q ln 0 T TB 2 L hp k hpf 0

26 T q h T T q h T T F F omo: T T ompaando la ecuación anteio con la popuesta: Q = U A tubo (T T B ) se tiene la expesión de U Revisa 9.6 y ejemplo 9.6 BSL 0 T 0 B T B Q ln 0 TB 2 L hp k hpf 0 FF FF 0 B Q ln Q ln T TB 2L hp k hpf L hp k hpf U ln Q 2 0 L T TB hp k hpf 0 ln 0 0 ln 0 0 hp k hpf hp k hpf 0

27 Tansfeencia de Enegía Fin de ª