CAPITULO V ECUACIONES DE CAMBIO PARA SISTEMAS NO ISOTERMICOS

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1 CAPITULO V ECUACIOES DE CAMBIO PAA SISTEMAS O ISOTEMICOS El objetio de este capítulo está encaminado a la deducción de la ecuación de la enegía en foma difeencial y su aplicación paa esole poblemas de tansfeencia de calo. 5.. ECUACIO DE LA EEGIA La ecuación de la enegía (o pime pincipio de la temodinámica); es una ecuación expesada en deiadas paciales que descibe el tanspote de enegía en un sólido o fluido homogéneos. Paa su deducción se pate de un olumen de contol difeencial estacionaio a taés del cual fluye un líquido puo; se aplica después la ley de conseación de la enegía paa el fluido contenido en el inteio de este elemento difeencial en un instante deteminado. Acumulació n de enegía cinética intena Entada de enegía = cinética e intena po conección Salida de enegía - cinética e intena po conección Adición neta Tabajo de calo po comunicado conducción - po el sistema a los alededoes (5.) Que es el enunciado de la pimea ley de la temodinámica paa un sistema abieto no estacionaio en el que no se incluyen otas fomas de enegía y tanspote de enegía tales como la nuclea, adiactia y electomagnética. La enegía cinética po unidad de olumen debida al moimiento del flujo está epesentada po. La enegía intena coesponde a los moimientos al aa de taslación e intenos de las moléculas más la enegía de inteacción ente ellas; la enegía intena depende de la tempeatua local y de la densidad del fluido. La enegía potencial del fluido esta implicita en el témino de tabajo. De modo que paa un elemento difeencial de olumen x y, como se obsea en la Fig. 5.; se tiene: q y y y q (x X, y y, ) y q x x q x x x y (x,y, q x q y y x Fig. 5.. Volumen de contol, mostando el flujo de calo en las diecciones. Acumulación de enegía dento del olumen de contol x y :

2 x y U$ t (5.) Siendo $ U la enegía intena po unidad de masa del fluido contenido en el elemento y la elocidad local del fluido. Entada de enegía cinética e intena po conección y xu$ xu$ x x x x y U $ y U $ (5.3) y y y x y U$ U$ La entada neta de enegía po conducción está dad po: y q q x q q x y q q xx xx x y y x y y y (5.4) Siendo q x, q y y q las componenetes del flujo de calo en las tes diecciones del ecto flujo de calo q. El tabajo ealiado po el elemento de fluido conta los alededoes consta de dos pates: el tabajo conta las fueas de olumen (la gaedad) y el tabajo conta las fueas de supeficie (las fueas iscosas y las de pesión). Se debe tene pesente que tabajo es igual a la fuea po la distancia (en la diección de la fuea) y potencia igual a la fuea po la elocidad (en la diección de la fuea). Tabajo hecho po las fueas de la gaedad, g po unidad de masa: x y xg x yg y g (5.5) El signo menos indica que tabajo se ealia conta la gaedad; siendo y g. El tabajo ealiado po la pesión p conta las seis caas de x y, es { p x } x p y p y x y{ p p } y p x x x x y y y (5.6) De igual manea el tabajo conta las fueas iscosas es

3 ( τ τ yxy τx) ( τxx x τ ) yx y τ x y xx x x x x x ( τxyx τ yyy τy) ( τxyx τ yyy τ y) y y τ τ τ τ τ τ (5.7) y x y ( xx yy ) ( xx yy ) Sustituyendo las Ecs. de la 5. a la 5.7 en la ecuación de balance, Ec. 5., diidiendo toda la ecuación ente x y y obteniendo el límite cuando los incementos tienden a ceo; esto es x 0, y 0 y 0. U$ = t - x U$ x y U$ U$ y - q q x y q xgx ygy g x y - px py p x y - τ xxx τ yxy τ x τ xyx τ yyy τ y x y x x x y y τ τ τ (5.8) La Ec. 5.8, puede escibise en notación ectoial-tensoial paa hacela más compacta, de la foma siguiente U = U q g p τ t ( ) ( ) ( ) ( [ ]) (5.7) Los téminos de la Ec. 6.7 son Ganancia de enegía po unidad de olumen. Tansfeencia de enegía po unidad de olumen debida a la conección. 3 Tansfeencia de enegía po unidad de olumen debida a la conducción.

4 4 Tabajo comunicado al fluido po unidad de olumen debido a las fueas de gaedad 5 Tabajo comunicado al fluido po unidad de olumen debido a las fueas de pesión. 6 Tabajo comunicado al fluido po unidad de olumen debido a las fueas iscosas. Agupando los téminos y, así como difeenciando el témino ; de la Ec. 5.7; se tiene U U U U U U t =... t t ( ) = U. U U. t t ( ) En la expesión anteio D U = U U. que es la densidad local del fluido multiplicada po la t deiada sustancial de U U t (. ) = 0 ; ya que ( ) t Teniendo en mente esto; la Ec. 6.7 se escibe como. = 0; siendo esta la ecuación de continuidad. D U = q g p τ (. ) (. ) (. ) (.[. ]) (5.8) La Ec. 5.7 descibe los intecambios de enegía en un fluido desde el punto de ista de un obseado estacionaio y la Ec. 5.8; descibe dichos cambios tal como los eía un obseado que se muee con el fluido. En la pimea pate de este manuscito; en lo que conciene a la ecuación paa sistemas no isotémicos se obtuo un ecuación de balance; la ecuación de la enegía mecánica; misma que se uele a escibi esta como efeencia D = p p g τ τ (. ) (. ) (. ) [. (. )] ( : ) (5.9)

5 estando las Ecs. 5.8 y 5.9 D U = q g p τ (. ) (. ) (. ) (.[. ]) D = p p g τ τ (. ) (. ) (. ) [. (. )] ( : ) D ( U ) =(. q) p(. ) ( τ : ) (5.0) 3 4 En la Ec apidé de ganancia de enegía intena po unidad de olumen. Entada de enegía intena po unidad de olumen debida a la conducción. Aumento eesible de enegía intena po unidad de olumen debido a la compesión. Aumento ieesible de enegía intena po unidad de olumen debido a la disipación iscosa. Po analogía con la ecuación de la enegía mecánica; la Ec. 5.0 puede denominase como ecuación de la enegía caloífica. En ocasiones esta ecuación esulta más coneniente su uso en poblemas de tansfeencia de calo que la ecuación completa de enegía. Al compaa la ecuación de la enegía mecánica con la ecuación de la enegía caloífica; Ecs. 5.9 y 5.0 espectiamente; se obsea que los téminos p(. ) y ( τ : ) son comunes a ambas ecuaciones y que además inteienen con signos opuestos. Estos téminos desciben la inteconesión de enegía mecánica y caloífica. El témino p(. ) puede se positio negatio o según que el fluido se expansione o se compima; po lo tanto epesenta una foma eesible de intecambio. En cambio el témino ( τ : ) es siempe negatio como se indica en la Ec. 3.8 (Bid et. al.); po consiguiente epesenta una foma ieesible de degadación de enegía mecánica a enegía caloífica Po oto lado si la fuea extena g se expesa en función del gadiente de una función escala; sea g= Φ, se tiene (. DΦ g) (. ) Φ = Φ = t Si φ es independiente del tiempo el último témino desapaece y la Ec. 5.8 se tansfoma en D U Φ =. q. p.. ( ) ( ) ( [ τ ]) (5.)

6 La Ec. 5. es una ecuación de aiación paa E $ = U $ Φ denominada enegía total. En poblemas teestes la Ec. 5. es álida ya que únicamente inteienen las fueas de la gaedad en donde φ es independiente del tiempo. En poblemas pácticos la ecuación de la enegía caloífica, Ec. 5.8 es más coneniente expesala en función de la tempeatua y del calo específico en e de la enegía intena. de modo que teniendo pesente que la enegía intena, U$ = f ( V $, T) se tiene U$ du$ = dv$ V$ T U$ dt ; como T V$ U$ = $ C y también U T $ = h pv $ de modo que V$ U$ $ $ ( h $ h pv$ ) p V V$ p p V$ p T = = = V V V$ V$ V$ V$ T T p pv p = = = = = p $ $ p p T $ $ ( $ $ / ) $ p V p T V p V p T V pv p V p T h V $= 0; ya que h = f (T) De modo que p du $ = pt dv $ C $ dt TV$ Obteniendo la deiada sustancial de la enegía intena T T V$ DU$ p DV$ = pt C$ DT (5.) TV$ DV$ En la ecuación anteio el témino ( ) se puede expesa de la siguiente foma DV$ D D D = = = Consideando ahoa la ecuación de continuidad.( ) = 0; po lo que desaollando el segundo témino de esta ecuación t (. ). = 0; Ecuación que también puede expesase t D. (. ) = (. ) = 0 de tal suete que t D = (. )

7 Así que la Ec. 6. queda DU$ p DT = p T (. ) C$ T V$ ( 5.3) Sustituyendo en la Ec. 6.0 se tiene p T p DT (. ) C$ = (. q ) p(. ) ( τ : ) T V$ (5.4) De modo que DT p C$ =(. q ) ( τ : ) T (. ) T$ V ( 5.5) La Ec. 5.5 es la ecuación de la enegía caloífica en función de la tempeatua del fluido; esta ecuación es tan geneal como la Ec. 5.0; sin embago esulta más útil la Ec. 5.5 cuando se equiee detemina los pefiles de tempeatua. Otas epesentaciones pácticas de la ecuación de la enegía son las que se esciben a continuación Si se tiene pesente el alo de q en función de los gadientes de tempeatua y τ en función de los gadientes de elocidad, se esciben estas las elaciones como ecodatoio la Ec. 5.5; se escibe como q k T = τ x xx µ = µ (. ) x 3 y τ yy = µ µ (. ) y 3 τ µ = µ (. ) 3 x y τ xy τ yx µ = = y x y y = y = y τ τ µ x τ x τ x µ = = x

8 DT p C$ = k TT (. ) µ Φ ( 5.6) T $ V La Ec. 5.6 establece que la tempeatua de un elemento móil de fluido aía debido a: (a) efectos de conducción de calo; (b) efectos de expansión y (c) calentamiento iscoso. La función Φ se denomina función de disipación iscosa y en coodenadas ectangulaes queda expesada como x y Φ = x y y x y x x y y x - x y 3 x y Si se omite el témino de la disipación iscosa, Φ y consideamos la conductiidad témica, k contante se pueden obtene los siguientos casos especiales de la ecuación de la enegía. Paa un gas ideal p p = T V $ T C$ DT = k Tp(. ) (5.7) Paa un fluido a pesión p(. ) = 0 constante, despeciando la disipación iscosa se tiene que du$ = pdv$ C$ pdt = C$ pdt DU$ DT = C$ p Así pues la ecuación de la enegía queda DT C$ p = k T (5.8) Paa fluidos incompesibles ( = cte., C$ p = C$ y p(. ) = 0). DT C$ p = k T (5.9) Paa sólidos se considea la densidad; constante y po lo tanto se puede toma = 0 DT C$ p = k T (5.) En las ecuaciones pecedentes se ha isto que únicamente apaece el témino coespondiente al de la geneación de calo de oigen iscoso, S. Sin embago; como se obsea en las Ecs.

9 5.0 a la 5. la geneación de calo debido a una fuente eléctica, S e ; a una fuente química, S c o bien a una fuente nuclea; S n no se han tomado en cuenta. Si se desea enconta la distibución de tempeatua debido a estas fuentes basta con agegalos a las ecuacionas ya mencionadas. 5.. LA ECUACIO DE LA EEGIA E COODEADAS CUVILIEAS En esta pate se expesan las ecuaciones de la enegía que usadas en el cálculo de las distibuciones de tempeatua en coodenadas ectangulaes, cilíndicas y esféicas. La Tabla 5.; indica las componentes del flujo de enegía; la Tabla 5., la ecuación de enegía en función del flujo de enegía y de cantidad de moimiento; la Tabla 5.3 las ecuaciones de la enegía en función de las popiedades de tanspote; Tabla 5.4 se da un esumén de las ecuaciones de aiación paa fluidos puos en función de las densidades del flujo y en la tabla 5.5 las ecuaciones de aiación paa fluidos puos de, µ y k constantes ECUACIOES DE MOVIMIETO PAA COVECCIO LIBE Y FOZADA PAA SISTEMAS O ISOTEMICOS Como se indica en la pimea pate de estas notas se dedujo la ecuación de cantidad de moimiento y se aplicó en la solución de los poblemas de flujo isotémico. Consideemos ahoa que µ y son funciones de la tempeatua y de la pesión. En los poblemas de conección foada se emplea la ecuación de la cantidad de moimiento junto con la ecuación de la enegía. En lo que conciene a la conección libe la aiación de con la tempeatua es impotante y es necesaio modifica la ecuación de moimiento paa tene en cuenta los efectos de flotación. Consideemos pimeo un sistema de conección libe en el que la tempeatua del fluido aía alededo de un cieto alo medio T. Si todas las pates del fluido estuiean a la tempeatua T y si el fluido no se moiea, el gadiente de pesión estaía expesado po la ecuación de moimiento, siendo = 0. p= g (5.) En la que. es la densidad del fluido a la tempeatua T y pesión local. Si los gadientes de elocidad esultan de las desigualdades de tempeatua, el moimiento del fluido es lento y la Ec. 5. puede tomase como una apoximación coecta del gadiente de pesión, incluso paa el fluido en moimiento. Con esta apoximación la ecuación de moimiento se pude escibi de la foma D =g[. t] g (5.3) La Ec. 5.3 puede se simplificada sustituyendo po en el pime miembo y po β ( TT ) en el témino g que apaece en el segundo miembo. Así pues D =βg( TT ) [. t] (5.4) 3 3 Masa po unidad de olumen po aceleación. Fueas iscosas po unidad de olumen. Fuea de flotación po unidad de olumen.

10 La Ec. 5.4, es una ecuación que se emplea en los poblemas de conección natual o libe cuando se puede defini una tempeatua media T ; como es una ecuación apoximada, queda limitada paa bajas elocidades del fluido y pequeñas aiaciones de tempeatua. En esta pate no se ha hecho una distinción ente la conección natual o foada. En ealidad, en las aplicaciones de ingenieía esta distinción es abitaia. Sin embago; se pesentan dos casos límite ente la conección natual y la foada, uno en que las fueas de flotación son despeciables y oto en el que los efectos de la pesión y las fueas de la gaedad pueden expesase totalmente en función de las fueas de flotación. La tansición ente la conección libe y foada es gadual y existe una gan egión mal definida en la que el compotamiento del sistema ni puede definise satisfactoiamente con el análisis sólo de la conección libe o de la conección foada. Este caso intemedio se pesenta a menudo en muchos casos industiales de impotancia USO DE LA S ECUACIOES DE CAMBIO PAA ESOLVE POBLEMAS DE TASFEECIA DE CALO E EGIME PEMAETE Al igual que en la pate coespondiente a la cantidad de moimiento se haá uso diecto de la ecuación de la enegía en la esolución de los poblemas. Pimeo comenaemos po aplica la ecuación de continuidad, seguida po la ecuación de la cantidad de moimiento y finalmente la ecuación de la enegía a un poblema deteminado; eliminando algunos de sus téminos de acuedo a la natualea del sistema. Como un pime ejemplo, paa e de qué manea se simplifican las ecuaciones de aiación consideemos la conección lamina foada a lo lago de un tubo cicula. Se e que = = q = 0 y que = f( ). Al considea las popiedades del fluido constantes; así como la disipación iscosa despeciable apliquemos las ecuaciones de aiación (continuidad, cantidad de moimiento y enegía) en coodenadas cilíndicas. Ecuación de continuidad ( ) ( ) ( ) = = 0 t d ( ) = 0 d Ecuación de cantidad de moimiento Las componentes en y. De modo que escibimos la ecuación de moimiento en la diección de, Tabla 3.4 ecuación F. p = g t p = g p 0= g Ecuación de la enegía De la Tabla 3.5, Ec. B escibimos

11 DT C$ p = k T µ Φ T C p k T T $ = t Le ecuación de continuidad pemitió quita el témino / coespondiente al pime miembo y al último témino del segundo miembo. Se obtiene el pefil de elocidad mediante la ecuación de moimiento y este se sustituye en la ecuación de la enegía paa obtene el pefil de tempeatua. Como un segundo ejemplo de aplicación consideemos el flujo tangencial en dos cilindos concénticos; éase la Fig (Bid et. al.), con geneación de oigen iscoso. La tempeatua en la supeficie inteio del cilindo es T y la tempeatua en la supeficie exteio ale T. Po oto lado se e que = = 0, = f() y p/. De modo que escibamos pimeo las ecuaciones de continuidad, cantidad de moimiento y enegía en coodenadas cilíndicas. Sabemos que paa obtene el pefil de tempeatuas se equiee conoce pimeo el pefil de elocidades. Ecuación de continuidad (Tabla 3.4-, Ec. B) ( ) ( ) ( ) = 0 t 0 = 0 Ecuación de cantidad de moimiento en coodenadas cilíndicas (Tabla 3.4-3) Componente (Ec. D, Tabla 3.4-3) p µ i = ( ) g t Componente en (Ec. E, Tabla 3.4-3) p µ = g t ( ( ). Componente en (Ec. F, Tabla 3.4-3) p µ = t ( ( ). Así pues nos quedan tes ecuaciones p = g

12 0= ( ( )) p 0= g La solución geneal de la Ec. 6. es C C = Que cumple con las condiciones de fontea En = = 0 En = = Ω Al sustitui estas condiciones se tiene C C 0= Ω C = C C C ; Multiplicando po - k a esta ecuación se tiene [ Ω = ] y efectuando la. siguiente suma C C 0= C C Ω =. C = = = C C C Ω. De tal manea que Ω C= Ω C= C = Ω C = Sustituyendo el alo de C y C en la solución geneal Ω = Ω = Ω = Ω ( ) ( )

13 = = = Ω Ω Ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Quedando el pefil de elocidades como = Ω ( ) (5.5) Ecuación de la enegía Tabla 6.5 µ Cp DT k T $ = Φ y de la Tabla 6.3 Ec. B coodenadas cilíndicas con geneación iscosa C T t T T T k T T T $ = µ µ Dado que se tienen condiciones estacionaias, = f(), = = 0 y T = f(). La ecuación anteio queda 0 = k T µ (5.6) El segundo témino del segundo miembo en la Ec. 5.6 Se obtiene a pati del pefil de elocidades dado po la Ec. 6.5, de la siguiente foma

14 = Ω Ω Ω Ω = = = 4 ( ) ( ) ( ) ( ) De modo que = Ω = Ω 3 ( ) ( ) = Ω 4 ( ) Así pues la Ec. 6.6, queda 4 4 0= k T µ Ω 4 ( ) (5.7) Las condiciones de fontea paa la Ec. 6.7, son En = T = T En = T = T Definiendo las siguientes aiables adimensionales µ Ω 4 4 ξ = /, = (T - T )/(T - T ) y =. = B k( TT ) ( ) ( ) (5.8) µ Ω B = k( TT ) ; úmeo de Binkam (5.9) Sustituyendo las aiables adimensionales, Ecs. (5.8) y 5.9 en la Ec. 5.7 ( 4 4 0= k T T ) 4 = 4 4 ( ) ( 4 ς µ Ω ξ µ Ω.. ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( T T ) k ) ξ Así pues la ecuación adimensionaliada queda 4 ξ 0 4 = ξ ξ ξ ξ (5.30) Integando dos eces la Ec. 5.30

15 ξ = ξ d ξ 4 3 ξ ξ ξ = 4 C= C ξ ξ Integando nueamente 3 C d = ( ξ ) d ξ ξ La solución geneal de la Ec. 5.30, es = Cln ξ C (5.3) ξ Sujeta a las condiciones de fontea En ξ = = 0 En ξ = = De modo que sustituyéndolas 0= Cln( ) C = 4 C ln( ) C De modo que C = C = ( ) ln Sustituyendo los aloes de C y C en la solución geneal, Ec. 5.3 lnξ = ( ) ( ) ξ ln ξ = ξ ln ( ) ( ) (5.3) ln La Ec. 5.3, es la solución paticula. En esta cuando = 0 se tiene la distibución de tempeatua paa una enoltua cilíndica inmóil de espeso (-), cuyas tempeatuas de las paedes intena y extena son T y T, espectiamente. Si es muy gande existe un alo máximo en la distibución de tempeatua al obtene la deiada; d/dξ = 0 en la Ec. 5.3.

16 d ( ξ = ) ( ) = 0 4 dξ ln ξ ξ 0= ( ) ln ξ ln ξ =, que es el punto en donde se localia la tempeatua máxima ( ) La tempeatua seá la más gande que cualquiea de las dos T y T.