Ultra Breve Historial. Ecuaciones de Movimiento: Flujo viscoso. Colapso De Navier. Perfil profesional de Navier. such equations.

Transcripción

1 Ecuaciones de Movimiento: Flujo viscoso Claude Navie ( Geoges Stokes (89-93 Ulta Beve Histoial 3d A.C., Achimedes, Cuepos sumegidos" Siglo X, L. de inci, obsevaciones 687, Newton en " Pincipia", fuea de viscosidad α vaiación de la velocidad 738, D. Benoulli, "Hydodynamics" 755, L. Eule, fluidos pefectos, ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento paa flujos inviscidos compesible o incompesibles. 8, C. Navie : obtiene la ecuación de Navie-Stokes incluyendo la viscosidad, tenso de tensiones. 89, S. Poisson, Soluciones paa líquidos viscosos 845, G. Stokes, obtiene de manea iguosa la ecuación de Navie, la que es efomulada consideando la condición de no desliamiento en la paed Pefil pofesional de Navie Ingenieo Civil (Emiland Gauthey Constucción de puentes colgantes Hidaúlica Ingenieo especialiado en la mecánica del continuo Contibuciones en la aplicación de las seies de Fouie en la esolución de poblemas físicos eales. Una gan pate de su tabajo se dedicó a modifica las ecuaciones de Eule paa inclui la inteacción ente moléculas. The iony is that although Navie had no conception of shea stess and did not set out to obtain equations that would descibe motion involving fiction,, he nevetheless aived at the pope fom fo such equations. (J D Andeson, A Histoy of Aeodynamics Cambidge,, 997. Condición en la paed popuesta po Navie Condición de no desliamiento sobe la paed alidada po una seie de medidas macoscópicas peo es una hipotesis basada en pincipios físicos Colapso De Navie Fue el pimeo en efectua una teoía a sobe puentes colgantes los que peviamente se diseñaban de manea empíica. Uno de sus pedecesoes ea su tío t o abuelo Gauthie. La caída de un puente sobe el Sena po él l diseñado (una falla en un anclaje puso de elieve concepciones difeentes ente los vínculos v ente matemática, tica, física e ingenieía a que eistía a po un lado en el Reino Unido y po el oto en Fancia. Eiste una teoía a del boicot aceca del colapso del puente (Navie ea de cote pogesista, antimilitaista y se oponía a a las sangientas campañas as militaes de Napoleón Navie popuso que la velocidad u, en la paed fuese popocional al esfueo de cote Esfueo de cote en la paed η βu Componente tangencíal de la velocidad ideo

2 Otos Colapsos de puentes Fluido iscoso-fluido Newtoniano En los flujos viscosos no despeciamos el efecto de la viscosidad sobe el σ pi P movimiento del fluido. En los fluidos newtonianos admitimos Si el flujo es incompesible (caso que vamos a analia mayomente en estas clases P λ div u I μ E P μ E Objetivos Analia la fomulación n de las ecuaciones de consevación n consideando un fluido newtoniano e incompesible Ecs de consev.. Paa un fluido Newtoniano consev.. De la masa consev.. De la cant. de movim: Ec.. De Navie Stokes consevación de la enegía Sistema de Ecuaciones paa un fluido newtoniano Ecuación de la voticidad Difusión de la voticidad a pati de una paed Panoama de solución de poblemas pa fluidos newtonianos. Ecuación n de consevación n de la masa No hay cambios poque no depende de la elación constitutiva Si el flujo es incompesible D div u σ pi P u div div u D u div Si La densidad es unifome entonces pemanece unifome Foma Integal de la Ecuación n de Consevación n de la masa dm dt (, t d t t (t (, t v nds DM D ( t (t d Consevación n de la cantidad de movimiento div A ( a, a, a3 A ji Du f divσ ai div Ai j v A A Aij divσ div pi P div pi A3 div P b div( gad( b b div pi b i ( ei gad( p I p divi gad( p I gad( p j j b b b ( b div P div e div u I 3 λ μ E div λ div u I div μ E b b b ( e 3 div div u I ( div u div I gad( div u λ λ λ I b3 b3 b 3 ( e 3 3 div λ div u I gad( λ div u I gad ( λ div u gad λ div u λ gad div u λ gad div u λ ( ( ( u

3 div μ E E gad ( μ μ div E μ div E μ div E μ div A Ω μ div A div Ω div A div div Ω ot μ div E μ ( gad( u ( u ( ot( u ot( ω ( gad( div( u ( u ( ( u gad( div( u b div b gad ( gad( b ( div( b ot( ot( b Ec.. De Consevac. Cant. Mov.. Lineal Sustituyendo nos queda Du fv gad ( p ( λ μ gad ( div( u μ ( u Si el flujo es incompesible (Ecuación n de Navie-Stokes Stokes Que se puede escibi también n como u gad( div u ot( ot u Du fv gad υ Du fv gad ( p ( u ( p υ ot( ω N-S S en coodenadas catesianas u v w f u v w f u v w f vy v u u u v v v v w w w Foma Integal de La Cons. Cant. Movim.. Lineal d u( u n ds g d σ n ds ( u ( u ( u σ pi P d u( u n ds gd pi n ds P n ds d u( u n ds ( g gad p d λ div( u I μ E n ds μ div E μ ( ( u gad( div( u d ( u Flujo incompesible d u( u n ds ( g gad p d υ ( gad( u n ds ( u u( u n ds ( g gad ( p d μ gad( div( u S ( u I μ ( gad ( u Flujo Convectivo Cantidad de Movimiento S λ div n ds d Flujo Difusoio de la Cantidad de Movimiento Consevación n de la Enegía ( D( p ( e D int σ : E div ( q D( T D( p c p β T φ div( q φ P : E λ div u I μ E : E λ div u I : E μ E : E λ div u μ E : E q λ T ( D T c p T div u E E β λ μ : λ T Disipación iscosa 3

4 Ecuación n de la oticidad Patiendo de N-S N S bajo la foma Consideando un flujo incompesible y que las fueas voluméticas deivan de una función potencial, y si aplicamos el opeado oto luego de efectua sucesivos desaollos llegamos a Du fv gad Dω ω gad u ( p υ ot( ω ( υ ( ω Si el flujo es D Y diectamente nos queda Análoga a Patículas vecinas con mayo voticidad Patículas vecinas con mayo tempeatua Toque ω gad u Patículas en cuestión Patículas en cuestión ( u ot( u gad( Dω υ ( T ( ω a T D Toque ideo ideo ideo Patículas vecinas con meno voticidad Patículas vecinas con meno tempeatua Flujo de calo Flujo de calo Ec.. de la voticidad bajo foma integal Consideando que Y la popiedad que hemos visto Si integamos sobe el volumen la ecuación n de la voticidad D ω(, t d ( a div( gad( a Consideando el teoema del tanspote suge ( ω ( ( ( d u n ds gad( ω μ ω n ds D ϕ(, t d Dϕ(, t ( t t t t t ( t t t ( t S ( t S ( t Flujo convectivo voticidad μ div ( gad( ω Flujo difusoio de la voticidad d d video Difusión n de la voticidad a pati de la paed Analicemos la Ecuación n de Navie Stokes paa un fluido inmediatamente vecino a una paed y Como analiamos un caso bidimensional y estacionaio paa las posiciones en la paed Du gad u( ; ( p υ ot( ω u ω( ; (,, ω,, ω gad p(, υ ot ω(, y ( ( μ (, (, ω μ (, (, (, ω Si los pefiles no cambian fuetemente según la coodenada La voticidad en la paed tiene asociado la apaición n de un gadiente de pesión n en la paed. Esta voticidad es meno a medida que nos alejamos de la paed. Concentaciones difeentes de voticidad llevan entonces a la eistencia de un fenómeno de difusión y ideo Tiempos caacteísticos de la difusión u Tiempos caacteísticos de la convección Tanspote Convectivo difusión En la fontea ambos tiempos deben se coincidentes ( ω υ ( ω video ω ω υ τ d τ δ d U τ C υ δ U δ υ δ 4

5 Resumen Ecuaciones Condiciones iniciales y de fontea Incognitas elocidad (3 Pesión n ( Densidad ( Tempeatua ( Enegía a int. Esp. Entopía a específica aiables Cons. Cant. Mov (3 Consev.. Masa ( Ecuación n de Estado ( Cons.. Enegía a ( Coef.. Calóicos (ecvt( ecvt Relación n de Gibbs Fluidos iscosos n t Fluidos No viscosos n t? Sistema de ecuaciones difeenciales en deivadas paciales de 44 Soluciones simples cuando se aceptan simplificaciones: v.g. si flujo unidimensional Conclusiones Pesentamos las ecuaciones de consevación n bajo hipótesis estictivas en la elación n constitutiva. Se llega así a un sistema de ecuaciones difeenciales que a veces, bajo hipótesis estictivas pueden alcanase fomas simples. Pesentamos la ecuación n de la voticidad que pemite descibi el movimiento de un fluido eliminando la pesión n como vaiable, peo elevando el oden de las deivadas paciales que apaecen en las ecuaciones de consevación. n. La ecuación n de la voticidad pemite descibi asimismo la dinámica de vótices v del escuimiento (onas de voticidad concentada. En las paedes se concenta la voticidad y desde allí difunde en sentido nomal a la paed y a la ve es tanspotada po el flujo o po convección. n. 5