2 - Campos Cuasi-Estáticos 1

Transcripción

1 Electomagnetismo Campos Cuasi-Estáticos 1 Campo Electostático en el vacío En este Capítulo veemos caacteísticas y aplicaciones de campos electostáticos en el vacío. En el caso estático los campos y sus fuentes no dependen del tiempo. Se tata de distibuciones de cagas en eposo 1 y coientes estacionaias o continuas. Los campos eléctico y magnético están desacoplados. El campo eléctico (electostático) depende solamente de la distibución de cagas: D( ρ ( E( Electostática en el vacío En el vacío, los campos D y E están ligados a tavés de la constante del vacío: D( ε E( ε F/m y entonces las ecuaciones del campo electostático en el, vacío son: ρ( E( ε E( 1 En eposo en un sistema de efeencia inecial. De acuedo al teoema de Helmholtz si se conocen la divegencia y el oto de un campo vectoial el campo queda unívocamente deteminado. El campo electostático en el vacío tiene únicamente fuentes escalaes (la distibución de caga eléctica). El teoema de Helmholtz lleva también al potencial electostático en el vacío, que cumple la ecuación difeencial de Poisson, cuya solución paticula es la llamada integal de Poisson: ρ( 1 ρ( ) E( Φ( φ ( Φ( dv ε 4 V πε R En sitios del espacio donde no existen fuentes de campo [ρ( ] se cumple la ecuación de Laplace: Φ( Las técnicas paa esolve la ecuación de Poisson o de Laplace se conocen como teoía del potencial. Veemos algunas de ellas en el Capítulo siguiente y métodos numéicos en el Capítulo 7. Caga eléctica. Cuepos cagados. Inducción electostática. La caga eléctica es una popiedad fundamental de la mateia. Todos los cuepos mateiales están fomados po patículas cagadas, que inteaccionan ente sí poduciendo fuezas de cohesión. Esta inteacción eléctica ente patículas cagadas puede se de atacción (como en el caso de la inteacción gavitatoia) o de epulsión. Este hecho lleva a la clasificación de la caga eléctica en dos vaiantes, que se identifican mediante la convención de un signo: patículas cagadas con caga de igual signo se epelen, patículas cagadas con cagas de distinto signo se ataen. Po este motivo la inteacción eléctica es de mayo complejidad que la inteacción gavitatoia, que siempe es de atacción. Convencionalmente se asigna el signo positivo a la caga de los potones, patículas elementales del núcleo atómico, y el signo negativo a los electones, patículas que se hallan fuea del núcleo. Suge también que, en valo absoluto, la cantidad de caga de estas patículas es la misma: e C Las inteacciones elécticas ente átomos son la base de las eacciones químicas y las que llevan a la constitución de los cuepos mateiales extensos.

2 Electomagnetismo 4 - En muchos casos los cuepos extensos son neutos po la pesencia de igual cantidad de patículas cagadas negativas y positivas. Desde antiguo se conoce que existen manipulaciones que pemiten caga un cuepo, oiginalmente neuto. Estas manipulaciones poducen la tansfeencia de caga po contacto (fundamentalmente electones) desde o hacia el cuepo. Un cuepo cagado inteacciona con oto cuepo, cagado o no. Si el oto cuepo está cagado, se poducen fuezas de atacción o epulsión según el signo de la caga neta de cada cuepo. Si el oto cuepo no está cagado, igual se poduce una edistibución espacial de las patículas cagadas que contiene, lo que eventualmente da luga también a fuezas elécticas. El efecto de edistibui y/o tansfei caga a un cuepo se conoce como inducción electostática. En la figua de la deecha, un cuepo cagado (izquieda) se aceca a un cuepo neuto (deecha). Se obseva la edistibución de caga (inducción) en el cuepo neuto. Esta edistibución se poduce po las fuezas ente las cagas del cuepo cagado y las cagas del cuepo neuto. Un cuepo neuto Si se pemite el contacto ente los dos cuepos, la caga negativa del cuepo oiginalmente neuto se combina o elimina con pate de la caga positiva del cuepo oiginalmente cagado. Como ahoa ambos cuepos están cagados con cagas de igual signo, se epelen. Líneas de campo y E y dy dx Si dibujamos punto a punto los vectoes campo geneados po una distibución de caga cualquiea, esulta que los sucesivos vectoes campo son tangentes a líneas en el espacio que llamamos líneas de campo (o líneas de fueza, en la visión de Faaday). En la figua supeio se ve un tamo de línea de campo. Como el campo es tangente a la línea, se xˆ yˆ zˆ debe cumpli que: E dl Ex E y dx dy de donde se obtiene: E E x x Un cuepo cagado dy E y que es la ecuación difeencial de las líneas de campo. dx Ex - - Las líneas de campo son las tayectoias que seguiía una patícula cagada en el campo

3 Electomagnetismo 4 - Hay pogamas educacionales y comeciales que pemiten taza las líneas de campo de configuaciones de cagas puntuales, como po ejemplo Coulomb, que se ha usado paa taza las líneas de campo en distibuciones de cagas puntuales en este Capítulo. Los siguientes gáficos ealizados con este pogama indican las líneas de campo de dos cagas: a la izquieda de igual valo y signo opuesto (dipolo) y a la deecha dos cagas de igual valo e igual signo. Ley de Gauss Paa distibuciones de caga de alta simetía, la foma matemáticamente más sencilla de calcula el campo es usa la llamada ley de Gauss, que puede deducise de la ecuación que da la divegencia del campo. Consideemos una distibución cualquiea de caga Q contenida en un ecinto V', con una densidad de caga ρ(. Entonces: S ρ( paa V Q ρ( paa V V En todo punto del espacio se cumple la ecuación de V' Maxwell: D( ρ(. Integamos esta ecuación sobe un ecinto V del espacio, en geneal difeente de V': D( dv ρ ( dv V V Aplicamos ahoa el teoema de la divegencia en la integal del pime miembo: D( nˆ ds ρ ( dv S V La integal del segundo miembo es la caga neta enceada en V: S D( nˆ ds Q y esta expesión se conoce como ley de Gauss de la electostática. Obsévese que esta caga no es la caga enceada en V', sino solamente la pate de ella contenida en V. Po ello es impotante en el uso páctico del teoema de Gauss detemina claamente cuál es la caga enceada en el Coulomb v1. es un pogama que pemite simula el compotamiento de distibuciones discetas de cagas y dipolos elécticos en dos dimensiones. Este pogama de simulación foma pate del poyecto Elaboación de Mateial Infomático paa la Enseñanza de las Inteacciones Fundamentales en Electomagnetismo, financiado po la Junta de Castilla y León en su pogama de Elaboación de Recusos de Apoyo a la Enseñanza Univesitaia del cuso , y ealizado po los pofesoes del Gupo de Magnetismo del Depatamento de Electicidad y Electónica de la Univesidad de Valladolid: Calos de Fancisco Gaido, José Maía Muñoz Muñoz, Pablo Henández Gómez, Osca Alejos Ducal y Calos Toes Cabea. V

4 S 1 S Electomagnetismo 4-4 ecinto de integación. La ley de Gauss es totalmente geneal en el caso electostático. Paa el vacío esta ley se paticulaiza como: E ( nˆ ds QV ε V' La supeficie de integación paa la aplicación páctica de la ley de Gauss puede elegise de manea de simplifica el cálculo. Po ejemplo, en la figua de la izquieda sólo hay caga en el ecinto V'. Puede elegise como supeficie de integación a S 1 o a S, que contienen a V'. Ambas supeficies daán el mismo esultado, ya que el espacio ente ellas no contiene caga, peo en geneal paece más simple la integación sobe la esfea S que la integación sobe S 1. Johann Cal Fiedich Gauss nació en Bunswick, Alemania en Sus dotes matemáticas fueon evidentes desde su infancia. Descubió en foma independiente impotantes teoemas cuando aún no había comenzado estudios univesitaios. Sus contibuciones en todos los teenos de la matemática, algunos de los cuales él ceó, son innumeables. Sin embago, también son muy impotantes sus contibuciones a la astonomía (desde 187 hasta su muete tabajó en el Obsevatoio de la Univesidad de Gottinga), la física y la ingenieía, ya que muchos de sus logos más notables sugieon a pati de la necesidad de esolve poblemas pácticos. Po ejemplo, en el áea del electomagnetismo, Gauss ceó gan pate de las bases matemáticas de la teoía del potencial, que descibimos bevemente más abajo, aunque el teoema que lleva su nombe - publicado po Gauss en había sido ya descubieto po Joseph Louis Lagange en La motivación paa el desaollo de estos tabajos fue un pedido del estado de Hanove paa ealiza una campaña geodésica. Gauss estudió las nociones de mapeo de una supeficie D sobe ota D, inventó en este contexto el método de cuadados mínimos y desaolló podeosos métodos estadísticos paa S analiza los poblemas de medición y epesentación. Junto con Wilhelm Webe desaolló la teoía del potencial paa aplicaciones magnéticas. Estos tabajos utilizaon ideas y tabajos pevios de los matemáticos fanceses Laplace y Poisson. Gauss falleció en Gottinga, Alemania en 1855.

5 Electomagnetismo 4-5 Campo de cagas puntuales La edistibución de caga en objetos extensos cagados debido a la pesencia de otos objetos cecanos genea dificultades en el cálculo del campo electostático geneado. Po ello comenzaemos con los casos más simples de campo ceado po cagas puntuales. Una caga puntual es una simplificación que despecia la estuctua intena de la distibución de caga en el cuepo, que queda solamente caacteizado po su caga neta. Es posible usa esta simplificación paa los casos donde se desea calcula el campo lejano ceado po la distibución, es deci, donde la distancia a la cual se quiee calcula el campo es mucho mayo que el tamaño de la distibución. Esto se puede poba iguosamente mediante el desaollo multipola del campo (o el potencial) electostático que descibimos más abajo (Ejemplo -18). La foma más simple de calcula el campo paa distibuciones de caga de alta simetía es usa la ley de Gauss y como una caga puntual tiene simetía esféica usamos en el siguiente ejemplo la ley de Gauss paa calcula el campo de una caga puntual. Ejemplo -1: Calcula el campo electostático ceado po una caga puntual de valo Q en el vacío. Q C Como dijimos, una caga puntual es un modelo ideal de cuepo cagado que consideamos de extensión nula, como un punto matemático, y está caacteizada solamente po su caga neta Q. Esta "distibución" de caga tiene simetía esféica. Paa demostalo, consideamos un sistema de coodenadas cuyo oigen coincida con la posición de la caga, y tomamos un punto de obsevación, digamos, sobe el eje x a una distancia a. El campo tendá un cieto valo. Si ahoa giamos el sistema de coodenadas alededo del oigen, el punto de obsevación pasaá a ota posición, fuea del eje x, sobe la esfea de adio a centada en la caga. Como el valo del campo debe se siempe el mismo independientemente del sistema de coodenadas elegido, se concluye que el campo debe tene igual valo en todo punto de la supeficie esféica de adio a ya que estos puntos se pueden obtene a pati del punto oiginal sólo giando el sistema de coodenadas. Po lo tanto, la descipción matemática del campo sólo puede depende de la distancia del punto de obsevación a la posición de la caga: E ( E(, θ, φ ) E( (simetía esféica). Po ota pate podemos demosta que el campo tiene solamente componente adial. Paa ello tomamos una cicunfeencia con cento en la caga y ealizamos la ciculación del campo eléctico a lo lago de ella. Como el campo electostático es consevativo: E ( dl Sobe la tayectoia elegida sólo la componente tangencial (no adial) del campo poduce un poducto escala no nulo, y po ota pate, como el campo debe se constante sobe la esfea que contiene a la tayectoia po las consideaciones pevias, se tiene: E ( dl Et ( dl Et dl π a Et C C C donde a es el adio de la cuva C. Como a es cualquiea, debe se E t, y entonces el campo eléctico sólo puede tene componente adial: E( E(, θ, φ) E( E( ˆ A pati de estos esultados podemos aplica la ley de Gauss. Debido a la foma matemática que tiene el campo, nos conviene toma una supeficie de integación esféica centada en la caga, sobe la cual el valo del campo es constante y el campo es además nomal. Con estas consideaciones tenemos entonces: S E ( nˆ ds QV S E intoduciendo la caacteística vectoial: Q ε E(dS E( 4π Q ε E( E ( Qˆ 4 Q πε C

6 Electomagnetismo 4-6 Debemos obseva que esta expesión es válida en todo el espacio, salvo en la posición del la caga puntual ( ), donde la expesión pesenta una singulaidad. Como se agumenta en el APENDICE, el campo ceado po una caga es una petubación del espacio que actúa sobe otas cagas poduciendo sobe ellas una acción obsevable (una fueza - la fueza coulombiana). Po lo tanto conceptualmente no existe campo de una caga puntual que actúe sobe sí misma, po lo que esta singulaidad no tiene significado físico. Las líneas de campo se pesentan en la gáfica de la izquieda. Son ectas adiales que paten de la caga puntual paa caga positiva y llegan a la caga paa caga negativa. Desde el punto de vista matemático, el objeto ideal caga puntual puede epesentase como una densidad de caga mediante el uso de la delta de Diac: Q( ) ρ( Q δ( - ) ya que: Pincipio de supeposición V ρ ( dv Qδ ( V Q ) dv Los cuepos cagados genean campo eléctico. Cuando hay más de un cuepo cagado pesente en foma simultánea la expeiencia indica que vale el pincipio de supeposición. Según este E 1 pincipio el efecto obtenido po la pesencia simultánea de E vaias causas es la supeposición de los efectos causados Q 1 R 1 po cada causa actuando individualmente. En el ejemplo de 1 Q R dos cagas puntuales Q 1 y Q pesentes simultáneamente en posiciones estáticas E, el campo ceado po la distibución de caga es la supeposición (suma vectoial) de los campos ceados individualmente po cada caga puntual tomada como única en el univeso: Qi Ri E ( E1( E( con E i (, R i Ri i Ri Se ha usado la expesión del campo hallada en el ejemplo pevio paa una caga puntual situada en el oigen de coodenadas. Como ahoa las cagas se hallan desplazadas desde el oigen de coodenadas es necesaio pasa de a R. Nuevamente, esta expesión es válida en todo el espacio, salvo en las posiciones donde se hallan las cagas puntuales. Po ejemplo, en la posición de la caga Q el campo que existe es únicamente el ceado po la caga Q 1 : E ( ) y en la posición de la caga Q 1 el campo Q1 R1 R1 Q R1 que existe es únicamente el ceado po la caga Q : E ( 1 ) R1 (obsévese que: R1 1 y R1 1 R1 ). De acuedo a la intepetación modena del concepto de campo 4 las fuezas electostáticas que actúan sobe cada caga son: Q1 Q R1 Q1 Q R1 Q1 Q R1 F ( ) QE( ) F( 1) Q1E( 1 ) F( ) ( ) 1 F R1 R1 R1 Se ve que las fuezas que mutuamente se ejecen las cagas en el caso estático componen un pa de acción-eacción. Las expesiones de las fuezas se conocen como ley de Coulomb. si si V V Respecto de un efeencial inecial. 4 APENDICE

7 Electomagnetismo 4-7 Chales Augustin de Coulomb nació en Angoulême, al sudoeste de Fancia, en 176. Se ecibió de ingenieo milita y duante unos veinte años se dedicó a esta pofesión. Desde 1774 hasta 176 fue enviado a la isla caibeña de la Matinica donde sufió vaias enfemedades topicales que le dejaon secuelas po el esto de su vida. Al volve a Fancia comenzó a ealiza tabajos científicos en el áea de la ingenieía civil y mecánica, utilizando heamientas matemáticas no habituales en la páctica de la ingenieía de esos tiempos. En paticula, desaolló la teoía de las fuezas y defomaciones de cilindos po tosión. Estos tabajos lo llevaon a idea su famosa balanza de tosión que pemitiía medi fuezas muy pequeñas. En 1785 envió a la Académie des Sciences fancesa una memoia: "Constuction et usage d'un balance electique " donde pefecciona la teoía de la balanza de tosión y pesenta las pimeas mediciones expeimentales de la fueza de epulsión eléctica ente cuepos cagados. Ente 1785 y 1791 Coulomb envía nuevos tabajos en los cuales no sólo descube que su famosa ley es válida en muchas cicunstancias sino que encuenta nuevos esultados sobe la distibución de caga eléctica en cuepos extensos, pedice que no existen aislantes pefectos, sino que toda sustancia tiene un límite po encima del cual conduce coiente eléctica, analiza la ley de invesa del cuadado de la distancia paa polos magnéticos, etc. Intoduce el concepto del plano de pueba y de densidad de caga. Coulomb adhiee a la teoía de los dos fluidos paa explica las inteacciones elécticas Además de estos tabajos, equivalentes a los de Newton sobe la atacción gavitatoia, Coulomb pesidía divesas comisiones técnicas de la Académie des Sciences y ealizaba tabajos de consultoía en ingenieía civil y milita. Luego de la Revolución Fancesa, fue designado inspecto geneal de la instucción pública y miembo del Instituto de Fancia, que eemplazó a la Academia en el ol de detemina el umbo científico del país. Coulomb falleció en País el de agosto de 186. Ente 1796 y 1798 el físico inglés Heny Cavendish utilizó el método de la balanza de tosión de Coulomb paa medi la constante gavitatoia G, a sugeencia de John Mitchell, oto físico inglés que había estudiado los tabajos de Coulomb. Con este valo y el valo de la aceleación de la gavedad al nivel del ma estimó la densidad de la Tiea como El valo estimado actual es 5.5. Estos esultados pemiten apecia la pecisión de los esultados que el instumento diseñado po Coulomb puede obtene. Ejemplo -: Las fuezas elécticas son de mucha mayo intensidad que las fuezas gavitatoias. Halle la elación ente la fueza de epulsión coulombiana y la fueza de atacción gavitatoia ente dos electones sepaados en 1-1 m (el tamaño medio de un átomo). e La fueza eléctica es, en valo absoluto: F e F e d

8 Electomagnetismo 4-8 G m y la fueza gavitatoia: F g F g d Fe 1 e 4 de donde: Fg G m con: e C m Kg G Nm / Kg Se ve que la elación es muy gande. Po lo tanto, en la mateia agegada las inteacciones elécticas son de mucha mayo impotancia que las gavitatoias. Las fuezas gavitatoias sólo son de impotancia cuando se tata de cuepos muy masivos (como los planetas) que son pácticamente neutos. La técnica de supeposición paa el cálculo del campo se puede extende al caso de más de dos cagas simultáneamente pesentes, aplicando sucesivamente la supeposición del campo calculado en la opeación pevia con el campo de cada caga. Así, si existe un conjunto de N cagas puntuales de valo Q i, situados en posiciones i, el campo en un punto abitaio del espacio seá: N 1 Qi Ri E(, R i Ri i i 1 Ri El pincipio de supeposición, que hemos planteado desde el punto de vista físico, está implícito desde el punto de vista matemático en la linealidad de las ecuaciones de Maxwell. Campo de distibuciones de caga Las cagas puntuales son objetos ideales que no existen en la ealidad. Todo cuepo cagado tiene una extensión espacial y, en la páctica, la mayoía de los objetos de inteés tecnológico tiene dimensiones macoscópicas po lo que están fomados po gan cantidad de átomos, lo que implica una distibución de las patículas elementales cagadas en todo el volumen del objeto. Desde el punto de vista macoscópico podemos modeliza el cuepo extenso cagado como una distibución continua de caga, dada la pequeñez de las patículas cagadas fente a las dimensiones de los objetos. En tal caso definimos una densidad de caga dento del cuepo: z dq ρ ( ) V dv R dv Usamos coodenadas pimadas (de punto fuente). Paa calcula el campo ceado po un cuepo extenso lo dividimos en difeenciales de volumen dv. Cada uno de ellos se compota como una caga puntual y, po ejemplo, el elemento de volumen situado en poduce en el V 1 dq( ) 1 ( ) campo: d E Rˆ ρ y ( ) Rˆ dv R R x con R Ahoa aplicamos supeposición, y sumamos las contibuciones de todos los elementos de volumen que foman el cuepo extenso. Esta suma es una integal y tenemos: E( ρ ( ) dv 1 ( ) V Esta expesión nos pemite calcula el campo ceado po una distibución de caga dento del volumen (distibución volumética) de un cuepo extenso 5. 5 El volumen V debe contene toda la caga cuyo campo quiee calculase. Esto significa que: a) el volumen puede se mayo que el ecinto donde existe la caga, sin altea el esultado. b) el volumen puede encea sólo pate de toda la caga, peo en este caso el campo calculado se debe solamente a esa pate de la caga.

9 Electomagnetismo 4-9 En la páctica es útil considea otas distibuciones de caga: distibuciones supeficiales (sobe una supeficie - esto ocue en cuepos conductoes, como veemos luego) y distibuciones 1 densidad supeficial de caga: ρ ( ρs( E( ρs( ) ds 1 densidad lineal de caga: ρ ( ρl ( E( ρl ( ) dl lineales (a lo lago de una línea - esto es útil paa cables donde la longitud es mucho mayo que las dimensiones tansvesales). Tenemos entonces en estos casos: Estas expesiones nos dan una foma de cálculo del campo electostático ceado po distibuciones de caga, especialmente paa cagas no puntuales, difeente de la ley de Gauss. La ley de Gauss es útil paa distibuciones de alta simetía. En los siguientes ejemplos mostamos el uso de estas expesiones paa algunas distibuciones de caga de inteés conceptual. Q ˆ Ejemplo.: Caga puntual en el oigen de coodenadas: (ecodamos: E ( ) Paa usa la metodología expuesta en esta sección, usamos la epesentación de la caga puntual como asociada a una densidad de caga descipta po una delta de Diac: ρ( Qδ ( La delta está centada en el oigen de coodenadas. Entonces: 1 ( ) 1 Q δ ( ) Q E ( ρ ( ) dv dv V V 4 Po ota pate, se puede demosta que a muy gandes distancias de cualquie distibución de caga de extensión acotada, el campo tiene apoximadamente simetía esféica, como si estuviea geneado po la caga neta de la distibución, concentada en el oigen de coodenadas. Paa demosta esto, vemos que paa puntos lejanos de la distibución podemos despecia las posiciones fuente fente a la magnitud del vecto posición del punto campo ( >> ) y tenemos: 1 ( ) 1 ρ ( ) Q ˆ Q ˆ E ( ρ ( ) dv dv E ( V V donde Q es la caga total de la distibución. En este cálculo hemos despeciado fente a. Una apoximación mejo es desaolla en seie de Taylo el integando, con lo que apaecen téminos de oden supeio (multipolaes - ve el Ejemplo -16). En tal caso, aún cuando la caga neta sea nula, existiá campo eléctico debido a la inhomogeneidad en la distibución. d l R de 1 S C Q ˆ Ejemplo -4: Calcula el campo electostático ceado po una línea cagada infinita con densidad de caga lineal λ constante. Se tata de una línea ecta de espeso idealmente nulo. Paa simplifica el cálculo usamos consideaciones deivadas de la simetía que pesenta la distibución de caga: z Como existe simetía de evolución alededo de la línea φ elegimos un sistema de coodenadas cilíndico, con el eje z d l sobe la línea. 1 R 1 de El campo no puede depende de φ po la simetía de evolución, y tampoco puede depende de z poque la línea es de ρ infinita y todos los planos de z constante son físicamente equivalentes. El campo entonces sólo depende de la distancia ρ desde la línea al punto de obsevación: E ( E( ρ). Po comodidad elegimos el plano de z de nuesto sistema de coodenadas de modo que contenga al punto de obsevación donde deseamos calcula el campo. πε

10 Electomagnetismo 4-1 Po ota pate, como se obseva en la figua, el campo de 1 ceado po un elemento de longitud d l 1 está en el plano fomado po z y ρ, de modo que no tiene componente sobe φˆ. Además se ve que, si consideamos el pa de elementos d l 1 y d l, siméticos especto del oigen de coodenadas, las componentes veticales de los campos geneados se anulan ente sí y queda solamente la suma de las componentes según ρˆ. Entonces el campo pesenta solamente componente adial: E ( E( ρ) ρˆ. Luego podemos escibi paa la componente adial del campo ceado po la línea infinita: 1 ( ) λ ρ ρˆ λ ρ ρ dz ˆ dz E ( λ( ) dl πε πε ( ρ ) πε / / 4 C 4 z 4 ( ρ z ) ya que: ρ ˆ ρ y z zˆ y el integando es pa. La integal se puede evalua de tablas o mediante pogamas matemáticos paa obtene: ( ρ z ) dz / 1 ρ λ ˆ ρ E ( πε ρ El campo ceado po la línea infinita cagada sólo tiene componente adial saliendo de ella (paa λ positiva) y su amplitud es invesamente popocional a la distancia a la línea. Como la línea no tiene espeso, se poduce una singulaidad cuando ρ. Esta singulaidad se esuelve poque no existen en la páctica líneas sin espeso. Ejemplo -5: Campo sobe el eje de un anillo unifomemente cagado de adio a. z Este caso es simila al anteio. Po la simetía se elige el eje z del sistema de de coodenadas coincidente con el eje del anillo paa tene simetía cilíndica. Se toma po comodidad el oigen en su cento. El campo ceado sobe de 1 de un punto del eje sólo depende de z y además sólo tiene componente z poque las componentes tansvesales (adiales) se anulan al considea paes de elementos del anillo siméticos especto del eje como se muesta en la figua. R Con: z zˆ, a ˆ ρ y dl a dφ y tomando nuevamente una densidad lineal de caga unifome λ R 1 tenemos: a E E z 1 ( ) λ z zˆ a dφ λ z a zˆ E ( λ( ) dl dφ πε πε ( ) πε ( ) 4 / / C 4 z a 4 z a y entonces: λ a z zˆ Q z zˆ E( E ( / / ε ( z a ) ( z a ) donde hemos usado la caga total del anillo: Q λ π a. -z En la figua se obseva una gáfica del campo del anillo sobe z z su eje. Se ve que el campo apunta siempe hacia fuea del anillo (es positivo paa z y negativo paa z). Se puede veifica fácilmente que los máximos se dan paa: Q -E z a / E 6 πε a Esta es una distibución de caga de extensión acotada, de modo que podemos estuda el compotamiento del campo paa z. Paa ello tenemos que ve cómo se compota la / función ( z / z a ) paa z. Desaollando en seie de Taylo tenemos: z 1 1 π a 15 a 4... ( ) 8 4 z a / z z z π

11 Electomagnetismo 4-11 a 1 z de 1 R 1 R σ Se ve que los sucesivos téminos son popocionales a a n /z n con n ceciente, y po lo tanto cada vez son más pequeños paa z. Tomando sólo el pime témino de la seie Q zˆ queda: E( paa z z que tiene la foma funcional del campo de una caga puntual (invesamente popocional al cuadado de la distancia y popocional a la caga total). Los siguientes téminos del desaollo en seie, que se han despeciado, constituyen coecciones a este compotamiento que coban más elevancia a medida que nos acecamos al anillo. Ejemplo -6: Calcula el campo a una distancia d de un plano infinito cagado con densidad E z supeficial σ Este poblema se puede esolve de vaias fomas. Nosotos utilizaemos el esultado del ejemplo pevio. Podemos dividi el plano E en anillos concénticos de adio vaiable a y espeso da. z Cada anillo cea un campo sobe su eje que es nomal al plano del anillo y depende sólo de la distancia al plano. Po lo tanto el campo ceado po el plano completo seá nomal -E al mismo y dependeá solamente de la distancia del punto de obsevación al plano. Cada anillo tiene un áea ds π a da y su caga es: Q σ ds πσ a da. El campo ceado po ese anillo sobe el semieje z es, como hemos visto en el ejemplo pevio: Q z zˆ πσ a da z zˆ de ( / 4 ( ) / πε ( z a z a ) σ z zˆ a da Integando sobe el adio a tenemos: E ( (paa z ). ε / ( z a ) La integal vale 1/z y finalmente: σ zˆ E ( E zˆ (paa z ). ε Paa z obtenemos el mismo campo, peo cambiado de signo poque las líneas de campo son salientes del plano cagado. Este poblema también se puede esolve constuyendo el plano mediante supeposición de fajas ectas infinitas. Inténtelo. Hemos visto en esta sección ejemplos de campos elécticos ceados po distibuciones de caga de alta simetía: esféica: Campo adial. Depende como 1/. cilíndica: Campo adial (coodenadas cilíndicas). Depende como 1/. plana: Campo constante. Estas dependencias son usadas en la páctica paa modeliza apoximadamente los campos de distibuciones de caga más complejas

12 Electomagnetismo 4-1 Podemos usa también la ley de Gauss en casos de alta simetía, como en el siguiente ejemplo: Ejemplo -7: Una esfea de adio a contiene una distibución de caga dada po: ρ ( ) ρ ( / a). Halla el campo eléctico que cea en todo el espacio. Este poblema pesenta simetía esféica. La caga depende V únicamente de la distancia al cento de la distibución y la supeficie fontea de la distibución es una esfea. Po lo ρ tanto nos conviene utiliza un sistema de efeencia esféico centado en el cento de la distibución. Po la simetía de la distibución de caga, el campo no puede depende de la diección en el espacio desde donde se obseve la esfea, sino nˆ E solamente de la distancia a la misma. Dicho de ota foma, el a campo es isótopo: E ( E(, θ, φ) E( Además, como en el Ejemplo -1, la simetía de la caga lleva a líneas de campo adiales (sin componentes sobe planos S tangentes a esfeas concénticas con la distibución de caga): E( E( ˆ Paa aplica la ley de Gauss debemos elegi una supeficie ceada cualquiea y halla el flujo de E a tavés de ella. Debido a la simetía del poblema lo más sencillo es elegi una supeficie esféica concéntica con la distibución. Pimeo elegimos una supeficie S de adio > a. Esta supeficie enciea a toda la caga, que vale: a ρ Q ρ ( ) dv 4π d πρ a V a El campo eléctico geneado po la distibución es paalelo a la nomal a la supeficie de integación y es constante sobe ella, poque sólo depende de, con lo que nos queda: QS πρ a ρ a Q E nˆ ds E( ds E( 4π E( S S ε ε 4ε πε 4 Obsevamos que el campo fuea de la distibución es igual al que se obtendía con una caga puntual Q en el oigen de coodenadas. E E a a ρ S Si ahoa tomamos una supeficie esféica gaussiana de adio < a, la caga enceada no es la total: 4 ρ ρ Q ρ ( ) dv 4π d π V ( ) a a Q 4 Luego: πρ E nˆ ds E ( 4π S ε ε a ρ de donde: E( paa < a. 4ε a ρ Si tomamos: a E queda: 4ε E ˆ( / a) paa < a E( ) E ˆ( a / paa > a Hemos gaficado a la izquieda la vaiación del campo con la distancia al cento de la distibución. Se ve que ambas expesiones coinciden sobe el bode de la esfea.

13 Electomagnetismo 4-1 Potencial electostático y tabajo Así como la expesión de la divegencia del campo electostático lleva a la ley de Gauss, el valo nulo del oto lleva a una popiedad fundamental: el campo electostático es consevativo. Como el oto de todo gadiente es nulo, es entonces posible expesa el campo electostático como el oto de un cieto campo escala Φ( que se denomina potencial electostático 6 : E ( E( Φ( La expesión del potencial electostático ceado po una distibución de caga se puede obtene a 1 ( ) pati de la coespondiente al campo eléctico: E( ρ ( ) dv, V ( ) obsevando que: 1 de modo que podemos escibi: 1 ( ) 1 1 E( ρ( ) dv ρ( ) dv V V 4 πε Peo el gadiente opea sobe las coodenadas de punto campo (no pimadas), que son constantes en la opeación de integación. Entonces es posible saca el opeado gadiente fuea de la integal. Esto equivale a inveti el oden de opeación: pimeo se intega y después se calcula el gadiente. Si las opeaciones son independientes el oden es ielevante: 1 ρ( ) E( dv o sea que entonces podemos escibi: V E( Φ( con 1 Φ( ρ( ) dv V B Paa da un significado físico a este nuevo campo, supongamos que tasladamos una caga puntual a velocidad constante a lo F q lago de un camino en una egión donde exista un campo electostático. El taslado a velocidad constante equiee del apote dl qe de una fueza F qe po nuesta pate paa contaesta la A acción del campo sobe la caga puntual. Po ota pate el taslado a velocidad constante implica que la enegía cinética de la caga pemanece constante, de modo que el balance de enegía nos lleva a que el tabajo que ealizamos en el taslado es igual y de signo opuesto al tabajo W E que el campo electostático ealiza sobe la caga: B B WE q E dl q E dl q Φ dl q C A B A A ( Φ Φ ) Po lo tanto el tabajo ealizado po el campo sobe la caga es igual al poducto del valo de la caga po la difeencia de potencial ente los extemos del camino, cambiado de signo. Se ve que este tabajo no depende el camino paticula C que se haya elegido. Esta es una caacteística, natualmente, de los campos consevativos. En un camino ceado, el tabajo ealizado po el campo sobe la caga es ceo. B A 6 Estas ecuaciones también sugen del teoema de Helmholtz, como se señaló en la pág. -1.

14 Electomagnetismo 4-14 Sólo se pueden defini difeencias de potencial ente dos puntos del espacio. Paa asigna un valo de potencial a un punto es necesaio defini abitaiamente un punto de efeencia de potencial. En el caso de distibuciones de caga de extensión acotada, el punto de efeencia convencional es el infinito, según veemos al analiza la enegía del campo electostático. En geneal: Φ B Φ A E dl donde el camino C es cualquiea, y entonces, paa distibuciones C A B de caga acotadas: Φ( E dl E dl C donde hemos omitido la efeencia al camino poque es ielevante. Esta convención paa defini el potencial de un punto (lo que significa defini el potencial como un campo escala no es válida cuando se estudia una distibución de caga no acotada en el espacio (p.ej., la línea o el plano infinitos). En tales casos hay que toma el punto de efeencia en oto sitio, que dependeá de las condiciones del poblema. En esumen: El campo electostático es consevativo e iotacional: E( El campo electostático es el gadiente del potencial electostático: E( Φ( La difeencia de potencial ente dos puntos del espacio es el tabajo po unidad de caga, cambiado de signo, que ealiza el campo paa taslada a velocidad constante una caga de un punto a oto, independientemente del camino utilizado En distibuciones de caga de extensión acotada, se toma la efeencia Φ( E dl de potencial en el infinito: Ejemplo -8: Calcula el potencial electostático ceado po una caga puntual en el oigen de coodenadas. Q ˆ dl Como se tata de una distibución de extensión acotada: Φ( E dl donde se ha usado el esultado del Ejemplo -1. Como el camino es ielevante y el campo tiene simetía esféica, tomaemos una ecta adial desde hasta el punto : Q ˆ Q d Q 1 Q Φ( ) Q d Φ( ) Ejemplo -9: Calcula el potencial electostático ceado po una línea infinita cagada unifomemente. λ ˆ ρ dl Como ahoa la distibución no es acotada, tenemos: Φ( E dl donde es un punto de efeencia abitaio. Como el campo tiene simetía cilíndica, nos con- πε ρ viene toma un camino adial (en cilíndicas): λ ρ Φ dρ λ ρ λ ( ) ln ρ Φ( ) ln πε ρ ρ πε ρ πε ρ donde ρ es ahoa un adio abitaio. El potencial electostático de una línea infinita se conoce como potencial logaítmico. Ejemplo -1: Halla el potencial electostático ceado po la esfea cagada del Ejemplo -7. En este caso existe expesiones difeentes del campo dento y fuea de la esfea. En ambas

15 Electomagnetismo 4-15 situaciones el campo es adial, con simetía esféica y la distibución es acotada. Tomamos entonces: Φ( ) E d E a a d Paa > a: E d E a ρ Φ ext ( ) ext 4ε a E Paa < a: E Φ ( int ( ) Eext d Eint d Ea d Ea a ) a a a a y finalmente: Ea ρ a Φ int( ) 4 4 a 1ε a Paa a: Φint ( ) Φext ( Ea y se ve que el potencial es continuo al cuza el bode de la esfea. ρ a paa > a Finalmente: 4ε Φ( ) a ρ < 4 paa a 1ε a La condición de continuidad del potencial es geneal. En la inmensa mayoía de las situaciones el potencial electostático es una función continua, ya que está elacionada con el tabajo ealizado po el campo paa tanspota una caga desde el infinito hasta la posición en estudio, y el tabajo - o enegía intecambiada ente el campo y la caga - es una función continua del desplazamiento.

16 Electomagnetismo 4-16 Conductoes y dielécticos. Intoducción. Desde el punto de vista eléctico, los mateiales pueden clasificase en dos categoías extemas: conductoes, donde existen potadoes de caga libes que se mueven sin esfuezo ante cualquie campo eléctico aplicado y dielécticos o aisladoes, cuyas patículas cagadas están fuetemente unidas ente sí y un campo aplicado sólo puede desplazalas levemente de sus posiciones de equilibio (sin campo). Los conductoes se caacteizan po tanspota coiente eléctica, poceso que descibiemos más abajo (Capítulo ). Los casos tecnológicamente más impotantes de mateiales conductoes son los metales y las soluciones iónicas. En la páctica, los conductoes no poseen caga completamente libe, es deci, existe siempe una inteacción ente los potadoes de caga cuasi-libes y el conjunto del mateial. Estas inteacciones dan luga a la esistencia eléctica al paso a la coiente, que analizaemos en una sección posteio. Po ota pate, tales inteacciones se hacen muy débiles y despeciables a fines pácticos en los mateiales supeconductoes (Capítulo 5). Análogamente, los dielécticos no tiene caga libe sólo hasta cieto valo máximo de campo que se conoce como campo de uptua dieléctica. Paa campos supeioes a este valo, los átomos del mateial se ionizan y se poduce caga cuasi-libe que se mueve como po un conducto. Este fenómeno es esponsable de las fallas en capacitoes, la caída de ayos y el llamado efecto coona de las líneas de alta tensión. Estos dos últimos casos se dan cuando se ionizan las moléculas del aie po acción de un campo eléctico mayo que el de uptua ( 1 6 V/m). Veemos más sobe estos temas más abajo. Ente estos extemos de compotamiento eléctico hay toda una gama de posibilidades, ente las que son de inteés tecnológico los semiconductoes, mateiales del gupo IV de la tabla peiódica (silicio, gemanio, etc.) y compuestos de popiedades similaes que se utilizan en cicuitos electónicos de estado sólido.

17 Electomagnetismo 4-17 Veamos un esumen de las caacteísticas esenciales del campo electostático en los mateiales: Campo en conductoes: El campo electostático es nulo dento del conducto. Como dento del conducto hay patículas cagadas libes, si hubiea campo estas patículas se moveían y la situación no seía electostática. No existe densidad de caga volumética en el inteio de un conducto. Como el campo dento del conducto es ceo: E( E( ρ(/ε ρ( Estas dos popiedades llevan a que la pesencia de un campo en la egión donde se halla un cuepo conducto haga que ápidamente las patículas cagadas de su inteio se edistibuyan en su supeficie paa anula el campo en su inteio. Si el cuepo está cagado, la caga neta se distibuye sobe la supeficie. Las líneas de campo electostático exteioes son nomales a las supeficies conductoas. En geneal, el campo exteio sobe la supeficie del conducto se puede descompone en una componente nomal y ota tangencial a la supeficie. La componente tangencial poduciía fuezas y movimiento en las patículas cagadas en la supeficie del conducto. Como esto no es posible en una situación electostática, la componente tangencial debe se nula. No hay esticción sobe la componente nomal debido a que las patículas cagadas no pueden atavesa la supeficie (paa campos no demasiado intensos) po la existencia de una baea de potencial ente el sólido y su ambiente. Como las líneas de campo son pependiculaes a la supeficie del conducto en todo punto, la supeficie de un cuepo conducto es una equipotencial. Como además en todo el inteio del conducto no hay campo, no hay difeencia de potencial ente dos paes de puntos cualesquiea del conducto. Entonces, todo el cuepo conducto es un volumen equipotencial. Caga inducida. La edistibución de las patículas cagadas en un conducto fente a un campo aplicado es un caso de inducción electostática. La caga inducida está ligada con la capacidad del conducto, que veemos más abajo. El campo sobe la supeficie de cuepos conductoes depende del adio de cuvatua local, como se ilusta en el siguiente ejemplo: Ejemplo -11: a) Dos esfeas de adios a y b < a están sepaadas en D >> a y tienen espectivamente cagas Q 1 y Q 1. Halle el potencial electostático que cean. Q 1 R 1 Q R Como las esfeas están muy sepaadas, pueden despeciase los efectos de edistibución de caga po a inducción ente ellas, de modo que cada una genea un b potencial con simetía esféica especto de su cento: Q1 Q D Φ( ) Φ 1 ( Φ ( R1 R El potencial sobe y dento de cada esfea es constante y como los adios son distintos los potenciales son distintos. Despeciando la influencia de la ota esfea po su lejanía: Q1 Q Φ 1 Φ a b b) Suponga ahoa que las esfeas están unidas po un hilo conducto muy fino. Detemine la edistibución de caga que tiene luga. Al conecta las esfeas po medio de un conducto se tansfiee caga hasta que todo queda al mismo potencial. Tenemos entonces que:

18 Electomagnetismo 4-18 Q' 1 a Q1 Q Φ. Q' Φ a b Po ota pate, la caga total del conjunto debe consevase. b Entonces: Q 1 Q Q1 Q. D De estas dos ecuaciones podemos despeja las nuevas cagas sobe las esfeas: a( Q Q ) b( Q Q ) Q 1 Q 1 1 a b a b Aunque el potencial es el mismo, el campo sobe la supeficies de las esfeas es difeente: Q1 Φ Q Φ E a E1 E a a b b E1 b Se ve que el campo sobe la supeficie de la esfea meno es mayo que sobe la ota, y la elación ente campos es la elación ente los adios. De aquí se deduce que en un cuepo conducto de foma vaiada el campo seá más intenso en las egiones de mayo cuvatua (meno adio) y po lo tanto en puntas y esquinas, que deben evitase en las instalaciones de alta tensión. Campo en dielécticos El campo en el inteio y sobe la supeficie de un cuepo dieléctico no tiene esticciones. A pesa de la fuete ligazón ente las patículas cagadas que foman sus átomos, se puede induci caga po contacto y tansfeencia de caga, ya que las fuezas de cohesión en la supeficie del mateial son menoes que en su inteio. El campo eléctico poduce edistibución de las cagas ligadas dento de los mateiales dielécticos, que llamamos polaización. Esta edistibución genea un nuevo campo eléctico, llamado campo inducido, que se supepone al campo oiginal. Veemos en detalle el poceso de polaización y sus consecuencias más abajo.

19 Electomagnetismo 4-19 Poblemas de potencial En las secciones pecedentes hemos visto métodos de cálculo del campo electostático en el vacío que se basan en ecuaciones integales que expesan el campo y el potencial electostáticos en función de la distibución de cagas y la ley de Gauss. En esta sección intoduciemos el análisis de métodos que se basan en las ecuaciones difeenciales del campo y el potencial electostáticos. La foma difeencial de la ley de Gauss lleva a la ecuación de Poisson, que vincula diectamente el potencial electostático a las fuentes de campo, es deci, las cagas: ρ( ρ( E( [ Φ( ] Φ( ε ε Paa puntos del espacio donde no hay caga, vale la ecuación de Laplace: Φ( ) En la páctica se pesentaá un poblema de potencial, que consiste en una deteminada función potencial estática f( que está definida y cumple una ecuación difeencial de Poisson dento de un ecinto de integación V junto con condiciones de contono definidas sobe la supeficie S fontea del ecinto de integación V y eventuales supeficies intenas (S 1, S, etc.) que sepaan egiones de popiedades difeentes (pemitividad, pemeabilidad, conductividad, etc.). Las técnicas habituales S 1 de esolución llevan a postula una función potencial genealmente difeente en cada egión, que sobe las supeficies intenas también cumplen condiciones de contono. V : f (, t) g(, t) f Las condiciones de contono son, en geneal, definidas (, t) S : f po el valo o la continuidad de la función potencial sobe una supeficie (condición de Diichlet) y/o el valo o la n continuidad de la deivada del potencial en la diección nomal a la supeficie (condición de Neumann), o una S mezcla de estas condiciones. Existen distintos tipos de técnicas analíticas paa la esolución de estas ecuaciones (método de invesión, tansfomación confome, etc) que confoman una ama muy desaollada de la física matemática conocida como teoía del potencial. Pesentamos pimeo las popiedades matemáticas básicas de las soluciones de las ecuaciones difeenciales de la electostática. Soluciones de la ecuación de Poisson La ecuación de Poisson es una ecuación difeencial lineal inhomogénea a deivadas paciales de segundo gado. Po lo tanto se le pueden aplica las eglas geneales de esolución de este tipo de ecuaciones. La solución geneal de una ecuación difeencial lineal inhomogénea es la suma o supeposición de la solución geneal de la ecuación homogénea (la ecuación de Laplace, en nuesto caso) y de una solución paticula de la ecuación completa: ρ( Φ( Φ( Φ h ( Φ p ( ε La solución paticula habitualmente usada es la integal de Poisson: 1 ρ( ) Φ p ( dv V R donde R y V es un ecinto del espacio que contiene toda la caga. i 1 ( x i x i )

20 Electomagnetismo 4 - Soluciones de los poblemas de potencial Los poblemas de potencial y las soluciones de la ecuación de Laplace tiene divesas popiedades matemáticas que facilitan su esolución. Las popiedades fundamentales son: 1) Supeposición Si Φ 1 ( y Φ ( satisfacen la ecuación de Laplace: Φ1( ) Φ ( en una deteminada egión del espacio, también la satisface cualquie combinación lineal: Ψ( λ 1Φ1( λφ ( Demostación: Aplica el laplaciano a la función combinación Ψ( y usa las popiedades de linealidad del opeado laplaciano. ) Unicidad La solución de un poblema de potencial es única. Si Φ 1 ( y Φ ( satisfacen la ecuación de Poisson dento de un ecinto V y cumplen las condiciones de bode del poblema en estudio sobe el contono del ecinto (valo del potencial y/o su deivada nomal), sólo pueden difei en una constante aditiva: Φ ( ) Φ ( C 1 Demostación: Sea Ψ( una función cualquiea difeenciable. Usamos el teoema de la divegencia paa Ψ Ψ dento del ecinto V del enunciado: ( Ψ Ψ) n ˆ ds ( Ψ Ψ) dv ( Ψ) ( Ψ Ψ) dv V V S Tomamos ahoa: Ψ ( Φ ( Φ (. Entonces: 1 [ ] ( Φ Φ ) ( Φ Φ ) n ˆ ds ( Φ Φ ) ( Φ Φ ) ( Φ Φ ) dv S 1 1 V Peo la integal del pime miembo es ceo poque Φ 1 ( y Φ ( satisfacen las condiciones de bode sobe la supeficie contono S del ecinto de integación. Entonces están fijos ya sea el valo del potencial (condición de Diichlet - lo que anula el pime facto del integando) o el valo de su deivada nomal, asociada al gadiente (condición de Neumann - lo que anula el segundo facto del integando). Además, la segunda integal del segundo miembo es también ceo, poque Φ 1 ( y Φ ( satisfacen la ecuación de Poisson, con lo cual: ( Φ Φ ) Φ Φ 1 1 Queda entonces: ( Φ Φ ) dv V 1 y como el integando es no negativo y el ecinto de integación es abitaio, es necesaio que el integando sea nulo, de donde: ( Φ Φ ) Φ Φ Φ ( Φ ( C ) Amonicidad (teoema de Eanshaw) Si dento de un ecinto el potencial satisface la ecuación de Laplace este potencial no puede tene extemos dento del ecinto. Demostación: Sea Φ( una función difeenciable que cumple la ecuación de Laplace dento de un ecinto V : Φ( ). Sea un punto cualquiea dento de V. Si Φ( ) fuea un extemo de la función potencial, entonces tendíamos: Máximo: Φ Φ Φ <, <, < Φ( ) < x y z Mínimo: Φ Φ Φ >, >, > Φ( ) > x y z peo ninguna de estas situaciones es posible poque dento del ecinto Φ( satisface la ecua-

21 Electomagnetismo 4-1 ción de Laplace y entonces: Φ( ). Po lo tanto no puede se un extemo, y como es un punto cualquiea del ecinto, ningún punto puede se extemo. El teoema de Eanshaw dice que no existen mínimos ni máximos de potencial dento de un ecinto donde vale la ecuación de Laplace, es deci, donde no hay cagas. Los extemos sólo pueden dase en la fontea del ecinto. Un extemo de potencial equivale a un punto donde el campo (el gadiente del potencial) es nulo. Po lo tanto, no puede habe puntos de campo nulo en un ecinto donde se satisface la ecuación de Laplace. Los puntos de campo nulo coesponden a "puntos de equilibio" del campo. En tales puntos una caga de pueba no sufe fueza alguna y queda en equilibio y, si lo estaba, en eposo. El teoema de Eanshaw dice que en un campo laplaciano no hay puntos de equilibio, y las cagas de pueba sufen siempe fuezas que las acelean. El desaollo de la teoía de potencial La teoía del potencial fue desaollada ente los siglos XVIII y XIX, fundamentalmente en la Euopa continental. Esta teoía suge del modelo de inteacción a distancia establecido po Newton paa su teoía de la gavitación. En 1777 Joseph-Louis Lagange ( izquieda) establece que las fuezas gavitacionales pueden obtenese a pati de una función que en cada punto del espacio es la suma de téminos cuyo numeado es la masa gavitacional y el denominado la distancia al punto de obsevación. Se puede econoce el potencial gavitatotio en esta función. Los expeimentos de Coulomb, que extendieon el modelo de acción a distancia cuya intensidad depende de la invesa del cuadado de la distancia ente los "centos de acción", llevó a muchos científicos a adopta a este modelo y halla sus consecuencias. En 178 Piee-Simon Laplace ( izquieda) encuenta que esta función cumple una ecuación difeencial a deivadas paciales ya conocida, peo que a pati de sus tabajos pasó a llamase ecuación de Laplace. Laplace demuesta en su Mecanique Celeste que las deivadas paciales de esta función especto de las coodenadas son las componentes sobe dichas coodenadas de la fueza gavitatoia. En 181 Simeon-Denis Poisson ( deecha) genealiza la ecuación de Laplace paa egiones donde existe masa o caga (fuentes de campo). Utilizando estos modelos matemáticos, en 181 Laplace demuesta que la fueza eléctica sobe la supeficie de un conducto es en todo punto pependicula a la supeficie y popocional a la densidad de caga local. Esta popiedad seía edescubieta po Gauss en 189. En 184 Poisson intoduce la noción de potencial escala magnético (Capítulo ) que pemite genealiza la teoía del potencial al magnetismo. En 188 apaece el tatado de Geoge Geen ( ) Essay of the application of mathematical analysis to the theoy of electicity, donde se establecen los pincipales esultados matemáticos de la teoía del potencial - algunos ya descubietos independien-

22 Electomagnetismo 4 - temente antes - y donde se intoduce el nombe de potencial paa la función básica que descibe las acciones a distancia. Este tatado no ecibió el adecuado inteés hasta 1846, donde apaece citado pofusamente en el tatado de William Thomson (luego Lod Kelvin) y Pete Guthie Tait Natual Philosophy, y muchos de sus esultados fueon edescubietos po otos científicos. Paa 184 el cuepo de la teoía del potencial estaba bien establecido con contibuciones de otos físicos y matemáticos como Whilhelm Webe, Cal Gauss, William Thomson, Cal Neumann y otos, y ea el paadigma aceptado hasta el advenimiento de Faaday y sus ideas de campo. El descubimiento de la inducción electomagnética po Faaday se publicó en 181, y Maxwell completó en 1864 su modelo que llegaía a se el actual, lo que da una idea del ápido avance de la teoía electomagnética en este peiodo. Como veemos más adelante, estas ideas, puestas en foma matemática po Maxwell y otos, fueon la base de la explicación modena de los fenómenos electomagnéticos no cuánticos, aunque en divesos campos especializados las ideas matemáticas de la teoía del potencial subsisten como la foma más podeosa de esolve poblemas pácticos y expesa matemáticamente las popiedades. En paticula, el método de imágenes que descibimos a continuación, ideado po William Thomson, suge de las ideas de la teoía del potencial y es una podeosa heamienta paa esolve poblemas estáticos, aunque también se aplica en poblemas electodinámicos.