El método de las imágenes
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- Julio Serrano Espinoza
- hace 7 años
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1 El método de las imágenes Antonio González Fenández Dpto. de Física Aplicada III Univesidad de Sevilla Sinopsis de la pesentación El teoema de unicidad pemite enconta soluciones po analogías con poblemas conocidos El método de las imágenes es una aplicación de este teoema. Consiste en sustitui distibuciones de caga fente a conductoes po otas cagas equivalentes (imágenes) 8, Antonio González Fenández Lo aplicaemos al caso de un plano conducto y de una esfea conductoa Su aplicabilidad es limitada (planos, esfeas y poco más) peo de gan impotancia en la páctica
2 El teoema de unicidad gaantiza la existencia de soluciones En el poblema geneal del potencial ρ φ= ε k ( S ) φ= V φ k ( ) Q 4 V 1 Q ρ V 3 8, Antonio González Fenández Puede demostase que existe solución y que ésta es única También hay solución única si lo que se conocen son las Q k Esto autoiza a popone soluciones. Sólo hay que compoba que: Se cumple la ecuación Se satisfacen las condiciones de contono 3 Una caga fente a un plano conducto a tiea. Planteamiento y solución paa z < 8, Antonio González Fenández Supongamos una supeficie conductoa plana de gan extensión puesta a tiea. Fente a ella se encuenta una caga puntual q. Cuánto vale el potencial en todo el espacio? El plano divide el espacio en dos egiones, z < (donde no está la caga) y z > (donde sí está). Las soluciones están desacopladas. En la egión z < la solución es tivial: φ= z < ( ) ( z ) ( ) φ= = φ φ= E= ( z < ) 4
3 Una caga fente a un plano conducto a tiea. Planteamiento paa z > En el semiespacio supeio (z > ) tenemos la ecuación q φ= δ( ) ε con = a u z 8, Antonio González Fenández Las condiciones de contono son ( z ) ( ) φ= = φ La solución no es la misma que la de una sola caga debido a las cagas pocedentes del infinito que se acumulan en la supeficie del plano conducto. 5 Un sistema difeente: dos cagas de signo opuesto enfentadas 8, Antonio González Fenández Sea el sistema fomado po dos cagas +q y q situadas en = a u z y 1 = a u z. El potencial que cean es 1 q q φ= 4πε 1 Este potencial cumple la ecuación de Poisson z 1 φ= qδ qδ 1 ε ( ( ) ( )) φ ( ) Peo en z >, δ( 1 ) = q φ= δ( ) ( z > ) ε Este potencial cumple que y sobe el plano z = s = s 1 ( z ) φ= = 6
4 Compaando los dos poblemas: las dos cagas esuelven el poblema oiginal 8, Antonio González Fenández En el caso de una caga fente a un plano a tiea, en z > φ debe cumpli q φ= δ( ) ( z > ) ε Con las c.c ( z ) ( ) φ= = φ El potencial de dos cagas opuestas cumple, en z > q φ= δ( ) ( z > ) ε φ= z = φ ( ) ( ) Es la solución del oto poblema paa z > 7 Intepetación física: el plano se compota como si hubiea una caga tas él La solución paa el potencial en todo el espacio es 1 q q z > φ= 4πε 1 z < 8, Antonio González Fenández Po debajo del plano es nulo (apantallamiento) Po encima se compota como si tas el plano hubiea una caga puntual de signo opuesto situada siméticamente (caga imagen) La caga imagen NO existe. Son las cagas de la supeficie del plano las que poducen el campo equivalente al de una caga puntual 8
5 Aplicaciones del método de las imágenes: fueza sobe la caga puntual 8, Antonio González Fenández Las cagas almacenadas en la supeficie del plano poducen una fueza sobe la caga puntual Po aplicación de la ley de Coulomb F q q = σ 4 πε ' ( ) ( ) ' ' s z= 3 d S ' La fueza sobe la caga también puede calculase con el campo eléctico q q σ ( ) q ( ) F = qe = E q Peo el campo que poducen las cagas supeficiales es el mismo que poduciía la caga imagen. Po tanto F q ( ) 1 q( q) q u = = 4πε 16 1 z 3 πε 1 a La fueza es atactiva 9 Aplicaciones del método de las imágenes: densidad de caga supeficial 8, Antonio González Fenández Conocido el campo podemos detemina la densidad de caga supeficial en el plano El campo en z < es nulo E= El campo en z > es el de dos cagas puntuales ( ) q( ) 1 q 1 E = 3 3 4πε 1 La densidad supeficial vale qa σ s =ε n [ E] + = z= πρ+ a ( ) 3/ La caga total en z = es s Coincide con la caga imagen ya que q =ε E ds= s q = σ S = q d z= s =ε E ds= q q σ 1
6 Aplicaciones del método de las imágenes: tabajo paa aceca la caga 8, Antonio González Fenández Las cagas supeficiales ataen a la caga puntual Po ello, el tabajo paa tae la caga desde el infinito es negativo Este tabajo NO es igual a la caga po el potencial W qφ q ( ) Puede calculase a pati de la enegía almacenada No coincide poque al aceca 1 1 W = Ue = QV + qφ '( ) = la caga, se mueven las cagas del plano y φ es una función del 1 q q tiempo. = q = 4πε( a) 16πεa 11 Extendiendo el método de las imágenes: una caga a cada lado Qué ocue si tenemos un plano conducto a tiea y hay una caga a cada lado, no enfentadas, ni a la misma distancia? El plano funciona como Jaula de Faaday Cada caga ve sólo a su imagen 8, Antonio González Fenández Las imágenes siempe deben esta en el oto semiespacio 1
7 Extendiendo el método de las imágenes: dos cagas del mismo lado Po qué se estudia el poblema de una sola caga? Qué ocue si hay dos cagas puntuales del mismo lado? En ese caso puede aplicase el pincipio de supeposición 8, Antonio González Fenández El potencial en z > es la suma de los de todas las cagas eales más el de sus espectivas imágenes También se aplica a distibuciones de volumen, supeficiales o lineales 13 Extendiendo el método de las imágenes: la imagen de un dipolo 8, Antonio González Fenández Supongamos un dipolo situado fente a un plano. Cuánto vale el potencial en z > si 1) apunta pependiculamente al plano? ) apunta paalelamente al plano? 3) foma un ángulo abitaio con el plano? El potencial es el del dipolo eal más el de un dipolo imagen que 1) apunta en el mismo sentido que el dipolo eal ) apunta en sentido contaio al eal 3) es la supeposición de los otos dos casos (1) () (3) 14
8 Extendiendo el método de las imágenes: una caga y vaios conductoes 8, Antonio González Fenández Si tenemos una caga en un cuadante fomado po dos planos conductoes, cuánto vale el potencial en el inteio del cuadante? En este caso, necesitamos tes cagas imagen: Dos cagas opuestas, siméticas Una caga del mismo signo, opuesta diagonalmente Y si tenemos una caga ente dos placas? Cada caga imagen tiene su popia imagen, po lo que obtenemos una secuencia de infinitas imágenes Es análogo al caso de espejos enfentados 15 Una caga fente a una esfea a tiea: planteamiento del poblema 8, Antonio González Fenández Supongamos una esfea de adio, puesta a tiea. Fente a ella se encuenta una caga puntual q, situada a una distancia del cento de la esfea. Cuánto vale el potencial en todo el espacio? Cuánto vale la caga almacenada en la esfea? Cuánto vale la fueza sobe la caga puntual? Cómo cambia el poblema si la esfea no está a tiea? En el inteio de la esfea φ = ( < ) En el exteio se cumple q φ= δ( ) ( > ) ε con las c.c. φ = = φ ( ) ( ) 16
9 Un sistema de dos cagas esuelve el poblema de la caga y la esfea 8, Antonio González Fenández Cuando se tienen dos cagas puntuales q 1 y q, de signo opuesto y distinta magnitud La equipotencial φ = es esféica Esta es la única equipotencial esféica. El esto posee otas fomas La esfea envuelve a la caga de meno magnitud Esta esfea no es concéntica con la caga que envuelve En el poblema de la caga y la esfea conductoa ya tenemos una de las cagas y la equipotencial esféica φ =. Se tata de ve cuánto debe vale una imagen q y dónde hay que situala paa que esulte la esfea 17 Cálculo de la caga imagen que poduce la equipotencial esféica Tenemos la esfea de adio y la caga q a una distancia del cento. Dónde debeía esta y cuánto debeía vale una caga q que haga de la 8, Antonio González Fenández esfea la equipotencial φ =? Dento de la esfea, sobe la línea que va del cento a la caga eal Debe se meno que q 1 q q' =φ ( A) = + 4 πε ' 1 q q' =φ ( B) = + 4 πε + + ' Como sabemos que hay solución nos basta con impone el potencial en dos puntos A y B q' = q ' = ó ' = 18
10 Popiedades de la caga imagen y del potencial eléctico en el sistema En el sistema de la esfea conductoa a tiea y la caga puntual q 8, Antonio González Fenández El potencial en el inteio de la esfea es nulo En el exteio, equivale al de la caga eal q más el de una caga imagen ficticia, q de valo q' = q < ' = φ ( ) = 1 q q' + > 4 πε ' situada en la posición ( ) ( ) 19 Qué ocue si la esfea no está a tiea? Se aplica la supeposición de soluciones 8, Antonio González Fenández Supongamos una esfea a potencial V fente a la que se encuenta una caga puntual q, cuánto vale el potencial en todo el espacio? Con una caga sola caga imagen no se puede consegui que la esfea sea equipotencial (la única es φ = ) El poblema se descompone en dos: La esfea a tiea con caga φ La esfea a V sin caga φ 1
11 La esfea a potencial V y la caga puntual. Solución completa La solución del pime poblema ya la conocemos φ ( ) < φ ( ) = 1 q q + > 4 πε ( ) La solución del segundo poblema también es conocida 8, Antonio González Fenández Sumando las dos φ 1 q'' = 4πεV q '' V ( < ) 4 πε φ 1 ( ) = V = ( > ) q '' > 4πε q '' 4πε φ ( ) = 1 q q' q'' + + > 4 πε ' El potencial exteio equivale al de tes cagas puntuales, q (eal), q y q (imágenes) ( < ) ( ) ( < ) ( ) 1 La caga y la esfea: fueza sobe la caga puntual El método de las imágenes nos pemite calcula la fueza sobe la caga eal q La fueza sobe una caga puntual es F = q E σ ( ) = q Eq' ( ) + Eq'' ( ) E σ es el campo poducido po las cagas de la supeficie esféica Este campo coincide con el de las dos cagas imagen 8, Antonio González Fenández ( ) La fueza equivale a la de la ley de Coulomb sobe cagas puntuales ( ) 1 qq qq F = πε Si la esfea está a tiea (q =) la fueza es siempe atactiva (q es de signo opuesto a q)
12 Cálculo de la caga almacenada en la esfea conductoa En el caso de la caga q fente a la esfea conductoa a potencial V, cuánto vale la caga almacenada en la esfea? Podemos hallala po aplicación de la ley de Gauss 8, Antonio González Fenández Q ( q q q ) int ( q σ ) =ε E d S =ε E + E d S= =ε E + E + E ds= + q' + q'' = q + 4πε V ' '' La caga total coincide con la suma de las cagas imagen, peo no es poque dento de la esfea haya dos cagas q y q, sino poque el campo exteio es el mismo que poduciían dos cagas ficticias q y q 3 Una caga puntual fente a una esfea aislada y cagada Supongamos ahoa que la esfea conductoa no está a potencial constante, sino que se conoce su caga Q 8, Antonio González Fenández La solución de este poblema se educe al anteio Suponemos un potencial desconocido V esolvemos y calculamos la caga de la esfea Q= q' + q'' = q + 4πεV q' = q ' = 1 q Q Despejamos V V = + 4πε q'' = Q+ q '' = 4
13 Fueza ente una esfea cagada y una caga puntual Si tenemos una caga q fente a una esfea aislada con caga Q la fueza es 8, Antonio González Fenández ( ) 1 qq ' ' qq '' F = πε ' Si Q es de signo opuesto a q la fueza es siempe F atactiva Si la esfea está descagada, la fueza es atactiva Si Q es del mismo signo que q epulsiva a gandes distancias Atactiva a pequeñas (dominan las cagas opuestas más póximas) 5 El caso de vaias cagas en el exteio de una esfea Si en vez de una sola caga q fente a una esfea a tiea, tenemos una distibución de caga, aplicamos el pincipio de supeposición. 8, Antonio González Fenández Paa cagas puntuales, se halla la imagen de cada una Paa una distibución, se halla la imagen de cada elemento dq. Un anillo concéntico Un anillo inteio Una ecta Oto anillo inteio (no unifome) 6
14 Dándole la vuelta al poblema: una caga dento de un hueco esféico Supongamos una caga q dento de un hueco esféico de adio. La paed del hueco está a potencial V Sepaamos el poblema en dos: 8, Antonio González Fenández Paa un hueco a tiea el método de las imágenes da el mismo esultado: q' = q ' = La caga imagen está fuea del hueco y es mayo que la eal En un hueco vacío a potencial V el potencial es φ= V < ( ) 7 Y ahoa todo junto: una caga dento y ota fuea de una coteza esféica Una coteza esféica, aislada y descagada, tiene en su inteio a una caga q 1 y en su exteio a una caga q, cuánto vale φ? Pimeo, suponemos la esfea a potencial V, que habá que calcula más tade. Esto sepaa el poblema en dos: 8, Antonio González Fenández Una caga fente a una esfea Una caga en un hueco 8
15 La coteza y las dos cagas: solución de los dos poblemas El poblema exteio se esuelve con dos cagas imagen 1 q q q φ = + + > 4πε ( ) ( ) q = q q = 4πεV 8, Antonio González Fenández El poblema inteio se esuelve con una caga imagen y una constante 1 q q φ = + + < 4πε ( ) V ( ) q 1 = q1 1 9 La coteza y las dos cagas: cálculo de V y solución completa Po aplicación de la ley de Gauss E d S Q S int Q + q1 = q1 ε = = Peo el flujo se calcula empleando el campo exteio ( q q q ) ε E d S =ε E + E + E d S = q + q S ext S 8, Antonio González Fenández Ya tenemos el potencial completo Igualando hallamos V q1 q q 1 q1 q = + = q + 4πεV V = + 4πε ( q q ) 1 q q 4πε φ ( ) = 1 q1 q 1 q1 q < 4πε 1 1 ( ) > ( ) 3
16 esumen de la pesentación El teoema de unicidad pemite enconta soluciones po analogías con poblemas conocidos El método de las imágenes es una aplicación de este teoema. Consiste en sustitui distibuciones de caga fente a conductoes po otas cagas equivalentes (imágenes) 8, Antonio González Fenández Lo aplicaemos al caso de un plano conducto y de una esfea conductoa Su aplicabilidad es limitada (planos, esfeas y poco más) peo de gan impotancia en la páctica 31 Sevilla, Eneo de 8
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