Potencial gravitomagnético producido por una esfera en rotación

Transcripción

1 5 Potencial gavitomagnético poducido po una esfea en otación 1.5 Cálculo del potencial gavitomagnético poducido en el exteio de un cuepo esféico en otación Obtenidos los fundamentos de la teoía gavitoelectomagnética, es momento de estudia sus aplicaciones. La debilidad de los efectos gavitomagnéticos nos lleva a idea popuestas paa su detección con cuepos muy másicos en movimiento. El objeto que se pesta mejo es la popia Tiea con su movimiento de otación diaio, y en meno medida el Sol y otos astos. Po esta azón vamos a detemina el potencial gavitomagnético poducido po un cuepo esféico de densidad unifome que ota con movimiento constante. Po la ecuación (18.4) el potencial gavitomagnético * paa un cuepo en otación es dado po A c ω * dv ' donde es el vecto que va del punto fuente al punto del campo, * es el vecto que va del cento de masas al punto fuente y ω es la velocidad angula de otación Po el teoema del coseno se obtiene * * * * cos 1 cos donde es el vecto que va del cento de masas del cuepo en otación al punto del * La ecuación (18.4) se dedujo paa el caso de mateia en polvo. Debe tenese en cuenta que no es posible mantene en equilibio una esfea de polvo, se encuente o no en otación. Po una pate colapsaía po la atacción gavitatoia y además la otación la defomaía po efecto de la fueza centífuga. Paa constaesta tanto el colapso gavitatoio como paa mantene la esfeicidad, es necesaio que existan fuezas ente las patículas de polvo que configuan la esfea, es deci, deben de existi tensiones dento del mateial. Estas tensiones son fuentes de campo gavitatoio y po tanto, deben se tenidas en cuenta paa calcula los potenciales gavitatoios. No obstante, el efecto de las tensiones en el cálculo del potencial vecto es dos ódenes mayo que el efecto de la masa en otación y po tanto pueden se despeciados, po lo que (18.4) sigue siendo válida incluso en el caso de que existan tensiones intenas. 69

2 70 AVITOELECTOMANETISMO Y PINCIPIO DE MACH campo, mientas que es el ángulo ente la anteio diección y la línea que une el cento de masas con el punto del cuepo, según muesta la figua * obsevado eje z Vamos a elegi como eje z aquel que une el cento de masas del cuepo (que en nuesto caso es el cento de la esfea) y la posición del obsevado. Entonces el ángulo es el que sustenta el vecto * con el eje z. Con esta definición el elemento de volumen de una poción de la esfea en coodenadas esféicas es dv ' * sin d * d d po tanto el potencial vecto poducido po la esfea de adio y densidad es *sind A * d * d, c ω (1.5) * * 1 cos el vecto de posición en coodenadas esféicas es * *sin cos i *sin sin j *cosk entonces la integal ente cochetes que apaece en (1.5) queda *sin cos i *sin sin j d d d d * * * * 1 cos 1 cos *cos sin k d d. 0 0 * * 1 cos Las dos pimeas integadas son nulas al apaece las integales idénticamente nulas En cuanto a la última integal es cos d; sin d. 0 0 * cos sin k * cos sink d d 0 * * 0 * * 1 cos 1 1 cos 1 * haciendo las definiciones * * C ; B 1 1 *

3 Potencial gavitomagnético poducido po un cuepo en otación 71 la integal queda * cos sink d B, 0 1C cos tas hace un simple peo lago cálculo se encuenta que la anteio expesión es 4 8 * 3 * 16 * B C B k 3B C k, po ota pate se obtiene 4 B C 4 *, entonces la integal ente cochetes de (1.5) queda 4 * 4 * k 3, 3 3 finalmente po (1.5) el vecto potencial gavitomagnético es 4 * A * d * M 3 3 c ω ω 0 3 c 5 o intoduciendo el momento angula de otación J de una esfea homogénea A J 3 (.5) c que es la expesión que íbamos buscando. El potencial (.5) es el ceado po la otación sobe su eje de un cuepo macizo con simetía esféica en un punto exteio, paa el caso de un campo gavitatoio débil. * Téngase en cuenta que también se exige velocidad pequeña de otación..5 Cálculo del potencial gavitomagnético poducido en el inteio de una esfea hueca en otación Ahoa vamos a epeti todo el azonamiento anteio peo paa el caso de una esfea hueca y evaluaemos el campo poducido en un punto de su inteio. En este caso hacemos la definición * 1 cos. * * Con la expesión anteio se consigue evita que el adicando tome valoes negativos en los pasos intemedios de la integación. Tas hace un cálculo simila al ealizado en el apatado anteio entonces el potencial vecto queda *sin cos k 4 d, 3 * 0 * 1 * *cos * El campo gavitomagnético es máximo en puntos situados en el plano del ecuado de la esfea otante y nulo en puntos situados en el eje de otación.

4 7 AVITOELECTOMANETISMO Y PINCIPIO DE MACH 4 3c A ω * d * donde es el gueso de la concha esféica y es su adio. En el caso de que sea una esfea muy delgada, la expesión anteio toma la foma 4 A, ω 3c la densidad de mateia de la concha es M 4 donde M es la masa total. Entonces el potencial vecto queda M A ω ω 3c 3c es el potencial gavitatoio en el inteio de la concha esféica. (3.5) (4.5) 3.5 Cálculo del potencial gavitomagnético en el inteio de una esfea maciza en otación Ahoa vamos a considea una esfea maciza de densidad unifome, adio, masa M y que ota con velocidad angula ω. En su inteio se encuenta una patícula de pueba que lleva una velocidad v y que se sencuenta a una distancia del cento de la esfea, y que es muy pequeña en compaación con el adio de la esfea. En este situación podemos considea la esfea dividida en dos pates: la inteio de adio y la concha esféia de adios y. Como esta segunda es mucho mayo que la pimea, es la única que vamos a considea al objeto de calcula el potencial gavitomagnético. De (3.5) vemos que el potencial gavitomagnético que buscamos viene dado po d 4 M A ω * * ω ω. 3c 3c c 4.5 Fueza gavitomagnética poducida po una esfea en otación Po (1.4) sabemos que el potencial gavitomagnético poduce una aceleación sobe una patícula de pueba que viene dada po dv A 4v A 4 dt t donde v es la velocidad de la patícula sobe la que actúa la fueza gavitomagnética. El segundo sumando es nulo a menos que vaíe el momento angula de otación, situación que no vamos a considea en este apatado. Paa el caso exteio el potencial gavitomagnético es (.5). Paa el cálculo hay que tene en cuenta que J J J A J J 5 5 c si hacemos la definición (5.5)

5 Potencial gavitomagnético poducido po un cuepo en otación 73 Ω 3 5 J J (6.5) c entonces la aceleación que adquiee una patícula que se mueve con velocidad v en el exteio de una esfea maciza de densidad homogénea que ota con velocidad angula es dv Ω, dt v el efecto gavitomagnético de la esfea otando es la poducción de una fueza del tipo de Coiolis. * Hagamos ahoa el mismo cálculo peo paa un cuepo que se encuenta en el inteio de una esfea hueca, entonces el potencial gavitomagnético es (4.5). Si hacemos la definición se encuenta 4M Ω ω 3c dv dt Ω v (8.5) lo que significa que paa el caso de una patícula de pueba que se mueve con velocidad v en el inteio de una esfea hueca que está otando, apaece una fueza del tipo de Coiolis, lo que cabe entendelo como un efecto machiano. Nótese que la fueza de Coiolis inducida es independiente del luga que ocupe la patícula en el inteio de la concha esféica. Al contaio de lo que ocue en el caso exteio, donde la fueza inducida de Coiolis (tanto en módulo como en diección y sentido) depende del luga donde se encuente el cuepo sobe el que actúa la fueza. Po último, si se calcula la aceleación gavitomagnética sobe una patícula de pueba en el inteio de una esfeza maciza otante se encuenta la misma expesión (8.5) peo teniendo ahoa que defini Ω M ω. c (7.5) La visión machiana entiende la fueza de Coiolis como un efecto de la otación elativa del conjunto del Univeso. Es deci, el efecto obsevado en un sistema otante especto al Univeso debe se el mismo que el obsevado en un sistema especto al cual esté giando el Univeso. La aceleación dada po (8.5) es la misma que sugiía en un sistema de efeencia que estuviea otando (con especto al Univeso) en sentido contaio que la concha * está diigida hacia el hemisfeio note si el ángulo ente el sentido positivo del eje de otación de la esfea y el vecto de posición del cuepo cumple la elación cos 1 3, en caso contaio está diigido hacia el hemisfeio su. En efecto, suponiendo que está diigido hacia la pate positiva del eje z, entonces J 1 3cos z 3 c si esta cantidad es positiva el vecto está diigido hacia el hemisfeio note.

6 74 AVITOELECTOMANETISMO Y PINCIPIO DE MACH esféica y con el mismo módulo que la velocidad angula (7.5). En efecto, en este sistema de efeencia apaeceía una aceleación de Coiolis dada po a c Ω v Ω v. Natualmente en el nuevo sistema que está otando especto a la esfea con velocidad angula Ω, la velocidad de la patícula ya no seá v, sino v v Ω. Cuyo pime sumando seía el esponsable de la aceleación de Coiolis y el segundo sumando geneaía una fueza centífuga que de momento no estamos consideando. La expesión (8.5) apunta en la diección machiana, aunque solo es capaz de intepeta una pate de la fueza de Coiolis (en efecto, la aceleación total de Coiolis de un sistema que giaa con velocidad angula ω es ω v ). Esto ocue poque solo hemos tenido en cuenta una esfea hueca de espeso delgado y no todo el Univeso. 5.5 Aaste de sistemas ineciales Sea un sistema de efeencia que tenga sus ejes alineados con el conjunto de las «estellas fijas». especto a este sistema el Univeso como un conjunto no tiene un movimiento de otación. Si además este sistema está despovisto de un movimiento de aceleación ectilínea, estaíamos ante un sistema inecial en el sentido newtoniano. Consideemos este sistema de efeencia con su oigen situado en el cento de una esfea hueca que está giando. Entonces este sistema de efeencia dejaá de se inecial, aunque sus ejes pemanezcan inalteables especto a las «estellas fijas». Esto es así, poque si especto a este sistema hay una patícula que se mueve con velocidad v, actuaá sobe ella la aceleación (8.5), no cumpliéndose po tanto, el pincipio de la inecia. Consideemos ahoa un sistema de efeencia K que esté giando especto a las «estellas fijas» con una velocidad angula dada po (7.5) y que se encuenta en el oigen de una concha esféica que gia con velocidad angula especto a las «estellas fijas». Entonces la concha esféica lleva una velocidad de otación ω Ω especto al sistema K. Sea ahoa una patícula que se mueve con velocidad v especto al sistema K. Sobe este sistema actuaán dos aceleaciones: la aceleación de Coiolis a consecuencia de la otación de K especto al conjunto del Univeso y la aceleación inducida (8.5) causada po la otación de la concha esféica especto a K. Si nos limitamos a téminos de segundo oden especto a la invesa de c, la aceleación angula de «aaste» obsevado en el sistema K y que se calcula po (7.5) es 4M 4M Ω ω Ω ω Ω 3c 3c entonces la aceleación de Coiolis obsevada en K y que tiene su oigen en su otación especto al Univeso y la aceleación (8.5) futo de la inducción ocasionada po la otación de la concha, son iguales y de signo contaio. El esultado seá que la patícula que se mueve con velocidad v no estaá sometida a aceleaciones del tipo de Coiolis, tal como es equeido paa un sistema inecial. O sea, el sistema K seía un sistema de efeencia inecial (al menos en lo efeente a la aceleación de Coiolis) a pesa de que se encuente otando especto a las «estellas fijas». Démonos cuenta que la concha esféica otante «aasta» al sistema de efeencia inecial, es deci le obliga a mantene una otación especto a las «estellas fijas». La situación cambia en un sistema de efeencia que se encuenta en el exteio de

7 Potencial gavitomagnético poducido po un cuepo en otación 75 una esfea otante. Al igual que antes el sistema de efeencia que se encuente alineado con las «estellas fijas» ya no seá inecial. También ahoa el sistema inecial se veá aastado, peo según la posición de la patícula de pueba seá en la misma o en opuesto sentido al de otación de la esfea. De aquí que en el caso exteio nos encontamos con situaciones que cabe intepeta como «antimachianas». Como veemos en el capítulo 8, podemos elegi un sistema de efeencia especto al cual no exista aceleación de Coiolis, peo este sistema no eliminaá la fueza centífuga inducida po la otación de la concha esféica. Como hemos indicado en ocasiones anteioes, esta situación que es incompatible con el pincipio de Mach, debeía de desapaece cuando en vez de efeinos a una delgada conchja esféica, hagamos el cálcula paa el conjunto de todo el Univeso. Démonos cuenta que si la masa y el adio de la concha esféica son tales que 4M 1 3c entonces Ω ω y el sistema inecial en el inteio de la esfea seía completamente aastado.