Tema 2: Campos gravitatorios.

Transcripción

1 Física. º Bachilleato. Tema : Campos gavitatoios... Concepto de campo. Campo gavitatoio. Intensidad de campo. Una gavedad tal que cualquie cuepo pueda actua sobe oto a distancia, a tavés del vacío, sin la mediación de algo más, a tavés de lo cual pueda conducise la acción y la fueza, es paa mí un absudo tan gande que no ceo que exista un hombe que con facultad de pensa en mateias filosóficas pueda cee en ello. La gavedad debe esta causada po un agente que actúa constantemente según cietas leyes. Isaac Newton. Las fuezas a distancia plantean dos impotantes poblemas conceptuales: a) La acción a distancia: Cómo la mateia, sin la mediación de algo más que no sea mateial, puede afecta a ota mateia? b) La popagación instantánea: Cómo pueden apaece fuezas instantáneas sobe los cuepos que inteaccionan a pesa de que la distancia que los sepae sea muy gande? Paa soluciona este poblema se utiliza el concepto de campo. En el siglo XIX, Faaday, Thomson y Maxwell ente otos ideaon el concepto de campo paa la inteacción electomagnética y posteiomente se extendió a la inteacción gavitatoia. Supongamos que tenemos una masa m y que colocamos, en difeentes posiciones alededo de m, ota masa m. En cada posición la masa m expeimenta una fueza debida a su inteacción gavitatoia con m y dada po la ecuación: F G m m = Puede decise que la masa m poduce, en el espacio que la odea, una situación física que llamamos un campo gavitatoio, y que se econoce po la fueza que m ejece sobe ota masa colocada en dicha egión. Se define la intensidad del campo gavitatoio g poducida po una masa m en un punto P como la fueza ejecida sobe la unidad de masa colocada en P. g = F m u = G m u luego el campo gavitatoio tiene sentido opuesto a u es deci el campo gavitatoio señala siempe hacia la masa que lo poduce. Las expesiones anteioes descomponen el poblema de la inteacción ente dos masas m y m en dos poblemas: a)la expesión g = G m u establece que la masa m cea alededo de sí misma un campo g() b)la expesión F = m g establece que dicho campo actúa sobe la masa m. Si tenemos vaias masas, poduciendo cada una su popio campo gavitatoio, el campo gavitatoio en un punto se obtiene sumando vectoialmente los campos poducidos po cada caga. Esto se llama Pincipio de Supeposición. El campo gavitatoio se mide en N/kg =m/s que son unidades de aceleación. Lo que hemos llamado hasta ahoa aceleación de la gavedad es la intensidad del campo gavitatoio en la supeficie teeste... Fuezas y campos consevativos. Enegía potencial. FUERZAS Y CAMPOS CONSERVATIVOS Se llama enegía mecánica de un sistema físico a la suma de su enegía cinética y potencial. Hay ocasiones en las que la enegía mecánica de un sistema se conseva: E c, + E p, = E c, + E p, Esto ocue cuando sobe el sistema solamente actúan un tipo especial de fuezas que se llaman fuezas consevativas. Pincipio de consevación de la enegía mecánica. Si sobe un sistema físico tan sólo ealizan tabajo las fuezas consevativas, la enegía mecánica del sistema pemanece constante.

2 Se llama fueza consevativa a aquella que es capaz de estitui íntegamente el tabajo que se ealiza paa vencela. Las fuezas consevativas ealizan un tabajo negativo duante pate del tayecto, cuando usamos ota fueza paa vencelas, y un tabajo positivo cuando se deja libe al cuepo, que vuelve a su posición oiginal. Como los dos tabajos son iguales, si analizamos el tayecto en su conjunto, esulta nulo el tabajo que ealiza una fueza consevativa. Una fueza consevativa no ealiza tabajo cuando el cuepo sobe el que actúa descibe una tayectoia ceada, volviendo a su posición inicial. Una consecuencia de ello es que: El tabajo que ealiza una fueza consevativa cuando el cuepo sobe el que actúa se desplaza ente dos posiciones, es independiente de la tayectoia. Solamente en este caso puede definise una enegía potencial. Se define de tal foma que el tabajo ealizado po la fueza consevativa es igual a la disminución de la enegía potencial. W = E p W = (E p, E p, ) = E p, E p, Esta expesión pemite calcula difeencias de enegía potencial peo no valoes absolutos. Paa esolve este poblema se asigna abitaiamente un valo nulo de enegía potencial a un punto cualquiea. Son fuezas consevativas: La fueza gavitatoia (ley de Newton) La fueza elástica (ley de Hooke) La fueza electostática (ley de Coulomb) Hay fuezas que no son consevativas; se les llama fuezas disipativas y son, pincipalmente, el ozamiento y la ficción. En tal caso la enegía mecánica no se conseva, sino que una pate se gasta en ealiza un tabajo de ozamiento. Tampoco son consevativas las fuezas extenas que actúan sobe los objetos. ENERGÍA POTENCIAL E c, + E p, = E c, + E p, + Woz Se define la función enegía potencial de tal modo que el tabajo ealizado po una fueza consevativa al desplaza una patícula ente dos puntos es igual a la disminución de la enegía potencial ente esos dos puntos: W =-E p. Puede demostase que cualquie fueza cental (que dependa sólo de la coodenada adial ) es consevativa. Po tanto la fueza gavitatoia es consevativa y puede asociase con ella una enegía potencial gavitatoia. Paa ello, consideemos un cuepo de masa m situado en las inmediaciones de oto cuepo de masa M. Sobe el cuepo de masa m actúa una fueza que viene dada po la ley de Newton de la gavitación: punto P: F G m = m Calculemos el tabajo que ealiza la fueza F cuando un cuepo se desplaza desde el infinito hasta un W, = F d = F d cosα =- F d= G M m d = =-G M m[ M m ] =G El tabajo ealizado no depende de la tayectoia luego la fueza gavitatoia es consevativa. Como W =- E p W=G M m E p =-G M m La vaiación de la enegía potencial ente dos puntos viene dada po: E p =E p, E p, =-G M m G M m u =- E p =- [ E p E p ] =- E p

3 COMENTARIOS La elación ente la enegía potencial y la fueza es: F =- de P d * De acuedo con la expesión anteio la enegía potencial sólo puede se nula en puntos infinitamente alejados ( = ). Esto equivale a afima que cuepos infinitamente alejados no inteaccionan. Sin embago, el oigen paa la enegía potencial podía se elegido abitaiamente. Ello sólo supone intoduci una constante en la definición de la enegía potencial. Esto no influye en los cálculos, poque lo que nos inteesa son difeencias de enegía potencial. * La expesión utilizada en el caso de puntos póximos a la supeficie teeste E P = m g h sitúa el oigen de enegía potencial en la supeficie de la Tiea (h = 0 ; E P = 0) y considea constante el peso de los cuepos. Lo ealmente impotante es que ambas expesiones llevan a idénticos esultados paa puntos cecanos a la supeficie de la Tiea. En ambos casos la enegía potencial aumenta cuando un cuepo se aleja de la Tiea. * La enegía potencial no es una caacteística de los cuepos, sino que se debe a la inteacción que tiene luga ente los cuepos. La enegía potencial no petenece a ninguno de los cuepos, es una popiedad del sistema fomado po ellos. No tiene sentido habla de la enegía potencial de un cuepo aislado. La enegía total de un sistema de dos patículas sometidas a su inteacción gavitatoia es: E = m v + m v G m m.3. Potencial gavitatoio. Repesentación de campos. POTENCIAL GRAVITATORIO Oto concepto impotante es el de potencial gavitatoio. Si tenemos una masa M, situada en cieta egión del espacio, cea a su alededo un campo de foma que una masa m que se sitúe en cualquie punto del campo adquiee una enegía potencial cuyo valo es: E P =-G M m Puede considease que M cea en cada punto del espacio a su alededo cieta popiedad, a la que se llama potencial gavitatoio V. Su valo en cada punto se define como la enegía potencial po unidad de masa colocada en dicho punto. V = E P m V =-G M Puede definise el potencial gavitatoio en un punto del espacio como el tabajo que ealiza el campo gavitatoio paa taslada la unidad de masa desde ese punto hasta el infinito. Más impotante es la difeencia de potencial ente dos puntos definida como el tabajo ealizado po el campo gavitatoio paa taslada la unidad de masa desde el pime punto hasta el segundo: V = V A V B = E p,a /m E p,b /m = E p /m = W A B /m La unidad del SI de potencial y difeencia de potencial gavitatoios es el J/kg. El potencial gavitatoio es un escala, no tiene diección ni sentido, su valo es siempe negativo y sólo vale ceo cuando las masas están infinitamente sepaadas. potencial: Al situa una masa m en el campo adquiee una enegía potencial E p = m V. La elación que liga al campo gavitatoio con el potencial es análoga a la que liga la fueza con la enegía g =- dv d REPRESENTACIÓN DE CAMPOS GRAVITATORIOS F =- de P d Un campo puede epesentase figuativamente po líneas de campo o líneas de fueza y po sus supeficies equipotenciales. Se tazan de foma que en cada punto sean tangentes a la diección del campo y que su densidad sea popocional a la intensidad del campo. LÍNEAS DE CAMPO: se tazan de modo que en cada punto, el vecto intensidad del campo gavitatoio es

4 tangente a las líneas de campo y tiene el mismo sentido que éstas. Po ota pate, la densidad de las líneas de campo (númeo de líneas que ataviesan la unidad de supeficie colocada pependiculamente a éstas) debe se popocional al módulo del campo gavitatoio. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES: se obtienen uniendo los puntos que tienen el mismo valo del potencial. Siempe son pependiculaes a las líneas de campo en cualquie punto. (Paa demostalo consideemos dos puntos muy cecanos en una misma supeficie equipotencial. Cuando una patícula se desplaza ente ambos puntos, el tabajo ealizado es ceo pues la enegía potencial no cambia. Ello implica que la fueza debe se pependicula al desplazamiento.) Paa una masa puntual son esfeas concénticas..4. Teoema de Gauss. Campo gavitatoio teeste. FLUJO DEL CAMPO GRAVITATORIO Se define el flujo de cualquie vecto como el poducto escala del vecto supeficie po el vecto que estemos consideando. Su significado físico es el númeo de líneas de campo que ataviesan una deteminada supeficie. Aunque la supeficie es una magnitud escala (no tiene diección ni sentido), a veces, es útil asignale un caácte vectoial. Paa ello se define el vecto supeficie como un vecto cuyo módulo coincide con el valo de la supeficie que estemos consideando, su diección sea pependicula a la supeficie y su sentido sea hacia afuea de la supeficie. El flujo del campo gavitatoio o flujo gavitatoio es una magnitud que está elacionada con el númeo de líneas de fueza que ataviesan deteminada supeficie. Paa campos unifomes y supeficies planas se define como: TEOREMA DE GAUSS Φ=g S=g S cosα Φ=g x S x g y S y g z S z Si el campo no es unifome y/o la supeficie no es plana deben utilizase integales paa su cálculo. Calculando el flujo que ataviesa una supeficie esféica que odea a una masa se llega a un esultado mucho más geneal conocido como Teoema de Gauss. Si tenemos una supeficie esféica que enciea una caga, el flujo a tavés de ella seá: g=g M Φ =G M 4π Φ = 4 GM El esultado obtenido es geneal paa cualquie supeficie ceada y paa cualquie númeo o distibución de masas que se encuente en su inteio. Po tanto podemos enuncia el Teoema de Gauss: El flujo del campo gavitatoio a tavés de una supeficie ceada es popocional a la masa neta que existe en el inteio de la supeficie. El Teoema de Gauss se emplea paa calcula el campo gavitatoio ceado po cuepos con cieta simetía. A pati de ello se deduce que el campo ceado po una esfea con la masa distibuida unifomemente es el mismo que el de una masas puntual del mismo valo colocada en el cento de la esfea. CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE La Tiea es pácticamente esféica debido a la fueza gavitatoia. Respecto a la gavitación se compota como si toda su masa estuviea concentada en su cento. Po ello puede calculase fácilmente el campo gavitatoio en la supeficie: g= G M = 6, 67 0 N m kg 5, kg =9, 83 N /kg R 6, m El campo gavitatoio vaía con divesos factoes: La densidad. La densidad media de la Tiea se estima en 5,5 g/cm 3. La pesencia de gandes masas de alguna sustancia hace vaia localmente el valo de g. Estas vaiaciones son muy pequeñas, peo útiles como método de pospección y de investigación del inteio de la Tiea. La latitud. El campo gavitatoio disminuye de los polos al ecuado po dos azones:

5 Aumenta el adio. La Tiea es un elipsoide. El gio de la Tiea sobe sí misma. La fueza centípeta necesaia es meno cuanto mayo es la distancia al eje. La fómula aceptada intenacionalmente paa calcula la gavedad es: g=9, ,0059sen λ N /kg La altua. La gavedad disminuye con la altua al aumenta la distancia al cento de la Tiea. g h G M / Rh = = R R g g 0 G M / R Rh h =g 0 Rh De foma apoximada: g = g h - g 0 = h, siendo h la altua en metos. La pofundidad. En el inteio de la Tiea la gavedad también disminuye siguiendo la ecuación: R y g=g 0 R MASA Y PESO siendo y la pofundidad. Hay que difeencia claamente ente masa y peso. La masa es una magnitud escala que indica la esistencia que ofece un cuepo a se aceleado, así como la intensidad con que paticipa en las inteacciones gavitatoias. Es invaiable, a no se que se aanque o se añada algo de mateia al cuepo. En el SI se mide con balanzas y se expesa en kg. El peso es la fueza con la que la Tiea (u oto cuepo de gan masa) atae a un objeto. Po tanto es una magnitud vectoial elacionada con la masa y con la intensidad del campo gavitatoio en un punto (Peso = m g). Se mide con dinamómetos y se expesa en N en el SI y depende del luga donde se encuente el cuepo..5. Movimiento de planetas y satélites. Debido a la consevación del momento angula las tayectoias de los cuepos en los campos de fuezas centales, como el gavitatoio, son cuvas planas. Puede demostase que estas cuvas planas son las cónicas: cicunfeencias, elipses, paábolas e hipébolas. En geneal, los planetas y satélites desciben óbitas elípticas de mayo o meno excenticidad. En muchos casos las óbitas pueden considease ciculaes, lo que facilita el estudio. Velocidad obital en una óbita cicula: igualando la fueza centípeta a la fueza gavitatoia se obtiene: G Mm =m v Peiodo de evolución: se obtiene a pati de la velocidad obital v= G M v= T T= GM T = 4 3 G M Esta ecuación también puede emplease paa calcula la masa de un planeta a pati de datos de los satélites y constituye la demostación de la tecea ley de Keple. Se llaman satélites geoestacionaios o geosínconos aquellos que obitan en tono a la Tiea manteniéndose siempe encima de un mismo punto. Paa ello es necesaio que su peiodo coincida con el de la Tiea y que obiten en el plano del ecuado teeste. Es fácil calcula que un satélite geoestacionaio tiene que situase a una altua apoximada de km sobe la supeficie teeste. po: Enegía de los satélites: La enegía total del sistema fomado po el planeta y el satélite vendá dada E= M v m v G M m Si uno de los cuepos es mucho mayo que el oto y puede considease en eposo: E= m v G M m m v ; =G M m m v =G M m

6 E =-G M m La enegía mecánica de un satélite que descibe una óbita cicula es la mitad de su enegía potencial y su enegía cinética es la mitad de su enegía potencial cambiada de signo. cicula: Paa pone en óbita un satélite atificial son necesaias dos etapas: ) elevalo a una cieta altua sobe la supeficie de la Tiea, ) dalo un impulso tangencial. Dependiendo de la velocidad que adquiea en esta segunda fase su óbita seá ceada o abieta. La enegía necesaia puede calculase po el pincipio de consevación de la enegía. Paa una óbita E c,0 G Mm =- G Mm R T R E c,0 [ =GMm R T R ] De la misma foma puede calculase la enegía que debe comunicase a un satélite paa pasa de una óbita a ota: E=GMm[ R R ] =======================================================================.6. Velocidad de escape. Tipos de tayectoias según la enegía. VELOCIDAD DE ESCAPE Si la velocidad que se comunica a un satélite, en el momento de su lanzamiento es suficientemente gande, puede llega a sali del campo gavitatoio teeste y, po tanto, llega hasta el infinito. El valo mínimo de esa velocidad se llama velocidad de escape. La velocidad de escape de un cuepo puede calculase fácilmente a pati del pincipio de consevación de la enegía, obteniéndose la fómula: v= G M En ella se obseva que la velocidad de escape no depende de la masa del objeto que se lanza, sino de la masa del cuepo que cea el campo gavitatoio. La velocidad de escape paa un objeto que se lance desde la supeficie teeste es de unos km/h. TIPOS DE TRAYECTORIAS SEGÚN LA ENERGÍA La foma de la tayectoia que descibe un objeto sometido a la acción de un campo gavitatoio depende de la enegía total del objeto en movimiento. enegía potencial. Óbita cicula. La enegía total debe se negativa y de valo absoluto igual a la mitad del valo de la E =-G M m Paa valoes de la enegía mecánica menoes que éste, el objeto no enta en óbita y descibe una tayectoia paabólica, volviendo a cae a la supeficie del cuepo desde el que fue lanzado. ceo. Óbita elíptica. La enegía total es mayo que la necesaia paa una óbita cicula peo meno que Tayectoia paabólica. La enegía total es ceo. Llegaía al infinito con velocidad ceo. Tayectoia hipebólica. La enegía total es positiva.

7 Se puede pasa de un tipo de tayectoia a ota comunicando al objeto una velocidad adicional.