[b] La ecuación de la velocidad se obtiene derivando, con respecto al tiempo, la ecuación de la
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- Eugenia Hernández Hidalgo
- hace 6 años
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1 Nombe y apellidos: Puntuación: 1. Pimeo vetical, luego hoizontal Un muelle, de masa despeciable, se defoma 20 cm cuando se le cuelga un cuepo de 1,0 kg de masa (figua 1). A continuación, se coloca sin defomación, unido al mismo cuepo, sobe una supeficie hoizontal sin ozamiento, como se indica en la figua 2. n esta posición se tia del cuepo 2,0 cm y se suelta. Figua 2 [a] La ecuación de la posición paa el movimiento amónico Figua 1 simple esultante. [b] Las enegías cinética, potencial elástica y mecánica cuando ha tanscuido un tiempo t = 3 4 T, donde T es el peiodo del m.a.s. [a] La ecuación de la posición está dada po: x(t) =Asen( t + o ), donde 2 = m k. Se necesita, en pime luga, calcula el valo de la constante ecupeadoa k; en la fig. 1 vemos que el peso del cuepo es igual a la fueza ecupeadoa, po lo que: mg =k L; de donde se deduce que: k = mg L = 1(kg)$9,8(N/kg) 0,2(m) =49 N 49 m. n consecuencia, = 1 =7 ad s. Po oto lado, la amplitud es A = 0,02 cm; paa calcula la fase inicial hay que tene en cuenta t =0 que 0,02 =0,02sen o ; sen o =1; o = 2. La ecuación de la posición x =0,02m ad es, entonces, x(t) =0,02sen 7t + 2 m. [b] La ecuación de la velocidad se obtiene deivando, con especto al tiempo, la ecuación de la posición; así, v(t) = dx dt =0,14cos 7t + 2 ; en el instante t = 3 4 T = = 6 28 = 3 14 s, la veloci- dad vale: v( ) =0,14cos 7$ =0,14cos(2 ) =0,14 m s ; el valo de la enegía cinética es, pues, c = 1 2 mv2 = 1 2 $1$0,142 =9,8$10 3 J. La posición del oscilado, en el instante consideado, está dada po: x 3 14 =0,02sen 7$ =0,02sen(2 ) =0; po lo tanto, la enegía potencial elástica es también nula. La enegía mecánica, suma de las enegías cinética y potencial elástica, es: 9, J. ste valo también puede obtenese po cálculo diecto: m = 1 2 ka2 = 1 2 $49 ( m)$0,02 N 2 (m 2 ) =9,8$10 3 J. stos esultados son coheentes con el hecho de que el oscilado, en el instante encuenta en la posición de equilibio moviéndose hacia la deecha. t = 3 4 T, se {Página 1}
2 2. A la oilla del ma A una playa llegan 15 olas po minuto y se obseva que tadan 5 minutos en aiba desde un baco anclado en el ma a 600 m de la playa. [a] Tomando como oigen de coodenadas un punto de la playa, escibe la ecuación de la onda si la amplitud de las olas es de 50 cm. Considea que la fase inicial es nula. Dibuja un esquema aclaatoio. [b] A una distancia 300 m de la playa existe una boya, que sube y baja según pasan las olas. Detemina la expesión matemática que pemite calcula su velocidad en cualquie instante de tiempo. [c] l sonido poducido po la siena del baco alcanza un nivel de intensidad sonoa de 60 db a 25 m de distancia. Consideando la siena como un foco sonoo puntual, halla la intensidad de la onda sonoa y la potencia de la siena. {DATO: Intensidad sonoa umbal: I O = W/m²} [a] De la infomación inicial se deduce los valoes del peiodo y de la velocidad de popagación de las ondas: T = 60(s) 15 =4s y v p = 600(m). La ecuación de la onda es de la foma: 300(s) =2 m s y(x,t) =Asen( t!kx), ya que la fase inicial es nula. Calculamos la fecuencia angula: = 2 T = ad 2 s y el númeo de ondas: k = v = 4 m 1. Playa Baco Las olas se desplazan en el sentido de las X negativas; po lo tanto, la ecuación de la onda es: y(x,t) =0,5sen 2 t + 4 x. [b] n el punto donde se encuenta la boya, la ecuación de la onda es: y(300,t) =0,5sen 2 t +75. La velocidad tansvesal de la boya se obtiene deivando esta expesión con especto al tiempo: v(300,t) =0,25 cos 2 t +75 m s. [c] l nivel de intensidad sonoa está dado po la expesión: =10log I I o. De esta ecuación se deduce que: I =I o n nuesto caso, =60dB, po lo que la intensidad de la onda sonoa es: I = =10 6 W m. Po oto lado, I = P, donde P es la potencia de la fuente 2 S sonoa y S la supeficie esféica alcanzada po la onda; se cumple que P =I$S =I$4 2 =10 6 $4 $25 2 =7,85$10 3 W. {Página 2}
3 3. La apidez de los planetas [a] Demuesta que la apidez de un planeta en su óbita, supuesta cicula, está dada po: v = g, siendo el adio de la óbita y g la intensidad del campo gavitatoio sola en los puntos de dicha óbita. [b] Completa la siguiente tabla y epesenta gáficamente la apidez vfente al adio. Mecuio Tiea Mate Satuno Neptuno (m) 5, , , , , v (m/s) 4, , , , , v (m/s) (m) [c] Mate gia alededo del Sol descibiendo una óbita ligeamente elíptica; en el afelio, su distancia al Sol es de 2, km y en peihelio es de 2, km. Detemina la elación ente las apideces máxima y mínima que puede alcanza Mate en su ecoido alededo del Sol. Qué ley has aplicado? {DATO: GM Sol = 1, N m² kg -1 m} [a] Paa un planeta en su óbita alededo del Sol se cumple que la fueza gavitatoia de compota como fueza centípeta; po la 2ª ley de Newton, F G =ma c ; G MSm =m v2 ; al 2 dividi los dos miembos po m, queda: G MS = v2 ; el témino de la izquieda epesenta la 2 intensidad del campo gavitatoio sola en los puntos de la óbita, con lo que: g = v2 ; v 2 =g v = g. [b] Paa los cálculos en este apatado se emplea la fómula: v = =. [c] Po la ley de consevación del momento angula, se cumple que: a v a m = p v p m; tas simpli- v p fica la igualdad queda: v a = a p = 2,47 2,08 =1,19. La apidez en el peihelio es 1,19 veces mayo que la apidez en el afelio. GM S 1,32$10 20 {Página 3}
4 4. Satélite obitando [a] Deduce la expesión de la enegía cinética de un satélite en óbita cicula alededo de un planeta en función del adio de la óbita y de las masas del satélite y del planeta. [b] Calcula la enegía mínima que hay que comunica a un satélite atificial de 3 T de masa paa colocalo en una óbita cicula alededo de la Tiea a una altua de km sobe su supeficie. [c] Qué tiempo inviete el satélite en da una vuelta completa alededo de la Tiea? Con qué apidez ecoe el satélite la óbita? {DATOS: GM T = 4, N m² kg -1 ; R T = 6370 km} [a] La enegía cinética de un satélite se calcula mediante: c = 1 2 mv2. Po oto lado, la fueza gavitatoia de compota como fueza centípeta; po la 2ª ley de Newton, F G =ma c ; G MSm =m v2 ; simplificando, ; llevando el poducto de la deecha a la expe- 2 G MSm =mv 2 sión de la enegía cinética se obtiene la elación pedida: c = 1 GM Sm 2. [b] La enegía mecánica se conseva: m (A) = m (B); la enegía que hay que comunica al B satélite es enegía cinética: G MTm R T + c (A) = G MTm 2 A km c (A) =GM T m 1 R T 1 2 Tenemos que: m = 3000 kg = R T + h = 3, m La enegía mínima que hay que comunica al satélite es, entonces, c (A) = =4$ $3000$ 6,28$10 =1,2$10 18 $(1,57$10 7 1,59$10 8 ) =1,69$10 11 J ,37$10 6 [c] La apidez obital está dada po: v = GM T (véase el ejecicio anteio); en la situación actual: 4$10 v = 14 3,14$10 =3,57$10 3 m. l tiempo invetido en una vuelta completa -peiodo del satéli- 7 s te- vale: T = 2 v = 2 $3,14$107 3,57$10 =5,53$10 4 s =15,4hoas. 3 {Página 4}
5 5. n el campo eléctico ceado po tes cagas puntuales Las cagas puntuales q 1 = +3, C, q 2 = -5, C y q 3 = +4, C ocupan, espectivamente, los puntos (0, 3), (4, 3) y (4, 0). stas coodenadas están expesadas en metos. [a] Calcula la intensidad del campo eléctico esultante en el oigen de coodenadas. Tienes que da como espuesta el módulo, la diección y el sentido. [b] Halla el potencial eléctico total en el oigen de coodenadas. [c] Cuál es el tabajo ealizado sobe una caga q = C cuando se desplaza desde el oigen de coodenadas hasta el? Intepeta el esultado. {DATO: k e = N m² C -2 } [a] n pime luga, se dibuja un esquema con el sistema de cagas y se dibujan las intensidades del campo eléctico ceadas po cada una de las cagas. Los módulos de las intensidades son: y 1 =9$10 9 3$ =3 N C q 1 q 2 2 =9$10 9 5$ =1,8 N C 3 2y θ 2 2x 4 m 5 m 3 m q 3 x 3 =9$10 9 4$ =2,25 N C n segundo luga, obtenemos las componentes de 2 : 2x = 2 cos = =1,8$ 4 5 =1,44 N C 2y = 2 sen = =1,8$ 3 5 =1,08 N C 1 n tece luga, calculamos las componentes de la intensidad del campo eléctico esultante: T,x =1,44 2,25 = 0,81 N C T. T,y =1,08 3 = 1,92 N C l módulo de esta intensidad es: T = ( 0,81) 2 +( 1,92) 2 =2,08 N C. Su diección y sentido se obtiene a pati de tg = 1,92 0,81 =2,37; =670; la intensidad esultante está en el tece cuadante, fomando un ángulo de 247º con el sentido +X. [b] l potencial eléctico total es: V T =9$10 9 3$10 $ 9 3 5$ $ =9V. [c] Al tatase de un campo consevativo, el tabajo es igual, con signo -, a la vaiación de la enegía potencial, esto es, W Od = p = q$ V = q$(v V O ) = 10 8 $ (0 9) =9$10 8 J. Se tata de un tabajo positivo, ealizado po las fuezas del campo. {Página 5}
6 6. Movimiento ente placas cagadas [a] Consevación de la enegía mecánica en el campo eléctico. Dos láminas metálicas paalelas, sepaadas una distancia de 5 cm, se cagan sometiéndolas a una difeencia de potencial de 380 V. [b] Halla la intensidad del campo eléctico, supuesta constante, ente las placas. Dibuja un esquema indicando la placa que está a mayo potencial. [c] Se deja libe un electón (m = 9, kg, q = 1, C) en la placa negativa. Calcula la velocidad del electón cuando pasa po un punto equidistante de las placas y cuando llega a la placa positiva. [a] Debido a que el campo eléctico es consevativo, se cumple que el tabajo es igual, con signo -, a la vaiación de la enegía potencial, esto es, W = p ; po oto lado, también se veifica el teoema de las fuezas vivas: W = c. De ambas se deduce que: c = p, esto es, c + p = ( c + p ) =0. La suma de las enegías cinética y potencial ecibe el nombe de enegía mecánica, con lo que podemos escibi: m =0, lo que significa que la enegía mecánica no cambia, es constante. n esumen, en un campo eléctico la enegía mecánica de una patícula pemanece constante. [b] Po tatase de un campo eléctico constante, se cumple que: V + V =$d; 380 = 0,05 ; + - = 380(V). 0,05(m) =7600 V m C B A [c] La enegía mecánica del electón se conseva. m (A) = m (B) 0 +q e V(A) = 1 2 m ev B 2 +q e V(B) 1 2 m ev B 2 =q e [V(A) V(B)] (380 V) (0 V) V V + - d v B = 2q e m e [V(A) V(B)] = 2$( 1,6$10 = 19 ) 9,1$10 $( 190) =8,17$10 6 m 31 s Nótese que el potencial eléctico en A es meno que el potencial eléctico en B. m (A) = m (C) 0 +q e V(A) = 1 2 m ev 2 C +q e V(C) ; 1 2 m ev 2 C =q e [V(C) V(B)] v C = 2q e m e [V(A) V(C)] = 2$( 1,6$10 19 ) 9,1$10 31 $( 380) =11,6$10 6 m s ste apatado también puede esolvese po dinámica, ya que la aceleación es constante y el movimiento ectilíneo y unifomemente aceleado. Tomando todas las magnitudes positivas hacia la izquieda, la aceleación vale: a = qe m e =1,34$10 15 m s. n este tipo de movimiento 2 se cumple que: v 2 B =2$a$ d 2 =2$1,34$1015 $0,025 =6,68$10 13 ; v B =8,17$10 6 m s ; de foma análoga, v 2 C =2$a$d =2$1,34$10 15 $0,05 =1,34$10 14 ; v C =11,6$10 6 m s. {Página 6}
[b] La ecuación de la velocidad se obtiene al derivar la elongación con respecto al tiempo: v(t) = dx
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