Interacción gravitatoria

Transcripción

1 Capítulo 1 Inteacción gavitatoia 1.1. Conceptos pevios. Ley de Gavitación Univesal: La fueza con que se ataen dos masas viene expesada po: GMm F = donde u es un vecto unitaio adial. En el caso de quee calcula la fueza que una masa situada en (a,b), ejece sobe ota situada en (c,d), esulta cómodo hace: F = F u u Donde u se calcula de la foma: Como puede vese en el siguiente dibujo: u = (c a) i +(d b) j ( (c a) +(d b) ) (c,d) (a,b) F u Cuando queemos conoce la fueza que vaias masas puntuales ejecen sobe ota, no tendemos más que halla cada uno de los vectoes fueza que las otas masas ejecen sobe la que consideamos, y suma dichos vectoes. Intensidad de campo gavitatoio: La intensidad de campo gavitatoio viene dada po la expesión: GM g = u 3

2 4 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA Po lo que lo que, de foma simila al apatado anteio, podemos pone que: g = g u Siendo de aplicación lo que se ha mencionado anteiomente aceca del vecto unitaio y de la intensidad de campo gavitatoio ceado po vaias masas en un punto. Enegía potencial gavitatoia y potencial gavitatoio en un punto: La enegía potencial gavitatoia se define como el tabajo necesaio paa desplaza una masa desde el infinito hasta el punto que consideamos. Se obtiene a pati de la expesión: W = GMm u d = GMm Como podemos ve, la enegía potencial gavitatoia es una magnitud escala, po lo que la enegía potencial de una masa debida a la pesencia de otas, seá la suma algebaica de las enegías potenciales debidas a cada una de ellas. Lo dicho anteiomente es válido cuando hablamos de potencial gavitatoio, con la única salvedad de que la masa m tendá el valo unidad. Tecea ley de Keple: El cuadado del peiodo de evolución de un planeta alededo del Sol (y, po extensión, el peiodo de otación de un cuepo especto a oto), es diectamente popocional al cubo de la distancia media ente ambos, lo que se puede expesa como: T = 4π 3 GM,siendo M la masa del cuepo especto al que se descibe la óbita Velocidad de una óbita: Teniendo en cuenta que el módulo de la fueza de atacción gavitatoia de un cuepo sobe oto que gia especto a él, puede expesase en la foma: GMm = ma = mv Podemos despeja v, quedando: GM v = Velocidad de escape: Es la velocidad mínima que debe se suministada a un cuepo paa que escape a la atacción gavitatoia de un planeta. Teniendo en cuenta que en la supeficie de dicho planeta, la enegía potencial del cuepo es GMm, y que en el infinito, tanto la enegía cinética como la potencial son nulas, tendemos, en aplicación del Pincipio de Consevación de la Enegía: GMm + 1 mv e = 0 De donde, despejando, obtenemos: GM v e =

3 1.. PROBLEMAS RESUELTOS. 5 Enegía de una óbita: La enegía de una óbita, suma de las enegías cinética y potencial es: E = GMm + 1 mv Sustituyendo la velocidad po la expesión obtenida antes, v = E = GMm + GMm = GMm GM, tendemos: De aquí podemos compoba que el valo de la enegía cinética es la mitad del valo absoluto de la enegía potencial. 1.. Poblemas esueltos. 1.- Un satélite de 1000 kg de masa gia alededo de la Tiea con un peiodo de 1 hoas. (Datos: G = 6, en unidades S.I; masa de la Tiea = 5, kg). Calcula 1.a.- El adio de gio. 1.b.- La velocidad del satélite. 1.c.- Su enegía total. 1.a.- El adio de gio puede obtenese a pati de la tecea ley de Keple: Despejando nos queda: T = 4π 3 GM GMT 6, , (1 3600) = 3 = 3 4π 4π =, m 1.b.- La velocidad del satélite se obtiene a pati de la igualdad: GMm De lo anteio se deduce que: = mv v = GM GM v = = 3870, 88m/s

4 6 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA 1.c.- La enegía total es la suma de las enegías cinética y potencial: Po tanto: E = GMm + 1 mv = GMm GMm + GMm = 7, J = GMm.- La Luna posee una masa de 7,35 10 kg y un adio de 1, m. Un satélite de 5000 kg de masa gia a su alededo a lo lago de una cicunfeencia con adio igual a cinco veces el adio de la Luna. (Dato: G = 6, en unidades S.I). Calcula:.a.- El peiodo de gio del satélite..b.- La enegía total del satélite..c.- La velocidad de escape de la Luna..a.- El peiodo de gio viene dado po la ecuación: T = 4π 3 4π (5 1, ) 3 po lo que T = = 780,5s GM 6, ,35 10.b.- La enegía total del satélite viene dada po la expesión??: E = GMm = 6, , , = 1, J.c.- La velocidad de escape se obtiene a pati de la igualdad: GMm + 1 mv = 0 Puesto que la suma de las enegías cinética y potencial en el infinito es igual a ceo. De aquí se deduce: GM v = Sustituyendo, nos queda: 6, ,35 10 v = = 373,81m/s 1,

5 1.. PROBLEMAS RESUELTOS Un satélite de 000 kg de masa gia alededo de la Tiea en una óbita cicula de 7000 km de adio. (Datos: G = 6, en unidades S.I; adio de la Tiea = 6370 km; masa de la Tiea =5, kg). Calcula los siguientes paámetos del satélite: 3.a.- El módulo de su aceleación. 3.b.- El peiodo de gio. 3.c.- Su enegía cinética y potencial. 3.a.- Elmódulodelaaceleaciónes: g = GM = 6, , = 8,14m/s ( ) 4π ( ) 3 ) 3.b.- Aplicando la tecea ley de Keple: T = = 586,58 s 6, , c.- La enegía potencial es: U = GMm = 6, , = 1, J En la expesión de la enegía cinética, 1 mv, si sustituimos la velocidad po la GM expesión:v=, nos quedaá: E c = GMm = 6, , , = 5, Dos masas puntuales de 10 kg cada una se encuentan en los puntos (0,0,0) y (4,0,0) m.(dato: G = 6, en unidades S.I). Calcula: 4.a.- El módulo de la fueza gavitatoia ente ambas patículas. 4.b.- El campo gavitatoio poducido po ambas patículas en el punto (1,0,0). 4.c.- La enegía potencial gavitatoia de una de las masas debida a la pesencia de la ota. 4.a.- Como puede vese en el dibujo,sobe cada una de las masas se ejece una fueza F, ambas iguales y de sentidos opuestos. F F

6 8 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA El módulo de cada una de estas fuezas es: F = Gmm = 6, = 4, N 4.b.- El campo gavitatoio en el punto (1,0,0) seá la esultante de los dos vectoes intensidad de campo, g 1 y g g1 g Siendo g 1 = g 1 i y g = g i, como puede vese en la epesentación gáfica. Sustituyendo valoes, tendemos: g 1 = 6, = 6, N/kg g = 6, = 7, N/kg Con lo que tendemos: g = g 1 + g = 5, i N/kg 4.c.- La enegía potencial de una masa debida a la ota, seá: U = Gmm = 1, J 5.- En la supeficie de un planeta de 1000 km de adio, la aceleación de la gavedad es de m/s. Calcula: 5.a.- La enegía potencial gavitatoia de un objeto de 50 kg de masa situado en la supeficie del planeta. 5.b.- La velocidad de escape de la supeficie del planeta. 5.c.- La masa del planeta, sabiendo que G = 6, en unidades S.I. 5.a.- La enegía potencial es : U = GMm. Puesto que no se conoce el valo de G ni el de M, calculamos el valo de GM a pati de la expesión: = GM (10 6 ) GM = 10 1 en unidades del S.I. A pati de este esultado, tendemos: U = = 10 8 J

7 1.. PROBLEMAS RESUELTOS. 9 GM b.- Aplicando la ecuación: v = tendemos: v = = 000 m/s c.- Conocido el valo de G y el de GM, despejamos la masa: M = 101 = , Un satélite de 1000 kg de masa gia en óbita geoestacionaia, es deci, de foma que su vetical pasa siempe po el mismo punto de la supeficie teeste (Dato: t = 6370 km). Calcula: 6.a.- Su velocidad angula. 6.b.- Su enegía 6.c.- Si, po los motivos que fuea, pediea el 10%de su enegía, cuál seía su nuevo adio de gio? 6.a.- El peiodo del satélite es el mismo que el de la Tiea, de foma que: ω = π = 7, ad/s 6.b.- Paa calcula la enegía, es peciso conoce el adio de la óbita y el valo de GM. Paa calcula este último, tenemos en cuenta que: 9,8 = GM GM = 9,8(6, ) = 3, en unidades del S.I. El adio de la óbita se calcula a pati de la tecea ley de Keple: T = 4π 3 GM de donde : = 3 3, π Según lo anteio, la enegía seá: = 4, 10 7 m U = GMm = 3, , 10 7 = 4, J

8 10 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA 6.c.- Teniendo en cuenta que la enegía tiene valo negativo, una pédida del 10% significa que el nuevo valo de la enegía seá: U + 10U 100 = 1,1U = 5, J Según esto, el nuevo adio se obtendá de la igualdad: Con lo que: 3, = 5, = 3, , = 3, m 7.- Tenemos cuato patículas iguales, de kg de masa cada una, en los vétices de un cuadado de m de lado ((G = 6, en unidades del S.I.). Detemina 7.a.- El campo gavitatoio en el cento del cuadado. 7.b.- El módulo de la fueza gavitatoia que expeimenta cada patícula debido a la pesencia de las otas tes. 7.c.- La enegía potencial gavitatoia de una patícula debida a las otas tes. 7.a.- Po azones de simetía, y como puede vese en la siguiente epesentación gáfica, la intensidad de campo en el cento del cuadado es ceo. 7.b.- La epesentación gáfica de las fuezas que las tes masas estantes ejecen sobe una de ellas seá la siguiente: F 1 F 3 F

9 1.. PROBLEMAS RESUELTOS. 11 Con lo cual, tendemos que F = F 1 + F + F 3 La fueza esultante puede se expesada como: F = F1 u 1 + F u + F 3 u 3 siendo: F 1 = F = 6, = 6, N 4 F 3 = 6, = 3, De la epesentación gáfica se deduce que: Mientas que u 3 se halla de la foma: De todo esto, obtenemos: u1 = i ; u = j u3 = (0 ) i +(0 ) j + = i j F = 6, i 6, j +3, ( F = 4, i 4, j F = 6, N ) i + j 7.c.- La enegía potencial seá la suma de tes sumandos, quedando de la foma: U = 6, , , La Luna se encuenta a 3, m de la Tiea. La masa de la Luna es de 7,35 10 kg y la de la Tiea 5, kg (G = 6, en unidades del S.I.)Calcula: 8.a.- La enegía potencial gavitatoia de la Luna debida a la pesencia de la Tiea. 8.b.- A qué distancia de la Tiea se cancelan las fuezas gavitatoias de la Luna y de la Tiea sobe un objeto allí situado. 8.c.- El peiodo de gio de la Luna alededo de la Tiea. 8.a.- La enegía potencial seá: U = GMm = 6, , , , = 7, J

10 1 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA 8.b.- Como puede vese en la gáfica, existe un punto P donde se cancelan las fuezas gavitatoias debidas a la Tiea y a la Luna. En dicho punto, la esultante de ambas fuezas es ceo. x -x F T P F L Según lo anteiomente expuesto, en el punto P se cumpliá que: GM T m x = GM Lm de donde se deduce: ( x) ( ) x = M L x M T x = ML M T x y x = ( 1+ ML M T ) = 3, m 8.c.- El peiodo se obtendá aplicando la tecea ley de Keple: 4 π (3, ) 3 T = 6, ,98 10 = 4, s 9.- El planeta Júpite posee un adio 11 veces mayo que el de la Tiea y una masa 318 veces mayo que la de ésta. Calcule: 9.a.- El peso en Júpite de un astonauta que en la Tiea pesa 800 N. 9.b.- La masa del astonauta en Júpite 9.c.- La elación ente las velocidades de escape desde la supeficie de Júpite y desde la de la Tiea. 9.a.- La masa del astonauta es: m = 800 = 81,63 kg. El peso de éste en Júpite 9,8 seá: P = GM Jm = G 318M Tm J (11 T ) Todo esto se puede pone como: GM T T ,63 11 = 9, ,63 11 = 10,41 N

11 1.. PROBLEMAS RESUELTOS b.- La masa del astonauta es invaiable, po lo que en la supeficie de Júpite tendá el mismo valo que en la Tiea, es deci, 81,63 kg 9.c.- La elación ente las velocidades de escape es: G 318MT v J v T = 11 T GMT T = = 5, Unsatélite de5000kgdemasagiaconunadiode30000kmalededo deunplaneta cuya masa es de, 10 4 kg (Dato: G = 6, en unidades S.I.). Calcule: 10.a.- El peiodo de gio. 10.b.- La velocidad del satélite. 10.c.- Enegía que se necesita paa escapa de la atacción gavitatoia del planeta. 10.a.- El peiodo de calcula de la foma: 4π 3 T = GM = 4π ( ) 3 = 859 s 6, , 104 GM 6, , b.- La velocidad es: v = = = 11,64 m/s c.- La enegía que posee el satélite es E = GMm, puesto que está descibiendo una óbita. A esta enegía debemos sumale una cantidad E, paa que el satélite escape a la atacción gavitatoia del planeta. Aplicando el Pincipio de Consevación de la Enegía, tendemos: GMm +E = 0 Puesto que el satélite escapaá de la atacción gavitatoia a una distancia infinita, siendo entonces ceo tanto la enegía cinética como la potencial. Según esto: E = GMm = 6, , =, J 11.- La aceleación de la gavedad en la supeficie de Mate es de 3,7m/s. El adio de la Tiea es de 6378 km y la masa de Mate es un 11% de la de la Tiea. Calcule:

12 14 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA 11.a.- El adio de Mate. 11.b.- La velocidad de escape desde la supeficie de Mate. 11.c.- El peso en dicha supeficie de un astonauta de 80 kg de masa. 11.a.- Laaceleacióndelagavedadseá:3,7 = GM M.Puestoque:9,8 = despejamos GM T = 3, en unidades del S.I. Po lo tanto: 3,7 = 0,11 3, , de donde: M = 11.b.- La velocidad de escape es: M M 0,11 3, GM 3,7 = = 3, m 0,11 3, GM T (6, ), 3, = 5038,80 m/s 11.c.- El peso viene dado po: GMm = 0,11 3, (3, ) = 95, N 1.- Un satélite de 4000 kg de masa gia en una óbita geoestacionaia (es deci, la vetical del satélite siempe pasa po el mismo punto de la supeficie teeste) (Dato: adio de la Tiea = 6370 km). Calcule: 1.a.- El módulo de la velocidad del satélite. 1.b.- El módulo de su aceleación. 1.c.- Su enegía total. 1.a.- El módulo de la velocidad del satélite seá: GM g =. El valo de GM lo calculamos de: 9,8 = GM (6, ) GM = 3, en unidades S.I. Mientas que se calcula a pati de la igualdad: = 4π 3 3, = 3, (86400) 4π = 4, 10 7 m

13 1.. PROBLEMAS RESUELTOS. 15 (El peiodo del satélite en una óbita geoestacionaia es el mismo que el de otación de la Tiea especto a su eje). Así pues: v = 3, = 3067,18 m/s 4, b.- El módulo de la aceleación es g = GM = 3, = 0,3 (4, 10 7 m/s ) 1.c.- Su enegía total es: E = GMm = 3, , 10 7 = 1, J 13.- Suponga que la óbita de la Tiea alededo del Sol es cicula, con un adio de 1, m. (Dato: G = 6, N m kg ). Calcule: 13.a.- La velocidad angula de la Tiea en su movimiento alededo del Sol. 13.b.- La masa del Sol. 13.c.- El módulo de la aceleación lineal de la Tiea. 13.a.- Puesto que ω = π T y T=365 días (3, s), tendemos: ω = π 3, = 1, ad/s 13.b.- Aplicando la tecea ley de Keple: (3, ) = 4π (1, ) 3 6, de donde : M = 4π (1, ) 3 6, (3, ) =, kg 13.c.- El módulo de la aceleación lineal seá nulo, puesto que el movimiento se ha supuesto cicula unifome La masa de Venus, su adio y el adio de su óbita alededo del Sol, efeidos a las magnitudes espectivas de la Tiea valen, espectivamente, 0.808, y Calcule: 14.a.- La duación de un año en Venus. 14.b.- El valo de la gavedad en la supeficie de Venus.

14 16 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA 14.c.- La velocidad de escape de un cuepo en Venus en elación a la que tiene en la Tiea. 14.a.- Aplicando la tecea ley de Keple, se obtiene: T v = 4π 3 v GM y T t = 4π 3 t GM Dividiendo miembo a miembo ambas expesiones nos queda: ( ) ( ) 3 Tv v = = 0,983 3 T t t Po tanto, tendemos que: T v = 0,983 3 = 0,974 años 14.b.- La aceleación de la gavedad en la supeficie de Venus viene dada po: g v = GM v v Sabiendo que la aceleación de la gavedad en la supeficie de la Tiea es: 9,8 = GM t t dividiendo miembo a miembo, tendemos: g v 9,8 = G 0,808M t (0,983 t ) GM t t = 0,808 0,983 Finalmente: g v = 9,8 0,808 = 8,19 m/s 0,983 Gm 14.c.- Utilizando la ecuación v =, y dividiendo miembo a miembo, tendemos: GMv v v v t = v GMt = mv t 0,808 = m t v 0,983 = 0,907 t 15.- La nave espacial Cassini-Huygens se encuenta obitando alededo de Satuno en una misión paa estudia este planeta y su entono. La misión llegó a Satuno en el veano de 004 y concluiá en 008 después de que la nave complete un total de 74 óbitas de fomas difeentes. La masa de satuno es de 5684, kg y la masa de la nave es de 6000 kg (Dato: G=6, m 3 kg 1 s

15 1.. PROBLEMAS RESUELTOS a.- Si la nave se encuenta en una óbita elíptica cuyo peiasto (punto de la óbita más cecano al asto) está a km de Satuno y cuyo apoasto (punto más alejado) está a km, calcule la velocidad obital de la nave cuando pasa po el apoasto (Utilice el pincipio de consevación de la enegía y la segunda ley de Keple). 15.b.- Calcule la enegía que hay que popociona a la nave paa que salte de una óbita cicula de 4,5 millones de km de adio a ota óbita cicula de 5 millones de km de adio. 15.c.- Cuando la nave pasa a 170 km de la supeficie de Titán (la luna más gande de satuno, con un adio de 575 km y kg de masa), se libea de ella la sonda Huygens. Calcule la aceleación a que se ve sometida la sonda en el punto en que se despende de la nave y empieza a cae hacia Titán. (Considee sólo la influencia gavitatoia de Titán) 15.a.- A pati del pincipio de consevación de la enegía y de la segunda ley de Keple, podemos pone: GMm + 1 mv 1 = GMm + 1 mv 1 1 v 1 = v Sustituyendo los valoes numéicos: 6, , , v 1 = 6, , , v 4, v 1 = 9, v que, al se esuelto nos da v = 658,75 m/s 15.b.- Cuando la nave se encuenta en una óbita cicula de 4,5 millones de kilómetos de adio, su enegía total seá: E 1 = 6, , , mientas que, a una distancia de 5 millones de kilómetos, su enegía seá: E = 6, , Po todo ello, tendemos: 6, , E = 6, , , siendo E la enegía que hay que suminista. Resolviendo la ecuación, obtenemos E = 5, J

16 18 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA 15.c.- La aceleación a que se ve sometida la sonda, seá: a = GM = 6, , = 0,606 (, , m/s ) 16.- LasondaHuygenssedejócaeenTitán(lalunamásgandedeSatuno)paaestudia este satélite y su atmósfea. En su descenso la sonda envía ondas de adio de 040 MHz de fecuencia y 10 W de potencia. Debido al fuete viento en la atmósfea de Titán, la sonda en su movimiento de caída se desplaza latealmente a 100 m/s en sentido contaio al de emisión de la señal. (Dato: Satuno está a unos 100 millones de km de la Tiea.) Calcule: 16.a.- El númeo de longitudes de onda, de la señal que emite la sonda, que caben en la distancia que existe ente Satuno y la Tiea. 16.b.- La difeencia de fecuencia especto a la eal cuando ecibe la señal un obsevado en eposo del que se aleja la sonda. 16.c.- La intensidad de la señal cuando llega a la Tiea. 16.a.- La longitud de onda de la adiación es: λ = v ν = 3 108, = 0,147 m El númeo de longitudes de onda que cabá en la distancia ente Satuno y la Tiea es: n = 1, 101 = 8, , b.- Al desplazase la fuente de la adiación especto al obsevado, se poduciá el efecto Dopple, con lo que la adiación pecibida po el obsevado seá: La vaiación en la fecuencia seá: ν o = (, ) = Hz ν =, = 680 Hz 16.c.- La intensidad de la señal al llega a la Tiea seá: I = P S = 10 4π(1, 10 1 ) = 5, W/m

17 1.. PROBLEMAS RESUELTOS Desde la supeficie de la Tiea se lanza un poyectil en diección vetical con una velocidad de 1000 m/s. (Datos: Radio de la Tiea = 6378 km, masa de la Tiea =5, kg, G = 6, m 3 kg 1 s.) Detemine: 17.a.- La altua máxima que alcanza el poyectil. (Despecie el ozamiento con el aie.) 17.b.- El valo de la gavedad teeste a dicha altua máxima. 17.c.- La velocidad del poyectil cuando se encuenta a la mitad del ascenso. 17.a.- Aplicando el pincipio de consevación de la enegía, tendemos: GMm T + 1 mv = GMm po lo cual: 6, , , = 6, , de donde, despejando: = 6, m 17.b.- La aceleación de la gavedad en este punto seá: g = GM (6, ) g = 6, , (6, ) = 9,64m/s 17.c.- La mitad del ascenso coespondeá a una distancia del cento de la Tiea: = 6, , , = 6, Aplicando nuevamente el pincipio de consevación de la enegía: GMm T + 1 mv 1 = GMm + 1 mv 6, , , = 6, , , v Despejando, obtenemos: v = 701,56 m/s

18 0 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA 18.- La distancia media ente la Luna y la Tiea es de 3, m, y la distancia media ente la Tiea y el Sol es de m. Las masas valen 1, , 5, y 7,35 10 kg paa el Sol, la Tiea y la Luna, espectivamente. Consideamos las óbitas ciculaes y los astos puntuales. 18.a.- Calcule el módulo del campo gavitatoio que cea la Tiea en la Luna. 18.b.- Cuántas veces más ápido gia la Tiea alededo del Sol que la Luna alededo de la Tiea? 18.c.- En el alineamiento de los tes astos que coesponde a la posición de un eclipse de Sol, calcule la fueza neta que expeimenta la Luna debido a la acción gavitatoia del Sol y de la Tiea. Indique el sentido (signo de dicha fueza). Dato: G=6, N m /kg 18.a.- El módulo del campo gavitatoio ceado po la Tiea en la Luna seá: g = GM T TL = 6, , (3, ) =, m/s 18.b.- El peiodo de otación de la Luna alededo de la Tiea seá: 4π TL 3 T L = GM T Mientas que el peiodo de otación de la Tiea alededo del Sol es: 4π ST 3 T T = GM S Al dividi miembo a miembo, tendemos: 4π ST 3 T T GM = S M T ST 3 5, ( ) 3 T L 4π TL 3 = = M s TL 3 1, (3, ) = 13,31 3 GM T 18.c.- Cuando se poduce un eclipse de Sol, la Luna se encuenta ente éste y la Tiea, po lo que TL = 3, m y SL = ST TL = , = 1, m El módulo de la fueza seá: F = GM SM L SL GM TM L TL =, N La fueza esultante se diigiá hacia el Sol, puesto que la atacción gavitatoia de éste sobe la Luna es mayo que la de la Tiea sobe aquella.

19 1.. PROBLEMAS RESUELTOS El satélite Hispasat se encuenta en una óbita situada a km de la supeficie teeste. La masa de la Tiea es de kg y su adio de 6380 km. 19.a.- Calcule el valo de la gavedad teeste en la posición donde está el satélite. 19.b.- Demueste que la óbita es geoestacionaia. 19.c.- El satélite actúa como epetido que ecibe las ondas electomagnéticas que le llegan de la Tiea y las eemite.calcule cuánto tiempo tada una onda en egesa desde que es emitida en la supeficie teeste. Dato: G=6, N m /kg 19.a.- El adio de gio seá la suma de la distancia a la supeficie de la Tiea y el adio de la misma, es deci, = 3, , = 4, m. El módulo de la aceleación de la gavedad seá: g = GM = 6, , (4, ) = 0, m/s 19.b.- Paa que la óbita sea geoestacionaia, el peiodo debe se igual al peiodo de otación teeste, es deci, s. Aplicando la tecea ley de Keple: 4π 3 T = GM = 4π (4, ) 3 = s 6, , La óbita es apoximadamente geoestacionaia. 19.c.- El tiempo invetido seá el cociente ente la distancia y la velocidad, en este caso la de la luz: t = 3, = 0,4 s 0.- La astonauta Sunita Williams paticipó desde el espacio en la maatón de Boston de 007 ecoiendo la distancia de la pueba en una cinta de coe dento de la Estación Espacial Intenacional. Sunita completó la maatón en 4 hoas, 3 minutos y 46 segundos. La Estación Espacial obitaba, el día de la caea, a 338 km sobe la supeficie de la Tiea. Calcule: 0.a.- El valo de la gavedad teeste en la Estación Espacial. 0.b.- La enegía potencial y la enegía total de Sunita sabiendo que su masa es de 45 kg. 0.c.- Cuántas vueltas a la Tiea dio la astonauta mientas estuvo coiendo?

20 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA Datos: G = 6, Nm /kg, masa de la Tiea = 5, kg, adio teeste = 6371 km. 0.a.- La aceleación de la gavedad en la estación espacial es: g = GM = 6, , = 8,85 (6, , m/s ) 0.b.- La enegía potencial es: U = GMm = 6, , , , =, J mientas que la enegía cinética tiene el valo: E c = GMm = 6, , (6, , ) = 1, J La enegía total, E=E c +U valdá: E =, , = 1, J 0.c.- La velocidad de la nave es: GM 6,67 10 v = = 11 5, , ,38 10 = 5 7, m/s El peímeto de la Tiea es π = m, mientas que el tiempo invetido po la astonauta, expesado en segundos es De esta foma, el númeo de vueltas seá: n = 7, = 3,04 vueltas Sabiendo que la Luna tiene una masa de 7,35 10 kg y que el campo gavitatoio en su supeficie es la sexta pate que en la supeficie teeste, calcule: 1.a.- El adio de la Luna. 1.b.- La longitud de un péndulo en la Luna paa que tenga el mismo peíodo que oto péndulo situado en la Tiea y cuya longitud es de 60 cm. 1.c.- El momento angula de la Luna especto a la Tiea. Dato: G = 6, N m /kg, distancia Luna-Tiea = 3, m.

21 1.. PROBLEMAS RESUELTOS. 3 1.a.- Teniendo en cuenta el valo de la aceleación de la gavedad en la supeficie teeste (9,8 m/s, podemos pone que: g L = 9,8 6 = GM L L = 6, ,35 10 L de donde, despejando, se obtiene: 6,67 10 L = 11 7, = 1, m 9,8 1.b.- El peiodo de un péndulo viene dado po la expesión: l T = π g 0,6 El peiodo del péndulo en la Tiea seá T = π = 1,55s, po lo cual: 9,8 l 1,55 = π 9,8/6 obteniéndose así l =0,1 m 1.c.- El módulo del momento angula de la Luna especto a la Tiea seá L = mv sen90 o. La velocidad de la óbita de la Luna se puede obtene conociendo su peiodo de otación alededo de la Tiea (8 días). Aplicando la tecea ley de Keple, tendemos: ( ) = 4π (3, ) 3 GM de donde se obtiene el valo de GM, 3, La velocidad de la óbita seá: GM 3,84 10 ( ) v = = 14 3,84 10 = m/s po lo que, sustituyendo, tendemos: L = 3, , =, kg m s 1 Cabe destaca de este apatado que es necesaio conoce el peiodo de evolución de la Luna alededo de la Tiea, o la masa de ésta última, pues en la expesión de la velocidad ( ), la masa que apaece es la de la Tiea (cuepo especto al cual se descibe la óbita)

22 4 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA.- La masa de la Luna es de 7, kg y la de la Tiea de 5, kg. La distancia media de la Tiea a la Luna es de 3, m. Calcule:.a.- El peíodo de gio de la Luna alededo de la Tiea..b.- La enegía cinética de la Luna..c.- A qué distancia de la Tiea se cancela la fueza neta ejecida po la Luna y la Tiea sobe un cuepo allí situado. Dato: G=6, enunidadess.i..a.- Ve poblema 8, apatado c..b.- La enegía cinética seá:. E c = GMm.c.- Ve poblema 8, apatado b. = 6, , , , = 3, J 3.- Los cuato satélites de Júpite descubietos po Galileo son: Ío (adio = 18 km, masa = 8,9 10 kg, adio obital medio = 41600km), Euopa, Ganímedes ycalisto (adio = 411 km, masa = 10,8 10 kg). 3.a.- Calcule la velocidad de escape en la supeficie de Calisto. 3.b.- Obtenga los adios medios de las óbitas de Euopa y Ganímedes, sabiendo que el peíodo obital de Euopa es el doble que el de Ío y que el peíodo de Ganímedes es el doble que el de Euopa. 3.c.- Sean dos puntos en la supeficie de Ío: uno en la caa que mia a Júpite y oto en la caa opuesta. Calcule el campo gavitatoio total (es deci: el ceado po la masa de Ío más el poducido po la atacción de Júpite) en cada uno de esos dos puntos. Datos: masa de Júpite = 1, kg, G = 6, N m /kg 3.a.- La velocidad de escape viene expesada po: GM 6,67 10 v e = = 11 10,8 10 = 444,5 m/s, b.- T E T I = = 4π 3 E /GM J 4π 3 I /GM J = ( E I ) 3 E = /3 I = 4, /3 = 6, m TG TE = = 4π 3 G /GM J 4π 3 G /GM J = ( G E ) 3 E = /3 I = 6, /3 = 1, m

23 1.. PROBLEMAS RESUELTOS. 5 3.c.- El módulo del campo gavitatoio de Ío es: g I = GM I I = 6, ,9 10 (1, ) = 1,79 N/Kg El módulo del campo ceado po Júpite en los dos puntos extemos de Ío seá: En el punto A más cecano g J A = 6, , = 0,719 N/Kg (4, , ) En el punto A más lejano g J A = 6, , = 0,707 N/Kg (4, , ) Así pues, el módulo del campo gavitatoio total seá: g A (en el punto más cecano) = 1,79 0,719 = 1,071 N/Kg g B (en el punto más lejano) = 1,79+0,719 =,497 N/Kg 4.- Plutón tiene una masa de 1,9 10 kg, un adio de 1151 km y el adio medio de su óbita alededo del Sol es de 5, km. 4.a.- Calcule g en la supeficie de Plutón. 4.b.- Su satélite Caonte tiene una masa de 1, kg y está a kilómetos de él. Obtenga la fueza de atacción gavitatoia ente Plutón y Caonte. 4.c.- Calcule cuántos años tada Plutón en completa una vuelta alededo del Sol. Datos: masa del Sol = 1, kg, G = 6, N m /kg 4.a.- El valo de g viene dado po la expesión: g = GM = 6, ,9 10 (1, ) = 0,649 m/s 4.b.- La fueza de atacción gavitatoia ente Plutón y Caonte seá: F = 6, ,9 10 1, (1, ) = 3, N 4.c.- Aplicando la tgecea ley de Keple: 4π T = 3 GM = 4π (5, ) 3 6, ,98 10 = 30 7, s que equivale a 48,45 años

24 6 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA 5.- El adio del Sol es de km y su masa vale 1, kg. 5.a.- Halla el valo de la gavedad en la supeficie sola. 5.b.- Si el adio de la óbita de Neptuno alededo del Sol es 30 veces mayo que el de la óbita teeste, cuál es el peíodo obital de Neptuno, en años? 5.c.- Si el Sol se contajese paa convetise en un agujeo nego, detemina el adio máximo que debeía tene paa que la luz no pudiea escapa de él. Dato: G = 6, N m Kg 5.a.- La aceleación de la gavedad seá: g = GM = 6, , (6, ) = 74 m/s 5.b.- Teniendo en cuenta que el peiodo de otación de la Tiea alededo del Sol es de un año (3, s), podemos pone: (3, ) = 4π 3 GM S T = 4π (30) 3 GM S con lo que, dividiendo miembo a miembo, tendemos: siendo el peiodo: ( 3, T ) = T = (3, ) 30 3 = 5, s que equivale a 165,33 años 5.c.- Paa que la luz no escape de un agujeo nego, la velocidad de escape debeá igualase a c, es deci: GM c = despejando el adio: = GM c = 6, , = 949,6 m

25 1.. PROBLEMAS RESUELTOS Un avión de pasajeos vuela a 8 km de altua a una velocidad de 900 km/h. La masa total del avión, contando combustible, equipaje y pasajeos, es de kg. Calcula: 6.a.- La enegía mecánica del avión. 6.b.- El valo de la gavedad teeste en el avión. 6.c.- La fueza gavitatoia que ejece el avión sobe la Tiea. Dato: adio medio de la Tiea = 6371 km 6.a.- La enegía mecánica del avión seá la suma de sus enegía cinética y potencial, siendo: E c = 1 mv = = 9, J Paa calcula la enegía potencial, cuya expesión es U = -GMm/, necesitamos conoce el valo de GM, el cual podemos calcula conociendo el valo de la aceleación de la gavedad en la supeficie de la Tiea: 9,8 = A pati de este valo, tendemos que: GM GM = (6, , ) U = GMm = 3, (6, ) = 1, J La enegía mecánica seá: E = E c +U = 9, , = 1, J 6.b.- El valo de g seá: g = GM = 3, = 9,78 (6, m/s ) 6.c.- La fueza gavitatoia seá: F = GMm = mg = ,78 =, N 7.- De un antiguo satélite quedó como basua espacial un tonillo de 50 g de masa en una óbita a 1000 km de altua alededo de la Tiea. Calcula:

26 8 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA 7.a.- El módulo de la fueza con que se ataen la Tiea y el tonillo. 7.b.- Cada cuántas hoas pasa el tonillo po el mismo punto. 7.c.- A qué velocidad, expesada en Km/h, debe i un coche de 1000 Kg de masa paa que tenga la misma enegía cinética del tonillo. Datos: G = 6, N m /Kg, masa de la Tiea = 5, Kg; adio teeste = 6371 Kg 7.a.- El módulo de la fueza seá: F = GMm = 6, , (6, ) = 0,366 N 7.b.- El tiempo pedido es el peiodo. Aplicando la tecea ley de Keple: 4π 3 T = GM = 4π (6, ) 3 5, , = 687 s (1,75hoas) 11 7.c.- La enegía cinética del tonillo seá: E c = GMm = 6, , (6, ) = 1, J paa el coche, tendemos: 1, = v de donde obtenemos v = 5 m/s 8.- Un escalado de 70 kg de masa asciende a la cima del Eveest, cuya altua es de 8848 m. Calcula: 8.a.- El peso del escalado en la supeficie teeste a nivel del ma. 8.b.- El valo de la gavedad en lo alto del Eveest. 8.c.- El momento angula del escalado especto al cento de la Tiea, consideando que el escalado ota con la Tiea. Datos: G =6, N m /kg, masa de la Tiea = 5, kg, adio teeste = 6371 km.

27 1.. PROBLEMAS RESUELTOS. 9 8.a.- El peso del escalado seá: mg = GMm = 6, , (6, ) = 686,73 N 8.b.- La aceleación de la gavedad en lo alto del Eveest vendá dada po: g = GM = 6, , = 9,78 (6, , m/s ) 8.c.- L = mv = m ω, siendo ω = π. Suponiendo el escalado en la cima del Eveest, = 6, , m, po lo cual: L = 70 π (6, , ) =, kg m s 9.- El 5 de mayo de 01 hubo una supeluna : la Luna estuvo a sólo km de la Tiea, la meno distancia del año en su óbita elíptica. (Toma los astos como masas puntuales). 9.a.- Calcula la fueza con que se ataían la Tiea y la Luna el 5 de mayo. 9.b.- Considea en este apatado que la óbita de la Luna es cicula, con un adio medio de km. Calcula el peiodo obital de la Luna alededo de la Tiea. 9.c.- El 19 de mayo la Luna se situó a km. Calcula la difeencia ente el valo de la gavedad ceada po la Luna el 5 de mayo yl el valo del 19 de mayo. 9.a.- El módulo de la fueza viene dado po: F = GMm = 6, , ,55 10 (3, ) =, N 9.b.- Aplicando la tecea Ley de Keple: T = 4π 3 GM = 4π (3, ) 3 6, ,97 10 = 4, s

28 30 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA 9.c.- La aceleación de la gavedad en cada uno de los casos seá: g 1 = 6, ,35 10 (4, ) =, m/s g = 6, ,35 10 (3, ) = 3, m/s siendo la difeencia: g g 1 = 3, , = 8, m/s 30.- Utiliza los datos popocionados paa calcula: 30.a.- La gavedad en la supeficie de la Luna. 30.b.- velocidad de escape de la Tiea. 30.c.- La fueza con que se ataen los dos astos. Datos: G = 6, N m /kg ; masa de la Tiea = 5, kg; masa de la Luna = 7,35 10 kg; adio de la Luna = 1738 km; velocidad de escape de la Luna =,38 km/s; peiodo obital de la Luna =8 días. 30.a.- La gavedad en la supeficie de la Luna seá: g = GM L = 6, ,35 10 (1, ) = 1,6 m/s 30.b.- Sabiendo que la aceleación de la gavedad en la supeficie de la Tiea vale 9,8 m/s, podemos pone: 9,8 = 6, , T obteniéndose un valo de T = 6, m. Con este valo, hallaemos la velocidad de escape de la Tiea: 6, , v e = = 11177,8 m/s 6, c.- Paa calcula la fueza de atacción ente los dos astos, debemos conoce la distancia ente sus centos, que obtenemos aplicando la tecea ley de Keple: T = 4π 3 GM T

29 1.. PROBLEMAS RESUELTOS. 31 Despejando, tendemos: = 3 ( ) 6,67cot , π = 3, m Con lo que, finalmente: F = GMm = 6, , ,35 10 (3, ) = 1, N 31.- La población mundial es de 7000 millones de habitantes. Considea que la masa media de una pesona es de 50 kg. Calcula: 31.a.- El peso del conjunto de todos los habitantes del planeta. 31.b.- La fueza gavitatoia ente dos pesonas distanciadas 1 m. 31.c.- La enegía gavitatoia ente esas dos mismas pesonas. 31.a.- El peso total seá: P = mg = ,8 = 3, N 31.b.- La fueza gavitatoia ente dos pesonas situadas una a 1 m de la ota, seá F = 6, = 1, N 31.c.- La enegía una pesona debido a la ota seá: U = GMm = 6, = 1, J 3.- El ove Cuiosity llegó a Mate el pasado mes de Agosto y todavía se encuenta alli exploando su supeficie. Es un vehículo de la misión Mas Science Laboatoy, un poyecto de la NASA paa estudia la habitabilidad del planeta vecino ( La masa del Cuiosity es de 899 kg, y se encuenta sobe la supeficie de Mate. Calcula: 3.a.- La velocidad de escape de Mate. 3.b.- Cuánto pesa el Cuiosity en la Tiea y en Mate. 3.c.- Cuántos dias teestes deben tanscui paa que el Cuiosity complete una vuelta alededo del Sol.

30 3 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA Datos: G = 6, N m kg ; masa de Mate = 6, kg; adio de Mate = 3396 km; adio obital medio de Mate =, km; masa del Sol = 1, kg 3.a.- La velocidad de escape es: GM 6, , v = = = 501,83 m/s 3, b.- Los espectivos pesos en la Tiea y en Mate son: P (Tiea) = 899 9,8 = 8810, N P (Mate) = GMm = 6, , (3, ) = 3338 N 3.c.- El peiodo seá el mismo que el de Mate. Aplicando la tecea ley de Keple, tendemos: 4π 3 T = GM = 4π (, ) 3 6, , = 30 5, s Que equivalen a: T = 5, = 687,5 días 33.- Un escalado de 70 kg asciende a la cima del Eveest, cuya altua es de 8848 m. Calcula: 33.a.- El peso del escalado en la supeficie teeste. 33.b.- El valo de la gavedad en lo alto del Eveest. 33.c.- El momento angula del escalado especto al cento de la Tiea, consideando que aquel ota con la Tiea. Datos: G = 6, N m /kg 33.a.- El peso seá: P = mg = GMm = 6, , (6, ) = 686,7 N

31 1.. PROBLEMAS RESUELTOS b.- La gavedad en lo alto del Eveest seá: g = GM = 6, , = 9,78 (6, , m/s ) 33.c.- El momento angula del escalado, efeido al cento de la Tiea; seá: L = mv sen 90 o La velocidad seá la de gio de la Tiea, es deci: v = ω = π (6, , ) = 463,96 m/s Po tanto, el momento angula seá: (6, , ) ,96 =, ;kg m s 1