Ejercicios del Campo Gravitatorio

Transcripción

1 Ejecicios del Campo Gavitatoio 1. En tono al planeta P gian los satélites M y N cuyos peíodos de evolución son 3 y 56 días espectivamente. Si el adio de la óbita del satélite M es 1, el de la óbita de N seá: R.: a) 4 b) 8 c) 16 d) 3. Hay satélites atificiales del mismo peíodo que el de la iea 4 hoas, y se emplean en telecomunicación. Puede situase un satélite sincónico en la vetical del luga. po ejemplo, León?. R.: No Conociendo el adio de la óbita de la Luna y el peíodo de su evolución se puede deduci masa de la iea? Razona. R.: Sí CL-S09 a) Qué se entiende po velocidad de escape? b) Si la masa de la iea se cuaduplicaa, manteniendo el adio, cómo se modificaía la velocidad de escape? R.: a) Ve teoía, b) Se duplicaía 5. CLM-J00 Dos satélites de igual masa están en óbitas de adios R y R espectivamente,cuál de los dos tiene más velocidad?.si las masas fuean distintas, influiían GM en sus velocidades? Justifica las espuestas. v = R.:, luego más velocidad el de meno adio. La masa del cuepo que gia no influye en la velocidad, sólo influye la masa del cuepo alededo del cual se gia. 6. Dos satélites de masas m 1 = m y m = 4m desciben sendas tayectoias ciculaes alededo de la iea, de adios R 1 = R y R = R espectivamente. Se pide: a) Cuál de las masas pecisaá más enegía paa escapa de la atacción gavitatoia teeste? b) Cuál de las masas tendá una mayo velocidad de escape?. R.: a) el segundo -necesita el doble-; b) el pimeo 7. Un satélite gia alededo de la iea en una óbita cicula. as pede cieta enegía continúa giando en una óbita cicula cuyo adio es la mitad que el oiginal. Cuál es su nueva enegía cinética (elativa a la enegía cinética inicial)? E R.: Cf = i = E Ci f

2 8. LR-J05 Si suponemos que la inteacción atactiva ente una estella de masa M Mm y un planeta de masa m << M es de la foma, F = K siendo K La constante gavitatoia, cuál seia la elación ente el adio de la óbita cicula 1 = KM del planeta y su peiodo?. R.: π 9. Explica el concepto de enegía potencial gavitatoia. Qué enegía potencial gavitatoia tiene una patícula de masa m situada a una distancia de ota patícula de masa M? 10. Dibuja las líneas de campo gavitatoio ceadas po una masa puntual. Utiliza dicho dibujo paa justifica que la fueza gavitatoia ejecida sobe ota masa es cental. 11. Los astonautas en el inteio de un satélite que está obitando a 00 km de altua sobe la supeficie de la iea expeimenten ingavidez. Po qué? Es despeciable la fueza de gavedad ejecida po la iea sobe los astonautas? 1. Supongamos que la iea, manteniendo su masa, aumentaa su adio medio. Cómo vaiaía la velocidad de escape? R.: Disminuiía Si un cuepo tiene un peso de 100 N sobe la supeficie teeste, calcula su peso en la supeficie de oto planeta cuya masa sea el doble que la de la iea y su adio el tiple que el de la iea. R.: P Planeta =/9 P iea =00/9 N 14. Si la Luna siguiea un óbita cicula en tono a la iea, peo con un adio igual a la cuata pate de su valo actual, cuál seía su peiodo de evolución?. Dato: oma el peiodo actual igual a 8 días. R.: =3,5 días. 15. CA- S04 El gáfico adjunto muesta cómo vaía la enegía potencial gavitatoia de un cuepo de masa kg, en un planeta de adio R = km, con la distancia h a la supeficie del planeta (suponiendo que h es mucho meno que R). Calcule: a) La aceleación de la gavedad en la supeficie del planeta mencionado. b) La masa del planeta. P-15 c) La velocidad de escape en el planeta. Dato: G = 6, N m /kg m /s 447,13 m /s R.: a) ms -, b) 7, kg, c)

3 16. CL-J10FE La Luna tiene una masa M L =7,35x10 kg y un adio, R L =1,74x10 6 m. Detemine: a) La distancia que ecoe en 10 s un cuepo que cae libemente en la poximidad de su supeficie. b) El tabajo necesaio paa levanta un cuepo de 50 kg hasta una altua de 10 m. R.: a) 80,96 m, b) 809,63 J 17. CL-J10FE La distancia media ente la Luna y la iea es,r -L =3,84x10 8 m y la distancia media ente la iea y el Sol es R -S =1496x10 8 m. La Luna tiene una masa, M L =7,35x10 kg y el Sol, M S =1,99x10 30 kg. Considee las óbitas ciculaes y los astos puntuales. a) Compaando la velocidad lineal de los astos en sus óbitas espectivas, detemine cuántas veces más ápido se desplaza la iea alededo del Sol que la Luna alededo de la iea. b) En el alineamiento de los tes astos duante un eclipse de Sol (cuando la posición de la Luna se intepone ente la iea y el Sol), calcule la fueza neta que expeimenta la Luna debido a la acción gavitatoia del Sol y de la iea. Indique el sentido (signo) de dicha fueza. R.: a) 9,, b),35x10 0 N diigida hacia el Sol 18. Estudios aceca del Sol y su galaxia, la Vía láctea, han evelado que el Sol está situado ceca del bode exteio del disco galáctico, apoximadamente a años-luz de su cento. La velocidad obital del Sol alededo del cento de la galaxia es, más o menos, 50 km/s. a) Cuál es el peíodo del sol alededo del cento de la galaxia?. b) Cuál es el oden de magnitud de la masa de la Vía láctea? 1. c) Suponiendo que las estellas de la galaxia tienen una masa media igual a la del Sol, cuál es el oden de magnitud de las estellas de la galaxia? R.: a).10 8 a, b) kg, c) estellas 1 En cálculos apoximados, como cuando se dice "tiene una masa de unos...", se suele expesa la cantidad po su oden de magnitud, paa lo cual se toma po edondeo la potencia de 10 más póxima al númeo, cuando este se expesa con notación científica. Así, una masa de kg decimos que es del oden de magnitud de 10 1 kg

4 19. Detemina la vaiación de la enegía potencial de la Luna, coespondiente a su inteacción gavitatoia con el Sol y la iea, ente las posiciones de eclipse de Sol y el de Luna. Nota: Supónganse ciculaes tanto la óbita de la iea alededo del Sol como la de la Luna alededo de la iea. Datos: Radio de la óbita Luna-iea: 3,8A10 8 m; adio de la óbita iea-sol: 1, m; Masa de la Luna: 7,35A10 kg; Masa del Sol: 1,99A10 30 kg; G = 6, Nm /kg GM M d GM M d R.: E -E = - S L L - S L L = -3, J d -d d p p p p eclipsedesol eclipsedesol eclipsedesol eclipsedesol p p p p eclipsedeluna eclipsedeluna eclipsedeluna eclipsedeluna S L S 0. CLM-J11 Un planeta de masa M= kg y adio 5000 km, tiene un satélite de masa 16 veces meno que la del planeta, siguiendo una óbita cicula de km de adio. a) Calcula la velocidad obital del satélite. b) Detemina en qué punto del segmento que une el cento del planeta y el cento del satélite la aceleación de la gavedad es ceo. c) Si tenemos un vehículo espacial abandonado en el punto calculado en el apatado anteio, y si a causa de una ligea petubación éste inicia un movimiento de caída libe sobe el planeta, calcula con qué velocidad se estellaá conta su supeficie R.: a) 894,65 m/s; b) a km del cento del planeta; c)8856,6 m/s. 1. A una altua de 500 km gian dos satélites de masa 1000 kg, cada uno, descibiendo la misma óbita cicula, peo en sentido contaio, con lo que chocaán. Si la colisión es totalmente inelástica calcula: a) la enegía mecánica inmediatamente después de la colisión; b) la velocidad con la que llegan al suelo si despeciamos el ozamiento con la atmósfea teeste. Datos: g 0 =9,8 ms - ; R =6, m. R.: a) -1, J; b) 3014 m/s. La masa de Mate, su adio, y el adio medio de su óbita, efeidos a las magnitudes semejantes de la iea, valen, espectivamente, 0,108, 0,54 y 1 1,5. a) De gm = g 0,108 = 3,91 ms temina la aceleación de la 0,54 gavedad sobe el planeta Mate b) Cuánto dua el año maciano? 3 = 1,5 a = 1,87a M R.:a) b)

5 3. Se quiee pone en óbita de adio =5R/3 (R=Radio de la iea) un satélite atificial. Calcula: a) La velocidad de lanzamiento b) El peíodo del satélite c) La enegía total del mismo en la óbita GM π 5R 3GM m = ( ) = - R.: 5R 1 3 7GM 10R c c c c v a a a a =b =b =b =b ( ) 4. Un asteoide se apoxima adialmente hacia un planeta esféico sin atmósfea, de masa M y adio R. Cuando la distancia ente el asteoide y la supeficie del planeta es h = 3R, la velocidad del asteoide es v o. Detemina su velocidad cuando choca con la supeficie del planeta. 3GM Supón conocida la constante de R.: v = v + gavitación univesal, G. 0 R E 5. Supón que la iea edujese su adio a la mitad manteniendo su masa. a) Aumentaía la intensidad del campo gavitatoio en su nueva supeficie? b) Se modificaía sustancialmente su óbita alededo del Sol? R.: a) Se multiplicaía po cuato; b) No 6. Un cuepo A de masa m A = 1kg y oto B de masa m B = kg se encuentan situados en los puntos (,) y (-,) espectivamente. Las coodenadas están expesadas en metos. Calcula: a) El vecto de intensidad de campo gavitatoio ceado po el cuepo A en el punto (-,0). b) El vecto de intensidad de campo gavitatoio ceado po el cuepo B en el punto (,). c) La fueza gavitatoia que ejece el cuepo A sobe el B. Dato.- G = 6,67A NA m AKg - g a a a a -, A A A A , , , G G G = i + j N /kg g = - i N /kg = i N ( ) b b c c b b c c B B B B, F B,A 7. Cinco masas iguales de 4 kg cada una se disponen a intevalos egulaes sobe una semicicunfeencia de 80 cm de adio, como se muesta en la figua. Una masa de 0,5 kg se coloca en el cento de cuvatua de dicho aco. Detemina: a) La fueza que actúa sobe dicha masa. b) La enegía potencial de dicha masa en ese punto. R.: a) F= 5, j N; b) -8, J P-6

6 8. Dos masas puntuales iguales de 5 kg se encuentan situadas en los vétices infeioes de un tiángulo equiláteo de 40 cm de lado. Si se coloca en el vétice supeio una tecea masa m : a) Qué aceleación adquiee esta última masa en ese punto. b) Descendeá con aceleación constante?. c) Qué aceleación tendá en el momento de llega a la base del tiángulo? d) Qué velocidad poseeá al pasa po el punto anteio? Dato.- G = 6,67A Nm Akg -.: a) -3, j ms - ; b) no; c) 0; d) 5, m/s 9. Un planeta esféico sin atmósfea tiene masa M = 1,A10 3 kg y adio R = 1,3A10 6 m. Desde su supeficie se lanza veticalmente un poyectil que llega a alcanza una altua máxima h = R/ antes de volve a cae hacia la supeficie. Con qué velocidad GM inicial se ha lanzado el poyectil? Dato G = 6,67A10-11 SI R.: p 3 v = =,06 10 ms 3R 1 p 30. CM-J0 Un planeta esféico tiene un adio de 3000 km, y la aceleación de la gavedad en su supeficie es 6 m/s. a) Cuál es su densidad media? b) Cuál es la velocidad de escape paa un objeto situado en la supeficie de este planeta? Dato : Constante de Gavitación Univesal G = 6,67x10-11 N m kg - R.: ρ a a a a 18 ρ = = 7158,4 kgm G 4π b b b b v= 3 = 6.10m /s -3 3 esc 31. AND-01 El satélite de investigación euopeo (ERS-) sobevuela la iea a 800 km de altua. Suponga su tayectoia cicula y su masa de 1000 kg. a) Calcule de foma azonada la velocidad obital del satélite. b) Si suponemos que el satélite se encuenta sometido únicamente a la fueza de gavitación debida a la iea, po qué no cae sobe la supeficie teeste? Razone la espuesta. R = 6370 km ; g = 10 m s R.: a) v = 0 =6,37 10 =7,5.10 m / s b) Poque dicha 6 7,17 10 fueza, en foma de fueza centípeta es la que hace que el cuepo gie. 3. En la supeficie de un planeta de 000 km de adio, la aceleación de la gavedad es de 3 mas -. Calcula: a) La velocidad de escape desde la supeficie del planeta. b) La masa del planeta. G = 6,67A NA m AKg p 3 R. : a) v e = 6p m / s= 3 10 m / s b) M p = kg=1,8 10 kg G

7 33. Un satélite de masa 00 kg se encuenta en óbita cicula de adio alededo del cento de la iea. Si la enegía potencial a esa distancia es de.10 9 J. a) Detemina el adio. b) Calcula la velocidad del satélite. Datos: gavedad, g = 10 ms - ; R = 6400 km. g m E R.: = - 0 s = 4, m; v = - p = m /s E obital m p s a a b b R.: a a = - = 4,01 10 m; b b 34. LR-S04 Se ha descubieto un planeta en oto sistema sola del cuál se han obtenido los siguientes datos: el adio del planeta es 9, m, el peiodo de un satélite en una óbita cicula de 1, m de adio es 8, s. Detemina, a pati de estos datos: a) La masa del planeta. b) El valo del campo gavitatoio en la supeficie del planeta. c) Si el peiodo de otación del planeta alededo de su eje es de 1, s, cuál seá la lectua del dinamómeto (calibado en la iea) que sopota un objeto de 1 kg 4πde masa situado en el ecuado del planeta? GM 3 5 P P G 0 R.: M a a a a p c c c c = =,93.10 kg b b b b g == 1,48m /s = mg = m g -ω - = 18N 0 0 1kg 1,48 3, Un meteoito, de 100 kg de masa, se encuenta inicialmente en eposo a una distancia sobe la supeficie teeste igual a 6 veces el adio de la iea. a) Cuánto pesa en ese punto? b) Cuánta enegía mecánica posee? c) Si cae a la iea, con qué velocidad llegaá a la supeficie? Datos:G = 6, Nm /kg ; M =5, kg; R = 6,37A10 6 m Piea 100 9,8 GMm 8 R.: a) P= = N = 0N; b) EM = Ep = = 8,9 10 J; GM = = 7 4 c) v 1,04 10 m / s 36. Un meteoito de 10 km de adio y densidad 5g cm -3, pocedente de una distancia pácticamente infinita de la iea, cae po acción de la gavedad y se estella conta la supeficie teeste. Si suponemos que el meteoito patió del eposo, calcula la enegía disipada en el choque y su velocidad en ese momento. Si una bomba atómica de 1 megatón disipa una enegía de J, a cuántas bombas equivaldía el impacto? Nota: No tendemos en cuenta ni la pesencia del Sol ni la de los demás planetas Datos: Masa de la iea =5, kg; Radio teeste: 6370 km; G = 6, Nm /kg R.: E=1,31 10 J; v=1,1 10 m/s; 3,7 x 10 bombas p

8 37. La Luna es apoximadamente esféica, con adio = 1,74A10 6 m y masa m = 7,35A10 kg. a) Calcula la aceleación de la gavedad en la supeficie luna. b) Si se deja cae una pieda desde una altua de m sobe la supeficie luna, cuál seá su velocidad al choca con la supeficie?. G = 6,67 A N m kg - GM L - R.: a) gl = = 1,619 ms b) v= g Lh = 1,619 =.545m/ s L 38. CM-J03 Mecuio descibe una óbita elíptica alededo del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 6,99x10 10 m, y su velocidad obital es de 3,88x1 0 4 m/s, siendo su distancia al Sol en el peihelio de 4,60xl0 10 m. a) Calcule la velocidad obital de Mecuio en el peihelio. b) Calcule las enegías cinética, potencial y mecánica de Mecuio en el peihelio. c) Calcule el módulo de su momento lineal y de su momento angula en el peihelio. d) De las magnitudes calculadas en los apatados anteioes, deci cuáles son iguales en el afelio. Datos: Masa de Mecuio M M = 3,18xl0 3 kg Masa del Sol Ms= 1,99xl0 30 kg Constante de Gavitación Univesal G = 6,67x N m kg a) vp = 5,90 10 m/ s b) Ec=5,53 10 J; Ep=-9,18 10 J; EM = 4,65 10 J R.: 8 38 c) p = 1,88 10 kgm/ s; L = 8,65 10 kgm / s d) No vaía ni la enegía mecánica ni el momento angula 39. Una sonda de exploación, de masa m = 500 kg, descibe una óbita cicula en tono a Mate. Sabiendo que el adio de dicha óbita es R = 3,50 A10 6 m, que la masa de Mate es M = 6,4A10 3 kg y que G = 6,67 A Nm kg -, calcula: a) La velocidad obital de la sonda y su momento angula especto al cento de Mate. b) Las enegías cinética, potencial y mecánica de la sonda. GM 3 1 a) v= = 3,5 10 m/ s; L = mv = m GM = 6,1.10 kgm / s GMm 9 GMm 9 R.: b) Ec = = 3,06.10 J; EP = = 6,17.10 J GMm 9 EM = Ec + Ep = = 3,06.10 J

9 40. Imagina un planeta sin atmósfea, pefectamente esféico, de adio R = km y masa M = 5A10 4 kg. Desde su supeficie, se dispaa hoizontalmente un poyectil. a) Calcula la velocidad con que debe dispaase el poyectil paa que desciba una óbita cicula asante a la supeficie del planeta. b) Explica qué es la velocidad de escape y calcúlala en nuesto caso G = 6,67 A N A m A kg - GM GM a) vpaa ób asante = = 8,17 10 ms b)v = =1, m/ s p escape p 41. La velocidad angula con la que un satélite descibe una óbita cicula en tomo al planeta Venus es 1 =1, ad/s y su momento angula especto al cento de la óbita es L 1 =,A 10 1 kga m s -1. a) Detemine el adio 1 de la óbita del satélite y su masa. b) Qué enegía seía peciso inveti paa cambia a ota óbita cicula con velocidad angula = 10-4 ad/s? Datos: G = 6,67 A N A m A kg -. Masa de Venus =4,87A l0 4 kg GM 3 7 L L a) = =,49 10 m; m= = = 4,46 kg ω ω R.: ( GM) 3 ω 7 b) Esum = 3,5 10 J 4. Dos poyectiles son lanzados hacia aiba en la diección pependicula a la supeficie de la iea. El pimeo de ellos sale con una velocidad de 5 km/s, y el segundo con 15 km/s. Despeciando el ozamiento con el aie y la velocidad de otación de la iea, se pide: a) Cuál seá la altua máxima que alcanzaá el pime poyectil? b) Cuál seá la velocidad del segundo poyectil cuando se encuente muy lejos de la iea? Datos: g = 9,8 m/s ; R = 6370 km. Rv0 4 a) h= = 5,1 10 m R.: g0r v0 4 b) v = v0 g0r = 10 m/ s

10 43. Una de las lunas de Júpite, Io, descibe una tayectoia de adio medio = 4,.10 8 m y peiodo = 1, s. Se pide: a) El adio medio de la óbita de ota luna de Júpite, Calisto, sabiendo que su peiodo es 1,44A10 6 s. b) Conocido el valo de G, enconta la masa de Júpite. Dato: G = 6,67A10-11 unidades SI 9 a) =1,88 10 m R.: 3 π 7 b) MJ = = 1,9 10 kg G 44. CM-S08 Un satélite atificial de 100 kg se mueve en una óbita cicula alededo de la iea con una velocidad de 7,5 km/s. Calcule: a) El adio de la óbita. b) La enegía potencial del satélite. c) La enegía mecánica del satélite. d) La enegía que había que suminista al satélite paa que desciba una óbita cicula con adio doble que el de la óbita anteio. Datos: G = 6, N m kg - ; M = 5, kg; R = 6, m R.: a) 7, m; b) -5, J ; c) -, J; d) 1, J. 45. CL-J1 a) Cómo se modifica el peso de un objeto cuando se eleva desde el nivel del ma hasta una altua igual a dos veces el adio teeste?. b) Júpite tiene una densidad media de 1, kgm -3 y un adio igual a 7, m. Cuál es la aceleación de la gavedad en su supeficie? R.: ) Disminuye como la gavedad, es deci; invesamente popocional a la distancia al cento de iea, con lo que cuando h=r ; g =g 0 /9 luego pesaá la novena pate que en la supeficie, ya que pasó de R a 3 R ; b) 6,88 ms AR-J1 a) Esciba y comente la Ley de Gavitación Univesal. b) Estos días se cumple un año de la puesta en óbita del satélite SAC-D Aquaious. La altua de su óbita cicula sobe la supeficie de la iea es h=660km. Calcule la velocidad obital del Aquaious y el peiodo de su óbita.c) Detemine el mínimo tabajo que debeían ealiza los motoes del satélite si fuese necesaio coegi su óbita y pasa a ota, también cicula, peo alejada el doble (h) de la supeficie teeste.datos: G=6, Nm kg - ; M =5, kg R =6, m, M Aquaious =1350kg. R.: b) 7,5x10 3 m/s; =588s; c) 6,55x10 9 J