i + 5 j ( 2) b) El trabajo para desplazar una masa de 2 kg desde el punto O al punto P será: ) = J U P = 6,

Transcripción

1 1. (Andalucía, Jun. 016) Dos patículas de masas m 1 3 kg y m 5 kg se encentan situadas en los puntos P 1 (-,1) y P (3,0), espectivamente. a) Repesente el campo gavitatoio esultante en el punto O (0,0) y calcule su valo. b) Calcule el tabajo ealizado paa desplaza ota patícula de kg desde el punto O (0,0) m hasta el punto P (3,1) m. Justifique si es necesaio especifica la tayectoia seguida en dicho desplazamiento. G 6, N m kg. Solución: a) La intensidad de campo gavitatoio en el punto O tendá dos componentes, que llamaemos g 1 y g, coespondientes a los campos gavitatoios ceados po la masa de 3 y la de 5 kg, espectivamente. Así pues, el campo esultante seá: g g 1 + g g 1 u 1 + g u, siendo: g 1 6, ( ) N/kg g 6, , N/kg u 1 ( 0) i +(1 0) j 1 i + 5 j ( ) +1 5 u i Po todo ello, tendemos que: g g1 u 1 + g u 1, 10 1 i +1, j N/kg b) El tabajo paa desplaza una masa de kg desde el punto O al punto P seá: W OP U U o U P Siendo: 11 ( 3 U o 6, ) J U P 6, ( ) 7, J 1 Po tanto, el tabajo seá: W U o U P ( 7, ) 3, J No es necesaio especifica la tayectoia seguida en dicho desplazamiento pues, al se consevativo el campo gavitatoio, el tabajo ente dos puntos no d pende del camino seguido, sino de las posiciones inicial y final.. (Aagón, Jun. 016.) El planeta Júpite es apoximadamente esféico, de adio R J 7, m, y tiene una masa M J 1, kg. a) Calcule la aceleación de la gavedad en la supeficie de Júpite. b) A qué altua h sobe la supeficie de Júpite se educe el campo gavitatoio al 0 % del valo en la supeficie? Datos: Constante de gavitación univesal, G 6, N m kg. Solución: a) La aceleación de la gavedad seá: g 6, , (7, ) 4,79m/s b) La nueva aceleación de la gavedad seá: g 0, 4,79 4,96m/s, con lo que podemos pone: 4,96 6, ,

2 Despejando, obtendemos, , m. La altua con especto a la supeficie de Júpite seá: h J 1, , , m 3. (Aagón, Jun. 016.) La nave Sputnik 1 fue el pime intento no fallido de pone en óbita un satélite atificial alededo de la Tiea. Tenía una masa de 83,6 kg y descibió una óbita alededo de la Tiea, que supondemos cicula, con un peiodo de 96, minutos. Calcule: a) La altua sobe la supeficie de la Tiea a la que se encontaba el Sputnik 1. b) Su enegía mecánica total (enegía cinética más potencial). Datos: Constante de gavitación univesal, G 6, N m kg ; adio de la Tiea, R T 6, m; masa de la Tiea, M T 5, kg. Solución: Conocido el peiodo (96, minutos 577 s), podemos halla el adio de la óbita, aplicando la tecea Ley de Keple: T 4π 3 Despejando, obtendemos: T 6, , π 3 4π 6, m la altua especto a la supeficie teeste seá: h T 6, , , m b) La enegía total seá: E E c +U 1 mv m m 6, , ,6 6, , J 4. (Aagón, Sept. 016) Un satélite de masa m 50 kg está en óbita cicula en tono a la Tiea a una altua h 500 km sobe su supeficie. Calcule: a) Su velocidad y su peíodo de evolución. b) La enegía necesaia paa pone el satélite en óbita con esa velocidad. Datos: Constante de gavitación univesal, G 6, N m kg ; masa de la Tiea, M T 5, kg; adio de la Tiea, R T 6, m. Solución: a) La velocidad de la óbita es: 6, , v 6, ,3m s 1 El peiodo se obtendá de la foma: T π v π(6, ) 5669,7s 7613, 3 b) Aplicando el Pincipio de Consevación de la Enegía:: m T +E c m Sustituyendo valoes, obtenemos la enegía que debe aplicase: E c m m ( ) 1 6, , T 6, (6, ) 8, J 5. (Aagón, Sept. 016) Las óbitas de dos de los planetas de la estella Cevantes (1), llamados Quijote y Sancho, tienen adios de 1,54 U.A. y 0,93 U.A. espectivamente. Quijote tada 646 días en da una vuelta alededo de Cevantes. Calcule el peiodo obital de Sancho. b Obtenga la elación ente las velocidades obitales de Quijote y Sancho.

3 (1) En diciembe de 015 la Unión Astonómica Intenacional, tas una votación popula, bautizó a la estella μaae con el nombe de Cevantes. Alededo de ella obitan los planetas Dulcinea, Quijote, Sancho y Rocinante. Solución: El peiodo de otación de un planeta alededo de una estella viene expesado po: 4π 3 T Po lo cual podemos escibi: Dividiendo miembo a miembo: Q 3 T S S 3 T Q ,54 3 La elación ente las velocidades obitales seá: C v Q Q v S 4π Q 3 4π S 3 T S C C 0,93 3,13 T S , s,13 C S S 0,93 Q 1,53 0,78 6. (Astuias, Jun. 016.) Dos planetas iguales obitan alededo de una estella de masa mucho mayo. El planeta A se mueve en una óbita cicula de 10 8 km de adio y años de peíodo. El oto planeta, B, lo hace en una óbita elíptica, siendo la distancia en la posición más cecana a la estella 10 8 km y en la más alejada 10 8 km. a) Calcula la masa de la estella. b) Detemina el peíodo de movimiento del planeta B. Datos: constante G 6, N m /kg. Solución: Los datos paa los dos planetas, expesados en el Sistema intenacional son, espectivamente: A m A T A , B B , m s El valo de B es la media aitmética de las distancias más cecana y más lejana a la estella. a) T B Aplicando la 3ª Ley de Keple: Despejamos M, obteniendo: T 4π 3 M 4π 3 GT 4π , (6, ) 1, kg b) Aplicando nuevamente la Tecea Ley de Keple: 4π 3 T 4π (1, ) 3 6, , , s 3

4 7. (Astuias, Jul. 016) La masa del planeta Júpite es, apoximadamente, 318 veces la de la Tiea, y su diámeto es 11 veces mayo. Con estos datos, calcula el peso que tendá en Júpite una astonauta cuyo peso en la Tiea sea de 750 N. Solución: El peso de un cuepo viene dado po la siguiente expesión: P mg R Aplicando esta expesión a la Tiea y a Júpite, tendemos: 750 T R T P J G 318M T 11R T Dividiendo miembo a miembo la segunda igualdad ente la pimea, se obtiene: P J Poloque: P J 1971N 8. (Astuias, Jul. 016) Si la masa del Sol es apoximadamente kg y el adio de la óbita que descibe la tiea en su movimiento (supuesto cicula) alededo del sol es 1, km, deduce el peíodo de taslación de la Tiea alededo del Sol. Expesa el esultado en el sistema intenacional y en días (,5 puntos). Dato: Constante de la gavitación univesal G 6, N m /kg. Solución: Aplicando la tecea ley de Keple: 4π T 3 4π (1, ) 3 6, , s Que expesado en días seá: T 3, s 86400s/día 365,78días 9. (Astuias, Jul. 016) Un satélite de masa m 50 kg descibe una óbita cicula sobe el ecuado de la Tiea, a una distancia tal que su peíodo obital coincide con el de otación de la Tiea (satélite geoestacionaio). Calcula: a) La altua a la que se encuenta el satélite especto a la supeficie teeste. b) La enegía mínima necesaia paa situalo en dicha óbita. Datos: constante G 6, N m /kg ; adio de la Tiea R T 6, m; masa de la Tiea M T 5, kg. Solución: a) A pati de la tecea ley de Keple, se deduce el valo del adio de la óbita: T 6, , π π 4, 10 7 m La altua especto a la supeficie teeste seá: b) La enegía en la óbita seá: E m h T 4, , , m Aplicando el Pincipio de Consevación de la Enegía: Despejando, se obtiene: 6, , , , J m T +E 6, , , E 1, E 6, J 4

5 10. (Astuias, Jul. 016) Calcula la distancia Tiea-Luna, con el dato que la Luna tada 8 días en su óbita cicula alededo de la Tiea (,5 puntos). Datos: g 0 9,8 m/s ; adio de la Tiea R T 6370 km. Solución: A pati de la tecea ley de Keple, se deduce: 3 T 4π Conociendo el valo de la aceleación de la gavedad en la supeficie de la Tiea, se puede obtene el poducto : 9,8 (6, ) 3, N m kg 3 3, ( ) 4π 3, m 11. (Baleaes, Jun. 016) Una de las lunas de Júpite, Ío, sigue una óbita de adio 4, 10 8 m con un peíodo de 1, s. a) Halle el adio de la óbita de Calisto, oto satélite de Júpite, que tiene un peíodo de 1, s. b) Calcule la masa de Júpite. c) El adio de Júpite es 11; veces el adio teeste, que vale km. Detemine el valo de la aceleación de la gavedad en la supeficie de Júpite. Dato: G 6, N m kg Solución: a) A pati de la tecea ley de Keple, que elaciona el adio de una óbita con el peiodo de la misma, podemos pone 4π T Io 3 Ío J 3 TCal. Io 4π Cal. 3 3 Cal. J Despejando, tendemos: 3 3 Io T Cal. T Io 3 (4, 10 8 ) 3 (1, ) (1, ) 1, m b) Conocido el valo de G, tendemos: M J 4π 3 GT 4π (4, 10 8 ) 3 6, (1, ) 1, kg c) La aceleación de la gavedad en la supeficie de Júpite seá: g j J 6, , (11, 6, ) 4,4m s 1. (Baleaes, Jun.016) La estación espacial ISS da vueltas a la Tiea con un peíodo de 90 minutos. Consideando que sigue una óbita apoximadamente cicula, a) A qué altua po encima de la supeficie teeste se encuenta la estación espacial ISS? (R T km) b) A qué velocidad se desplaza? c) Sabiendo que la masa de la estación es de kg apoximadamente, cuál es su peso mientas está en óbita? Solución: a) Conocido el adio de la Tiea y la aceleación de la gavedad en su supeficie, g 9,8 m/s, podemos halla el valo de : 9,8(6, ) 3,

6 Aplicando la tecea ley de Keple y despejando el valo del adio: T 3, π 3 4π 6, m La altua po encima de la supeficie teeste seá: h - T 6, , , m b) La velocidad d la óbita seá: v 3, , m s 1 c) El peso tendá el valo: P m 3, (6, ) 3, N 13. (Canaias, Jun. 016) Un satélite meteoológico de 000 kg de masa, se encuenta a una altua de km po encima del Ecuado, descibiendo una óbita cicula geoestacionaia en tono a la Tiea. Calcule: a) La velocidad y la enegía del satélite en su óbita. b) La aceleación y el peso del satélite en su óbita. c) Después de un tiempo de funcionamiento, el satélite piede enegía y se mueve en una nueva óbita cicula, con una enegía total de J con qué velocidad lo hace? Datos: G N m kg ; M Tiea kg; R Tiea 6370 km Solución: a) La velocidad viene expesada po: 6, , v (6, , ) 3068,m/s La enegía total seá: E E c +U m b) La aceleación del satélite tendá la expesión: El peso tendá el valo: 6, , (6, , ) g 6, , (6, , ) 0,m/s P mg 000 0, 440N 9, J c) La expesión de la enegía cinética es la misma que la de la enegía total, cambiada de signo, es deci: E c 1 mv m conlocual : v E 9, m 3086,4m/s (Cantabia, Jun. 016) La aceleación de la gavedad en la supeficie de un planeta P es de m/s y su masa es 500 veces la masa de la Tiea. a) Halla el adio del planeta P. b) Halla la velocidad de escape desde la supeficie del planeta P. Datos: Masa de la Tiea: M T kg; Radio de la Tiea: R T km; Gavedad en la supeficie de la Tiea: g 9.81 m s. Solución: a) Paa calcula la masa patimos de la expesión de la aceleación de la gavedad: g 49,05 6, ,

7 Despejando, se obtiene: 1, m b) La expesión de la velocidad de escape de un planeta es: 6, , v 1, m/s 15. (Cantabia, Jun. 016) Dos cuepos, A y B, el cuepo A de masa kg y el cuepo B de masa kg, se encuentan fijos en dos puntos del plano (X,Y), el cuepo A en el punto ( 300, 0) y el cuepo B en el punto (600, 0), con las distancias dadas en metos. En el punto (0, 0) se encuenta situada una esfea de masa 1 kg. a) Halla la fueza gavitatoia ejecida (módulo, diección y sentido) sobe la esfea. b) Calcula el tabajo necesaio paa lleva la esfea desde el punto (0, 0) hasta el punto (0, 10). Solución: a) La fueza gavitatoia sobe la masa de 1 kg es la esultante de las fuezas F A yf B que puede vese en el siguiente esquema: Las fuezas valdán, espectivamente: F A Am A ( i ) 6, ( i ), i N F B Bm 6, i i, B 600 i N La fueza esultante seá: F A + F B 0N b) La enegía potencial en el punto (0,0) seá: U 0 6, Mientas que, en el punto (0,10) tendá el valo: 6, , J U 1 6, , , J Al se iguales las enegía potenciales inicial y final, el tabajo ealizado paa lleva la masa de 1 kg desde el punto (0,0) hasta el punto (0,10) es nulo. 16. (Castilla La Mancha, Jun. 016) Cees es un planeta enano, el mayo objeto del cintuón de asteoides, que tada 4.60 años teestes en completa una vuelta alededo del Sol. El diámeto medio y la masa de Cees son 95.4 km y kg, espectivamente. a) Admitiendo que descibe una óbita cicula, calcula la distancia de Cees al Sol. b) Calcula la aceleación de la gavedad y la velocidad de escape desde la supeficie de Cees, suponiendo que se tata de un cuepo esféico homogéneo. c) Basándonos en datos conocidos de Cees, calcula la masa del Sol en kg. Datos. Constante de gavitación G N m kg. Distancia Tiea-Sol, d km. 1 año s. 7

8 Solución: a) La tecea Ley de Keple elaciona el cuadado del peiodo de evolución con el cubo de la distancia media, según la expesión: 4π T 3 Si dividimos miembo a miembo los cuadados de los peiodos de evolución de Cees y de la Tiea, tendemos: 4π TC C 3 TT S 4π T 3 3 C 3 (4,6 T) T 4,6 T S Con lo que tendemos: b) La aceleación de la gavedad seá: C 3 4,6 T 3 4,6 1, , m g 6, , (4, ) 0,8m/s La velocidad de escape es: v 6, , , ,96m/s Aplicando la tecea Ley de Keple: Despejando, obtendemos: M S 1, kg (4, ) 4π (4, ) 3 6, M S 17. (Castilla la Mancha, Sept. 016) Dos satélites atificiales desciben óbitas ciculaes alededo de un planeta de adio R, siendo los adios de sus óbitas espectivas 1,05R y 1.51R. Cuál es la elación ente las velocidades obitales de ambos satélites? Qué satélite lleva mayo velocidad? Solución: El cociente ente las velocidades obitales seá: v 1 1 v 1,51 1 1,05 1, Llevaá mayo velocidad el satélite más cecano al planeta. 18. (Castilla la Mancha, Sept. 016) Un satélite atificial de masa m 500 kg se encuenta en óbita ecuatoial geoestacionaia. a) Detemina cuál es la velocidad angula del satélite y a qué altua se encuenta po encima de la supeficie de la Tiea. b) Explica y calcula qué enegía debeíamos suminista a este satélite en su óbita paa alejalo indefinidamente de la Tiea de modo que alcanzase el infinito con velocidad ceo. c) Supongamos un meteoito que se aceca a la Tiea viajando a 0 km/s cuando está a la misma distancia que el satélite geoestacionaio. Con qué velocidad se estellaá conta la supeficie? (Despeciamos los efectos de ozamiento con la atmósfea). Datos. Constante de gavitación G N m kg. Datos de la Tiea: masa M kg; adio R 6370 km; peiodo otación T s. 8

9 Solución: a) La velocidad angula del satélite es: ω π , ad s 1 De la expesión de la Tecea Ley de Keple se deduce el adio de la óbita: T 6, , π 3 4π 4, m La altua del satélite especto a la supeficie teeste es; h T 4, , , m b) La enegía del satélite en la óbita es: E E c +U m Paa llega al infinito con velocidad nula, tendemos: 6, , ,5 10 7, J, E c 0 polocual : E : c, J c) Aplicando el Pincipio de Consevación de la Enegía: m + 1 mv 0 m T + 1 mv Despejando y sustituyendo valoe, tendemos: [ ( )] 1 v ( 104 ) +6, , , , m s (Castilla y León, Jun. 016) La Luna se mueve alededo de la Tiea descibiendo una óbita cicula de adio 3, m y peiodo 7,3 días. a) Calcule la velocidad y la aceleación de la Luna especto a la Tiea y ealice un esquema de la tayectoia en el que se muesten ambos vectoes. b) Si desde la supeficie teeste se lanza un objeto veticalmente con una velocidad inicial igual a la mitad de su velocidad de escape, qué altua máxima alcanzaá sin tene en cuenta el efecto de la atmósfea? Datos: G 6, N m kg ; M T 5, kg Solución: a) La velocidad de la óbita seá: 6, , v 3, ,m s 1 b) La velocidad de lanzamiento seá: a 6, , (3, ), m s v 5468m s 1 Aplicando el Pincipio de Consevación de la Enegía, tendemos: Sustituyendo valoes: m T + 1 mv m 6, , , , , Obteniéndose al despeja el siguiente valo: 4, m 9

10 0. (Castilla y León, Sept. 016) El adio del planeta Mate mide 3400 km y la aceleación de la gavedad en su supeficie es g 0 3,7 m s a) Detemine la masa del planeta y la velocidad de escape desde la supeficie. b) A qué altua desde la supeficie debeá situase un satélite paa que ecoa una óbita cicula en un día maciano de 4,6 hoas? Dato: G 6, N m kg Solución: a) La aceleación de la gavedad es: g 0 M g 0 M 3,7(3,4 106 ) 4, La masa de Mate seá: La velocidad de escape seá: v M G 4, , , kg 4, M 3, m s 1 b) El peiodo de otación seá: T 4, , s. Aplicando la Tecea Ley de Keple y despejando; T 4, (, ) 3 4π 3 4π 1, m La altua especto a la supeficie de Mate seá: h M 1, , , m 1. (Cataluña, Jun. 016) Uno de los posibles agujeos negos más póximos a la Tiea es A060-00, que está situado a 3500 años luz. Se calcula que la masa de este agujeo nego es de, kg. A pesa de que A no es visible, se ha detectado una estella que descibe óbitas ciculaes con un peiodo obital de 0,33 días especto a un luga en donde no se detecta ningún oto cuepo celeste. a) Deduzca la fómula paa obtene el adio de una óbita cicula a pati de las magnitudes popocionadas. Utilice esta fómula paa calcula el adio de la óbita de la estella que se mueve alededo de A b) Calcule la velocidad lineal y la aceleación centípeta de la estella y epesente ambos vectoes sobe una figua semejante a la del enunciado. Dato: Constante de gavitación G N m kg. Solución: a) Un cuepo que descibe una óbita cicula alededo de oto está sometido a una fueza centípeta, cumpliéndose que: m mv Igualando los téminos pimeo y último, tendemos: m Despejando el adio de la óbita, tendemos que: mω 4π m T 4π m T T 6, , (0, ) 3 4π 3 4π 3, m b) Los vectoes velocidad lineal y aceleación centípeta de la estella se epesentan en la siguiente imagen: 10

11 Conocidos el adio de la óbita y su peiodo, calculamos la velocidad lineal. m mv v La aceleación centípeta, v / seá: 6, , , , m/s a c v (6, ) 3, ,76m/s. (Cataluña, Sept. 016) El 6 de agosto de 01, el obot Cuiosity fue depositado sobe la supeficie de Mate po una cápsula de entada atmosféica ideada po el Mas Science Laboatoy. Esta cápsula inició la entada a la atmósfea a 15 km de la supeficie de Mate y con una velocidad de m s 1. Las técnicas usadas en el descenso hicieon que el vehículo llegase a la supeficie maciana a una velocidad de solo 0,60 m s 1. Teniendo en cuenta que la masa del Cuiosity es de 899 kg, calcule: a) El incemento de la enegía mecánica del vehículo en el descenso. b) El módulo de la intensidad del campo gavitatoio que ejece Mate en el punto inicial del descenso del Cuiosity y la fueza (módulo, diección y sentido) que ejece el planeta sobe el obot en ese punto. Datos: Masa de Mate, M Mate 6, kg. Radio de Mate, R Mate 3, m. G 6, N m kg. Solución: a) La enegía inicial del obot es: E 0 m La enegía final seá.: + 1 mv 0 6, , (3, , ) , J E m M + 1 mv 6, , , ,6 1, J Con lo que el incemento de enegía seá: E E E 0 1, , , J b) El módulo de la intensidad del campo gavitatoio seá: g 6, , (3, , ) 3,46m s El módulo de la fueza ejecida seá: F m g 899 3,46 3, N. La diección es la de la ecta que une Mate con el obot y el sentido es el de este último hacia Mate. 11

12 3. (Extemadua, Jun. 016) Un planeta hipotético descibe una óbita cicula alededo del Sol, con un adio tes veces mayo que el de la óbita teeste, y una masa también el tiple de la masa de la Tiea. Calcule cuántos años teestes tadaía en descibi su óbita. Dato: 1 año teeste 365 días. Solución: El cuadado del peiodo de un planeta que gia alededo del Sol viene expesado po: 4π T 3 Si dividimos miembo a miembo los cuadados de los peiodos de otación de la Tiea y del planeta, tendemos: 4π T 3 TT S Tp 3 T 4π p T p (3 T ) S Con lo que, finalmente, se obtiene: T p T T 7 4. (Extemadua, Jul 016) El planeta Satuno tiene una masa 95, veces mayo que la de la Tiea y un adio de 9,47 veces mayo que el adio de la Tiea. Calcule la velocidad de escape paa un objeto. a ) Sobe la supeficie de la Tiea. b) Sobe la supeficie de Satuno. Datos: masa de la Tiea 5, kg; adio de la Tiea 6, m; constante de Gavitación Univesal: G 6, N m kg Solución: a) La velocidad de escape paa la supeficie teeste es: v et T R T b)paa la Supeficie de Satuno, tendemos: v es S R S 6, , , m s,1 6, , 5, ,47 6, m s,1 5. (Extemadua, Jul 016) Dos masas de y kg se ataen con una fueza gavitatoia de 0,000 N. Calcula: a) La distancia de sepaación ente ambas masas. b) La intensidad del campo gavitatoio a 4 m de distancia de la pimea masa dento de la ecta que los une. Dato: G 6, N m kg. Solución: a) Aplicando la expesión que nos da la fueza ente dos masas: F m 0,000 6, , Despejando, obtenemos una distancia 14,15 m. b) La distancia de 4 m puede considease tanto a la deecha como a la izquieda de la masa de kg, po lo que el poblemas admite dos planteamientos y, po tanto, dos soluciones. Suponiendo, en pime luga, que el punto se encuenta sobe el segmento que une las dos masas, tendemos: g g1 + g 6, , i + 6, ,15 i 3, N/kg Mientas que en el segundo caso: g g1 + g 6, , i + 6, ,15 i 7, N/kg 1

13 6. (La Rioja, Jun. 016) En la supeficie de cieto planeta, la aceleación de la gavedad vale 15 m/s. El adio del planeta es 6, km. Obtén: a) La intensidad del campo gavitatoio en su supeficie, expesada en N/kg. b) La masa del planeta. c) La fueza de atacción del planeta sobe un astonauta que se encuente a 6, km sobe la supeficie del planeta.dato: G N m kg. Solución: a) La intensidad de campo gavitatoio en la supeficie del planeta coincide con la aceleación de la gavedad en ese punto. La ecuación de dimensiones de g seá: [ ] [g] MLT M LT Que coincide con la ecuación de dimensiones de la aceleación, LT b) la masa del planeta se obtiene de: Despejando, obtenemos: M 1, kg c) La fueza de atacción seá: g 15 6, M ( 6, ) F m 6, , m ( 6, , ) 15mN 7. (La Rioja, Jul. 016) Se lanza veticalmente un satélite con una cieta velocidad, v 0. Calcula: a) El valo de v 0 paa que el satélite alcance una altua de 600 km. b) En el instante en que el satélite alcanza dicha altua máxima, se le comunica una velocidad v t pependicula a la vetical, de manea que el satélite pasa a descibi una tayectoia cicula alededo de la Tiea, de 600 km de altua. Calcula el valo de esa velocidad v t. Dato: Radio de la Tiea 6370 km. Solución: a) Aplicando el Pincipio de Consevación de la Enegía, tendemos: m R T + 1 m mv ( T ) Conocido el valo de la aceleación de la gavedad en la supeficie teeste: b) La enegía total seá: Despejando, obtendemos: 9, , ( v , ) ,3m s 1 E m m + 1 mv v m s 1 13

14 8. (La Rioja, Jul. 016) Ío es un satélite de Júpite que tiene un peiodo de otación de 1,77 días y cuyo adio obital es de 4, 10 8 km. Detemina la masa de Júpite. Dato: G 6, N m kg Solución: Despejando la masa de la tecea ley de Keple: M 4π 3 GT 4π (4, 10 8 ) 3 6, (1, ) 1, kg 9. (Madid, Jun. 016) El planeta Mate, en su movimiento alededo del Sol, descibe una óbita elíptica. El punto de la óbita más cecano al Sol, peihelio, se encuenta a 06, km, mientas que el punto de la óbita más alejado del Sol, afelio, está a 49, 10 6 km. Si la velocidad de Mate en el peihelio es de 6,50 km s 1, detemine: a) La velocidad de Mate en el afelio. b) La enegía mecánica total de Mate en el afelio. Datos: Constante de Gavitación Univesal, G 6, N m kg ; Masa de Mate, M M 6, kg; Masa del Sol M S 1, kg. Solución: a) El momento de la fueza ejecida po el Sol sobe el planeta, M 0 F 0, puesto que y F tienen la misma diección. Teniendo en cuenta que: M 0 0 d L dt d( m v ) dt m v cte.y v cte. Podemos ve que el poducto de la distancia po la velocidad es constante. Así pues, tendemos que: p v p a v a Despejando, tendemos: b) La enegía mecánica total seá: E m v a p v p a, , , , 10 4 m/s 6, , ,4 10 3, , J 30. (Madid, Jun. 016) Un astonauta utiliza un muelle de constante elástica k 37 N m 1 paa detemina la aceleación de la gavedad en la Tiea y en Mate. El astonauta coloca en posición vetical el muelle y cuelga de uno de sus extemos una masa de 1 kg hasta alcanza el equilibio. Obseva que en la supeficie de la Tiea el muelle se alaga 3 cm y en la de Mate sólo 1,13 cm. a) Si el astonauta tiene una masa de 90 kg, detemine la masa adicional que debe añadise paa que su peso en Mate sea igual que en la Tiea. b) Calcule la masa de la Tiea suponiendo que es esféica. Datos: Constante de Gavitación Univesal, G N m kg, Radio de la Tiea, R T m. Solución: a) Teniendo en cuenta que, al colga una masa de un muelle se cumple que: mg Kx, podemos pone: kx 1 1 g T g t 9,81m/s Se cumpliá, pues, que: Despejando, obtenemos m 148,94kg b) La aceleación de la gavedad es: kx 1 g M 37 1,13 10 g t 3,69m/s mg T (m+m )g M 90 9,81 (90+m )3,69 g 9,81 6, M (6, ) 14

15 Despejando, obtenemos: M 5, kg 31. (Madid, Sept. 016) Desde la supeficie de un planeta de masa 6, kg y adio 4500 km se lanza veticalmente hacia aiba un objeto. a) Detemine la altua máxima que alcanza el objeto si es lanzado con una velocidad inicial de km s 1. b) En el punto más alto se le tansfiee el momento lineal adecuado paa que desciba una óbita cicula a esa altua. Qué velocidad tendá el objeto en dicha óbita cicula? Dato: Constante de Gavitación Univesal, G 6, N m kg. Solución: a) Aplicando el Pincipio de Consevación de la Enegía: m + 1 : 0 mv 0 m +0 6, , , , , , m b) La velocidad obital seá: v 6, , , , m s 1 3. (Madid, Sept. 106) Una estella gia alededo de un objeto estela con un peiodo de 8 días teestes siguiendo una óbita cicula de adio 0, km. a) Detemine la masa del objeto estela. b) Si el diámeto del objeto estela es 00 km, cuál seá el valo de la gavedad en su supeficie? Dato: Constante de Gavitación Univesal, G 6, N m kg. Solución: a) Aplicando la Tecea Ley de Keple, y despejando la masa, tendemos: b) El valo de la gavedad seá: M 4π 3 GT 4π (4, ) 3 6, ( ) 9, kg g 6, , (10 5 ) 6, m s 33. (Navaa, Jun. 016) Dos satélites de masas m 1 y m (m 1 m ) obitan alededo de la Tiea en óbitas ciculaes de adios R 1 y R (R 1 R /), espectivamente. Deci, explicando la espuesta, si son coectas las afimaciones siguientes: a) tienen el mismo momento angula. b) tienen la misma enegía potencial. c) tienen la misma enegía mecánica. Solución: a) El momento angula seá: L mv, po lo que su valo seá, paa cada uno de los satélites: L 1 R m v 1 L R m v El momento angula seía el mismo si v 1 v. No obstante, puesto que la velocidad de una óbita es: v veemos que, al se difeentes las velocidades, los momentos angulaes también lo son. La afimación es falsa. b) La enegía potencial tiene la expesión: U m R 15

16 po lo que, las espectivas enegía potenciales seán: U 1 m R / La afimación es falsa. c) La enegía mecánica tiene la expesión: 4m R y U m R E m R E 1 m R y E m R La enegía mecánica es difeente en ambos casos. La afimación es, po tanto, falsa. 34. (Navaa, Jun. 016) Un satélite de 00 kg se coloca en una óbita cicula alededo de la Tiea, a 00 km de la supeficie de la misma. a) Cuánto tada el satélite en completa una óbita? b) Cuál es la velocidad del satélite? c) Cuál fue la enegía cinética del satélite en el lanzamiento desde la supeficie de la Tiea? Datos: G 6, N m kg ; M Tiea 5, kg; Radio de la Tiea 6370 km. Solución: a) El peiodo del satélite es: T 4π 3 4π (6, ) 3 6, s 5, b) La velocidad del satélite es: T v 6, , , m/s c) Aplicando el Pincipio de Consevación de la Enegía:: Sustituyendo valoes: m T E c m m 6, , T +E c m ( ) 1 6, (6, ) 6, J 35. (Navaa, Sept. 016) El adio de la Luna es apoximadamente una cuata pate del adio de la Tiea y la densidad de la Luna es unas tes quintas pates de la densidad de la Tiea. Obtene la elación ente las velocidades de escape en la Tiea y en la Luna. Solución: Las masas de la Tiea y de la Luna seán, espectivamente: M T 4 3 π3 T d T y M L 4 3 π ( T 4 ) d T El cociente ente las velocidades de escape de la Tiea y la Luna seá: 4 v T 3 π3 T d T T 4 v L ) d T T : T T MT L L M L T L 4 3 π ( T ,16 16

17 36. (Navaa, Sept. 016) Un planeta tiene un diámeto de km y el valo del campo gavitatoio en su supeficie es de 8,69 m/s. a) Calcula la masa del planeta. Si un satélite descibe una óbita cicula a una altua de 0000 km sobe su supeficie, b) Calcula el peiodo del satélite al descibi la óbita. c) Con qué velocidad fue lanzado desde la supeficie del planeta paa alcanza esta óbita?(navaa, Sept. 016) Solución: En pime luga, calculamos el adio del planeta, cuyo valo es: 5, /, m. a) Sabiendo que el campo gavitatoio tiene la expesión: Al sustitui, nos queda: g 8,69 6, M (, ) obteniéndose : M 8, kg b) El peiodo de otación se puede calcula así: 4π 3 T 4π (, ) 3 6, , s c) Aplicando el Pincipio de Consevación de la Enegía:: Sustituyendo valoes: 1 mv m m p m p Obteniéndose finalmente v 17869,8 m s mv m ( ) 6, , , (, ) 37. (País Vasco, Jun. 016)La Estación Espacial Intenacional (ISS) obita a una altua media de 340 km sobe la supeficie teeste. a) Detemina la velocidad obital y el peiodo de la ISS. b) Detemina el peso y la enegía mecánica de la ISS en su óbita. c) Teniendo en cuenta que la distancia Tiea-Luna es de km, detemina cuánto tada la Luna en da una vuelta completa a la Tiea. Datos: Datos: Constante de Gavitación Univesal, G N m kg, Radio de la Tiea, R T m, Masa de la ISS kg, Masa de la Tiea, M T kg. Solución: a) La velocidad obital está expesada po: T 6, v 6, , ,4m/s b) Paa halla el peso, necesitamos conoce la aceleación de la gavedad: g T 6, (6, , ) 8,89m/s El peso seá: P mg 4, ,89 3, N. La enegía mecánica se halla a pati de la expesión: E m 6, , 10 5 (6, , ) 1, J c) Paa halla el peiodo de otación: 4π 3 T 4π (3, ) 3 6, , s 17

18 38. (País Vasco, Jul. 016) Sea un poyectil de masa m 1000 kg situado en la supeficie teeste. a) Con qué velocidad debiea lanzase veticalmente paa alcanza una altua h R T? (Se supone nulo el ozamiento atmosféico). b) Calcula el peso del poyectil a dicha altua y la velocidad tangencial necesaia paa que el poyectil desciba una óbita cicula a esa altua (R T ). c) Cuánta enegía se necesita paa tansfei el poyectil desde esa óbita cicula de altua R T hasta ota de altua h R T? Datos: G N m kg, Radio de la Tiea, R T m. Masa de la Tiea kg. Solución: a) Paa alcanza una altua R T, la distancia total al cento de la Tiea seá R T. Aplicando el Pincipio de Consevación de la Enegía, tendemos: De donde se obtiene: b) El peso seá: v m R T 6, , mv m T ( 1 1 ) 7907,7m s 1 P mg 1000 (R T ) , ( 6, ) 465,7N La velocidad tangencial paa que el satélite desciba una óbita cicula a esa altua seá: v R 6, , ,7m s 1 c) La enegía necesaia se calcula a pati de: m 4R T +E m 6R T E m R T ( ) 6 E , , , 10 9 J 39. (Comunidad Valenciana, Jun. 016) Se sitúan dos cuepos de masas espectivas m 1 kg, y m 4 kg en dos de los vétices de un tiángulo equiláteo de m de lado. Calcula: a) El campo gavitatoio en el tece vétice, P(0, 3), debido a cada una de las masas, y el campo total. b) La enegía potencial gavitatoia de un cuepo de masa m 3 5 g, situada en P y, el tabajo necesaio paa tasladala hasta el infinito. Dato: G N m kg. Solución: En el punto P, cada una de las masas m 1 y m cea un campo gavitatoio, que epesentaemos po g 1 y po g, espectivamente. a) Paa halla g, utilizaemos la expesión: m g u Siendo u un vecto unitaio. Paa halla los vectoes unitaios u 1 y u, tendemos: u 1 (0 1) i +(0 3) j i 3 j y u (1 0) i +(0 3) j Así pues, tendemos que: g1 1m 1 u 1 6, ( i ) 3 j i 3 j ( i y g m u 6, ) 3 j 18

19 Siendo la intensidad de campo esultante: b) La enegía potencial en la posición inicial es: U 0 1m 1 g g;1 + g; 3, i 8, j m 6, (+4) 10 1 J En el infinito, la enegía potencial es: U 0, po lo que podemos pone: U 0 +W 0. Despejando, tendemos que W U J 40. (Comunidad Valenciana, Jun. 016) El planeta Júpite tada 4300 días teestes en descibi una óbita alededo del Sol. Calcula el adio de esa óbita suponiendo que es cicula. Datos: Constante de Gavitación Univesal, G N m kg ; Masa del Sol, M S, kg Solución: Aplicando la Tecea Ley de Keple: Obtendemos que: T 4π 3 T 6, ( ) 3 4π 3 4π 7, m 41. (Comunidad Valenciana, Jul. 016) Deduce azonadamente la expesión de la velocidad de escape de un planeta de adio R y masa M. Calcula la velocidad de escape del planeta Mate, sabiendo que su adio es de 3380 km y su densidad media es de 4000 kg/m 3. Dato: constante de gavitación univesal, 6, N m kg Solución: a) Aplicando el Pincipio de Consevación de la Enegía, tendemos que: Despejando, tendemos: U 0 +E c0 U +E c 0 v 19 m R + 1 mv 0

20 b) La velocidad de escape de Mate seá: 6, v π(3, ) 3 3, m s 1 4. (Comunidad Valenciana, Jul. 016) A qué altua desde la supeficie teeste, la intensidad del campo gavitatoio se educe a la cuata pate de su valo sobe dicha supeficie? Razona la espuesta. Dato: adio de la Tiea, 6370 km. Solución: La aceleación de la gavedad a una altua seá: g g 0 4 Polocual: 4 g 0 4 t 4 t T y h T T T 6, m 0