ELECTROSTÁTICA DEL VACÍO

Transcripción

1 Física II 7-8 ELECTROTÁTICA DEL VACÍO D. José Manuel Donoso Dpto. Física Aplicada, ETIAE, Univesidad Politécnica de Madid TOPIC: Ley de Coulomb, Campo ceado po distibuciones de caga, Teoema de Gauss y aplicaciones, Enegía electostática de una distibución

2 Pogama (ve apuntes de FII de ETIAE 6-7, tema ) Paa Contol º. q φ = = = ρ( ) E( ) d = E dv = dv E = i qi inteio a V Qint E d V V E d = ρ dv ρ ρ E = V = =, = = V =, Γ V E dl Γ E E V ρ U = V ρ dv = V E d+ E dv = E dv e vol A v v donde = Física II- Electostática en vacío ρ

3 Ley de Coulomb: inteacción electostática en el vacío. Física II- Electostática en vacío F La fueza de inteacción ente dos cagas en eposo sepaadas una distancia R en el vacío viene dada po la conocida Ley de Coulomb: R= q F Ke u R q R 4π = F q q qq ( ) = = = ( ) = qq = F 4π Ke = 9 N m C 4π 9 = 8,854 N m C = 8,854 Fm La fueza po cada unidad de caga en el punto P ocupado po la caga de pueba q puede medise po el vecto intensidad de campo electostático, o campo ceado po q en el punto P: F ( ) E q en NC ( ) = = ( ) q 4π

4 upeposición: i la caga q está sometida inteacción con n cagas puntuales, la fueza sobe q es la supeposición: q F q q q F F q q F= F = qq { } n n 4π = = q ( ) y F ( ) E ( ; q ) = lim = q n q 4π = e nomban: a, coodenadas de campo, las (o ) son coodenadas de fuente La fueza po unidad de caga en el punto P ocupado po q daía el campo E (vecto intensidad de campo electostático) ceado po la distibución de cagas puntuales en el punto. Esta magnitud vectoial caacteiza el campo electostático en cada punto del espacio (popiedad del espacio po esta la distibución de caga) y al pone en P una caga q de pueba, la fueza sobe ella seía: Física II- Electostática en vacío 4 F = qe

5 Líneas de campo: Las líneas de E son cuvas que nacen de cagas positivas (fuentes) y mueen en las negativas (sumideos). El fluo de E a tavés de supeficie de en un entono ceado del punto P con una caga puntual no seá nulo, y sí seá nulo si en el punto si en P no hay caga. q E q E E q (a) n n E = E = q (b) = 4π = ( ) Matemáticamente, esta popiedad de que E lo cean fuentes escalaes y del fluo del campo debe taducise en que la divegencia de E es nula si P no albega caga puntual. Compoba que E = si ugeencia: Una excelente web paa texto y visualización de campos Física II- Electostática en vacío 5

6 Apoximación del continuo: distibuciones continuas de caga A gan distancia de una distibución que ocupe volumen V, la caga apaece como continua: definimos densidad (volumética, supeficial o lineal) de caga. En un volumen pequeño δv que tenga δn patículas con caga de posición pomedio : dv dq de( ) ρ en δv dq ' ( ) = ( Cm ) δ v q δ v<< v dv ' i cada elemento de volumen (supeficie o longitud) se supone pequeño, la posición pasa a una posición pomedio (coodenadas de fuente), y la suma en se tansfoma en integal (paso al continuo) dando el vecto campo como: E ( ) = 4π dq' ρ( ) dv v dq' σ ( ) d ( ) E( ) =, σ en Cm 4π E( ) = dq' Física II- Electostática en vacío 6 λ( ) dl ( ) 4π Γ, λ en Cm

7 Teoema de Gauss en electostática Física II- Electostática en vacío 7 El fluo del campo ceado po una única caga puntual a tavés de una esfea de adio R abitaio que la odee es: v q e d e e q ( ) ( ) E de = d e = 4π q e e v e 4π 4 4 R e π R π = = R d e q = = Dado que la divegencia de E es nula donde no hay caga (no se cean ni destuyen líneas de campo) al fluo del campo ceado po una distibución a tavés de cualquie supeficie ceada sólo contibuián las cagas inteioes a : q q i q q... q ext φ qi qi inteio a V Qint = E d = =

8 Teoema (Ley) de Gauss en Electostática Física II- Electostática en vacío 8 El fluo del campo ceado po la distibución es popocional a la caga neta dento de la supeficie ceada. Las cagas exteioes q ext no contibuyen al fluo a tavés de la supeficie ceada, peo sí al campo en cada punto de ella: E es el campo ceado po toda la caga. En geneal: φ E( ) d ρ( ) dv = = = Q int v Po el Teoema de la Divegencia, la divegencia del campo es popocional a la densidad de volumética de caga en cada punto del espacio. Ley o Ecuación de Poisson: ρ( ) E( ) d = E dv = dv E = V V ρ Po esta azón div(e)) divege si en el punto hay cagas puntuales q i (o en puntos ocupados po hilos o láminas de caga). Recodad la extensión del poblema.9. EJEMPLO: EFERA Y CILINDRO DE CARGA. ección.8 de apuntes.

9 Potencial electostático. Física II- Electostática en vacío 9 Aplicando el segundo teoema de Gauss se pueba que el otacional de E es nulo, po lo que deiva de un potencial escala V y paa la electostática las ecuaciones de Maxwell (en fomas integal y difeencial) son E d = ρ dv ρ ρ E = V = V E dl =, Γ E = E = V V =, donde ρ = Γ La expesión de V puede deivase de la popiedad: ( ) = = Lo que lleva a: ( ) E( ) = ρ( ) dv ρ( ) dv 4π v = 4 v π E( ) = ρ( ) dv gad( V ) 4π v = dq' q V = (Em. caga puntual en : V = 4π 4 v π

10 Potencial: deivación física. Concepto. Física II- Electostática en vacío Paa una distibución disceta (continua) de caga estática se tiene: dv q V( ) = V( ) =, V( ) =, n n i i i= 4π i= i y con paso al continuo: dq ' ρ( ) dv V = etc V 4π = = 4π ( ),. Refeente : ( ) Dom V El tabao ealizado po el campo paa lleva la caga puntual de pueba q del punto de campo A al B po la cuva Γ es: B B B B W = F dl = q E dl = q V dl = q dv = q( V ( B) V ( A)), Γ ( ) AB A, Γ A, Γ A, Γ A La caga q en el punto de potencial V tiene enegía potencial electostática E p =qv+cte: W = q( V( B) V( A)) = E ; E = qv( ) F = E = qe AB p p p El potencial en un punto coincide con el tabao necesaio paa lleva la unidad de caga desde el infinito a dicho punto. Definición de voltio: completa discuti el signo de W (del campo) y W (a ealiza).

11 Campos de distibuciones de caga simples Física II- Electostática en vacío y dl α Campo de hilo de caga λ=cte y longitud L en un punto del plano = xi + y ; = y ; dl ' = dy ' P(x,y) x y' = Ymin de = λdl ( ) 4π y' = Ymax E ( xi ( y y ) ) / 4 dy λ + = π ( x + ( y y )) y -y x α y y dα x + ( y y ) tgα = dy = x = dα x cos α x E λ αmax max ( ) cos sin 4 d i λ α x min 4 x d = α α α α π α π αmin

12 Ao Física II- Electostática en vacío Caga en ao de λ=cte y adio R en un punto de su ee u dl u θ x z θ dl = y; = R u = R(cos θ' k + sin θ' i ) de de y λdl ( ) de = 4π = λdθ'( y R(sin θ' i + cos θ' k )) 4π dl = Rdθ ' ( y + R ) λ π Rdθ' y λ Ry π E( y) = = dθ ' 4 π ( y + R ) 4 π ( y + R ) / / También E = de cosα y cambio cosα = ( y + R ) / π π λ Rdθ' λ Ry E = cos α dθ' 4 π = ( y + R ) 4 π ( y + R ) /

13 Pág. 8 de apuntes Física II- Electostática en vacío Campo ceado po disco de densidad supeficial de caga σ =cte y adio R en un punto de ee OY de = σ ' dθ' d ( y (sin θ' i + cos θ' k )) 4π ( y + ' ) Integando paa toda la supeficie del disco σ y R d π E( y) = dθ ' / 4 π ( y + )

14 Poblemas. Eemplos. Física II- Electostática en vacío 4 ugeencias: ) Evalua el potencial electostático V del campo que cean las cagas, y 4 en el oigen. 4) Enegía potencial electostática de q en el campo que cean las demás cagas y tabao necesaio paa lleva ésta del oigen al infinito. 5) Enegía electostática U de la distibución de todas las cagas.

15 Poblemas Física II- Electostática en vacío 5 ugeencias: 4) Fluo del campo a tavés de las caas del cubo anteio. 5) La densidad de caga eléctica que genea dicho campo en todo punto del espacio 6) i E= fuea del cubo anteio, cuál seía la enegía electostática de la distibución? ol. A 9/45

16 Poblemas Física II- Electostática en vacío 7 ugeencia: ) Calcula el campo que cea el secto cicula en cualquie punto del ee OY. (Basta plantealo, deando el cálculo de la integal indicado, ya es un poblema sólo matemático)

17 Poblemas (Cilindo de H finita) Física II- Electostática en vacío 9 ugeencia: ) i la densidad de caga es ρ(z)= ρ z / H, donde ρ es una constante, calcula la caga neta y el campo en todo punto del ee OZ exteio al cilindo.

18 Esfea de caga. Método de supeficies de Gauss Tomando supeficies gaussianas esféicas concénticas dento y fuea de la distibución: G = R E d V u q q int φ = E = E u; d = d u E d = E d = E u d u = E( ) d = E( ) = E( )4π G G G G 4 π qint = Q = Q ( si ρ unifome) 4 π R R 4 d R ρ4 π = ρ π ; G int = R 4 ρ4 π = ρ π ; > Atención a los límites de integación paa V : d R R V R R V( R) R R E () ρ Q = = E; R i 4π R = ρr Q = = ; e > 4π E R Física II- Electostática en vacío V Potencial : dv = Ed dv = E( ') d ' V( a) ρr Q dv = E( ') d ' V = Ee ( ') d ' V = = ; R 4π R R Q dv = E( ') d ' V V ( R) = Ei ( ') d ' V = ; R 4π R R Ve el eemplo de esfea de caga con hueco excéntico. = a

19 Poblemas Física II- Electostática en vacío ugeencia: ) Evalua la enegía U electostática de la distibución. 4) Repeti el poblema si ρ= ρ (-c ) calculando pimeo c paa que Q sea nula y veifica que el campo es supeposición del campo de la esfea homogénea de caga ρ y del anteio paa k= - cρ

20 Plano infinito de caga (compaa con poblema.4 con adio R infinito) Distibución supeficial de caga unifome en plano infinito tomando supeficie gaussiana tipo caa de píldoas E d k E B = E = E k ; dl = dlu E d = db = d ; B = d k E d + E d + E d H G d B E d L u σ E( z) ( ) = sign z = σ < L B B G E d = E( Z ) π ; q = σ π d = σπ σ ; z > ; z G G dento G V( z) Física II- Electostática en vacío z σ σ dz = z, z = σ σ z dz = z, z ( si V () = V ( z) = σ z / ) i la densidad supeficial de caga vaía adialmente como se indica, calcula la caga total Q del plano e indica cómo calcula E en un punto del ee OZ. σ 'exp( '/ R ) sol. Q R, E z k d ' ( como.4) R σ = σe ( σ y R constantes) = πσ = / ( ' + z )

21 Poblemas H d d B B Cilindo infinito de caga homogénea y potencial nulo a la distancia R del ee: k R G E u d L E d = E ( ) π H G G E = E u ; d = d u d = d = d k; B L L B φ = E d = q int E d = E d + E d + E d L B B ρπ H ; R qint = ρdv = ρ πhd = ρπ RH; > R E () ρ si R = ρ > R si R R dv = V () = E( ') d V R ρ 4 ( ) R, R = ρr R ln, R Cómo se compotan E y V en el límite de tendiendo a infinito? Indica cómo esolve el poblema si al densidad vaiaa con z según (evalúa la caga total) : R ol. Po integación diecta como.5, basta indicalo ρ( z) = ρ ( si R, z; ρ = si > R ) z + R Física II- Electostática en vacío

22 Poblemas Física II- Electostática en vacío 4 ugeencia: ) Calcula la caga almacenada po el cilindo po cada unidad de longitud en z (altua) o sea λ =lim Δz Δq/Δz (en este caso se ve que λ =Q/L, es homogénea, con Q la caga en L metos). (ol. λ= ρ πr ) ) Repeti el poblema si ρ= ρ (-c /R ) calculando c paa que la densidad lineal de caga a lo lago del cilindo sea ahoa nula. (ol. c=/)

23 Enegía electostática U de una distibución de caga Física II- Electostática en vacío 5 La enegía electostática de una distibución espacial de caga: enegía necesaia paa foma esa configuación. Coincide con el tabao ealizado paa dispone las cagas tayéndolas desde el infinito. Razonando po inducción: Paa situa la caga en el punto libe de campo no se equiee enegía U () = U () + qv ( ) = e e, q q q qq qq qq = q q 4π + + 4π 4π = + + 4π,,, qq i qq i = = 4π 4π paes(, i ) i paes(, i ) i, U () e = umando la enegía necesaia paa situa la caga, tayéndola desde el infinito, en punto del campo ceado po la caga : q qq Ue() = Ue() + qv ( ) = q = 4π 4π, umando la enegía necesaia paa situa la caga en el punto del campo ceado po las cagas y :

24 U paa distibución egula de caga: Física II- Electostática en vacío 6 Peo la suma en paes también se puede expesa como: qq qq qq qq qq qq qq qq qq + + = π,,, 4π,,,,,, qq qq q = = q i i i paes(, i ) 4π i i 4 i, i i 4 i π π i, Paa intoduci la caga 4, la 5 y la n-ésima en el campo ceado po las n- estantes: nn, qq i qq i U e = U (4) = U () + qv ( ) = e e 4,, 4 paes(, i ) 4π i, paes(, i ) 4π i n qq i q U ( n) = U ( n ) + q V ( ) = e e n,..., n n Ue qi paes (, i ) 4π = i, i= i 4π i, =... n notando po Vqi el potencial ceado en la posición de q i po las (n-) cagas estantes: n n qq i Ue = qi = qi Vqi ( i ) i= i4π i, i=

25 U paa distibución egula de caga: Física II- Electostática en vacío 7 i la distibución no tiene singulaidades (cagas puntuales) la densidad de caga es una función suave (egula) y la enegía Ue se puede evalua po integación diecta según: ρ dvv vol Ue = dqv () = qtotal σ dsv = QV, Em. si es supeficie equipotencial s U e V ρ ( VE) = V E+ E V ( VE) = V E EE = E ρ con E= V y E= dv ( V ) = V d E E v A Ene. almacenada po la distibuc. = V dv = V E d+ E dv = vol Ene. del campo ρ A v v E dv La integal de supeficie es ceo: si el volumen de integación v se extiende a todo el espacio (con una distibución egula sin caga en el infinito) paa gande, sobe una supeficie esféica de adio se dan los compotamientos asintóticos: V~/, E~/ y ~ => V E ~ / ~

26 Poblemas Física II- Electostática en vacío 8 ugeencia: Repeti el poblema añadiendo en los planos x=d/ y x= - D/ láminas infinitas de caga de densidades supeficiales σ y -σ cuánto vale E en x= entonces?

27 Poblemas Física II- Electostática en vacío 9

28 Coodinates. Line, suface and volume Elements. Física II- Electostática conductoes