Resolviendo la Ecuación de Schrodinger en 1-D

Transcripción

1 Resolvieno la Ecación e Schoinge en -D D. Hécto René VEGA-ARRILLO so e Física Moena Unia Acaémica e Ingenieía Eléctica Univesia Atónoma e Zacatecas Docmento: FM/Notas/RES/ Domingo/-Mazo/009

2 ontenio apitlo Tema Página I Intocción 3 I. Solción en -D 4 I... ooenaas Rectanglaes 5 I... ooenaas ilínicas 6 I..3 ooenaas Esféicas 8

3 I. INTRODUIÓN. La ecación e Schoinge es na ecación ifeencial pacial. Este tipo e ecaciones ifeenciales son complicaas e esolve ya qe la solción es na fnción qe epene e mas e na vaiable. En la solción e esta ecación es my común qe se tilicen métoos nméicos ya qe solo en cietos casos se pee obtene na solción exacta. En esta sección esolveemos algnos casos simples e esta ecación tilizano métoos exactos. Los casos qe aboaemos implican sistemas cooenaos catesianos o ectanglaes, cilínicos y esféicos. Paa esto vale la pena escibi el opeao laplaciano en los ifeentes sistemas cooenaos. ooenaas atesianas o Rectanglaes: x y z Ψ( x, y, z) () ooenaas ilínicas: θ z Ψ(, θ, z) () ooenaas Esféicas: sen θ Ψ (3) sen (, θ, φ) sen θ θ θ θ φ 3

4 I..- Solción paa casos en -D...- ooenaas Rectanglaes. omenzaemos esolvieno la ecación e Schoinge en cooenaas ectanglaes. Paa esto vamos a spone qe el poblema qe intentamos esolve es no one el potencial V, vale ceo y la fnción e ona se encenta en estao estacionaio; esto último significa qe no vaía con especto al tiempo. Bajo estas coniciones la ecación e Schoinge se ece a na expesión más simple qe se mesta en la ecación (4). h Ψ(x) 0 (4) 8 π m La ecación 4 se simplifica aún mas si el opeao laplaciano solo se ece al opeao qe epene e x y el coeficiente e la ecación se envía al lao eecho e la misma, como se mesta en la ecación (5). Ψ(x) x 0 (5) La ecación esltante es na ecación ifeencial lineal, oinaia e segno oe, homogénea y con coeficientes constantes, este tipo e ecaciones se pee esolve meiante el métoo e la Tansfomaa e Laplace, Seies e Potencia o meiante la Ecación Axilia o aacteística. Usano este último métoo sobe la ecación (5) obtenemos lo sigiente, Ψ(x) 0 x x m Ψ(x) 0 0, Ecación caacteística 4

5 Resolvieno la ecación caacteística, qe es na simple ecación algebaica, nos a como esltao os aíces, m y m, m m m ± 0 0, 0 Ante este tipo e solción e la ecación caacteística, aíces eales y epetias, la solción geneal e la ecación ifeencial es la mostaa en la ecación (6). Ψ ( x) x (6) La fnción (6) epesenta n númeo infinito e solciones, toas ellas son líneas ectas. De ese númeo infinito e solciones solo na epesenta la solción el poblema, paa etemina cál es ésta necesitamos obtene os coniciones e fontea, qe en ealia epesenta sabe el valo e la solción en al menos os pntos. omo se pee apecia en este tipo e cooenaas también poemos esolve la ecación e Schoinge cano Ψ f(y) y Ψ f(z). 5

6 ...- ooenaas ilínicas. Resolvieno ahoa la ecación (), sponieno qe Ψ epene solo e, nos obliga a eescibi la ecación () como se mesta en la ecación (7). () Ψ (7) Entonces la ecación e Schoinge, bajo las coniciones efinias anteiomente, qea como se mesta en la ecación (8). 0 (8) Si eescibimos la ecación (8) en foma mas compacta, 0 (9) Paa esolve la ecación (9), vamos a escibila e la sigiente foma, one ya no es necesaio tiliza el símbolo paa las eivaas paciales pesto qe la fnción Ψ f() Ψ 0 (0) Integano en ambos laos e la ecación (0), Ψ 0 Ψ () Aeglano las vaiables y volvieno a intega obtenemos, 6

7 Ψ Ψ,, Ψ, int egano en ambos laos, Ψ Ψ() ln() Po lo tanto la solción e la ecación (9) es la ecación (), qe epesenta n númeo infinito e fnciones logaitmicas. omo en el caso e las cooenaas ectanglaes, necesitamos coniciones a la fontea paa selecciona e ese númeo infinito e posibiliaes aqella qe esciba la física e nesto poblema. Ψ ( ) ln() () Note qe en este sistema e cooenaas, casos en -D también implica la solción e los sigientes casos: Ψ f(θ) y Ψ f(z) 7

8 ..3.- ooenaas Esféicas. Ahoa poceeemos a esolve la ecación e Schoninge en cooenaas esféicas en na imensión. omo en los casos pevios la patícla se meve en n pnto one el potencial es nlo y s fnción e ona está en estao estacionaio. Si sponemos qe la patícla se meve solo en el eje, el laplaciano solo tiene la pate qe epene e, como se mesta en la ecación (3). () Ψ (3) Entonces la ecación e Schoinge a esolve es, 0 (4) En este caso vamos a eescibi la ecación (4) e la sigiente foma, Ψ Ψ Ψ Ψ 0 0 (5) La ecación 5 es na ecación oinaia e segno oen, homogénea con coeficientes vaiables, po lo tanto no poemos tiliza el métoo e la ecación caacteística. En esta sitación vamos a intenta esolvela intocieno n cambio e vaiable: Ψ /. 8

9 9 0, 0 () eliminano los téminos igales, 0, 0, Resolviénola meiante el métoo e la ecación caacteística, 0, m 0, Ecación caacteística Esta ecación tiene os aíces, 0 m, ±, estas aíces son eales e igales, po lo tanto la solción e la ecación ifeencial es, (), eshacieno el cambio e vaiable, Ψ, entonces la solción e la ecación (5) es la ecación (6)., ) ( Ψ () Ψ (6)

10 omo en los casos anteioes, tenemos n númeo infinito e solciones; en este caso son e tipo hipebólico. Note qe en este sistema e cooenaas, casos en -D también implica la solción e los sigientes casos: Ψ f(θ) y Ψ f(φ). 0