DISEÑO DE CONTROLADORES ADAPTATIVOS PARA CONTROLAR LA POSICIÓN DE UN ROBOT: TEORÍA Y SIMULACIÓN.

Transcripción

1 ISEÑO E CONROLAORES AAAIVOS ARA CONROLAR LA OSICIÓN E UN ROBO: EORÍA Y SIMULACIÓN. RESUMEN: aa contola la posición e un obot, se estuiaon os métoos e contol aaptativo: inámica invesa y Métoo e Slotine-Li. El objetivo el contol aaptativo es consegui mejoa en el esempeño con especto a estabilia, eo e posición u otas especificaciones, a pesa e incetiumbes en los paámetos ineciales el moelo e las aticulaciones, intefeencias extenas y compotamientos inámicos no moelaos como flexibilia e las aticulaciones y enlaces, inámica e los actuaoes, ficción, uio povocao po los sensoes y inámica esconocia el entono.. INROUCCIÓN El objetivo e un sistema e contol po Moelo e Refeencia es ue el compotamiento el sistema a contola sea lo más póximo posible a un sistema moelo, enominao moelo e efeencia. El contolao se iseña con esta finalia, genealmente meiante ealimentación e estao. Si el contolao es aaptativo entonces se está hablano e contol po moelo e efeencia. Hace ue el sistema a contola y el moelo tengan el mismo compotamiento significa ue el eo ente las vaiables e estao e ambos sistemas sea nulo, o en su efecto lo meno posible. Es eci, ue la evolución tempoal e sus vaiables e estao sea la misma. e este moo si el sistema ue se está contolano es no lineal peo el moelo es lineal, se estaá linealizano. La valiez e un sistema e contol aaptativo po moelo e efeencia paa linealiza estaá en cuanto a ue sea capaz e foza al sistema no lineal a segui, a compotase igual, al lineal ue le sive e moelo. Este esuema consta e 4 pates:. Una planta ue contiene paámetos esconocios.. Un moelo e efeencia paa especifica la salia eseaa el sistema. 3. Una ley e contol ealimentaa contenieno paámetos estimaos. 4. Un mecanismo e aaptación paa actualiza los paámetos estimaos. Se asume ue la planta tiene una estuctua conocia peo algunos e sus paámetos son esconocios. Aemás, la elección el moelo e efeencia tiene ue satisface las caacteísticas eseaas paa el sistema a contola, como tiempo e establecimiento, sobeamotiguamiento, etc. El contolao, en ausencia e incetiumbes, ebe loga ue la salia e la planta sea iéntica a la el moelo e efeencia. Cuano los paámetos no son conocios, el mecanismo e aaptación ebe ajusta los paámetos el contolao con la finalia e loga un seguimiento pefecto e manea asintótica. El objetivo e icho mecanismo e aaptación es consegui ue el eo e seguimiento conveja a ceo. aa esto, se utilizan técnicas e análisis e estabilia paa sistemas no lineales según Lyapunov. Estas técnicas pemiten euci si un sistema epesentao

2 po un conjunto e ecuaciones no lineales es estable o asintóticamente estable sin necesia e esolve ecuaciones. Sistema e Contol Aaptativo e Moelo e Refeencia. MÉOOS Y MAERIALES. Estabilia e sistemas no lineales po el métoo iecto e Lyapunov. Este métoo consiste en ue si la enegía total e un sistema mecánico o eléctico es continuamente isipaa, entonces el sistema acabaá convegieno hacia un punto e euilibio. e este moo, poemos euci la estabilia el sistema examinano la vaiación e una función escala epesentativa e su estao enegético. Un sistema no lineal puee epesentase como un conjunto e ecuaciones ifeenciales no lineales e la foma: x (t) f(x,t) Aunue esta ecuación no contiene explícitamente la entaa e contol como una vaiable, se puee aplica a sistemas e contol etoalimentaos, ya ue la entaa e contol seá función el estao x y el tiempo t. o tanto: x=f(x,u,t) y como u=g(x,t) sustituyeno tenemos una inámica en lazo ceao e x=f(x, g(x,t),t)...a unto e euilibio Un estao x* es un punto e euilibio el sistema a pati el tiempo t 0 si se cumple ue f(x*,t)=0 t 0. Una vez ue x(t) ha alcanzao el estao x*, entonces pemanece en icho estao paa too tiempo futuo. OBSERVACIÓN: Se puee consiea ue el punto e euilibio el sistema se encuenta en el oigen ( x 0 0 ). Esto no es una péia e genealia ya ue se puee obtene meiante una simple taslación e las vaiables e estao. Nos inteesa evalua la estabilia e este punto e euilibio, es eci, ué pasa si petubamos el estao el sistema y este se aleja el punto e euilibio?..b Estabilia en el sentio e Lyapunov

3 a) El sistema es estable en el punto e euilibio x* si paa cualuie Q>0, existe >0 tal ue si x(0) <, entonces x(t) <Q paa too t>=0. e ota manea el sistema es inestable. La iea es ue si el sistema empieza a evoluciona ento e una bola e aio entonces ueaá confinao ento e la bola e aio Q. I B U J O ibujo. Estabilia en el sentio e Lyapunov b) Estabilia asintótica El sistema es asintóticamente estable en el punto e euilibio x* si es estable y aemás existe algún >0 tal ue una conición inicial x(0) < implica ue x(t) 0 cuano t. ibujo3. Estabilia asintótica..c Función e Lyapunov Si en un entono BR0 la función V(x) es efinia positiva, tiene eivaas paciales continuas y su eivaa a tavés e una tayectoia e estao es efinia seminegativa (V(x)>=0) entonces ecimos ue V(x) es una función e Lyapunov el sistema... eoema e Lyapunov paa estabilia local. 3

4 Si en un entono BR0 continuas tal ue: existe una función escala V(x) con las pimeas eivaas a) V(x) es efinia positiva (localmente en R0 b) (x) v es semiefinia negativa (locamente en R0 Entonces se ice ue el punto e euilibio es localmente estable. Si v (x) es efinia negativa localmente en B R0, entonces la estabilia es asintótica...e eoema e Lyapunov paa estabilia global. Si existe una función escala V el estao x, con pimea eivaas continuas tal ue: a) V(x) es efinia positiva b) v (x) es efinia negativa c) V(x) cuano x Entonces el punto e euilibio en el oigen es asintóticamente estable e manea global. OBERVACIÓN: Una poblemática habitual en el análisis e estabilia e los sistemas no lineales es enconta una función e Lyapunov. Con esta finalia, es inteesante fijase en la física el sistema. e esta manea evitaemos el engooso métoo e pueba y eo. B ) 3. Estabilia asintótica global e un contolao e posición e un obot. La inámica e un obot se epesenta po un sistema e n ecuaciones no lineales: C( ) g ( ) u (3.) one es un vecto n imensional ue escibe las aticulaciones el obot, u es el vecto e pa e entaa, C epesenta las fuezas e Coiolis y centípetas povocaas po el movimiento e los segmentos el obot, g moela el efecto e la gavea, M es la matiz e inecia el obot (e imensión nxn). Ahoa consieemos la ley e contol: u K K g() (3.) El cual es un contolao ue consta e un témino compensao e la gavea g() y un témino ( K K ) one K y K son os matices e imensión nxn siméticas y efinias positivas. Se popone la función e Lyapunov caniata : V M K B ) (3.3) 4

5 e eivano esta función V: V ( u g ) K (3.4) Sustituyeno la ley e contol (.) en la expesión (.4) se obtiene: V K 0 (.5) Entonces el sistema en lazo ceao seá asintóticamente estable y el eo e seguimiento teneá a ceo. 3. INÁMICA INVERSA AAAIVA. aa poe utiliza esta técnica se euiee e la meia e la aceleación el obot y el cálculo e la invesa e la matiz inecial. Consieemos el sistema: h( ) u (3..) La ley e contol e la inámica invesa el sistema es: u M(ˆ )( K ek e ) h (ˆ, ) (3..) one. 0 es la tayectoia eseaa y e es el eo e seguimiento tal ue La ecuación (3..) puee eescibise como una elación lineal ente paámetos ue son función e masas y momentos e inecia: h( ) Y (, ) p u (3..3) one Y es una matiz e funciones conocias y p es un vecto e paámetos con incetiumbe. Igualano las ecuaciones (3..) y (3..) obtenemos: M h M ˆ( K e K e) hˆ 0 oemos eescibila como: (3..4) Mˆ( e K e K e ) M h Y (, ) p (3..5) M 0 one, h, p epesentan la ifeencia ente los valoes estimaos y los eales. Consieano ue la matiz e paámetos ineciales estimaa es invetible, entonces la inámica el eo se puee escibi como: e Ke K e Mˆ Yp p (3..6) 0 5

6 3. Actualización el vecto p estimao y compobación e la estabilia global el sistema. Sea Q una matiz simética y efinia positiva. Resolvieno la ecuación e Lyapunov: A A Q 0 (3..7) (3.7) Se escoge como caniata la función: V x x p p (3..8) (3.8) eivano se obtiene V x Qx p ( B x p ) aa ue el sistema sea estable según Lyapunov, se escoge una ley e aaptación e manea ue se elimine el seguno témino e la eivaa. Sea p B x Como p es constante entonces es: pˆ B x Entonces V x Qx 0 y el sistema es estable. 3.3 EL ALGORIMO E SLOINE-LI. p p ˆ, entonces la ley e aaptación ue se obtiene aa la ecuación geneal e la inámica el manipulao: C( ) g ( ) u (3.3.) Con la ley e contol: u= v C ( ) v g ( ) K ( v ) (3.3.) one v ( ), entonces v e one es una matiz iagonal e ganancias positivas. Sea v e e con ei y sustituyeno (4.) en (4.), se obtiene: M( ) C ( ) K 0 (3.3.3) Compobación e la estabilia via técnica e Lyapunov. La función caniata e Lyapunov es: V Cuya eivaa es: 6

7 V C( ) K Entonces Y el sistema es estable. V K 0. Mateial utilizao: Computaoa, softwaes: Mat-Lab, Wo, Latex, F. RESULAOS: Aplicación e la inámica Invesa Aaptativa. Consiee un manipulao con una aticulación: I MgLsen() u Con la ley e contol: u Iv ˆ MgLsen ˆ ( ) one v w( ) w ( ) aa w 0, I 0 MgL, Iˆ 5 Mg L se obtiene: p I 0 0 p, p MgL, A ˆp sen( ), C 00 0 ˆ Y la solución e Lyapunov paa Q=I es: Aplicación el algoitmo e Slotine-Li Consiee el caso e un manipulao con una sola aticulación: I MgLsen() u Y la ley e contol es: ˆ u Iv MgLsen ˆ ( ) K con v v ( ) ; Entonces el sistema esultante es: I K Y ( v, ) p con Y( v, ) v, sen Actualmente uno e los temas más impotantes en la investigación en obótica es el contol e movimiento e obots, esto con la finalia e ue los obots sean más ápios, seguos y eficientes e foma ue puean se aplicables en los sectoes más emegentes. 7