Recursión y Relaciones de Recurrencia. UCR ECCI CI-1204 Matemáticas Discretas Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Transcripción

1 Reusión y Relaiones de Reuenia UCR ECCI CI-04 Matemátias Disetas Pof. M.S. Kysia Daviana Ramíez Benavides

2 Pogesión Geométia Es una suesión infinita de númeos donde el oiente de ualquie témino (distinto del pimeo) ente su pedeeso es una onstante llamada azón omún. Ejemplos: 5, 5, 45, 35, 5/5 = 3, 45/5 = 3, 35/45 = 3, 5 = 3*5, 45 = 3*5, 35 = 3*45, 7,, 63, 89, /7 = 3, 63/ = 3, 89/63 = 3, = 3*7, 63 = 3*, 89 = 3*63, UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia

3 Relaión de Reuenia Es una euaión en donde paa obtene el valo atual se depende de uno o más valoes pedeesoes inmediatos a él. e0 e e ek a + a + a a = f n, n k n n a0 = A Donde: 0, a n = n A,..., a n k n = A k k Z +, detemina el oden de la elaión y debe se n k. e i Z +, i = 0,,,..., k, detemina si la elaión es lineal o no. f(n) es una funión dada, n N y de oden k. Cada n i R, i = 0,,,..., k y n 0. Son los oefiientes de la elaión. Cada a j R, j = 0,,,..., k-. Son las ondiiones fontea o iniiales. n k n k ( ) UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 3

4 Relaión de Reuenia (ont.) Una elaión de euenia paa una suesión {a 0, a, a, a 3, } es una fómula que expesa ada témino a n, a pati de ieto n N, en funión de uno o más de los téminos que le peeden. Los valoes de los téminos neesaios paa empeza a alula se llaman ondiiones iniiales. Se die que una suesión es una soluión de la elaión de euenia si su témino geneal veifia diha elaión. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 4

5 Relaión de Reuenia (ont.) Las elaiones de euenia pueden onsidease omo ténias avanzadas de onteo. Resuelve poblemas uya soluión no puede obtenese usando vaiaiones, pemutaiones, ombinaiones o on las ténias deivadas del pinipio de inlusión-exlusión. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 5

6 Relaión de Reuenia (ont.) Ejemplos: 5, 5, 45, 35, a n+ = 3a n, a 0 = 5, n 0 7,, 63, 89, a n+ = 3a n, a 0 = 7, n 0 UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 6

7 Relaión de Reuenia (ont.) Toda elaión de euenia tiene: Coefiientes, pueden se onstantes o vaiables, que son valoes que están multipliando ada témino on subíndie de la elaión de euenia. Condiiones fontea o iniiales, que son los valoes iniiales que se neesitan paa esolve la elaión de euenia, y se denotan omo a 0, a,, a k-. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 7

8 Relaión de Reuenia (ont.) Una elaión de euenia puede se: Pime Oden: Cuando la elaión de euenia sólo depende de su pedeeso inmediato. Ejemplo: a n+ = 3a n, a 0 = 5, n 0. Segundo Oden: Cuando la elaión de euenia depende de sus dos pedeesoes inmediatos. Ejemplo: a n = a n- + 5a n-, a 0 = 0, a =, n. Lineal: Cuando ada témino on subíndie de la elaión de euenia apaee elevado a la pimea potenia. Ejemplo: a n+ = 3a n, a 0 = 5, n 0. No Lineal: Cuando algún témino on subíndie de la elaión de euenia apaee elevado a una potenia difeente a la pimea potenia. Ejemplo: a n+ = 3a n, a 0 = 5, n 0. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 8

9 Relaión de Reuenia (ont.) Una elaión de euenia puede se: Homogénea: Cuando f(n) = 0 paa todo n N. Ejemplo: a n+ = 3a n a n+ 3a n = 0, a 0 = 5, n 0. No Homogénea: Cuando f(n) 0 paa todo n N. Ejemplo: a n+ = 3a n + n a n+ 3a n = n, a 0 = 5, n 0. Coefiientes Constantes: Cuando ada témino on subíndie de la elaión de euenia está multipliado po una onstante. Ejemplo: a n+ = 3a n, a 0 = 5, n 0. Coefiientes Vaiables: Cuando algún témino on subíndie de la elaión de euenia está multipliado po una valo vaiable. Ejemplo: a n = na n-, a 0 =, n. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 9

10 Relaiones de Reuenia (ont.) La soluión geneal de una elaión de euenia es el valo de a n es una funión de n que no depende de los téminos anteioes de la suesión, una vez definido las ondiiones fontea o iniiales, que se obtiene a pati de la elaión de euenia. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 0

11 Soluión Geneal: Relaiones de Reuenia de Pime Oden, Lineales, Homogéneas y on Coefiientes Constantes La elaión de euenia a n+ = a n, a 0 = A 0, n 0 Donde: es una onstante difeente de eo. a 0 = A 0 es únia. La soluión geneal de diha elaión está dada po a n = A 0 n, n 0. Está última euaión es una funión diseta uyo dominio es el onjunto N de los enteos no negativos. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia

12 Soluión Geneal: Relaiones de Reuenia de Segundo Oden, Lineales, Homogéneas y on Coefiientes Constantes La elaión de euenia n+ a n+ + n+ a n+ + n a n = 0, a 0 = A 0, a = A, n 0 Donde: n+, n+ y n son onstantes difeentes de eo. a 0 = A 0 y a = A son únias. Paa obtene la soluión geneal de diha elaión: Se sustituye a n = d n, donde d 0 y 0, se obtiene: n+ d n+ + n+ d n+ + n d n = 0. Se saa omo fato omún d n, se obtiene una euaión uadátia llamada euaión aateístia: n+ + n+ + n = 0. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia

13 Soluión Geneal: Relaiones de Reuenia de Segundo Oden, Lineales, Homogéneas y on Coefiientes Constantes (ont.) Paa obtene la soluión geneal de diha elaión: Se esuelve la euaión uadátia y se obtiene las aíes de esa euaión y, estas son llamadas aíes aateístias. Estas aíes pueden se: númeos eales distintos, númeos eales iguales y númeos omplejos onjugados. Sólo se analizaá los dos pimeos asos. Si las aíes obtenidas son númeos eales distintos se va fomando la soluión geneal de la siguiente manea: a n = n + n. Si las aíes obtenidas son númeos eales iguales se va fomando la soluión geneal de la siguiente manea: a n = n + n n. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 3

14 UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 4 Soluión Geneal: Relaiones de Reuenia de Segundo Oden, Lineales, Homogéneas y on Coefiientes Constantes (ont.) Paa obtene la soluión geneal de diha elaión: Una vez que se tiene este avane de la soluión geneal on las ondiiones fontea o iniiales se foma un sistema de euaiones y se halla y. Con los valoes que se obtengan de las aíes y, y las onstantes y se obtiene la soluión geneal de la elaión de euenia: a n = n + n, n 0 Raíes difeentes. a n = n + n n, n 0 Raíes iguales. Raíes eales iguales 0 Raíes eales difeentes = + = = + = + = + = + = + = A a A a A a A a

15 Soluión Geneal: Relaiones de Reuenia de Pime o Segundo Oden, Lineales, No Homogéneas y on Coefiientes Constantes La elaión de euenia n+ a n+ + n+ a n+ + n a n =f(n), a 0 = A 0, a = A, n 0 Donde: f(n) 0. n+, n+ y n son onstantes difeentes de eo. a 0 = A 0 y a = A son únias. Paa obtene la soluión geneal de diha elaión se suma la soluión homogénea asoiada a nh y la soluión patiula a np. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 5

16 Soluión Geneal: Relaiones de Reuenia de Pime o Segundo Oden, Lineales, No Homogéneas y on Coefiientes Constantes (ont.) Paa obtene la soluión geneal de diha elaión se ealiza lo siguiente: Se esuelve la elaión homogénea asoiada omo se onoe sin saa las onstantes, on los pasos anteiomente dados, y así se obtendá la soluión homogénea asoiada a nh. Luego, se obtiene la soluión patiula a np obsevando la funión dada f(n) y busando en la tabla. Si a np ontiene aíes distintas a las obtenidas en a nh, entones se pasa al siguiente paso. Si ontiene una aíz igual a las obtenidas en a nh, entones a np = na np y se pasa al siguiente paso. Si ontiene dos aíes iguales a las obtenidas en a nh, entones a np = n a np y se pasa al siguiente paso. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 6

17 Soluión Geneal: Relaiones de Reuenia de Pime o Segundo Oden, Lineales, No Homogéneas y on Coefiientes Constantes (ont.) f(n), onstante n n n t, t Z+ n, R n t n a n p A, onstante A n + A 0 A n + A n + A 0 A t n t + A t- n t- + + A n + A 0 A n n (A t n t + A t- n t- + + A n + A 0 ) Tabla UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 7

18 Soluión Geneal: Relaiones de Reuenia de Pime o Segundo Oden, Lineales, No Homogéneas y on Coefiientes Constantes (ont.) Paa obtene la soluión geneal de diha elaión se ealiza lo siguiente: Se obtiene el valo de ada onstante de la a np, o sea, las onstantes A t, A t-,..., A, A 0 ; lo ual se loga sustituyendo ada témino a n de la elaión de euenia dada po la a np y esolviendo la euaión. Po ejemplo: f(n) = n, po lo tanto a np = A n, entones se obtiene algo así: n+ A n+ + n+ A n+ + n A n = n Con la soluión homogénea asoiada a nh y la soluión patiula a p n obtenidas se tiene la soluión geneal de la elaión de euenia a n = a nh + a np. Po último, se alula los valoes y de la soluión homogénea asoiada, mediante un sistema de euaiones, sustituyendo on las ondiiones iniiales dadas. Con esto se obtiene la soluión geneal de la elaión de euenia. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 8

19 Tansfomaión de una Relaión de Reuenia No Lineal a Lineal Se puede tansfoma una elaión de euenia no lineal a lineal paa pode esolvela mediante una sustituión algebaia b n = a n. Ejemplo: a n+ = 3a n, a 0 = 3, n 0 b n+ = 3b n, b 0 = 9, n 0 Una vez heho esto se puede esolve omo una elaión de euenia lineal, paa este ejemplo oesponde a una elaión de pime oden, homogénea y on oefiientes onstantes. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 9

20 Tansfomaión de una Relaión de Reuenia No Lineal a Lineal Después de esolvela se saa la aíz a ada númeo obtenido en la soluión geneal paa tene la soluión geneal de la elaión de euenia no lineal. Ejemplo: b n = 9*3 n, n 0 a n = 3* 3 n, n 0 UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia 0

21 Refeenias Bibliogáfias Jonnsonbaugh, Rihad. Matemátias Disetas. Pentie Hall, Méxio. Sexta Ediión, 005. Gimaldi, Ralph P. Matemátia Diseta y Combinatoia. Addison Wesley Longman de Méxio, S.A. Teea Ediión, 998. UCR-ECCI CI-04 Matemátias Disetas Reusión y Relaiones de Reuenia