VECTORES EN TRES DIMENSIONES

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1 FÍSIC PR TODOS 1 CRLOS JIMENEZ HURNG VECTORES EN TRES DIMENSIONES Los vetoes pueden epesase en funión de oodenadas, de la siguiente manea: a; b; ) o de ota foma: a i + b j + k donde: i, j, k, son vetoes denominados, vetoes unitaios que indian la dieión de los ejes,, espetivamente. a El módulo del veto es igual: a + b + Ejemplo: El módulo del veto: i + j + k Es igual a: α COSENOS DIRECTORES: os α + os β + os θ 1 a os α a osα θ β b SUM DE VECTORES Si se tiene: a1; b1 ; 1) a ; b ; ) Entones: + a + a ; b + b ; + ) Ejemplo: alula el módulo del veto esultante de los siguientes vetoes: ;1; ) 1; 3;1) C 1;1; 1) La esultante de estos vetoes es: R + + C R + 1 1; ; + 1 1) R ; 1; ) También se epesa: R i j k El módulo de la esultante es: R ) R 3 + 1) + ) REST DE VECTORES Si se tiene: a1; b1 ; 1) a ; b ; ) Entones: a a ; b b ; ) Ejemplo: Calula: Si se tiene: 4; 8; 6) 1; 4; ) b os β b osβ os θ osθ α: ángulo que foma el veto on el eje β: ángulo que foma el veto on el eje θ: ángulo que foma el veto on el eje La esta de los vetoes es: 4 1; 8 4; 6 ) 3; 1; 4) También se epesa: 3 i 1 j + 4k El módulo del veto esta es: 3) + 1) + 4)

2 FÍSIC PR TODOS CRLOS JIMENEZ HURNG PRODUCTO DE VECTORES Poduto esala ) l multiplia esalamente dos vetoes, se obtiene omo esultado un númeo. Diho númeo se obtiene multipliando los módulos de los vetoes po el oseno del ángulo que foman dihos vetoes. θ osθ Ejemplo: Si los módulos de los vetoes son 1, 6 el ángulo que foman dihos vetoes es 60º. Calula el poduto esala de ellos. osθ 1)6) os60º 7)0,5) 36 Ejemplo: Si se tiene los vetoes: 1; ; ) 3; 1; ) Calula el poduto esala 1)3) + )-1) + -)) Caso patiula: Cuando dos vetoes son pependiulaes ente sí, el poduto esala de ellos es CERO 0 Ejemplo: Si los vetoes son pependiulaes ente si, halla el valo de a a; ; ) 3; 1; a) Si son pependiulaes, se umple: 0 Osea: a)3) + )-1) + -)a) 0 3a a 0 a Poduto vetoial ) l multiplia vetoialmente dos vetoes se obtiene omo esultado a oto veto. El módulo de ese veto es igual al poduto de los módulos de los vetoes a multiplia po seno del ángulo que foman ente sí. senθ La dieión de diho veto es pependiula al plano que ontiene a los vetoes Si los vetoes son dados de la siguiente foma: 1; ; 3) 4; 5; 6) Su poduto vetoial se detemina así: 6 5 3) i ) j ) k 1 15) i 6 1) j + 5 8) k 3i + 6 j 3k Si se desea alula el módulo del poduto vetoial se poede a efetua así: 3i + 6 j 3k 3 3) + 6) i j k ) 54

3 FÍSIC PR TODOS 3 CRLOS JIMENEZ HURNG Cómo se detemina el veto unitaio de un veto? El veto unitaio de ualquie veto Se epesa de la siguiente manea: u Ejemplo: Paa detemina el veto unitaio del veto: i + j + k, se detemina en pime luga, su módulo: i + j + k Entones: u 3 El veto unitaio del veto, es igual a: i j k u Cómo se detemina la euaión vetoial de un veto? El veto está ente los puntos: ; 4; 1) 6; 3; 5) Su euaión vetoial se obtiene estando el punto del etemo del veto menos el punto del oigen del veto: 6; 3; 5) ; 4; 1) 6 - ; 3-4; 5-1) 4; -1; 4) 4 i j + 4k ; 4; 1) 6; 3; 5) PROLEMS PROPUESTOS 1. Calula la esultante R ) de los siguientes 3 vetoes: i + j 3k i + 3 j + k C 4 i j + k ) R i + 3 j + 3k ) R i + 3 j + k C) R i + 3 j k D) R i + 3 j + k E) R i + 5 j + k.- Detemine el módulo del veto F, si: F + 3C i + j + k i j + k C i + 3 j k ) 6 ) 6 C) 6 3 D) 6 5 E) 1 3. Si el módulo del veto es igual a 3, alula el módulo del veto : 1; a; a); a; a; 4) ) 4 ) 4 C) 6 D) 6 E) Detemine los valoes de m n si se umple la siguiente elaión: m + nc i j ; i + j + 3k ; C i + j + k Da omo espuesta: m+ n ) 0 ) -1 C) +1 D) + E) - 5. Un veto tiene su oigen en el punto ; -1; -) su etemo fleha) en un punto P ; un segundo veto se iniia en el punto P temina en el punto -3; 1; 3). Calula el módulo del veto esultante de estos dos vetoes. ) 6 ) 3 6 C) 4 6 D) 5 6 E) 6 6

4 FÍSIC PR TODOS 4 CRLOS JIMENEZ HURNG 6. Dos vetoes paten de un mismo punto P uno de ellos temina en el punto 3; -; -1) el oto en el punto ; -4; -). Calula el módulo de la esta de estos vetoes. ) 6 ) C) 3 D) 5 E) 6 7. Calula el veto unitaio del veto. 4; -3; -1) ; 1; 3) a m; n; 4) ; b n; 1; p) 3; p; m) ) 0 ) +1 C) -1 D) + E) Si se tiene: a 3;1; 4) b ; 3;1). Calula: a b ) +7 ) -7 C) -1 D) +1 E) Si los vetoes son pependiulaes ente sí, detemine el valo de a. a; ; 3) ;1; a) ) 0 ) +1 C) -1 D) + E) ) i + j + k ) i + j + k C) i + j k D) i j + k E) i + j + k Calula la esultante de los vetoes, ubiados en el siguiente ubo de unidades de aista. ) i + j + k ) i + 4 j + k C) i + 4 j k D) i 4 j + k E) i 4 j k 9. Si la esultante de los vetoes a ; b es nula, alula: m + n + p. 1. En la figua se tiene a los vetoes ; C pependiulaes ente sí. Indique la epesión oeta que epesente la figua. C ) C ) C C) C D) C E) C 13. Un veto foma 60º on el eje, 10º on el eje, qué ángulo foma diho veto on el eje? ) 30º ) 45º C) 60º D) 10º E) 180º 14. El esultado de efetua el poduto esala de dos vetoes da omo esultado una antidad igual al módulo del poduto vetoial de los mismos vetoes. Qué ángulo foman dihos vetoes? ) 30º ) 37º C) 45º D) 60º E) 90º 15. Qué ángulo foman los vetoes si se sabe que: k i + j

5 FÍSIC PR TODOS 5 CRLOS JIMENEZ HURNG ) 0 ) +1 C) -1 ) 0º ) 45º C) 60º D) + E) - D) 90º E) 10º 19. El veto ubiado en el ubo de aista 16. Qué ángulo foman los vetoes: i + j + k i + j + k ) 30º ) 60º C) 90º D) tg E) tg Calula el poduto vetoial: ; 3;1) 1; ; 1) ) 5; 3; -1) ) 5; -3; -1) C) -5; 3; 1) D) 1; 3; -1) E) 1; -1; 3) 18. En la siguiente figua se tiene un ubo de aista igual a 1, en él dos vetoes. Detemine el poduto esala de dihos vetoes. igual a 1, tiene un módulo igual a 3 3. Detemine su euaión vetoial. ) i + j + k ) i + j + k C) 3 i + 3 j + 3k D) 3 i 3 j + 3k E) 3 i + 3 j + 3k 0. Se sabe que los vetoes son pependiulaes ente sí. Calula: i aj + k i + j + ak ) 3 ) 3 C) 6 D) 6 E) 1