Tensor de inercia. Tensor de inercia. I pzx. I pxx. I pxy. = I pyz. I pxz. I. Leyes de Newton. II. Cinemática

Transcripción

1 Univesidad Simón Bolíva. ees de Newton. Cinemátia. Dinámia Sist. de atíulas Definiiones a le da le Tenso de ineia a le Es. de agange Tenso de ineia ( + ) Momentos de ineia: (Sieme ositivos) ( + ) Poiedades del tenso de ineia: ( + ) MC- Dinámia & Euo Casanova, Podutos de ineia: - El valo de las omonentes del tenso de ineia deende de la ubiaión oientaión del sistema de oodenadas usado aa eesalo - El tenso de ineia es simétio T - os momentos de ineia nuna son negativos Univesidad Simón Bolíva MC- Dinámia & Euo Casanova, Tenso de ineia Poiedades del tenso de ineia:. ees de Newton. Cinemátia - Si un ueo aite un eje de simetía mateial geométio, entones los odutos de ineia asoiados a ese eje son nulos. Dinámia Sist. de atíulas Definiiones a le da le Tenso de ineia a le Es. de agange Paa todo valo de eiste un difeenial de masa on ositiva una imagen de ese difeenial on negativa, o lo tanto: 5- Si un ueo aite un lano de simetía mateial geométio, entones los odutos de ineia asoiados al eje nomal de ese lano son nulos Paa todo difeenial de masa on ositiva eiste una imagen de ese difeenial on negativa, o lo tanto: 5

2 Univesidad Simón Bolíva MC- Dinámia & Euo Casanova,. ees de Newton. Cinemátia. Dinámia Sist. de atíulas Definiiones a le da le Tenso de ineia a le Es. de agange Tenso de ineia Poiedades del tenso de ineia: 6- Cálulo de la ineia en un sistema de efeenia aalelo (Teoema de los ejes aalelos o Teoema de Steine ). o ρ Conoida la ineia en el ento de masas ( ), se desea alula la ineia en el unto ( ) + ρ ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( + ) + ρ + ρ + ( ρ ) ( + ) + ρ + ρ + ( ρ ) + M ( + ) ( ) + M + ( ) + M + 6 Univesidad Simón Bolíva MC- Dinámia & Euo Casanova, Tenso de ineia Poiedades del tenso de ineia:. ees de Newton. Cinemátia. Dinámia Sist. de atíulas Definiiones a le da le Tenso de ineia a le Es. de agange M + M [( )( )] + M + / ρ + ρ + / ρ + ρ + ρ ρ ρ ρ ( ) + ( + ) ( ) M Note que los valoes mínimos de los momentos de ineia se obtienen aa el ento de masas del ueo. En ualquie oto unto del ueo, los momentos de ineia son maoes, lo que imlia que eseto al ento de masas el ueo ofee la meno esistenia a la otaión! + 7

3 Univesidad Simón Bolíva MC- Dinámia & Euo Casanova,. ees de Newton. Cinemátia. Dinámia Sist. de atíulas Definiiones a le da le Tenso de ineia a le Es. de agange Tenso de ineia Poiedades del tenso de ineia: 7- Cálulo de la ineia en un sistema de efeenia on oientaión difeente (Eesión del tenso de ineia en una base difeente). θ θ θ iˆ os( θ) ˆj os( θ ) kˆ os( θ) Conoida la ineia en el sistema de efeenia ( ), se desea alula la ineia en el sistema ( ) θij A A Definiendo los ángulos ente los ejes de ambas bases se uede esibi: os( θ iˆ ) os( θ) os( θ ˆ ) os( θ ) j os( θ ) os( ) kˆ θ ángulo ente el eje i de la base el eje j de la base (medido en el lano que foman los ejes i j) veto eesado en la base veto eesado en la base i ˆ os( θ )ˆ i + os( θ ) ˆj + os( ) kˆ θ Mati de otaión fomada o los osenos dietoes. Es una mati otogonal T Un veto uede eesase en una u ota base usando las eesiones: ω ω T ( )ω base base T A A A T A 8 Univesidad Simón Bolíva MC- Dinámia & Euo Casanova,. ees de Newton. Cinemátia. Dinámia Sist. de atíulas Definiiones a le da le Tenso de ineia a le Es. de agange Tenso de ineia Poiedades del tenso de ineia: 8- Cálulo de los ejes iniales de ineia aa un unto del ígido Dado que: ω Es osible enonta un sistema de oodenadas on oigen en, en el ual se umla que la antidad angula de movimiento del sistema ( ) tenga la misma dieión sentido que el veto veloidad angula ( )? ω λω [ ] λ ω det λ [ λ] det ω λ esala, Poblema de autovaloes ( λ ) autovetoes ( ω ) Esta euaión genea un olinomio úbio en, uas aíes ( λ ) son los autovaloes, llamados, λ, λ momentos iniales de ineia ( ).,, Cada uno de esos autovaloes tiene asoiado un autoveto ( ω ). Estos tes autovetoes, ω, ω definen los ejes de una base, llamada sistema de oodenadas iniales de ineia en el unto, en la ual todos los odutos de ineia son nulos. λ 9

4 Univesidad Simón Bolíva MC- Dinámia & Euo Casanova,. ees de Newton. Cinemátia. Dinámia Sist. de atíulas Definiiones a le da le Tenso de ineia a le Es. de agange Tenso de ineia Poiedades del tenso de ineia: 8- Piniio de sueosiión Si un ueo está fomado o la unión de o más ueos ígidos, su ineia se uede alula omo la suma de las ineias de ada ueo eseto al mismo unto en el mismo sistema de oodenadas U U i i Usando el Teoema de Steine i i i + / i i [ + / ] i 5 Univesidad Simón Bolíva MC- Dinámia & Euo Casanova,. ees de Newton Tenso de ineia neia de un ilindo eseto a su ento de masa Cilindo de adio, altua densidad unifome ρ. Cinemátia. Dinámia Sist. de atíulas Definiiones a le da le Tenso de ineia a le Es. de agange M ρ π θ dv d d os( θ ) sin( θ ) [ + ] ( + ) ( sin( θ )) π [ ( sin( θ )) + ] π π ( sin( θ )) os(θ ) + π ρ + π ρ d + M ρ d d + ρ d ρ d ( + ) ρdv 5

5 Univesidad Simón Bolíva MC- Dinámia & Euo Casanova, Tenso de ineia neia de un ilindo eseto a su ento de masa. ees de Newton. Cinemátia. Dinámia Sist. de atíulas Definiiones a le da le Tenso de ineia a le Es. de agange ( + ) ( os( θ )) π ( os( θ )) π [ + ] ρdv [( os( θ )) + ] + ρ d π M + π ρ d π ρ + ( + ) ( os( θ )) + ( sin( θ )) π ρ d [ ] π ρ d π ρ os(θ ) + ρdv M ( + ) π + ρ d d ρ d d ρ d π π ( os( θ ) sin( θ )) ρdv ( os( θ )sin( θ )) ( os( θ )sin( θ )) ρ d ( sin( θ )) ρ d π ρ d d 5 Univesidad Simón Bolíva MC- Dinámia & Euo Casanova,. ees de Newton. Cinemátia. Dinámia Sist. de atíulas Definiiones a le da le Tenso de ineia a le Es. de agange Tenso de ineia neia de un ilindo eseto a su ento de masa π π ( os( θ ) ) ρdv ( os( θ ) ) os( θ ) ρ d π π sin( θ ) ρ d ( sin( θ ) ) ρdv ( sin( θ ) ) sin( θ ) ρ d π π os( θ ) ρ d ρ d d ρ d d M ( + ) M ( + ) M 5

6 Univesidad Simón Bolíva MC- Dinámia & Euo Casanova, Tenso de ineia neia de una baa un diso. ees de Newton neia de una baa Una baa ideal es un ilindo de adio nulo (). Cinemátia. Dinámia Sist. de atíulas Definiiones a le da le Tenso de ineia a le Es. de agange Baa neia de una diso ( M, ) M Un diso es un ilindo de altua nula () Diso ( M, ) M 5