Radiación electromagnética

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1 C A P Í T U L O Radiaión eletromagnétia.1. ENUNCIADOS Y SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS 1. El ampo elétrio de una onda eletromagnétia plana en el vaío viene dado, en unidades del sistema internaional (SI), por E x = 0, E y = 5 os [ (t x/) ] y E z = 0. Indique uál es la direión de propagaión y el plano de polarizaión de la onda y alule su freuenia, su longitud de onda y su intensidad media. La direión de propagaión es: x La freuenia: ν = 9, Hz (Infrarrojo) Plano de polarizaión: xy La longitud de onda:λ = 3, nm Intensidad media I = 0,033 w m. El ampo elétrio de una onda eletromagnétia plana viene dado por E = E 0x os(ωt kz)i + E 0y os(ωt kz)j. Determine el plano de polarizaión de la onda, el ampo magnétio que lleva asoiado, el vetor de Poynting y la intensidad. Plano de polarizaión de la onda: α = atan ( E0y Campo magnétio asoiado: B x = E 0y os(ωt kz) y B y = E 0x os(ωt kz) Vetor de Poynting: S = ε 0 E0os (ωt kz)k E 0x ) Intensidad: I = S = ε 0E 0 = ε 0(E 0x + E oy)

2 Capítulo Radiaión eletromagnétia 3. El ampo elétrio de una onda eletromagnétia plana viene dado por E = E 0 os(ωt kz)i + E 0 sen(ωt kz)j. Estudie la polarizaión de la onda y determine el ampo magnétio asoiado, el vetor de Poynting y la intensidad. La polarizaión es irular Campo magnétio asoiado: B = B 0x sen(ωt kz)i + B 0y os(ωt kz)j B 0y = E0y = E0 y B 0x = E0y = E0 Vetor de Poynting: S = ε 0 E0k Intensidad: I = S = ε 0 E 0 4. Demuestre que el valor medio temporal de la funión os (ωt kz) vale 1/. os (ωt kz) = 1, para T τ 5. La intensidad mínima de luz que puede peribir el ojo humano es aproximadamente W/m. Cuántos fotones on longitud de onda de 5600 Å entran por segundo en la pupila del ojo a esta intensidad? El área de la pupila es aproximadamente 0.5 m. Φ = 14085,9 fotones s 6. Calule la densidad de fotones que lleva un haz de radiaión monoromátia de intensidad 6 W/m, uya longitud de onda es: a) 100 m; b) 1 m; ) nm; d) 5000 Å ; e) 100 Å ; f) 1 Å y g) 0.01 Å. A qué regiones del espetro perteneen estas ondas? fotones λ Región espetral u f m m Ondas de radio m = 10 m Miroondas nm = 10 5 m Infrarroja Å = m Visible Å = 10 8 m Ultravioleta Å = m Rayos X ,01Å = 10 1 m Rayos gamma Se demuestra que un dipolo elétrio que osila on una freuenia ω emite ondas eletromagnétias esférias a su alrededor, uyo ampo elétrio viene dado por E = d 0 sen θω 4πɛ 0 sen(ωt kr) r donde d 0 es la amplitud del dipolo. Calule la intensidad promedio de la radiaión y la potenia emitida. I = d 0sen θω 4 3π ε 0 r 3 P = d 0ω 4 1πε 0 3

3 Seión.1 Enuniados y soluiones de los Problemas 3 8. La luz del Sol llega a la Tierra on una intensidad media de 1370 W/m. Esta intensidad es la denominada onstante solar. Calule la presión de radiaión sobre un panel de élulas solares totalmente absorbente. Si la longitud de onda promedio es de 7000 Å, alule el flujo fotónio que llega al panel. P = 4, N m 1 fotones Φ = 4,8 10 s m 9. Un haz de rayos X atraviesa un material que ontiene eletrones libres. Según la teoría lásia de la radiaión eletromagnétia, el haz dispersado tiene la misma longitud de onda que el haz inidente y su intensidad varia on el ángulo de dispersión. Arthur H. Compton explió este efeto en 193 asumiendo que la radiaión eletromagnétia se omporta de forma orpusular. Deduza la expresión λ λ = (1 os θ)h/(m e ), que relaiona la longitud de onda del haz dispersado, λ, on la del haz inidente, λ, interpretando el proeso omo una olisión (relativista) entre un fotón y un eletrón libre iniialmente en reposo. λ λ = (1 os θ)h/(m e ) 10. Se observa la dispersión por eletrones libres de los siguientes haes de radiaión eletromagnétia a 90 del haz inidente: a) rayos ultravioleta on λ = 100 Å ; b) rayos x on λ = 1 Å y ) rayos gamma on λ = 0.01 Å. Calule en ada aso el porentaje en el que aumenta la longitud de onda y el porentaje de energía que pierde el fotón inidente. aso Haz inidente λ( %) E fotón ( %) a λ = 100 Å (Ultravioleta) b λ = 1 Å (Rayos X) λ = 0,01 Å (Rayos gamma) Demuestre que la intensidad de la radiaión de un uerpo negro está relaionada on la densidad de energía mediante la expresión E(ν, T ) = (/4)u(ν, T ). E(ν, T ) = (/4)u(ν, T ) 1. Demuestre que la ley de radiaión de Plank del uerpo negro oinide on las leyes de Wien y de Rayleigh-Jeans en los límites de altas y bajas freuenias, respetivamente. Ley Condiión Expresión Ley de Plank u P (ν, T ) = 8πhν3 Ley de Rayleigh-Jeans hν k B T u RJ (ν, T ) = 8πhν hν e k B T 1 Ley de Wien hν k B T u W (ν, T ) = Aν 3 e βν T k B T, on A = 8πh 3 y β = h k B 13. Deduza la ley de Stefan-Boltzmann a partir de la fórmula de Plank para la densidad espetral de un uerpo negro. I(T ) = σt Exprese la densidad de energía espetral de la radiaión del uerpo negro en funión de la longitud de onda. 8πh u(λ) [ ] λ 5 e h λk B T 1

4 4 Capítulo Radiaión eletromagnétia 15. Deduza la ley de desplazamiento de Wien a partir de la fórmula de Plank para la densidad espetral de un uerpo negro expresada en funión de la longitud de onda. λ max T =, mk 16. Calule la longitud de onda máxima a la que emiten los siguientes sistemas, onsiderados omo uerpos negros, e indique a qué zona del espetro eletromagnétio pertenee diha radiaión: a) una explosión termonulear (10 7 K); b) la estrella polar (8300 K); () el Sol (5700 K); (d) un uerpo a temperatura ambiente (5 ) y (d) el espaio interestelar (.7 K) desde donde se emite la radiaión de fondo del Universo. Sistema T(K) λ max R. Espetral Explosión termonlulear 10 7, m = 0,85 nm Rayos X Estrella Polar , m = 350 nm Ultravioleta Sol m = 500 nm Visible Temperatura ambiente 98 9, m = 9700 nm Infrarrojo Espaio interestelar, m = 1 mm Miroondas 17. El Sol emite energía radiante on una potenia de W. Calule la intensidad de la radiaión sobre la superfiie solar, la temperatura a la que se enuentra la superfiie, suponiendo que el Sol se omporta omo un uerpo negro, y la intensidad de la radiaión que llega a la Tierra, es deir la onstante solar. El radio del Sol vale m y la distania a la Tierra es de m. I solar = 6, w m T solar = 5774K I T ierra = 137 N m 18. Suponga que la Tierra emite radiaión omo un uerpo negro y que esta radiaión se enuentra en equilibrio on la que reibe del Sol, de la que refleja un 30 %. Calule la temperatura media de la Tierra. T = 55K = 18 C

5 Seión.1 Enuniados y soluiones de los Problemas Una pequeña nave espaial se enuentra a m del Sol. En un momento dado despliega una vela solar ompletamente refletora de 100 m de superfiie, sobre la que iniden perpendiularmente los rayos del Sol. Calule el tiempo que tarda la nave en ruzar la órbita de la Tierra, impulsada úniamente por el viento solar. Compruebe que la aeleraión gravitaional on la que el Sol atrae a la nave no es despreiable. La nave pesa 00 Kg, la masa de Sol es Kg, su radio vale m, la intensidad de la radiaión en la superfiie solar es de W/m, la distania media a la órbita de la Tierra vale m y la onstante de la gravedad es Nm Kg. Intensidad en el punto en que se enuentra la nave: I = w m Presión de la radiaión sobre la vela: P = 10 3 N m Fuerza sobre la vela: F = 0,N Aeleraión debida al viento solar: a = m s Distania reorrida hasta la órbita de la Tierra: d = 1, m Tiempo empleado en reorre esa distania: t = 193 días Aeleraión on que el Sol atrae a la nave: a = 1,33 m s 0. La línea de emisión del hidrógeno que tiene una longitud de onda de 116 Å se observa en el espetro de ierta galaxia a 1315 Å. Calule la veloidad a la que se mueve la galaxia de nosotros usando tanto la expresión exata que proporiona la variaión de la freuenia por efeto Doppler, omo la expresión aproximada para el aso en el que v/ << 1. Expresión exata: v = 1 ( λ λ ) 1 + ( λ λ ) Expresión aproximada: v = 1 λ λ = v =, m s = v =, m s