ESTRUCTURA FINA DEL ÁTOMO DE HIDRÓGENO.

Transcripción

1 ESTRUCTURA FINA DEL ÁTOMO DE HIDRÓGENO. Ciertas líneas del hidrógeno y de los alalinos mostraban perfiles on varias omponentes muy próximas entre sí, indiando un desdoblamiento de los niveles de energía entre los uales se produe la transiión. Esto se llama estrutura fina de los niveles. Vimos que al resolver la euaión de Shrödinger para el átomo de H, los autovalores orresponden a los niveles de energía según el número uántio n. E n = Z µe 4 h n para n = 1,,... De auerdo a esto, ada nivel es simple, depende solamente de n y por lo tanto las transiiones originan líneas simples. Pero debemos reordar que la teoría de Shrödinger tiene dos aproximaiones: por un lado onsidera energía no-relativista para el eletrón y por otro, onsidera que el eletrón sólo se mueve alrededor del núleo, sin tener en uenta el spin. Al introduir estas dos orreiones, veremos que se produe un orrimiento y/o desdoblamiento de los niveles de energía y que además del número uántio n, la energía dependerá de otros números uántios. La estrutura fina del hidrógeno onsiste entones, en la suma de dos orreiones que son del mismo orden de magnitud: Correión relativista. Correión debida a la interaión spin-órbita, originada por el aoplamiento de los momentos angulares L y S. J = L + S Correión relativista: La teoría de Shrödinger toma la expresión no-relativista: E = p m + V (r) 1

2 Expresión orreta siempre que la veloidad del eletrón sea pequeña respeto a. Pero vimos (modelo de Bohr), que la veloidad máxima del eletrón, para n = 1, vale v max = m/s, por lo tanto, v max % Si bien la relaión es pequeña, existen efetos relativistas que pueden ser observables. Si m 0 es la masa en reposo del eletrón: T = p + m 0 4 m 0 E r = p + m 0 4 m 0 + V (r) [ ( E r = m p ) 1/ 1] + V (r) m 0 4 Considerando que m 0 v m 0, tomamos ɛ = p m 0 serie: (1 + ɛ) 1/ ɛ 1 8 ɛ +... [ ] E r = m p m p4 0 8m V (r) 0 4 [ ] p E r = + V (r) p4 m 0 8m 0 1 y desarrollamos en Los dos primeros términos orresponden a la expresión lásia de la energía y el terer término es la orreión relativista de primer orden. E r = p4 8m = m 0v ( ) 4 8( ) E r = erg = 10 4 ev Se trata omo una pequeña perturbaión y podemos estimar su valor medio usando las autofuniones normalizadas: E r = 1 8m ψnlmp 4 ψ nlm dv 0 V ol E r = RhZ4 α ( ) n 4n 1 l+1/ α = e h 1 17 Se denomina onstante de estrutura fina. Como l n, siempre tendremos que E r < 0, es deir, provoa un orrimiento del nivel haia valores más negativos. La orreión relativista depende de n y l y destruye la degeneraión respeto a este último número uántio. Para un n dado, uanto menor es el l, mayor es la orreión. Si expresamos (1) en número de ondas: (1) T r = RZ4 α ( ) n 4n 1 l+1/ m 1 ()

3 Interaión spin-órbita: Consideremos al eletrón moviéndose en una órbita irular y masa del núleo infinita, por lo tanto despreiamos efetos debidos al movimiento del núleo. El eletrón se mueve on una veloidad v en un ampo elétrio E produido por el núleo. Tomaremos dos sistemas de referenia ineriales: S en el ual el núleo está en reposo y S en el que instantáneamente el eletrón está en reposo. Para el sistema S el núleo se mueve on una veloidad v que es perpendiular a E en ada instante en que el eletrón se onsidera en reposo. Para el eletrón en S el núleo argado genera una orriente j j = Ze v Según la ley de Ampére, el ampo magnétio produido por esa orriente en el lugar donde se halla el eletrón es: B = j r r = Ze ( v r) r E = Ze r r B = ( v E) En el sistema S el eletrón ve un ampo magnétio y habrá una energía de interaión entre el ampo y el momento magnétio de spin µ s. Como en este sistema de referenia estamos onsiderando fijo al eletrón, L = 0 y µ l = 0. La energía de interaión en S será: E = µ s B µ s = g s µ B h S E = g s µ B h S B

4 Vimos en apítulos anteriores que el efeto del ampo B es generar un movimiento de preesión de µ s alrededor del ampo on una freuenia llamada freuenia de Larmor: ω L = g s µ B h B E = ω L S Ahora bien, estas expresiones orresponden al sistema S y lo que realmente interesa es onoer sus valores en el maro de referenia donde el núleo está en reposo y el que se mueve es el eletrón. Se puede demostrar que al transformar al sistema S, ambiará la preesión de Larmor: ω L ω, donde ω = ω L + ω T ω T se llama preesión de Thomas y representa la preesión del sistema S respeto al maro normal. Su valor resulta ser: ω T = 1 ω L = ω = 1 ω L De donde resulta que en el maro normal S, la energía de interaión será: Pero: Reemplazando: 1 ω L S = g s B = Ze ( v r) = Ze r e m B S m( r v) = Ze mr mr L Ze m r L S Ze 1 m LS os LS ˆ r Por onservaión del momento angular, J y el ángulo LS ˆ deben permaneer invariantes durante la preesión. Podemos evaluar el produto LS os LS ˆ mediante el diagrama vetorial: J = L + S LS os(π ˆ LS) = L + S + LS os ˆ LS LS os ˆ LS = 1 (J L S ) 4

5 Reemplazando: Ze 1 4m r (J L S ) Como r depende de Z, n, l el término 1 ambia para ualquier estado, por r lo tanto se obtiene un valor medio: r 1 = < 1 r >= r=0 π θ=0 π ϕ=0 ψ nljm j 1 r ψ nljm j r sin θdrdθdϕ < 1 r >= Z r1 n l(l + 1 h es el radio de la primera órbita de Bohr. me Introduimos las onstantes: α = e h 1 onstante de estrutura fina 17 R = me4 4π h onstante de Rydberg Rα = 5.819m 1 Z 4 Rα h n l(l + 1 [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] () Expresada en número de ondas: T LS (m 1 Z 4 Rα ) = n l(l + 1 [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] O bien: donde: a(m 1 Z 4 Rα ) = n l(l + 1 T LS (m 1 ) = a [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] (4) De auerdo a () y (4), la interaión spin-órbita india que los números uántios neesarios para espeifiar el estado del eletrón son n, l, j. La energía depende de ellos, pero subsiste la degeneraión respeto al número uántio m j. Veremos más adelante que se destruye esta degeneraión uando onsideramos un átomo en un ampo magnétio externo (Efeto Zeeman). Cuando l = 0 (estados s), el nivel es simple y no hay orrimiento ( 0). Siempre s = 1/ y para ada valor de l, el número uántio j toma dos valores: j = (l+1/) y j = (l 1/), ya que S puede tener sólo dos orientaiones posibles. Es deir la multipliidad de los niveles será. La nomenlatura utilizada para designar ada nivel es: l j Si l=0 Términos S l=1 Términos P l= Términos D

6 Como la orreión relativista y la interaión spin-órbita son del mismo orden, podemos sumar () y (4), para obtener la expresión final de la estrutura fina: T EF (m 1 ) = T r + T LS T EF (m 1 ) = RZ4 α [ ] n 4n 1 [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] + l + 1/ l(l + 1/ T EF (m 1 ) = RZ4 α [ ] n 4n 1 (5) j + 1/ La expresión entre orhetes es siempre negativa, por lo tanto los niveles se orren haia abajo (valores más negativos). Vemos además que la estrutura fina, desarrollada hasta el primer orden de aproximaión, depende solamente de n y j: T nj (m 1 ) = RZ n + RZ4 α [ ] n 4n 1 (6) j + 1/ Veamos la estrutura fina de los primeros niveles del hidrógeno: n l s j Config-eletr. Niveles 1 0 1/ 1/ 1s S 1/ 0 1/ 1/ s S 1/ 1 1/ 1/,/ p P 1/, P / 0 1/ 1/ s S 1/ 1 1/ 1/,/ p P 1/, P / 1/ /,5/ d D /, D 5/ De auerdo a (5) el desplazamiento de los niveles de estrutura fina serán: n Niveles T EF (m 1 ) 1 S 1/ S 1/, P 1/ P / S 1/, P 1/ P /, D / D 5/ Las transiiones entre estos niveles están regidas por las reglas de seleión, las que indian qué ambios en los números uántios dan las transiiones más probables : l = ±1 j = 0, ±1 Por ejemplo la transiión n = n =, orrespondiente a la línea Hα de la Serie de Balmer, son en realidad 5 transiiones de estrutura fina: D 5/ P / D / P / 6

7 S 1/ P / D / P 1/ ó P / S 1/ P 1/ S 1/ ó S 1/ P 1/ El perfil de Hα tendrá ino omponentes muy eranas y de distintas intensidades. Las más intensas orresponden a las dos transiiones que involuran los mayores valores de j ( D 5/ P / y D / P / ) y las tres restantes son más dédiles. 7