CAP. 5 DISEÑO DE MIEMBROS EN TORSIÓN OBJETIVOS:

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1 CAP. 5 DISEÑO DE MIEMBROS EN TORSIÓN OBJETIVOS: TEMAS: - Demostrar la euaión de la tensión de torsión, su apliaión y diseño de miembros sometidos a tensiones de torsión 5.1. Teoría de torsión simple 5.. Deformaión angular 5.3. Tensión de torsión 5.4. Módulo de rigidez 5.5. Tensión de torsión admisible 5.6. Módulo de seión polar 5.7. Deformaión angular admisible 5.8. Potenia transmitida por los ejes 5.9. Diseño de miembros en torsión 5.1. Teoría de torsión simple Un par de torsión es un momento que tiende a haer girar a un miembro on respeto a su eje longitudinal. Hibbeler Los esfuerzos de torsión se los enuentra sobre todo en elementos giratorios omo los ejes de las maquinarias. Cuando se somete a una pieza a un momento torsor, en la misma se rea un ángulo de torsión que varía proporionalmente a la longitud del eje, por lo que el tamaño de la pieza es fundamental para obtener una relaión de la deformaión de la misma, así por ejemplo en la figura de lado, se ve un eje antes de ser sometido a un momentos torsor. En la figura de abajo se tiene la misma pieza sometida a un torsor que la deforma haiendo rotar su estrutura formando el ángulo de rotaión. Doente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1

2 5. Deformaión angular Observando las figuras anteriores se puede onluir lo siguiente: Los puntos n-n dan la relaión: n n γ x ρθ Donde: γ = deformaión por ortante φ = Angulo de Torsión ρ = Radio o distania hasta el punto de análisis. X = Distania o longitud del elemento La euaión anterior nos presenta una relaión entre la longitud del elemento y su deformaión angular debido a un momento torsor. Normalmente uando se alula en eje a torsión se verifia que este resista un torsor determinado y que no exeda una deformaión pedida. 5.3 Tensión de torsión Si un miembro de seión irular está sujeto a argas de torsión, se produen fuerzas ortantes; el produto de estas fuerzas ortantes por sus respetivas distanias al eje de la fleha produen los momentos uya suma es el torsor resistente al torsor impuesto externamente. Algunos enuniados que se pueden formular para obtener las relaiones de las tensiones de torsión pueden ser: 1. La seión de fleha es plana antes de la torsión y ontinua plana después de la torsión (este heho solo se da en seiones irulares). El diámetro de la fleha no varía durante la arga. 3. Los esfuerzos están dentro el rango elástio. Doente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana

3 4. Las deformaiones por ortante varían linealmente desde ero en el entro del eje hasta un máximo en el extremo radial del mismo. Por uanto si suponemos que la tensión en el borde del eje es τ max y las tensiones en ualquier punto del eje son τ, se puede exponer la siguiente relaión: τ max τ ρ De ahí se puede olegir que la fuerza en un punto determinado será: F τ da ρ τ max da Multipliándolo por el radio dará: dt ρ F ρ τ max da Integrando: T τ max 1 dt ρ d A 0 0 τ max T ρ da 0 La integral por definiión es el momento polar de ineria, por tanto: T τ max I p Esrito de otra manera: τ max T I p Donde: T= Momento torsor =Distania al punto mas alejado Ip= Momento polar de Ineria Doente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 3

4 Ejeriio 5.1 Determinar el par interno de las seiones indiadas: Ejeriio Determinar el esfuerzo ortante máximo en un eje de pulg. de diámetro; el par apliado es de 800 lb-pies. D eje := in Tor := 800lbf ft Calulando el momento de ineria: 4 π D eje I p := I 3 p = m 4 el esfuerzo ortante máximo es: τ max Tor I p D eje Tor τ max := τ I max = kgf p m 5.. Un eje maizo de latón de 90 mm de diámetro tiene un esfuerzo ortante admisible de 8000 lb/pulg. determinar el par máximo que puede resistir el eje. D eje := 90mm := 8000 lbf in 4 π D eje I p := I p = 644.1m 4 3 Doente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 4

5 Tor I p Tor := I Tor = N m D p eje Tensión de torsión en ejes hueos Revisando la euaión de la tensión, se puede enontrar que el esfuerzo es suseptible a las variaiones del momento polar de ineria; mas uando trabajamos on ejes hueos el momento de ineria sufre pequeñas variaiones respeto de un eje maizo, y por el ontrario, el peso del elemento disminuye onsiderablemente, por uanto se puede aprovehar esta propiedad para obtener elementos mas livianos on buenas propiedades de resistenia. Ejeriio Comparar la resistenia de una fleha de aero de 4 in de diámetro on otra fleha huea de 4 in de diámetro exterior y in de diámetro interior; el esfuerzo ortante admisible es 10000lbf/in. Comparar los pesos de los ejes si estos tiene 1 pie de longitud. Soluión para eje Maizo D e := 4in 4 π D e I p := 3 := lbf in I p = m 4 ρ aero := 7.45 kgf dm 3 Tor := I Tor = N m D p e π D e w maizo := 1ft ρ 4 aero w maizo = 18.41kgf Soluión para eje hueo D e := 4in D i := in 4 4 π D e D i I p := I p = 980.7m 4 3 Tor hueo := I D p e Tor hueo = N m π w hueo := D 4 e D i 1 ft ρ aero w hueo = 13.81kgf Doente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 5

6 En Torsor resistente Tor hueo 100 = Tor en peso w hueo 100 = 75 w maizo 5.4 Módulo de rigidez Cuando se aplia un momento torsor sobre un eje, esta produe una tensión de orte además de un ángulo de deformaión. Esta relaión es diretamente proporional pues tal omo en esfuerzos de traión sigue la ley de Hook. La relaión de proporionalidad se la denomina omo modulo de rigidez o Módulo de elastiidad a ortante. τ G γ 5.5 Angulo de Torsión Al igualar las dos definiiones de esfuerzo ortante en torsión se puede obtener la euaión del ángulo de torsión, en la que relaiona el momento torsor, on la longitud del eje y las propiedades del material, onstituyéndose una euaión base para el diseño de flehas. τ γ Tor R I p G γ R θ L GR θ L θ Tor L I p G Doente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 6

7 Ejeriio El eje BC es hueo y sus diámetros interior y exterior miden 90 mm y 10 mm repsetivamente. Los ejes AB y CD son sólidos y su diámetro es "d". Para la arga mostrada halle: Los esfuerzos ortantes máximo y mínimo en el eje BC. el diámetro "d" en los ejes AB y CD si el ortante admisible es 65 MPa. Primero se debe enontrar mediante las euaiones de la estátia los momentos que están afetando al eje: Primer tramo Σ x=0 6kN m T AB 0 T AB := 6kN m Segundo Tramo 6kN m + 14kN m T BC 0 T BC := 0kNm el momento de ineria para el eje hueo es: r 1 := 45mm r := 60mm π I ph r 4 4 := r 1 I ph = m 4 El esfuerzo ortante máximo se enuentra en el punto exterior, por lo tanto: T BC r τ max := τ I max = 86.3MPa ph El esfuerzo ortante mínimo se enuentra en el punto interior de eje: T BC r 1 τ min := τ I min = 64.67MPa ph En los ejes AB y CD, el torque soliitante es de 6 kn, entones: d Tor I τ p adm := 65MPa Given d ab T AB 4 π d ab 3 Find( d ab ) = 77.76mm Doente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 7

8 5.6 TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES El omportamiento a torsión de elementos de seiones no irulares varia de los de seiones irulares, y es que existe una deformaión no uniforme de la seión no irular uando a esta se la exige on un momento torsor; sin embargo para fines prátios de álulo se emplean fórmulas semejantes a las empleadas para tensiones de orte a torsión de seiones irulares pero empleando valores de ajuste de una seión dada ha una irular, así: Para la formula de esfuerzo ortante por torsión: τ max Tor Tor τ I max p Q Donde Q, depende de la forma de la seión. Para el ángulo de torsión se puede emplear la siguiente relaión: θ Tor L GI p θ Tor L GK K también está en funión de la seión. Ambos valores se puede obtener de la tabla siguiente: Doente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 8

9 Doente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 9

10 Ejeriio 5.6 Un eje de de diámetro que soporta a una rueda tiene un extremo fresado en forma de uadrado para permitir el uso de una manivela. El uadrado mide 1.75 por lado. Calule la tensión máxima por esfuerzo de orte en la parte uadrada si se aplia un torque de 15000lbf*in. Además alular el ángulo de torsión si la longitud de la parte uadrada es de 8. Se onsidera G=11.5*10 6 psi. Doente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 10