Determinación de Módulos de Young

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1 Determinaión de Módulos de Young Arrufat, Franiso Tomás Novik, Uriel Sebastián Tel: Frigerio, María Paz Sardelli, Gastón Universidad Favaloro, Faultad de Ingeniería Bs. As., Argentina- Julio 001. Utilizamos métodos dinámios y estátios para analizar los modos de vibraión exitados en varas y tubos de diversos materiales. En el método dinámio estudiamos la dependenia de la freuenia de vibraión on las longitudes de las varas y tubos. En el método estátio estudiamos la dependenia entre la deformaión de las varas on la arga a la que son sometidas. Con la informaión, busamos obtener el módulo de elastiidad de los materiales, enontramos que se puede onseguir diho valor on sólo analizar el sonido emitido por los tubos al golpearlos. INTRODUCCIÓN Todo material existente es elástio y se deforma en ierto grado. Al onstruir un edifiio se debe busar que el material sea fuerte, pero a su vez flexible para no derrumbarse ante un terremoto; queremos que las alas de un avión puedan flexionarse, pero que a su vez sean resistentes. Para determinar las propiedades elástias de un material dado, es neesario en general someter a ensayos una muestra del material. Es laro que disponer de ténias de ensayos no destrutivos es una gran ventaja en muhas apliaiones prátias. F Definimos el módulo de elastiidad E 1 de un material omo la relaión entre el esfuerzo σ y la deformaión A l ε : l σ E ε El objetivo de este trabajo es determinar el módulo de elastiidad por distintos métodos experimentales. Analizamos también los diferentes modos de vibraión que surgen en los materiales al estar sometidos a las diferentes ondiiones de ontorno. I. EXPERIMENTO El objetivo del presente experimento es, a través del análisis de varas y tubos de distintos materiales, variando las ondiiones de ontorno en que se enuentran las mismas, determinar el módulo de elastiidad de los materiales ausando el menor daño y deformaión a los mismos. Para tal fin, optamos por dos métodos de análisis, uno dinámio y uno estátio. MÉTODO DINÁMICO : Este método es representado mediante una euaión diferenial de uarto orden en la ual varían los resultados según las ondiiones de ontorno. Diha euaión es: y y Aρ + EI 0 (1) t x donde A es el área transversal a la onda de las varas, ρ es la densidad del material, I es el momento de área respeto de una línea neutra y E es el módulo de elastiidad busado. Las experienias que realizamos fueron las siguientes: EXPERIMENTO CON AMBOS EXTREMOS LIBRES En esta primera parte del experimento analizamos el sonido emitido por los distintos tubos al ser golpeados. Para ello utilizamos tubos de brone y de aluminio de distintos largos, un mirófono onetado a un digitalizador de señales onetado a una PC. Determinaión de Módulos de Young - F.Arrufat, U. Novik, M.P. Frigerio y G. Sardelli

2 Figura 1. Ilustraión del experimento realizado on ambos extremos de la vara libres y sujetada de un nodo tomando el sonido que emite al golpearla on un mirófono. El primer paso fue estimar la posiión del primer nodo desde uno de los extremos de ada vara, onsiderando que los nodos prinipales se enontraban ubiados aproximadamente al,% de la longitud de las mismas. Esta medida se obtiene a partir del análisis de datos espeifiados en el apéndie. (Es fundamental que este paso sea efetuado on la mayor preisión posible para optimizar al máximo la nitidez y duraión del sonido, omo así también uidar de golpear el tubo en un antinodo). Una vez heho esto, proedimos a golpear los distintos tubos era del mirófono, y registramos los datos en la PC. Una vez obtenidos los datos, y on la ayuda de la herramienta FFT (Fast Fourier Transformer), efetuamos Transformada de Fourier a los datos, obteniendo así los distintos modos que se exitaban en los tubos y las orrespondientes freuenias. Resolviendo la euaión (1) por el método de separaión de variables on las ondiiones de ontorno orrespondientes (*) se llega a la siguiente expresión para ada modo: f ( n EI πl Aρ n donde kl satisfae Cos(Cosh(1. Esta euaión tiene varias soluiones, la ual da lugar a los distintos modos. ( 1,7300; ( 7,853; ( 3 10,99561; et. () EXPERIMENTO CON VARA EMPOTRADA En esta parte del experimento utilizamos sólo una vara de brone. Aquí neesitamos un fotointerruptor onetado a una PC y una prensa para empotrar la vara, omo así también el programa para el proesamiento de los datos. La disposiión de los elementos ha de ser la siguiente: Figura. Ilustraión del experimento realizado on la vara empotrada tomando on un fotointerruptor las vibraiones de la misma al moverla de su posiión de equilibrio. Variando la longitud L del extremo libre de la vara, e imprimiéndole una ligera fuerza iniial para ponerla a osilar, se reogen los datos del periodo de diha osilaión para las distintas longitudes de L. Resolviendo la euaión (1) on las ondiiones de ontorno orrespondientes (*) se llega a la siguiente euaión para el modo fundamental: π L f EI µ (3) * La resoluión de la euaión (1) on las ondiiones de ontorno para llegar a () y (3) pueden verse en el apéndie.

3 MÉTODO ESTÁTICO : Este método se representa mediante otra euaión diferenial, la ual desribe el desplazamiento en el eje y de la vara uando se le suspenden diversos pesos. La euaión orrespondiente 3 es: d y M ( x) EI () dx siendo M(x) el momento flexor, I el momento de área respeto de una línea neutra y E el módulo de elastiidad busado. EXPERIMENTO CON VARA EMPOTRADA Y DIVERSOS PESOS Para esta parte del experimento, utilizamos la misma vara que en la etapa anterior. Esta vez, preisamos de la prensa antes utilizada, una regla milimetrada y diversos pesos (P o ) bien espeifiados (Tuvimos uidado de no utilizar pesos exesivos, ya que le imprimen una deformaión permanente a la vara, lo ual es no deseable). Dejando libre una porión de longitud L onstante, proedimos a olgar los pesos a diferentes distanias l desde donde empotramos la vara, midiendo el desplazamiento en el extremo libre de la vara on los distintos pesos. La euaión () puede ser resuelta apliando la transformaión de Laplae (*) para llegar al siguiente resultado: y( x) P x o EI l x 6 0 < x < l Figura 3. Ilustraión del experimento realizado on la vara empotrada agregando diversos pesos a la misma. y( x) P l o EI x l 6 l < x < L (5) II. RESULTADOS Para ada experimento en partiular analizamos el omportamiento de las varas y los tubos, y la dependenia que pudieran las freuenias on la distania donde empotramos la vara y los pesos apliados on la deformaión onsiguiente. Conseguimos mediante gráfios el módulo de elastiidad, realizando una regresión lineal on los datos experimentales, guiándonos on las euaiones averiguadas de manera que la pendiente de la reta nos proporionara el valor orrespondiente on su respetivo error. MÉTODO DINÁMICO ANÁLISIS DE FRECUENCIAS Y MODOS DE VIBRACIÓN En la primer parte del experimento, determinamos las freuenias orrespondientes al modo fundamental para tubos de brone libres de distintos largos. El primer gráfio realizado (Figura ) se hizo on el fin de omprobar la proporionalidad entre la freuenia fundamental on 1/L, omo señala la euaión (). * Para ver el proedimiento de resoluión de la euaión (5) se puede onsultar: Pipes, Louis A., Matemátias Apliadas para Ingenieros y Físios, Cap. 9, Seión (Ed. MGraw Hill, 1963). Determinaión de Módulos de Young - F.Arrufat, U. Novik, M.P. Frigerio y G. Sardelli

4 f [hz] y 68,68x -,363 R 0, /L² [1/m²] Figura. Gráfio de las freuenias fundamentales en funión de 1/L para los tubos de brone. Hiimos la misma omprobaión para los tubos de aluminio omo puede observarse en la Figura f [hz] y 91,33x + 6,71 R 0, /L² [1/m²] Figura 5. Gráfio de las freuenias fundamentales en funión de 1/L para los tubos de aluminio. Para la vara de brone utilizada en la segunda experienia del método dinámio, reogimos los datos del período de osilaión y realizamos el mismo gráfio de la freuenia en funión de 1/L realizado para la primera experienia. f [hz] 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 y 3,36x + 0,7351 R 0,9909,5 1,3 1,5 1,7 1,9,1 1/L² [1/m²] Figura 6. Gráfio de la freuenia fundamental de la vara en funión de 1/L.

5 DETERMINACIÓN DEL MÓDULO DE ELASTICIDAD Con el fin de onseguir el valor del módulo de elastiidad, podemos resribir la euaión () omo: I( f n CE on C n π AρL (6) La pendiente será igual a E. f²[hz²] 1,E+07 9,E+06 8,E+06 7,E+06 6,E+06 5,E+06,E+06 3,E+06,E+06 1,E+06 0,E+00 y 9,6E+10x + 6,0E+0 R 1,0E ,0000 0,0000 0, , ,0001 C[m/kg] Figura 7. Gráfio para la determinaión del módulo de elastiidad de los tubos de brone. f²[hz²] 1,E+07 9,E+06 8,E+06 7,E+06 6,E+06 5,E+06,E+06 3,E+06,E+06 1,E+06 0,E+00 y 6,3E+10x +,E+0 R 1,0E , ,0001 0,00015 C[m/kg] Figura 8. Gráfio para la determinaión del módulo de elastiidad de los tubos de aluminio. Una ventaja de este último proedimiento es que omprueba la validez general de la euaión () y nos permitió utilizar todas las freuenias orrespondientes a los diversos modos exitados para obtener E. A partir de los gráfios, obtuvimos los valores del módulo de elastiidad para ambos materiales: E brone (9,6 ± 0,)10 10 Pa E aluminio (6,3 ± 0,03)10 10 Pa En el segundo experimento del método dinámio, para determinar el módulo de elastiidad de la vara, resribimos la euaión (3) omo: f DE on (7) Iπ D µ L Analizamos el gráfio (Figura 9) que muestra a E omo la pendiente de la reta. f²[hz²] y 8,159E+10x + 5,07E+00 R 9,9011E-01 0,5E-10 3,5E-10,5E-10 5,5E-10 6,5E-10 D[m/kg] Figura 9. Gráfio para la determinaión del módulo de elastiidad de la vara mediante regresión lineal. El valor de E obtenido fue: E (8,1 ± 0,6)10 10 Pa Determinaión de Módulos de Young - F.Arrufat, U. Novik, M.P. Frigerio y G. Sardelli

6 MÉTODO ESTÁTICO ANÁLISIS DE LA DEFORMACIÓN EN FUNCIÓN DE LOS PESOS Como señalan las euaiones (5), la deformaión en un punto es diretamente proporional al peso apliado transversalmente, manteniendo onstante la posiión donde éste se aplia. Para orroborar esta relaión realizamos un gráfio ilustrativo. y [m] 0,0 0,018 0,016 0,01 0,01 0,01 0,008 0,006 0,00 0,00 0 y 0,0077x - 0,0003 R 0, ,5 1 1,5,5 3 Po [N] Figura 10. Gráfio de la deformaión en funión del peso. DETERMINACIÓN DEL MÓDULO DE ELASTICIDAD Para determinar el módulo de elastiidad de la misma vara utilizada en el experimento anterior, grafiamos Po l xo l G en funión de la deformaión medida era del extremo libre en un punto x o en la Figura 11. I 6 G[N/m],0E+09 3,5E+09 3,0E+09,5E+09,0E+09 1,5E+09 1,0E+09 5,0E+08 0,0E+00 y 9E+10x + 5E+07 R 0, ,01 0,0 0,03 0,0 y[m] Figura 11. Gráfio para determinar el módulo de elastiidad de la vara que puede apreiarse omo la pendiente de la reta. El módulo de elastiidad obtenido en este aso fue: E (9,3 ± 0,5)10 10 Pa III. CONCLUSIÓN En este experimento se estudió, por una parte, los modos de vibraión de barras on distintas ondiiones de ontorno, y también busamos la determinaión del módulo de elastiidad de un material ausándole el menor daño posible. En uanto a los modos de vibraión, observamos por medio de las figuras, 5 y 6, que en todos los métodos dinámios, la freuenia de vibraión de los modos exitados depende de forma inversa on la longitud elevada al uadrado de las varas y los tubos. A partir de esto, observamos que uánto más larga es la vara o el tubo, mayor es la antidad de modos que se exitan en los mismos. Para los módulos de elastiidad, onstruimos la siguiente tabla on los valores de E obtenidos para los distintos materiales, y los valores que proporionan los libros de texto.

7 MATERIAL CASO 1 CASO CASO 3 MEJOR VALOR TABLAS BRONCE (9,6 ± 0,)10 10 Pa (8,1 ± 0,6)10 10 Pa (9,3 ± 0,5)10 10 Pa (9, ± 0,)10 10 Pa 10, Pa ALUMINIO (6,3 ± 0,03)10 10 Pa - - (6,3 ± 0,03)10 10 Pa 7, Pa Tabla 1. Cuadro omparativo de los valores de E obtenidos experimentalmente para los diversos materiales y los valores onoidos. De aquí observamos que los valores de los módulos de elastiidad obtenidos, varían, para el brone, en un rango de 8 a 10x10 10 Pa, lo ual onuerda on otras experienias onsultadas y es próxima al valor de las tablas, y en uanto a los tubos de aluminio, el valor obtenido fue próximo al valor que se enuentra en tablas. Estas variaiones son aeptables ya que se deben a que, a pesar de tratarse de un mismo material, las varas y los tubos analizados poseen propiedades propias de elaboraión. Haiendo una omparaión de los resultados obtenidos por medio de los sonidos emitidos por los tubos versus los obtenidos por medio de los otros métodos, vemos que podemos obtener un valor del módulo de elastiidad que se enuentra en el rango general de aeptaión de estos valores para ada material. Como se ve, al poder obtener el valor del módulo de elastiidad on sólo golpear el material y analizar los sonidos emitidos, poseemos una muy buena forma de obtener este valor, sin ausar prátiamente daño alguno al material. Esto sería un ejemplo de un ensayo no destrutivo. BIBLIOGRAFÍA 1. Sears, Semansky y Young, Físia Universitaria (Ed. Fondo Eduativo Interameriano, 1986), Cap.10, Pág D.L.R. Oliver, Hollow-Tube Chimes, Phys.Teah. 36, 09 (Abril 1998). 3. Pipes, Louis A., Matemátias Apliadas para Ingenieros y Físios (Ed. MGraw Hill, 1963), Cap.9, Seión.. Lafita Babio, Felipe y Mata Cortés, Hilario, Introduión a la teoría de vibraiones meánias (Ed. Labor, Barelona) Martínez, Patriia y Azuaga, Marelo, Mediión del módulo de elastiidad de Young. APÉNDICE En esta seión pueden enontrarse los desarrollos teórios realizados para los distintos experimentos, los uales son útiles para analizar las ondas en ada situaión y para determinar el módulo de elastiidad de los materiales: EXPERIMENTO CON AMBOS EXTREMOS LIBRES La euaión diferenial que desribe las vibraiones de un tubo libre en ambos extremos es la siguiente: y y Aρ + EI 0 (8) t x donde A es el área transversal a la onda de las varas, ρ es la densidad del material, I es el momento de área respeto de una línea neutra y E es el módulo de elastiidad del material. La euaión (8) puede resolverse por el método de separaión de variables, onsiderando y(x,t)x(x)t(t). La soluión de la euaión es: it y( x, t) X ( x) e ± (9) Como la vara está libre en los extremos, no se doblan ya que no hay fuerzas restauradoras, por lo tanto, las derivadas segunda y terera de X son nulas. 3 d X d X 0 (10) dx 3 dx Apliando las ondiiones (10) a X(x) se obtiene: Cosh( Cos( X ( x) A Cos( kx) + Cosh( kx) + [ Sen( kx) + Senh( kx) ] (11) Sen( Senh( donde kl satisfae para ada modo: Cos ( Cosh( 1 (1) DE la euaión (1) se dedue también los puntos de los nodos para los distintos modos, estando al,% del extremo para el primer modo. Por lo tanto, la euaión para la freuenia angular es: De (13) sale que: k EI Aρ (13) Determinaión de Módulos de Young - F.Arrufat, U. Novik, M.P. Frigerio y G. Sardelli

8 f ( n EI πl Aρ n (1) A partir de (1) se está en ondiiones de onoer el módulo de elastiidad simplemente reemplazando los valores de freuenias obtenidos para ada modo on el kl orrespondiente. Sabiendo que I y da se da: I Rint + Rext A (15) para los tubos on radio interno R int y radio externo R ext. A EXPERIMENTO CON VARA EMPOTRADA La euaión diferenial que orresponde al movimiento de vibraión libre de la vara es: x x + 0 (16) y t EI Siendo una onstante del sistema, donde E es el módulo de elastiidad, I el momento de área respeto de µ una línea neutra y µ es la masa de la vara por unidad de longitud. Este aso, al igual que el anterior, puede resolverse on el método de separaión de variables tomando x(y,t)y(y)t(t) y ajustando las ondiiones de ontorno para este aso: x x (0, t) (0, t) 0 y (17) 3 x x ( L, t) ( L, t) 0 3 y y La soluión será de la forma: x ( y, t) Y( y) Sen( t + ϕ) (18) A partir de (16) y on las ondiiones dadas en (17) se obtiene que: Cos L + Cosh L (19) Y ( y) A Sen y + Senh y + Sen L Senh Cos L y Cosh donde satisfae: 1 Cos L (0) Cosh L Lo ual da una infinidad de freuenias naturales del sistema: n n 1 π (1) L A partir de (1) se puede enontrar E reemplazando el valor de la freuenia on su orrespondiente n. En este aso, I puede alularse omo: I π R () donde R es el radio de la vara maiza.