ECUACIONES DIFERENCIALES ALGEBRÁICAS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Transcripción

1 ECACIONES DIFEENCIALES ALGEBÁICAS Y CICITOS ELÉCTICOS L. M. Franiso C. Garía Durán M. C. Horaio Leva Castellanos Departamento de Matemátias niversidad de Sonora esumen El estudio de las Euaiones Diereniales Algeraias es un área de reiente onsolidaión. Con el in de motivar una deiniión de ellas, en este traajo se presenta un ejemplo de modelaión en iruitos elétrios que ilustra una de sus araterístias. Es onoido que el omportamiento dinámio de numerosos prolemas que se presentan en Físia, Químia en apliaiones ténias, puede ser modelado a través de euaiones diereniales. En oasiones, on el in de tomar en uenta lees tales omo las de onservaión, Lees de Kirhho en iruitos elétrios, o restriiones inemátias o geométrias, etétera, se deen inorporar a los modelos euaiones algeraias implíitas no lineales. Esto da lugar a la apariión de euaiones que eran llamadas, en la déada de los sesenta, dependiendo del área: singulares, implíitas, diereniales-algeraias, desriptoras, espaio-estado generalizadas, no-anónias, no-ausales, degeneradas, semi-estado restringidas, modelo de orden reduido sistemas no estándar. A partir de la déada de los setenta estas euaiones ueron paulatinamente reonoidas omo ormando parte de una misma lase de euaiones ajo el nomre genério de Euaiones Diereniales Algeraias EDA s. Constituidas omo un partiular ampo de estudio e investigaión, durante los últimos veinte años del siglo XIX han sido ojeto de interés reiido atenión direta, tanto en uestiones analítias omo en lo reerente a su resoluión numéria. Agrupándolos por ómo son deduidas las euaiones, más que por la estrutura de la euaión, podemos distinguir uatro tipos eseniales de apliaiones traslapados en alguna extensión- dónde surgen EDA s: Modelaión de redes. Perturaión singular. 8

2 Disretizaión de euaiones en derivadas pariales. Prolemas variaionales on restriiones. Históriamente, en la modelaión de iruitos elétrios surgieron iniialmente la maoría de las EDA s. Así, retomando este iniio para ilustraión del tipo de euaiones que se onsideran Diereniales Algeraias onsideraremos el iruito de un ampliiador de transistor Figura, on un transistor, dos uentes de voltaje, tres apaitores seis resistenias, donde e t es el voltaje de entrada, 6 el voltaje de operaión, i t, i,,,,, son los voltajes en los nodos,,,,, el último es el voltaje de salida. Figura En el estudio de iruitos disponemos de las siguientes lees: 8

3 . La suma de todas las orrientes luendo haia un punto es igual a la suma de las orrientes luendo desde el punto Primera Le de Kirhho.. La suma algeraia de las aídas de voltaje alrededor de ualquier lazo de un iruito es ero Segunda Le de Kirhho.. La aída de voltaje entre dos punto de un iruito es igual al produto de la orriente la resistenia entre dihos puntos Le de Ohm. La le de Ohm nos die que para una resistenia se satisae, I /, la orriente a través de un ondensador umple on la igualdad, I C d, dt donde C son onstantes araterístias del elemento pertinente, es el voltaje. El transistor en el iruito atúa omo ampliiador en el sentido de que la orriente desde el nodo al nodo es 99 vees más grande que la del nodo al nodo, depende de la dierenia de voltaje en un modo no lineal. Siguiendo el análisis nodal lásio, la apliaión de la Primera Le de Kirhho a ada uno de los ino nodos del iruito de la Figura nos permite otener el sistema de euaiones que desrien el iruito. Nodo : e t C Nodo : C. Nodo : 8

4 Nodo : Nodo : C C.99 C De auerdo a la literatura, un iruito viale se onsigue tomando omo onstantes para los elementos involurados los siguientes valores: Para las resistenias, Para los ondensadores,, 9. C k k 6, k,,. Y para el transistor, la dependenia no lineal de la dierenia de voltaje se puede dar omo la unión, Con la señal iniial esogida omo -6 e /.6. e t. senπt Este sistema de euaiones expresado matriialmente es: 8

5 t e Es deir, un sistema de la orma, M u ϕ u donde M es una matriz singular de rango. La ual es una Euaión Dierenial Algeraia no lineal. Existen varios tipos de Euaión Dierenial Algeraia, el más senillo es el lineal de oeiiente onstante, que tiene la orma Ax t Bxt t donde A, B n x n, son matries uadradas t, es una variale real. Para este tipo de euaiones, que apareen prinipalmente en el estudio de iruitos elétrios, en la déada de los sesenta prinipios de los setenta se realizaron investigaiones sore la teoría analítia de ellas de algunos sistemas de oeiiente onstante no lineales, así omo de su resoluión numéria; muhos de los resultados otenidos pueden verse en los traajos de Campell [] []. Otra área donde apareen las EDA s de oeiiente onstante lineal es en Teoría de Control: en ella un sistema lineal es de la orma x Ax Bu Cx Du

6 87 donde A, B, C, D son matries onstantes reales, x es el estado del sistema, u es el ontrol e es la salida del sistema. Si onsideramos la salida omo onoida queremos enontrar el estado x o el ontrol u, entones el sistema anterior puede ser visto omo la euaión dierenial algeraia u x D C B A u x I Para haer más evidente el porqué de los adjetivos dierenial algeraia en la denominaión de estas euaiones podemos sumar las euaiones de los nodos, para otener la euaión algeraia,. t e Sumando las euaiones de los nodos otenemos otra euaión algeraia,.99 Así, otenemos el sistema de euaiones ormado por las tres euaiones diereniales orrespondientes a los nodos,, por las dos euaiones algeraias anteriores. Este sistema on la introduión, por ejemplo, de los amios de variales:,,, z, z, se esrie en la orma: z t C e z C

7 C z z z.99 z z e t z. z El anterior sistema tiene la orma:, z.a g, z. que es una Euaión Dierenial Algeraia Semiexplíita. Sus valores iniiales son llamados onsistentes si g, z. Si suponemos que el Jaoiano g z, z es invertile en una veindad de la soluión del EDA, entones la euaión. posee una soluión loalmente únia Teorema de la unión implíita z G que al sustituirla en la euaión.a da una euaión dierenial ordinaria, G En este aso, deimos que la Euaión Dierenial Algeraia tiene índie. DEFINICIÓN. na Euaión Dierenial Algeraia es una euaión dierenial implíita F x t, xt, t 88

8 Donde la derivada parial F, x, t es singular sore el domino de F. Entre una EDO implíita on Jaoiano no singular, una EDA ha una sutil dierenia que ilustramos on el ejemplo de EDA: dx/dt z x t Claramente la soluión es x t, z, la ual no requiere de ondiión iniial o de rontera alguna; en realidad, si imponemos una ondiión iniial aritraria x,, ésta no umple on la parte algeraia por lo que es inonsistente on la EDA. Deido a la presenia de la parte algeraia de las EDA s su integraión puede ausar diiultades eseniales, en ontraste on la de las euaiones diereniales ordinarias explíitas. Las restriiones deinen una variedad en la ual deen estar las soluiones de la EDA, así que los valores iniiales deen ser esogidos de tal manera que satisagan las restriiones, es deir, que estén en la variedad; además, en su resoluión numéria las soluiones omputadas no deen alejarse demasiado de la variedad. Este enómeno, llamado deriva, se presenta uando los métodos tradiionales para euaiones diereniales ordinarias explíitas son apliados diretamente a la EDA, por lo que deen ser modiiados para apliarse a las EDA s. Atualmente se enuentra en pleno desarrollo la investigaión sore los métodos numérios más adeuados a los distintos tipos de EDA s, onstituendo una interesante ativa área del análisis numério. Biliograía [] Campell, S. L., Singular sstems o dierential equations I, Pitman Pulishing In. 98. [] Campell, S. L., Singular sstems o dierential equations II, Pitman Pulishing In. 98. [] Brenan, K.E., Campell, S.L., Petzold, L.., Numerial Solution o Initial-Value Prolems in Dierential-Algerai Equations, SIAM