Cálculo Integral: Guía I

Transcripción

1 00 Cálulo Integral: Guía I Profr. Luis Alfonso Rondero Garía Instituto Politénio Naional Ceyt Wilfrido Massieu Unidades de Aprendizaje del Área Básia 0/09/00

2 Introduión Esta guía tiene omo objetivo darte una introduión rápida para que iniies el urso de Cálulo Integral, omprendiendo: Qué es? y Cómo se relaiona? on tu urso anterior de Cálulo Diferenial, así omo ofreerte las epliaiones neesarias y los problemas tipo resueltos de manera lara y senilla que aunadas a las epliaiones dadas en lase por tu profesor, te permitirán iniiarte rápidamente en la resoluión de integrales inmediatas de tipo algebraio, trigonométrio, eponenial y logarítmio, usando el formulario básio de integrales así omo el empleo del método de integraión por ambio de variable para resolver aquellas integrales indiretas que no se ajustan aparentemente a ninguna de las fórmulas elementales onvenidas. Los proesos matemátios empleados en la resoluión de integrales requieren de tus onoimientos básios de algebra y trigonometría, de tu apaidad dedutiva y de tu trabajo onstante. Todos los aminos que onduen al onoimiento son intrinados y difíiles pero representan la mayor aventura que puede tener el inteleto humano Aepta el reto! Página de 0

3 Cálulo Integral INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL El urso de Cálulo Integral aplia los aprendizajes previos de: Álgebra, Geometría, Trigonometría, Geometría Analítia y Cálulo Diferenial, en el estudio signifiativo de las funiones y sus difereniales así omo sus apliaiones en el álulo de áreas de regiones planas limitadas por urvas y el álulo de volúmenes de sólidos irregulares, longitudes de aro y apliaiones a la físia del movimiento, trabajo y energía, presión, entroides de masa, momentos de ineria, et.. El álulo proporiona a los estudiantes, ingenieros y tenólogos los onoimientos neesarios para operar y apliar funiones matemátias on variable real en el planteamiento y soluión de situaiones prátias que llegan a presentarse en su ejeriio profesional. La integraión se onsidera un eje fundamental para el planteamiento y desarrollo de oneptos que permiten entender y asimilar onoimientos de asi todas las áreas de la ingeniería y la tenología apliada, espeialmente en la físia, para finalmente abordar temátias generales del saber espeífio en el ampo profesional. Objetivo Partiular El objetivo prinipal de ésta guía es la de permitir al estudiante del nivel medio superior aeder a los prinipales onoimientos del Cálulo Integral de manera senilla y prátia permitiéndole apliar los algoritmos fundamentales para resolver on preisión las diferentes integrales que se presentan en diversos ampos del quehaer ientífio y ténio. En ésta guía dividida en tres partes se presentan problemas tipo resueltos de tal modo que sirvan de apoyo para lograr la soluión de los diferentes problemas propuestos al final de la misma. Cuenta además on un módulo llamado SOLUCIÓN DE PROBLEMAS PROPUESTOS EN GUÍAS Y PROBLEMAS ESPECIALES dónde enontrará infinidad de problemas resueltos paso a paso para failitar el estudio de las ténias de integraión. Se tiene también un módulo aneo de la GUÍA I onteniendo la soluión paso a paso de problemas propuestos, los uales failitarán el empleo de los algoritmos básios y el uso del álgebra omo herramienta de adeuaión de los problemas a los algoritmos señalados. Página de 0

4 Al término de las tres guías de Cálulo Integral y habiendo realizado TODOS los problemas habrá logrado : propuestos de manera satisfatoria, el alumno Desarrollar habilidades y destrezas que le permitan resolver todo tipo de integrales propuestas en el programa y mediante el razonamiento, el análisis y la refleión, interpretar diversos modelos en términos matemátios que lo onduzan a la soluión de problemas teório-prátios. Proponer y plantear problemas prátios y teórios mediante su formulaión matemátia así omo el modelar sistemas físios a través del manejo de datos y variables estableidas de modo empírio partiendo de las bases adquiridas durante su formaión. Argumentar y justifiar el porqué del empleo de modelos matemátios en la resoluión de problemas teórios y prátios espeífios. Ésta guía desarrolla el programa vigente de Cálulo Integral de auerdo al modelo de ompetenias Página de 0

5 CONTENIDO TEMÁTICO DE ESTE MÓDULO Unidad I Diferenial de una Funión OBJETIVO: Apliar la diferenial de una funión en la soluión de problemas. Unidad II Integral Indefinida OBJETIVO: Apliar el onepto de antiderivada para estableer un formulario básio y poder resolver integrales diretas de funiones algebraias, trigonométrias, eponeniales y logarítmias. Unidad III Métodos de Integraión: Cambio de Variable OBJETIVO: Apliar uno de los métodos de integraión para resolver integrales no inmediatas de funiones algebraias, trigonométrias, eponeniales y logarítmias. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN En el urso anterior de Cálulo Diferenial nos enfoamos en el problema de alular la Derivada de una funión y nos preoupamos por enontrar la pendiente de una reta tangente a la gráfia de una funión ualquiera,del tipo: y=f() en ualquiera de sus puntos en un ierto intervalo :.De éste modo llegamos a la definiión de la derivada y vimos que f' (a) es la pendiente de la reta tangente a la urva en =a. Página de 0

6 Ahora analizaremos la siguiente situaión: Dada una funión y=f() y un valor iniial de, digamos 0, enontramos la pendiente de la reta tangente en [ 0, f( 0 )], la ual está dada por m=f'( 0 ). La euaión de esa reta tangente es y-f( 0 )=m(- 0 ). Supongamos que ahora ourre un ambio en, de 0 a 0 +d (d es una antidad). A ese nuevo valor de orresponden dos valores de y, uno para la urva y=f() y otro para la reta tangente ya enontrada anteriormente. Hay dos antidades de interés: () el ambio que ourre en el valor de f (que llamaremos Δ y ). () el ambio que ourre en el valor de y para la reta tangente (que llamaremos dy). De auerdo on esto definiremos lo siguiente. Sea y=f() una funión derivable en un intervalo abierto que ontiene al número, La diferenial de : Es ualquier número real diferente de ero (se denota omo d). La diferenial de y: Se define omo dy=f '[] d (se denota por dy). Puede deirse que la diferenial de una funión es el produto de la derivada de la funión por la diferenial de su variable. Página 6 de 0

7 INCREMENTOS Y DIFERENCIALES Para funiones de una variable y=f(), se define el inremento de y omo Δ y =f (+ Δ )-f () y la diferenial de y omo : d y = f () d Δ y representa el ambio en la altura de la urva : y=f(), y dy representa la variaión en y a lo largo de la reta tangente, uando varía en una antidad En la siguiente figura se muestra d f. y Δ. Figura : diferenial de una funión Observe que : Δy - dy se aproima a ero más rápidamente, ya que y al haer, tenemos que. Por lo tanto : Donde. onforme. Página 7 de 0

8 Ilustraión de difereniales En las siguientes gráfias se alulan, para una funión dada ( ) y un valor dado de = 0, y varios valores del "ambio en " o sea el número d (o ), el ambio en el valor de f() (llamado y) y el valor de dy. =.0 y =.0 = 0. y =. y - dy =.0 dy =.0 y - dy = 0. dy =.0 = 0. y = = 0. y = 0.6 y - dy = 0. dy = y - dy = 0.06 dy = 0. = 0. y = 0. = 0.67 y = 0.6 Página 8 de 0

9 y - dy = 0.0 dy = 0. y - dy = dy = 0. = 0. y = 0.06 = 0. y = 0.66 y - dy = 0.0 dy = 0.86 y - dy = 0.06 dy = 0. = 0. y = 0. = 0. y = 0. y - dy = 0.0 dy = 0. y - dy = 0.0 dy = 0. Como habrás observado, onforme más pequeño es d, más eranos están los valores de y & dy, y ésta es una de las apliaiones de las difereniales: aproimar on dy el ambio real de una funión ( y). Para valores pequeños de d, y es aproimadamente igual a dy. Por lo tanto, y = f( 0 +d) - f( 0 ) apro. igual a dy, de donde obtenemos que: f( 0 +d) = aproimadamente a f( 0 ) + dy Página 9 de 0

10 Ejemplos del manejo de difereniales Veamos algunos ejemplos del álulo de difereniales: Funión Derivada Diferenial f()= f '()= dy = d f()= f '()= - - dy = - - d f()= sen() f '()= os() dy = os() d Utilizando difereniales para aproimaiones Consideremos la funión f()=(/ ) / y dos valores de : 0 =00 y =96. Por lo onsiderado anteriormente tenemos que: Página 0 de 0

11 ACTIVIDAD I: Ejeriios y problemas de diferenial de una funión A.-Calular la diferenial de las siguientes funiones: ) ) ) ) ) 6) B.-Calular el inremento del área del uadrado de m de lado, uando aumentamos mm su lado. C.-Un uadrado tiene m de lado. Determínese en uánto aumenta el área del uadrado uando su lado lo hae en un milímetro. Calúlese el error que se omete al usar difereniales en lugar de inrementos. Página de 0

12 D.-Hallar la variaión de volumen que eperimenta un ubo, de arista 0 m, uando ésta aumenta 0. m su longitud. E.-Calula el error absoluto y relativo ometido en el álulo del volumen de una esfera de. mm de diámetro, medido on un instrumento que apreia milésimas de entímetro. F.-Si en lugar de se halla. Cuáles son las aproimaiones del error absoluto y relativo? Antiderivadas y la onstante de integraión Hasta ahora solo nos hemos dediado a alular o enontrar la derivada de una sola funión ualquiera f(); es deir f (); sin embargo omo toda operaión matemátia también la derivaión tiene su inversa que es la integraión indefinida, de este modo se ierra un ilo operativo entre la derivaión y la integraión así omo ourrió on la multipliaión y la división. Página de 0

13 La operaión de integraión debemos entenderla omo un proedimiento algebraio que nos permite hallar la funión f() uando solo onoemos su derivada: f (). Este proeso requiere pensar o trabajar en sentido ontrario a omo lo haemos al derivar por lo ual puede pareer ompliado; sin embargo nos vamos a apoyar en nuestras formulas de derivaión para estableer un formulario básio que nos simplifique el trabajo. Primero dejaremos laros algunos oneptos: Para denotar la operaión de integraión usaremos el signo integral: al frente de la epresión matemátia llamada diferenial de la funión: f '() d de la siguiente manera: f '( ) d A la parte que está a la dereha del símbolo integral también se llama integrando. Al resolver una integral obtendremos la funión primitiva en : F () +, también d llamada antiderivada de la funión ya que se umple que F() + = f() y de este d modo se obtiene d (F() +) = f() d que es el integrando original y donde: es una onstante ualquiera llamada onstante de integraión. Cabe destaar que al derivar el resultado de la integraión estaremos omprobando esta integraión. Ejemplo: d Página de 0

14 Derivando obtendremos. ( ) 0 d ( ), de donde el diferenial: d( + ) = d d es el integrando original. El proeso de integraión es un proeso inverso a la derivaión por lo ual es importante entenderlo primero on ejemplos senillos para posteriormente efetuarlo apoyándonos en un formulario básio obtenido diretamente de las formulas de derivaión. Problema. Enuentra una funión f() sabiendo que su derivada es: Si representamos matemátiamente ésta informaión tendremos que: f ()=, por lo que tendremos que busar de modo empírio la funión f() =? Cuya derivada sea: La funión requerida será: f()= d ya que = d Sin embargo también podremos ver que las funiones: -, +, +, - satisfaen nuestro problema, por lo que es la funión: + la funión pedida donde toma los valores, -, +, +, - et., por lo que el valor es importante tomarlo en uenta en toda integraión indefinida. Este valor llamado onstante de integraión nos permitirá enontrar adeuadamente la funión primitiva original.esta onstante de integraión orrige la falta de preisión ó eguera de nuestra derivada ya que ella no puede distinguir entre las funiones : El problema podrá esribirse matemátiamente de la siguiente forma : d Problema : Enuentra una funión f() sabiendo que su derivada es: +, es deir: f ( ) = + Página de 0

15 Las funiones que satisfaen este problema son muy variadas y tienen una estrutura algebraia de fáil identifiaión: ++, +-, , ++00 y todas ellas pueden generalizarse omo: f()= ++ Soluión: Como puedes observar aparee nuevamente la onstante de integraión ya que: d ( ++) = + d d ( +-) = + d d ( 7 +- ) = + d 9 d ( ++00) = + d d ( ++) = + d De este modo onluimos que: ( ) d Problema : Si la derivada de la funión f() es uál será la funión f()? Analizando los problemas anteriores vemos que el eponente del polinomio resultante era mayor que el de la derivada onoida por lo que nos puede servir reordar que: d d n n n La funión busada deberá tener eponente úbio en ; sin embargo la funión f()= tendría una derivada algo diferente a la busada: d d. Sin embargo la onstante que sobra podemos eliminarla dividiendo la funión entre y de éste modo tendremos que : f () = Si la derivamos tendremos d d ( ) Página de 0

16 Lo ual nos da la funión busada: f () = + onsiderando también a la onstante de integraión ya que omo en los dos problemas anteriores también eisten múltiples funiones que satisfaen diho problema: Atividad, 0, et. A partir de los problemas anteriores enuentra la funión uya derivada sea: a) + - b) ) - d) 0 e) f) Respuestas: a) f ( ) - b) f () = ) f () = d) f () = a Siendo a una onstante ualquiera. e) f () = - - f) f () = Página 6 de 0

17 Atividad : A partir de los ejemplos anteriores intenta enontrar una fórmula general para hallar la funión: f() uya derivada sea: a) n b) a, siendo a 0 ) a, siendo a una onstante Respuestas: a) n + + C n + b) a + C ) a + C Si analizas las soluiones anteriores observarás que hemos enontrado las primeras fórmulas de integraión: n n a) d n a b) ad ) ad a Si apliamos estas fórmulas será más fáil hallar las primitivas en : f(), uando onoemos sus derivadas. Página 7 de 0

18 Página 8 de 0 Ejemplos:. d f d d 6 ) ( 6. ) ( d f d d. ) ( d f d d. d f d d ) (. d f d d ) ( 6. 8 ) ( d f d d 7. ) ( d f d d 8. ) ( d f d d 9. d f d d ) ( 0. d f d d ) ( Si observas los ejeriios:, 9,0 observarás que el oefiiente de la variable por ser una onstante podemos saarlo del símbolo integral y hasta después de apliar la fórmula de la integral de una potenia podemos multipliarlo sin que el resultado se altere y haiendo más senillo el proedimiento; ésto lo podríamos indiar on la siguiente fórmula: ) ( ) ( d f a d f a

19 La integral de una onstante por el diferenial de una funión ualquiera equivale a multipliar la onstante por la integral de la diferenial de la funión De este modo: d d = + = + C 6 a) 6 6 b) d d Para dejar laro el onepto de primitiva, antiderivada, diferenial é integral observa la siguiente tabla: Funión Primitiva Derivada de la funión Diferenial de la funión Antiderivada ó integral indefinida f() f () f ()d f ()d d + d + Tan Se Se d Tan + e e e d e + Cos(+) -Sen(+) -Sen(+)d Cos(+)+ Sen os Cosd Sen + Ln d Ln / /+ Página 9 de 0

20 Como puedes observar en la última olumna se ha obtenido finalmente la antiderivada que es en realidad la primitiva en, más la onstante de integraión: C, presente en toda integraión indefinida. En la terera olumna aparee la diferenial de la funión la ual podemos definirla de manera prátia omo: Diferenial de una funión. Es el produto de la derivada de la funión por la diferenial de su variable independiente d f ()= f () d A partir de este onepto debemos remodelar nuestras fórmulas de derivaión y onvertirlas en difereniales. Por ejemplo, la derivada de la funión seno es : oseno : d d sen = os Pero la diferenial de seno es el produto del oseno por el diferenial de la variable, lo ual esribiremos finalmente: d sen os d FORMULARIO DE INTEGRACIÓN Fórmulas básias I. d : La integral del diferenial de la variable independiente es la variable misma II. ad a : La integral de una onstante por el diferenial de la variable es la onstante por la variable misma Página 0 de 0

21 III.. du dv dw) du dv ( dw : La integral de una suma y/o resta de difereniales es la suma y/o resta de las integrales de los difereniales. n n IV. d : La integral de una potenia es el oiente de la potenia de la n variable inrementada en uno entre la misma potenia inrementada Esta regla es válida para n -. Esta eepión a la regla se ubre on la fórmula IVa IVa. entones se emplea la fórmula : y en aso de que el denominador apareza omo : ±a IVb. ( d : La integral de una onstante por el diferenial de una V. a f ) d a f ( ) funión equivale al produto de la onstante por la integral Esta fórmula nos india de modo prátio que toda onstante puede ser removida y saada de la integral. A ontinuaión observaremos las siguientes fórmulas difereniales y así por simple inspeión podremos estableer otras integrales neesarias. a. d sen u = os u du b. d os u = -sen u du. d tan u = se u du d. d ot u = -s u tan u du e. se u = se u tan u du f. d s u = -s u tg u du g. d ln u = u du h. d ln se u = seu tan udu tan udu seu Página de 0

22 i. d ln s u = (s utgudu ) tgudu s u j. d ln se u + tan u = (se u tan u se u) du seu tan u Fatorizando en : se u tan u + se u tenemos: se u (tan u + se u) seu(tanu + seu) seu + tanu d Ln se u tan u = se u du k. d Ln s u-tg u = ( su tgu ( su tgu sutgu ( s sutgu s u)) du u) du Fatorizando en : - s u tg u +s u tenemos : su (su tgu ) su(s u su tgu tgu ) d Ln s u-tg u = s u du En: a) Podemos preguntar: Cual es la funión uyo diferenial es os u du? Y responder inmediatamente: sen u, lo que equivale a alular la integral de os u du y obtener: sen u. Así obtenemos la fórmula: VI. os udu senu Página de 0

23 En: b) Podemos pasar el signo al primer miembro y reesribir la fórmula omo: d(-os u) = sen u du y así tenemos que: VII. sen u du -os u + De éste mismo modo operamos en las siguientes obteniendo las fórmulas : euaiones difereniales restantes VIII. se udu tan u IX. s udu tgu X. seu tan udu se u XI. s u ot udu s u XII. du u Ln/ u / C XIII. tan udu ln/ seu / XIV. tgudu - ln s u + Apliando la propiedad de los logaritmos : n ln = ln n tenemos : Ln su Ln su Ln senu XV. se udu Ln seu tan u XVI. s udu Ln su tgu XVII e d e Página de 0

24 De éste modo tenemos ya, un formulario básio para resolver muhas integrales de modo direto. A ontinuaión emplearemos estas dieiséis fórmulas para resolver problemas diversos de integraión inmediata. Ejemplos: Calular: dv Etrayendo la onstante tenemos: dv y omo la integral de una diferenial es la variable misma entones tenemos: d Calular: dv v Si observas, se puede etraer la onstante + y de este modo se simplifia el álulo de: para dejar solamente d uya soluión es d d Comprobando tenemos: d d d d ( ) ( ) ( )() ( ) d d y epresándolo omo diferenial tenemos : d ( ) = d ; que es el integrando original. NOTA: Antes de busar una fórmula adeuada para resolver la integral propuesta debes limpiar o simplifiar tu integral etrayendo todas las onstantes posibles que estén multipliando el diferenial. Página de 0

25 En iertas oasiones eisten muhas letras involuradas en la integral por lo que no sabemos on erteza si son o no onstantes. Un amino seguro para identifiar las onstantes onsiste en saber uál es el diferenial de la variable; por ejemplo en: atds b Si observas, la diferenial es ds, por lo tanto omo no eiste en la integral la letra s que debería ser la variable, entones las demás letras: a, b, t deberán ser onstantes y por lo tanto podrán etraerse haiendo más fáil identifiar la fórmula que nos ayudará a integrar: atds at at ds ( ) s b b b ats b En algunas oasiones enontraremos que inluso las lásias variables : & y enontradas en la mayoría de las integrales pueden llegar a estar omo onstantes, omo lo puedes ver en el siguiente ejemplo: tdw y El diferenial es de la variable w por lo que las demás literales funionan en este aso omo onstantes: t t tw dw w = + y y y En el siguiente ejemplo observamos la misma situaión: tdt tdt Como t es la variable, no se puede etraer y omo tiene eponente, emplearemos la integral de la potenia. t tdt = t + Página de 0

26 Comprobando: Derivando on respeto a t : d ( dt t ) t t d ( t ) tdt Proedimientos básios para resolver los problemas de ésta guía. Resoluión de Integrales Inmediatas.(Problemas al 0 de la guía) Se onsideran integrales inmediatas a las integrales que tienen la misma forma que las fórmulas de integraión. En algunos asos se tienen que haer algunas modifiaiones algebraias elementales para que su forma sea la misma y así se puedan apliar las fórmulas de modo direto. Por ejemplo: En las siguientes integrales emplearemos las fórmulas: d ad a d a A ontinuaión notarás que es onveniente loalizar alguna onstante dentro de la integral y etraerla para resolver el problema de manera más senilla ya que así podrás identifiar más fáilmente la fórmula requerida.. d d dt. dt t dy ad ad. dy m dz n m n y ad. dz m z n. dt dt t Página 6 de 0

27 En éste aso el diferenial es: dt, por lo que la variable deberá ser : t, pero omo no eiste en la integral entones : funiona omo onstante, por lo que se aplia la misma fórmula. Integrales que ontienen a la variable y su diferenial. n n En estos asos se emplearán las siguientes fórmulas: d n para n - d Para n= - : d ln La segunda fórmula ubre la eepión de la primer fórmula y por lo general enontrarás en los formularios de ualquier teto la segunda epresión. A ontinuaión apareen integrales que presentan onstantes que enmasaran el uso de éstas fórmulas:. d d. a d a d a a a t d t t t. d ab ab ab ab Cuando la variable está en el denominador se puede subir al numerador ambiando el signo a su eponente: a n a n a y a n n dw w w w. w dw Reuerda que en el resultado final los eponentes deben epresarse on signo positivo. Página 7 de 0

28 Página 8 de 0. y y dy y y dy 9 6. d d ln 7. t a t dt a t adt ln 8. y mn y dy mn dy mny ln Cuando en la integral aparee un radial de la variable entones debe epresarse omo eponente fraionario para emplear la fórmula : n n n para n - 9. d d 0. d d. z a z a z a dz z a z dz a z a dz 9 Integrales asi inmediatas ( Problemas al 6) Son aquellas en las que el integrando está epresado omo una operaión señalada ó indiada: produto, oiente ò potenia, por lo que es neesario realizar estas operaiones primero para simplifiar el integrando y finalmente emplear algunas de las fórmulas básias para poder integrar.

29 Ejemplos :. ( )( ) d Se realiza el produto de los binomios on término omún: y finalmente podemos integrar : ( )( ) = ( )( ) d = ( ) d. d ; Primero se realiza la división : d = (++ ) d = = d d d ln ( ) d; Primero se desarrolla el uadrado del binomio: (-) = -+ y finalmente se podrá integrar: ( ) d = (-+ )d = d - d + d = + / + Integraión por ambio de variable ( Problemas 6 al ) Este método permite resolver integrales que no son inmediatas, es deir aquellas uya forma es más ompleja y no se paree a las formulas básias antes vistas. Al ambiar la funión original por una variable senilla se logra darle a la integral original una forma más simple y que se pareza o sea igual a las formulas básias. Eisten infinidad de asos diferentes de integrales que pueden resolverse por éste método por lo que se requiere un onoimiento amplio de las equivalenias algebraias trigonométrias. Página 9 de 0

30 Ejemplo: d si se sustituye el denominador por la variable u tenemos: u = y la diferenial de la nueva variable será: du = d Si observas este valor es el mismo numerador de la integral original por lo que: d du uya estrutura matemátia es idéntia a la fórmula básia u du ln u u Regresando a la variable original tenemos que: u du = ln + En algunos asos al alular el diferenial de la nueva variable no se obtiene el numerador original por lo que se proede de la siguiente forma: Ejemplo: d u = ; du = d Como puedes ver no se obtuvo el numerador original por lo que hay que etraer la onstante de la integral: d el nuevo numerador está ontenido en el du por lo que habrá que despejarlo: du = d du/ =d d = du du u u ln ln u Al integrar por ambio de variable debes tomar en uenta las siguientes sugerenias: Tomar omo U a la epresión que apareza dentro de un paréntesis elevado a una potenia ualquiera. Problemas 6, 6, 8, 0 Página 0 de 0

31 Tomar omo U a la epresión que apareza dentro de un radial. Problemas: 66, 7, 7, 76, 77 En algunas formas fraionarias el denominador ompleto puede ser U. Problemas: 7, 7, 7, 9, 98, 99, 00 En Funiones Trigonométrias: Cuando aparee una sola funión puede tomarse al ángulo ó argumento omo U. Problemas: 69, 78, 79 Cuando aparee un produto de dos funiones trigonométrias on potenia unitaria, una de ellas puede ser U. Problemas: 67, 68 Cuando aparee un produto de dos funiones trigonométrias y una de ellas tiene eponente, se toma a ésta omo U pero sin el eponente : (Problema 8) a eepión de asos omo los Problemas 8, 8, 87, 96, 97 ya que : se t dt es la diferenial de la funión : tan t. Del mismo modo : -s d es el diferenial de / ot ; - s d es el diferenial de ot. En muhos asos donde aparee tan ó ot, también están presentes sus difereniales en forma direta omo : se d y s d : Problemas : 8, 8, 87, 96, 97, 98, 99, 00, 0 ó indireta (enmasaradas) por alguna identidad omo: d os, d sen, d sen, d os por lo que hay que tomar tan o ot omo U y haer la transformaión trigonométria neesaria para evideniar el diferenial de la tangente ó la otangente. Problema 8, 86 En funiones eponeniales se reomienda que U sea el eponente de e :.Problemas: 88, 89, 90, 9, 9, 9, 9, 0, 06, 07, 08, 09, 0 Página de 0

32 Y si e se enuentra en el denominador, se reomienda subirlo al numerador ambiando el signo de su eponente antes de ambiar la variable: Problemas: 9, 07, 08 En funiones logarítmias, U puede ser el logaritmo dado sin eponente y en otros asos U sería el argumento. UNIDAD SOLUCIONES A LA ACTIVIDAD I A.-Calular la diferenial de las siguientes funiones: 6 Ap l i a m o s l a d e f i n iión d e l o g a r i tm o : B.- Calular el inremento del área del uadrado de m de lado, uando aumentamos mm su lado. S = ; ds = d d(s) = 0.00 = m Página de 0

33 C.- Un uadrado tiene m de lado. Determínese en uánto aumenta el área del uadrado uando su lado lo hae en un milímetro. Calúlese el error que se omete al usar difereniales en lugar de inrementos. D.- Hallar la variaión de volumen que eperimenta un ubo, de arista 0 m, uando ésta aumenta 0. m su longitud. E.- Calula el error absoluto y relativo ometido en el álulo del volumen de una esfera de. mm de diámetro, medido on un instrumento que apreia milésimas de entímetro F.- Si en lugar de se halla. Cuáles son las aproimaiones del error absoluto y relativo? Página de 0

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35 A ontinuaión enontrarás la atividad final on problemas propuestos y que resolverás siguiendo las indiaiones anteriores. Las respuestas se enuentran en un módulo separado de ésta guía. Página de 0

36 ACTIVIDAD FINAL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL I.-RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRALES INMEDIATAS EMPLEANDO LAS REGLAS Y SUGERENCIAS MENCIONADOS EN ESTA GUÍA. ) d ) t dt ) y dy ) dy d ) ) 7 abdz yd ) ) dt dt ) t d ) ab ) dw dy ) y ) tdt ) a da 6) t dt d 6) ) 6 ) d mndt at 7) t dt adt 7) t 7 ) y dy dt 8) ab abdy 8) y 8 ) z dz 9) adz 9) z dz 0 ) m ntdt 0) wdw 9 ) 0) dw w dt t Página 6 de 0

37 II.-RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRALES CASI-INMEDIATAS EMPLEANDO LAS REGLAS Y SUGERENCIAS MENCIONADOS EN ÉSTA GUÍA. ) d ) t t dt ) d ) a a da ) d ) 7s s ds ) ) d d y ) 9 dy ) d ) y y dy 6) ) t t dt 6 ) t t dt 6 ) y y dy ) d d t 7) dt t 7 7 8) d 7 ) 0 0d ) 8a a da 8 y 8 9) dy y y y dy 8 ) 9 ) d 9 ) 0 ) t t dt t t dt 7 7d 0 ) ) d ) d ) d 60) d 6) d 6) d 6) d Página 7 de 0

38 RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDIRECTAS EMPLEANDO EL MÉTODO DE CAMBIO DE VARIABLE EXPLICADO EN ÉSTA GUÍA. d 6) t dt 77) t d 6) 78 ) sen y dy 66) t t dt os( y ) dy 79) 90 ) e d 0) Ln d d d 9 ) 0) e Ln 9) e d 67) seny os ydy 80) sen d No tiene e d 9) 6 06) e d soluión por éste método 7 e 68) tant se tdt 8) sen os d d e 9 ) d 07) e 69) os d sen d 8) se d 9) os d 08) tan e ost dt 70) 8 ) tan se d 96 ) s ot d e 09) sen t d 7) d tan d 97) 8) tg se d 0) e d os z dz 8) 7) ot s d se d d 98) z ) tg e 7) t dt s z dz 86 ) se d 99) se z sen z tg dz 7) 87) se tan d z 7) 76) a da 88 ) e d a 0 d 89 ) e sen os d a 0) ) e d d ln se d 00) ) d tg ln e 0) 0se d tg 0 7 os 0) d sen ) 7 d Página 8 de 0

39 Bibliografía AYRES, F. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. SERIE SCHAUM, MC GRAW-HILL, MÉXICO. BOSCH-GUERRA. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.ED.PUBLICACIONES CULTURAL,MÉXICO DEL GRANDE, D. CÁLCULO ELEMENTAL. ED. HARLA, MÉXICO ELFRIEDE W. DIDÁCTICA _ CÁLCULO INTEGRAL.GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA.MÉXICO. FINNEY,R.L. CÁLCULO DE UNA VARIABLE. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO. FUENLABRADA, S. CÁLCULO INTEGRAL. ED. TRILLAS, MÉXICO GRANVILLE,W.A. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, ED. LIMUSA, MÉXICO LEITHOLD, L. CÁLCULO, ED. OXFORD UNIVERSITY PRESS, MÉXICO PURCELL, E.J. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA.ED.LIMUSA, MÉXICO. STEWART, J. CALCULO DE UNA VARIABLE. ED.THOMPSON, MÉXICO. SWOKOWSKY, E. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. ED. IBEROAMERICANA, MÉXICO. ZILL,D.G. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA ED. IBEROAMERICANA, MÉXICO. FINNEY,R.L. CÁLCULO DE UNA VARIABLE. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO. Página 9 de 0

40 PÁGINAS ELECTRÓNICAS Página 0 de 0