DISEÑO DE PERFILES AERODINÁMICOS

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD TICOMAN INGENIERÍA AERONÁUTICA DISEÑO DE PERFILES AERODINÁMICOS TESIS QUE PARA OBTENER EL TITULO DE: INGENIERO EN AERONÁUTICA POR LA OPCION: TESIS INDIVIDUAL PRESENTA: DIEGO RODRIGO FLORES GALINDO Asesores de Tesis: M. en C. Alfredo Arias Montaño M. en C. Tiburio Fernández Roque Ing. Fausto H. Rodríguez Ibarra. Méxio D.F., Mayo del 6

2 Dediatoria Para mi Madre: Por su valor y oraje ante las adversidades, por su espíritu de luha y por su inagotable forma de amar, graias por todo lo que me haz dado. (Graias por enseñarme a leer muho antes de lo que debía). Para mi hermano: Por sus ganas de salir adelante y que esto sirva de apoyo para que logre sus objetivos. (Graias por ompartir momentos durante nuestra infania). Para toda mi Familia: Es deir, abuelos, tíos y primos por su apoyo y sustento inondiional en los momentos difíiles. (Graias por todos esos momentos en los que estamos juntos y que no se repetirán) Para todas esas personas que direta o indiretamente olaboraron on este trabajo. ii

3 Agradeimientos Al Instituto Politénio Naional y a todas las instituiones eduativas que me brindaron la oportunidad de formarme aadémiamente. Es difíil nombrar a las personas que influyeron en mi eduaión, por ende agradezo a todos los profesores que olaboraron on su enseñanza haia mi. A todos mis amigos, ompañeros de estudios por brindarme su amistad y sus onoimientos en la vida. iii

4 Índie Índie.. Relaión de Figuras y Tablas 3 Introduión.. 5 Justifiaión.. 7 Objetivo.. 8 Alane.. 9 CAPITULO. Perfiles Aerodinámios. Definiión y desripión de un perfil aerodinámio. Clasifiaión de los perfiles aerodinámios.. La serie de perfiles NACA..... Serie NACA de 4 dígitos 3..3 Serie NACA de 5 dígitos Serie NACA de 4 y 5 dígitos modifiada Serie NACA o NACA Serie NACA Serie NACA Serie NACA Prinipio de funionamiento de los perfiles aerodinámios... 4 CAPITULO. Tipos de Diseño de Perfiles Aerodinámios. Reseña história del Diseño de perfiles aerodinámios Métodos de Diseño de perfiles aerodinámios Diseño Direto. 3.. Diseño Inverso Tipos de diseño de perfiles Diseño de perfiles on espesor máximo Diseño de perfiles on sustentaión máxima Diseño de perfiles Laminares Diseño de perfiles Transónios Diseño de perfiles para bajos números de Reynolds Diseño de perfiles multipuntual. 39 CAPITULO 3. Modelo Matemátio para el Diseño de Perfiles Aerodinámios 3. Formulaión del problema Desarrollo teório Funión de Corriente Potenial de Veloidad Relaión entre la funión de orriente y el potenial de veloidad Potenial Complejo y Veloidad Compleja. 5 CAPITULO 4. Desarrollo y Resultados 4. Metodología de diseño apliada a un perfil NACA Comparaión de resultados teórios ontra experimentales y omputaionales (XFOIL) de la distribuión de presiones del perfil NACA Conlusiones... 9 Referenias y Bibliografía. 9

5 Apéndie. 94 Apéndie Apéndie 3. 5

6 Relaión de Figuras y Tablas Relaión de Figuras Figura... Terminología de un perfil Figura... Definiión de ángulo de ataque. Figura... Construión geométria del perfil NACA 3 Figura... Perfil aerodinámio NACA 45 perteneiente a la familia NACA de 4 dígitos 5 Figura..3. Perfil aerodinámio NACA 3 perteneiente a la familia NACA de 5 dígitos 7 Figura..4. Perfil Aerodinámio NACA -64 perteneiente a la familia NACA de 4 dígitos modifiada.. 9 Figura..5. Perfil Aerodinámio NACA 6- perteneiente a la familia NACA o NACA 6 Figura..6. Perfil Aerodinámio NACA 64 - perteneiente a la familia NACA 6. Figura..7. Perfil Aerodinámio NACA 747A35 perteneiente a la Figura..8. familia NACA 7. Perfil Aerodinámio NACA 835A6 perteneiente a la familia NACA 8. 3 Figura.3.. Perfil asimétrio on sustentaión nula 4 Figura.3.. Perfil asimétrio on sustentaión positiva.. 5 Figura.3.3. Perfil simétrio on sustentaión nula.. 5 Figura.3.4. Bosquejo de la presión y el esfuerzo ortante sobre una superfiie aerodinámia.. 5 Figura.3.5. Fuerzas atuantes sobre un plano aerodinámio... 6 Figura... Diagrama de Flujo del Diseño Direto.. 33 Figura... Diagrama de Flujo del Diseño Inverso.. 34 Figura 3... Figura 3... Figura Diferentes líneas de orriente son determinadas por diferentes valores de la funión de orriente... 4 El flujo másio a través de n es la suma de los flujos másios a través de y y x.. 45 Esquema de la transformaión de una urva asi irular B en un perfil. 54 Figura Sistema oordenado del perfil 55 Figura 4... Sistema oordenado del Perfil NACA Figura 4... Perfil NACA Figura Grafia θ vs ψ del Perfil NACA 44 7 Figura Grafia θ vs ψ ' del Perfil NACA Figura Grafia θ vs ε del Perfil NACA Figura Grafia θ vs ε ' del Perfil NACA Figura Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 a partir de la tabla 4..6, para un α =... 8 Figura 4... Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = 83 Figura 4... Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = 84 Figura Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = 4 85 Figura Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = Figura Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = Figura Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un 88 3

7 Figura Figura α = 6... Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α =... 9 Relaión de Tablas Tabla... Valores de m y k. 6 Tabla... Valores de a x y d x. 8 Tabla..3. Desripión de las familias NACA. 3 Tabla 4... Coordenadas del Extradós e Intrados.. 69 Tabla 4... Valores de L, sin θ, sin θ y θ. 7 Tabla Valores de ψ 7 Tabla Valores de θ y ψ 7 Tabla Valores de θ, ψ y ψ '. 73 Tabla Valores de ϕ y ψ ' para θ =.. 74 Tabla Valores de ϕ, ϕ, ϕ, ϕ, ϕ 3, ϕ 3, ϕ 4 y ϕ Tabla Valores de ψ, ψ, ψ, ψ, ψ 3, ψ 3, ψ 4, ψ Tabla Coefiientes a k Tabla 4... Valores de θ y ε. 76 Tabla 4... Valores de θ, ε y ε '.. 77 Tabla 4... Valores de F.. 79 Tabla Valores de θ + ε en radianes y grados 79 sin θ + ε + α + sin α + para α = 8 Tabla Valores de ( ) ( ) Tabla Tabla Valores de v para α = V 8 Valores de P para α = q 8 ε T 4

8 Introduión Es obligaión del ingeniero aeronáutio saber ómo? y de dónde? surge el diseño de perfiles aerodinámios, generalmente uando alguien neesita las araterístias aerodinámias (oefiiente de levantamiento, oefiiente de resistenia al avane o oefiiente de momento de abeeo) de alguno de tales perfiles, se reurre a los atálogos existentes, pero realmente el ingeniero aeronáutio no tiene el onoimiento de donde surgieron todos esos datos y desde mi punto de vista es más que neesario dominar ese tópio. El problema del diseño de perfiles se puede definir omo la determinaión de la forma de un uerpo on el fin de satisfaer iertas araterístias y restriiones de diseño que pueden ser aerodinámias (oefiiente de resistenia al avane, oefiiente de levantamiento, fineza aerodinámia, oefiiente de momento de abeeo, distribuión de presiones o en su defeto distribuión de veloidades, retardo en la transiión de flujo laminar a flujo turbulento, retardo en la formaión de la onda de hoque, et.), geométrias (uerda, espesor, línea de urvatura, radio del borde de ataque et.) o de naturaleza estrutural (momento de ineria, área, esfuerzos de ompresión / tensión y de orte, et.). Por ejemplo, la prinipal meta que se plantea en el diseño aerodinámio de un perfil para un ala de una aeronave de transporte aéreo es minimizar el arrastre en ruero y por lo tanto minimizar el onsumo de ombustible, en otro aso podemos requerir de un sistema on exelentes ualidades de levantamiento y uyo objetivo del diseño aerodinámio es lograr el máximo levantamiento on la mínima separaión del flujo. El Capítulo muestra los oneptos básios que definen un perfil aerodinámio, así omo la lasifiaión que le dio la NACA a los perfiles aerodinámios, además de mostrar el prinipio de funionamiento de los perfiles aerodinámios. El Capítulo, se refiere a una reseña história del diseño de perfiles aerodinámios seguida por la definiión de los tipos de diseño de perfiles aerodinámios, finalizando on la definiión y breve desripión de los diferentes tipos de diseño aerodinámio que existen en la atualidad. El Capítulo 3 sienta las bases teórias para el desarrollo de la 5

9 formulaión matemátia, habla de las definiiones de funión de orriente, potenial de veloidad además de la relaión que existe entre estas mismas. El Capítulo 4 muestra la apliaión de las euaiones del Capítulo 3 mediante el álulo de la distribuión de presiones de un perfil NACA 44, además de que se presenta la omparaión de los resultados obtenidos on el método Theodorsen on resultados experimentales y on resultados omputaionales. 6

10 Justifiaión Ya que en la literatura onvenional hispanoameriana de aerodinámia y turbomaquinaria no existen expliaiones profundas relativas al diseño de perfiles, en este trabajo se intenta expliar y apliar el método de Theodorsen on el fin de que pueda apliarse en trabajos posteriores, ya sea en el diseño de perfiles aerodinámios para turbinas de gas, turboompresores y porque no?, en el diseño de alas de aviones. También a ausa de que las apliaiones en la ingeniería son distintas, es neesario diseñar para ada una de ellas un perfil distinto, ya que su omportamiento varía en funión de los parámetros de la apliaión requerida. Para algunas apliaiones, el uso de los perfiles de la serie NACA es partiularmente inadeuado porque los requerimientos de diseño para estos perfiles de aeronave de baja veloidad son signifiativamente diferentes de los otros perfiles para las otras apliaiones; las turbinas de viento son un buen ejemplo. Los atálogos también padeen de una falta de obertura. Cada apliaión requiere un rendimiento espeífio del perfil. Si este rendimiento ae dentro del alane de las araterístias ontenidas en un atálogo, el perfil puede ser seleionado de ese atálogo para la apliaión en partiular. Sin embargo, muy probablemente, este perfil todavía representará un reto porque sus araterístias no ombinan exatamente on la apliaión. Una ventaja relaionada del método de diseño del perfil teório es que permite que muhos oneptos diferentes sean analizados eonómiamente. Tales esfuerzos son en general poo prátios en los túneles de viento debido al tiempo y las restriiones de dinero. Por lo tanto, la neesidad para un método de diseño de perfiles está ompuesta prinipalmente de tres razones: primero, el diseño de perfiles que quedan fuera del alane de la apliabilidad de los atálogos existentes; segundo, para el diseño de perfiles que se ajusten en mayor medida a los requisitos de la apliaión prevista; y en terer lugar, para la exploraión eonómia de muhos oneptos de perfiles. 7

11 Objetivo Apliar la metodología propuesta por Theodorsen en el álulo de la distribuión de presiones de un perfil aerodinámio en un flujo potenial a diferentes ángulos de ataque. 8

12 Alane Desarrollar las grafias de distribuión de presiones para diferentes ángulos de ataque del perfil NACA 44, además de demostrar la fáil utilizaión de este método en ingeniería aeronáutia. 9

13 I

14 CAPITULO. PERFILES AERODINAMICOS. Definiión y desripión de un perfil aerodinámio Anderson [] define un perfil aerodinámio omo ualquier seión del ala ortada por un plano paralelo a la uerda de la misma. Los perfiles se pueden dividir en dos grandes tipos: simétrios y asimétrios. Anderson preisa que un perfil simétrio es un perfil sin ombadura, es deir, la línea de urvatura media y la línea de uerda oinide. Claramente en los perfiles simétrios la parte superior del perfil (extrados) es una imagen reflejo de la parte inferior (intrados) []. Debido a esta ondiión geométria, el perfil simétrio tiene un bajo osto y es de fáil onstruión on respeto a un perfil asimétrio. Por otra parte, los perfiles asimétrios tienen la ventaja de generar mayor levantamiento y mejores prestaiones ante la entrada en pérdida de sustentaión o desplome, la ual ourre a altos ángulos de ataque. Terminología de un perfil Figura.. Terminología de un perfil [3]. Carmona [] y Anderson [] definen los términos utilizados en la desripión de un perfil y que se muestran en la figura...

15 .-Borde de Ataque. Es el punto más delantero del perfil..-borde de Salida. Es el punto más trasero del perfil. 3.- Línea de la uerda: Es la línea reta que pasa por el borde de ataque y por el borde de salida. 4.- Cuerda. Es la línea reta que une el borde de ataque on el borde de salida. Es una dimensión araterístia del perfil. 5.- Línea de Curvatura Media. Línea equidistante entre el extradós y el intrados. Esta línea fija la urvatura del perfil. Si la línea de urvatura media queda sobre la uerda (omo en la figura.) se die que la urvatura es positiva, si queda por debajo, negativa, y si va por debajo y por arriba, doble urvatura. 6-. Ordenada máxima de la línea de urvatura media. Es la máxima distania entre la línea de urvatura media y la uerda del perfil. El valor suele darse en porentaje de la uerda. 7.- Posiión de la urvatura máxima. Es la distania medida a partir del borde de ataque, en porentaje de la uerda, donde se enuentra la ordenada máxima de la línea de urvatura media. 8.- Espesor máximo. Es la distania máxima entre el extradós e intrados, medida perpendiularmente a la uerda. Es una araterístia importante, que se expresa en porentaje de la uerda. El valor varía desde un 3 % en los perfiles delgados hasta un 8 % en los más gruesos. 9.- Posiión del espesor máximo. Es la distania paralela a la uerda, medida desde el borde de ataque hasta la ordenada donde existe el espesor máximo del perfil..- Radio de Curvatura del Borde de Ataque. Define la forma del borde de ataque y es el radio de un írulo tangente al extradós e intrados, y on su

16 entro situado en la línea tangente a la línea de urvatura media y que pasa por el borde de ataque. Figura.. Definiión de ángulo de ataque [3].. Clasifiaión de perfiles aerodinámios.. La serie de perfiles NACA Las primeras series de perfiles NACA, la de 4 dígitos, 5 dígitos y las modifiadas de 4 y 5 dígitos fueron generados usando euaiones analítias que desriben la ombadura (urvatura) de la línea media (línea entral geométria) del perfil así omo la distribuión de espesor a lo largo de la longitud del perfil. Familias posteriores, inluyendo la serie 6, son formas más ompliadas derivadas de métodos teórios en lugar de los métodos geométrios. Antes de que el Comité Naional Asesor para la Aeronáutia (NACA) desarrollara estas series, el diseño de perfiles era más arbitrario sin alguna guía para el diseñador exepto su previa experienia on formas onoidas y experimentaión on modifiaiones de aquellas formas. Esta metodología omenzó a ambiar a prinipios de los 3 s on la publiaión de un reporte de la NACA titulado Las araterístias de 78 perfiles relaionados de pruebas en el túnel de viento de densidad variable (f. [6]). En este reporte histório, los autores notaron que había muhas similitudes entre los perfiles que fueron los más exitosos, que las dos primeras variables que afetan estas geometrías son la pendiente de la línea de ombadura media y la distribuión de espesores abajo y arriba de esta línea. Entones ellos presentaron una serie de euaiones inorporando estas dos variables que podían ser usadas para

17 generar una familia ompleta de formas de perfil relaionadas. De esta forma del diseño de perfiles se volvió más sofistiado, esta aproximaión básia fue modifiada inluyendo variables adiionales, a pesar de esto, estos dos valores geométrios permaneieron en el orazón de todas las series NACA, omo se muestra en la figura.., [4], [5]. Figura.. Construión geométria del perfil NACA, [4], [5]... Serie NACA de 4 dígitos La primera familia de perfiles diseñados usando esta aproximaión se onoió omo la serie NACA de 4 dígitos. El primer digito espeifia la ombadura máxima (m) en porentaje de la uerda (longitud del perfil), el segundo india la posiión de la ombadura máxima (p) en déimas de uerda, y los dos últimos números indian el espesor máximo (t) del perfil en porentaje de la uerda. Por ejemplo, el perfil NACA 45 tiene un espesor máximo del 5% on una ombadura máxima del % loalizada al 4% detrás del borde de ataque del perfil (o.4), ver figura... Utilizando estos valores de m, p y t, se puede alular las oordenadas para un perfil ompleto usando las siguientes relaiones:. Elegir valores de x desde hasta la uerda máxima.. Calular las oordenadas de la línea de ombadura media introduiendo los valores de m y p dentro de las siguientes euaiones para ada una de las oordenadas x. y ( px ) m = x desde x = hasta x = p (.) p 3

18 y ( p) [( p) + px x ] m = desde x = p hasta x = (.) donde x = las oordenadas a lo largo de la longitud del perfil, desde hasta (las uales se posiionan en la uerda) y = las oordenadas por enima y debajo de la línea extendiéndose a lo largo del la longitud del perfil, estas son tanto para las oordenadas del espesor y t y para las oordenadas de la ombadura y. t = espesor máximo del perfil en déimas de la uerda (i.e. un 5% de espesor del perfil debe de ser.5) m = ombadura máxima del perfil en déimas de la uerda p = posiión de la ombadura máxima a lo largo de la uerda en déimas de la uerda 3. Calular la distribuión de espesores por enima (+) y por debajo (-) de la línea media introduiendo el valor de t dentro de la siguiente euaión para ada una de las oordenadas x. 3 4 (.969 x.6x.356x +.843x.5x ) t ± y t = (.3). 4. Determinar las oordenadas finales de la superfiie superior ( x, y U U ) y de la superfiie inferior ( x L, y L ) usando las siguientes relaiones, [4], [5]. x = x sin θ (.4) U x t y = y + y osθ (.5) U t x = x + sin θ (.6) L y t 4

19 y L = y y osθ (.7) t donde dy θ = artan (.8) dx Perfil Aerodinámio NACA 45 α = x Figura.. Perfil Aerodinámio NACA 45 perteneiente a la familia NACA de 4 dígitos..3 Serie NACA de 5 dígitos La serie NACA de 5 dígitos usa la misma distribuión del espesor omo la serie de 4 dígitos pero la línea de ombadura media se define de diferente forma y la onvenión de la nomenlatura es un poo más ompliada. El primer digito, uando se multiplia por 3, produe el oefiiente de levantamiento de diseño (l) en déimas. Los siguientes dos dígitos, uando se dividen entre, resulta la posiión de la ombadura máxima (p) en déimas de la uerda. Los dos últimos dígitos indian otra vez el espesor máximo (t) en porentaje de la uerda. Por ejemplo, el perfil NACA 3 tiene un espesor máximo del %, un oefiiente de sustentaión de diseño de.3, y una ombadura máxima loalizada al 5% detrás del borde de ataque, ver figura..3. Los pasos neesarios para alular las oordenadas de tales perfiles son:. Elegir valores de x desde hasta la uerda máxima. 5

20 . Calular las oordenadas de la línea de ombadura media para ada posiión x usando las siguientes euaiones, y omo se sabe p determina los valores de m y k usando la tabla. y 3 [ x 3mx + m ( m) x] k = 3 desde x = hasta x = p (.9) 6 y 3 k m = ( x) desde x = p hasta x = (.) 6 (en donde m y k se determinan de la tabla..) El radio del borde de ataque r se aplia para suavizar el frente. r =.9t (.) Tabla... Valores de m y k Designaión de la línea media Posiión de la ombadura máxima (p) m k Calular la distribuión de espesores usando la misma euaión de la serie de 4 dígitos. 4. Determinar las oordenadas finales usando la misma euaión de la serie de 4 dígitos, [4], [5]. 6

21 Perfil Aerodínamio NACA 3 α = X Figura..3 Perfil Aerodinámio NACA 3 perteneiente a la familia NACA de 5 dígitos..4 Serie NACA de 4 y 5 dígitos modifiada Los perfiles del bombardero B-58 son miembros de la serie de 4 y 5 dígitos, sin embargo los nombres son ligeramente diferentes a esas formas que han sido modifiadas. Considérese el perfil raíz, el NACA , omo un ejemplo. La forma básia es la 3, un 3% de espesor on % de ombadura. Esta forma es un perfil simétrio que es idéntio por enima y por debajo de la línea de ombadura media. La primera modifiaión que se onsidera es el El primer digito después del guión se refiere a la redondez de la nariz. El valor de 6 india que el radio de la nariz es el mismo que el perfil original mientras que un valor de india un borde de ataque puntiagudo. Al inrementar este valor signifia que se inrementa la redondez de la nariz. El segundo digito determina la posiión del espesor máximo de déimas de la uerda. La posiión estándar del espesor máximo de los perfiles de 4 y 5 dígitos es al 3% detrás del borde de ataque. En este ejemplo, la posiión del espesor máximo se ha movido al 4% detrás del borde de ataque. Finalmente, se debe notar que el tiene dos arreglos de dígitos preedidos por deimales. Estos indian simplemente ligeros ajustes al espesor máximo y la posiión. En lugar de que sea 3% de espesor, este perfil tiene 3.46% de espesor. En lugar de que el espesor máximo sea loalizado al 4% de la uerda, la posiión sobre este perfil esta al 4.69% de la uerda, en la figura 7

22 ..4 se muestra un ejemplo. Para alular las oordenadas de la forma de un perfil modifiado:. Elegir valores de x desde hasta la uerda máxima.. Calular las oordenadas de la línea de ombadura media usando las mismas euaiones dadas para la serie de 4 o 5 dígitos respetivamente. 3. Calular la distribuión de espesores por enima (+) y por debajo (-) de la línea media usando estas euaiones. Los valores de los oefiientes a x y d x se determinan de la tabla (los oefiientes son obtenidos para un espesor de % del perfil). ± y t = a + delante de t max (.) 3 x + ax + ax a3x ( x) + d ( x) + d ( x) 3 ± = d detrás de t max (.3) y t + d 3 Tabla... Valores de a x y Perfil a a a a 3 d d d d d x 4. Determinar las oordenadas finales usando las mismas euaiones de la serie de 4 dígitos. 5. Como se nota, esto produirá un % de espesor del perfil. Para obtener el espesor deseado, simplemente se aplia una esala al perfil multipliando las oordenadas finales y por ( t.), [4], [5]. 8

23 Perfil Aerodinámio NACA -64 α = Y X Figura..4 Perfil Aerodinámio NACA -64 perteneiente a la familia NACA de 4 dígitos modifiada..5 Serie NACA o NACA 6 A diferenia de las anteriores familias de perfiles desritas, la serie se desarrolló basándose en una teoría en lugar de relaiones geométrias. Por esas fehas estos perfiles fueron diseñados durante los finales de los 3 s, al mismo tiempo que muhos avanes se habían heho en los métodos de diseño inverso de perfiles. El onepto básio detrás de esta aproximaión de diseño es espeifiar la distribuión de presiones deseada sobre el perfil (esta distribuión determina las araterístias de levantamiento del perfil) y entones determinar la forma geométria que produe esta distribuión de presiones. Como un resultado, estos perfiles no fueron generados usando algunos arreglos de expresiones analítias omo los de las series 4 y 5. Los perfiles de le serie son identifiados por 5 dígitos, omo por ejemplo el 6-. El primer digito,, india la serie (esta serie fue diseñada para perfiles on regiones de esaso flujo supersónio). El 6 espeifia la posiión de presión mínima en déimas de la uerda, i.e. 6% detrás del borde de ataque en este aso. Seguido del guión, el primer digito india el oefiiente de sustentaión en déimas (.) y los dos últimos dígitos espeifian el espesor máximo en déimas de la uerda (%), ver figura..5. Debido a que los perfiles 6-XXX son los únios que han tenido muho uso, esta familia es referida usualmente 9

24 omo la serie 6 en lugar de nombrarla omo una subfamilia de la serie, [4], [5]. Perfil Aerodinámio NACA 6- α = X Figura..5 Perfil Aerodinámio NACA 6- perteneiente a la familia NACA o NACA 6..6 Serie NACA 6 Aunque la NACA experimentó on métodos teórios aproximados que produjeron la serie por medio de la serie 5, ninguna de estas aproximaiones se enontró que produía de forma preisa el omportamiento deseado del perfil. La serie 6 fue derivada usando un método teório mejorado que, omo la serie, dependía espeífiamente de la distribuión de presiones deseada y empleaba matemátias avanzadas para generar la forma geométria requerida. La meta de esta aproximaión fue diseñar perfiles que maximizaran la región sobre la ual el flujo de aire se onserva laminar. Y para haer esto, el arrastre sobre un pequeño rango de oefiientes de levantamiento se debe reduir sustanialmente. La nomenlatura de la serie 6 es de las más onfusas de ualquiera de las familias previamente señaladas, espeialmente debido a que tiene diferentes variaiones. Uno de los ejemplos más omunes es el NACA 64 -, a =.6, ver figura..6. En este ejemplo, el 6 expresa la serie e india que esta familia es diseñada para flujos laminares más grandes que las series 4 y 5. El segundo digito, 4, es la posiión de la presión mínima en déimos de la uerda (.4). El subíndie india que un bajo arrastre se mantiene en

25 oefiientes de levantamiento. por enima y por debajo del oefiiente de levantamiento de diseño en deimos (.) espeifiado por el primer digito posterior al guión en déimas. Los dos últimos dígitos espeifian el espesor en porentaje de la uerda, %. La fraión espeifiada por a = india el porentaje de la uerda del perfil sobre la ual la distribuión de presiones es uniforme sobre el perfil, 6% de la uerda en este aso. Si no se espeifia, la antidad que se onsidera es o en su defeto la distribuión es onstante sobre todo el perfil, [4], [5]. Perfil Aerodinámio NACA 64()- α = X Figura..6 Perfil Aerodinámio NACA 64 - perteneiente a la familia NACA 6..7 Serie NACA 7 La serie 7 fue un logro adiional al maximizar las regiones de flujo laminar sobre un perfil difereniando las posiiones de la presión mínima sobre las superfiies superior e inferior. Un ejemplo es el NACA 747A35, ver figura..7. El 7 denota la serie, el 4 da la posiión de la presión mínima sobre la superfiie inferior en déimas de uerda (4%), el terer numero 7 india la magnitud sobre el intrados, en déimas de uerda (7%) desde el borde de ataque, de la región de gradiente favorable de presión en el oefiiente de sustentaión de diseño. El uarto aráter, una letra, india las formas usadas para la distribuión de espesor y de la línea media. Una serie de formas estandarizadas derivadas de las primeras familias se designan por diferentes letras. Otra vez, el quinto digito india el oefiiente de sustentaión de diseño

26 en déimas (.3) y los dos últimos dígitos son el espesor del perfil en porentaje de la uerda (5%), [4], [5]. Perfil Aerodinámio NACA 747A35 α = X Figura..7 Perfil Aerodinámio NACA 747A35 perteneiente a la familia NACA 7..8 Serie NACA 8 Una variaión final de la metodología de las series 6 y 7 fue la serie NACA 8 diseñada para el vuelo a veloidades superrítias. Como los primeros perfiles, la meta fue maximizar la magnitud del flujo laminar en las superfiies superior e inferior de forma independiente. La nomenlatura es muy similar a la serie 7, un ejemplo es el NACA 835A6, ver figura..8. El 8 designa la serie, el 3 es la posiión de la presión mínima sobre la superfiie superior en déimas de la uerda (.3), el 5 es la posiión de la presión mínima sobre la superfiie inferior en déimas de la uerda (.5), la letra A distingue los perfiles que tienen diferentes formas de ombadura y espesor, el denota el oefiiente de sustentaión de diseño en déimas (.), y el 6 se refiere al espesor del perfil en porentaje de la uerda (6%), [4], [5].

27 Perfil Aerodinámio NACA 835A6 α = X Figura..8 Perfil Aerodinámio NACA 835A6 perteneiente a la familia NACA 8 Tabla..3. Desripión de las familias NACA Familia Ventajas Desventajas Apliaiones Serie 4. Buenas araterístias de pérdida. Pequeño movimiento del entro de presiones a lo largo del rango de gran veloidad. Bajo oefiiente de levantamiento. Relativamente gran arrastre 3. Elevado momento de abeeo. Aviaión general. Colas horizontales Simétrios: 3. Jets supersónios 4. Palas de heliópteros 5. Soportes Serie 5. Coefiiente de levantamiento más alto. Bajo momento e abeeo 3. La rugosidad tiene un pequeño efeto. Pobre omportamiento de pérdida. Relativamente alto arrastre 6. Aletas de misiles y ohetes. Aviaión general. Aviones de bomberos propulsados por motores de pistón 3. Conmutadores 4. Jets de negoios Serie 6. Evita los pios de baja presión. Bajo arrastre a altas veloidades. Relativamente bajo levantamiento. Propelas (hélies) de aeronaves. Propelas de baros Serie 6. Coefiiente de levantamiento alto. Muy bajo arrastre sobre un pequeño rango de ondiiones de operaión 3. Optimizado para altas veloidades on regiones amplias de flujo laminar. Alto arrastre fuera del rango optimo de las ondiiones de operaión. Momento de abeeo elevado 3. Comportamiento pobre de pérdida 4. Muy suseptible a la rugosidad. Bombarderos propulsados por motor de pistón. Jets de negoios 3. Entrenadores para Jets 4. Jets supersónios Serie 7. Muy bajo arrastre sobre un pequeño rango de ondiiones de operaión. Bajo momento de abeeo. Reduido oefiiente de levantamiento. Alto arrastre fuera del rango optimo de las ondiiones de operaión 3. Comportamiento pobre de pérdida 4. Muy suseptible a la rugosidad Raramente usados Serie 8 Desonoidas Desonoidas Muy raramente usados 3

28 Aunque se ha introduido a las familias de los primeros perfiles desarrollados en los Estados Unidos antes de la llegada del vuelo supersónio, no se ha diho algo aera de sus usos. Así que brevemente la tabla..3 muestra las ventajas, desventajas, y apliaiones de ada una de estas familias. Los reursos omputaionales disponibles en estos días le permiten al diseñador, rear y optimizar rápidamente un perfil espeífiamente adaptado a una apliaión partiular en lugar de haer una seleión de una familia existente..3 Prinipio de funionamiento de perfiles aerodinámios El aumento de la veloidad del aire sobre el extradós de un perfil, on respeto a la veloidad del aire en el intrados, genera una diferenia de presiones, entre ambas superfiies del perfil. Si esta diferenia de presiones es diferente de ero, ya sea positiva o negativa, y al estar atuando sobre las superfiies del perfil, genera una fuerza resultante denominada levantamiento. Si se observa la figura.3. (perfil asimétrio), se notaran que las presiones resultantes sobre el extradós e intrados generan fuerzas opuestas de la misma magnitud, por lo tanto no existe la sustentaión. Figura.3. Perfil asimétrio on sustentaión nula [3] Cuando se inrementa el ángulo de ataque las presiones en el extradós son inferiores a las del intrados, obteniéndose una fuerza resultante en direión vertial y haia arriba llamada levantamiento. El punto donde se puede onsiderar apliada esa fuerza se denomina entro de presión. 4

29 Figura.3. Perfil asimétrio on sustentaión positiva [3] La distribuión de las presiones es diferente en los perfiles simétrios. La distribuión de las presiones, omo se puede observar en la figura.3., es similar tanto en el extradós omo en el intrados (ángulo de ataque ero), y las fuerzas resultantes de ambas presiones son iguales en magnitud pero de sentido ontrario y apliadas en el mismo punto. Figura.3.3 Perfil simétrio on sustentaión nula [3] Anderson señala que las fuerzas aerodinámias sobre un uerpo son debidas úniamente a dos fuentes []:. La distribuión de presiones (p) sobre la superfiie del uerpo. La distribuión de esfuerzos ortantes (τ ) sobre la superfiie del uerpo. Figura.3.4 Bosquejo de la presión y el esfuerzo ortante sobre una superfiie aerodinámia [] 5

30 Como muestra la figura.3.4, p atúa normal a la superfiie, y τ atúa de forma tangenial a la superfiie. El efeto total de las distribuiones p y τ integradas sobre la superfiie ompleta del perfil resulta en una fuerza total aerodinámia, algunas vees llamada fuerza resultante que puede ser dividida en dos omponentes, que son el levantamiento (provoada por la distribuión de presiones) y la resistenia al avane (provoada prinipalmente por la distribuión de esfuerzos ortantes a bajos ángulos de ataque y por la distribuión de presiones para ángulos de ataque elevados). El levantamiento atúa en forma perpendiular al viento relativo. La resistenia al avane es la fuerza paralela al viento relativo que se opone al movimiento de un perfil en un flujo. Muhos fatores ontribuyen al levantamiento total generado por un perfil. El inremento de veloidad ausa un aumento de sustentaión debido a la diferenia de presiones entre el extradós y el intrados. La sustentaión se inrementa on el uadrado de la veloidad. Normalmente, un aumento de la sustentaión generará un aumento del arrastre. Por lo tanto, uando se diseña un perfil se toman en uenta todos estos fatores y se diseña para que tenga el mejor desempeño en el rango de veloidades en el que se vaya a operar. Figura.3.5 Fuerzas atuantes sobre un plano aerodinámio [3] 6

31 II

32 CAPITULO TIPOS DE DISEÑO DE PERFILES. Reseña história del diseño de perfiles aerodinámios Desde sus iniios, el Comité Asesor Naional para la Aeronáutia (NACA) reonoió la importania de los perfiles aerodinámios omo una piedra angular de la investigaión aeronáutia y su desarrollo. En su primer Informe Anual al Congreso de los Estados Unidos, la NACA tuvo la neesidad de la evoluión de perfiles más efiientes de forma prátia, inluyendo dimensiones apropiadas para una estrutura eonómia on una variaión moderada del entro de presión y ofreiendo un gran rango de ángulos de ataque ombinado on un desempeño efiiente. Haia 9, el Comité había publiado un ompendio de resultados experimentales de varias fuentes. Brevemente después de esto, el desarrollo de perfiles por la NACA fue iniiado en el Laboratorio Aeronáutio Conmemorativo Langley. La primera serie de perfiles, designada "seiones M" por Max M. Munk, fue probada en el túnel Langley de densidad variable. Esta serie era signifiativa porque representó un aeramiento sistemátio al desarrollo del perfil ontrariamente a la que se haia antiguamente, de forma aleatoria, las aproximaiones eran de prueba y error. Esta aproximaión empíria, la ual involuró modifiaión de la geometría de un perfil existente, ulminó en el desarrollo de las series de perfiles de uatro y ino dígitos a mediados de los 3 s [7]. Conurrentemente, Eastman N. Jaobs (f. [8] y [9]) empezó a trabajar en perfiles de flujo laminar. Inspirado por las disusiones on B. Melvill Jones y G. I. Taylor en Inglaterra, Jaobs invirtió el método de análisis de perfiles de Theodore Theodorsen (f. []) para determinar la forma del perfil que produiría la distribuión de presión que él deseaba (dereiendo la presión on la distania del borde de ataque sobre la porión delantera del perfil), esta distribuión de presión, se reía, mantendría el flujo laminar [7]. Así, la idea básia detrás del diseño de perfiles moderno fue onebida: las araterístias de la apa límite deseadas son el resultado de la distribuión de presión que es funión de la forma del perfil. El método 7

33 inverso transforma matemátiamente la distribuión de presión en una forma de perfil onsiderando que el diseñador intuitivamente o empíriamente transforma las araterístias de la apa límite en la distribuión de presión [7]. El resultado de las series de perfiles a 7, la más notable de las uales son las series 6, fueron probadas en el Túnel Langley de Baja Turbulenia y en el Túnel de Presión Langley de Baja Turbulenia (LTPT) a finales de los 3 s e iniios de los 4 s. Para onentrarse en la aerodinámia de gran veloidad, la NACA dejó a un lado el diseño de los perfiles aerodinámios en los 5 s, dejando al mundo on un gran número de perfiles diseñados sistemátiamente y experimentalmente probados. Las series de uatro y ino dígitos, perfiles de flujo turbulento produjeron relativamente altos oefiientes de sustentaión máxima aunque sus oefiientes de arrastre no fueron partiularmente bajos, la serie 6 (perfiles de flujo laminar) ofreieron la posibilidad de bajos oefiientes de arrastre aunque sus oefiientes de sustentaión máxima no fueron espeialmente altos [7]. La esena del perfil ambió entones a Alemania dónde F. X. Wortmann y Rihard Eppler estaban omprometidos en el diseño de perfiles de flujo laminar. Wortmann empleó los métodos de singularidad y de apa límite integral para desarrollar un atálogo de perfiles pensado prinipalmente para los aviones de vela (planeadores). Los métodos teórios que él usó eran relativamente malos, sin embargo, la evaluaión final de los perfiles fue realizada en un túnel de viento de baja turbulenia. Eppler, por otro lado, siguió el desarrollo de métodos teórios más preisos [7]. El suesor a la NACA, la National Advisory Spae Administration (NASA), volvió a entrar al ampo de los perfiles en los 6 s on el diseño de perfiles superrítios por Rihard T. Whitomb. Las leiones aprendidas durante el desarrollo de estos perfiles transónios fue transferido al diseño de una serie de perfiles de flujo turbulento para aeronaves de baja veloidad. El objetivo básio de esta serie de perfiles era lograr oefiientes de sustentaión máxima más elevados que los antiguos perfiles NACA. Mientras estos perfiles de flujo turbulento de la NASA lograron oefiientes de sustentaión máxima más elevados, los oefiientes de arrastre en ruero no fueron tan bajos omo los 8

34 de aquéllos perfiles de las series de uatro y ino dígitos NACA. El énfasis por onsiguiente fue ambiado haia perfiles de flujo laminar natural (NLF) en un esfuerzo por ombinar araterístias de bajo arrastre de la serie de perfiles 6 de la NACA on las araterístias de alta sustentaión de los perfiles de baja veloidad de la NASA. En este ontexto, el término Perfil de flujo laminar natural se refiere a un perfil que puede lograr magnitudes signifiantes de flujo laminar (= 3 por iento de uerda) en ambas superfiies, extradós e intrados, simultáneamente, solamente a través de gradientes de presión favorables (ninguna suión de apa límite o enfriamiento) [7]. El surgimiento de estruturas ompuestas también ha alimentado el resurgimiento en la investigaión de NLF. Esta ténia de onstruión permite a los perfiles NLF lograr en la prátia, las araterístias de baja resistenia al avane medidas en los túneles de viento de baja turbulenia. Hoy, los perfiles están siendo diseñados para un amplio rango de apliaiones en la vida. Los ejemplos inluyen vehíulos aéreos sin tripular, ventiladores de torres de enfriamiento, aviones de vela, turbinas de viento, heliópteros, aviaión general, regionales y aviones de transporte [7]. El uso de atálogos ha sido exitoso, sin embargo, uando las apliaiones se han diversifiado, los perfiles más viejos y las araterístias medidas se han vuelto menos apropiadas. Hoy, on un rango de apliaiones desde ventiladores hasta aeronaves de transporte, el uso de perfiles diseñados para aeronaves que tienen números de Reynolds de 3 a 6 9x, bajos números de Mah, y oefiientes de sustentaión relativamente bajos son inaeptables. Para algunas apliaiones, el uso de tales perfiles (serie NACA) es partiularmente inadeuado porque los requerimientos de diseño para estos perfiles de aeronave de baja veloidad son signifiativamente diferentes de los otros perfiles para las otras apliaiones, las turbinas de viento son un buen ejemplo [7]. Los atálogos también padeen de una falta de obertura. Cada apliaión requiere un rendimiento espeífio del perfil. Si este rendimiento ae dentro del alane de las araterístias ontenidas en un atálogo, el perfil puede ser seleionado de ese atálogo para la apliaión en partiular. Sin embargo, 9

35 muy probablemente, este perfil no funionara del todo bien porque sus araterístias no empatan exatamente on la apliaión. Una ventaja relaionada del método de diseño de perfiles teório es que permite que muhos oneptos diferentes sean analizados eonómiamente al mismo tiempo. Tales oneptos son en general poo prátios en los túneles de viento debido al tiempo y las restriiones de dinero. Por lo tanto, la neesidad para un método de diseño de perfiles abara tres grupos diferentes del diseño de perfiles: primero, para el diseño de perfiles que quedan fuera del alane de la apliabilidad de los atálogos existentes; segundo, para el diseño de perfiles que más exatamente se ajusten a los requisitos de la apliaión prevista; y en terer lugar, para la exploraión eonómia de muhos oneptos de perfiles [7]. En 975, el personal de la NASA empezó a trabajar on el diseño de perfiles de Eppler y el ódigo de análisis. Somers expresa que este ódigo ontiene un método de trazado onformal para el diseño de perfiles on las araterístias de distribuión de veloidad presritas, un método de paneles para el análisis del flujo potenial sobre los perfiles dados, y un método integral de apa límite [7], []. Con este ódigo, se pueden diseñar perfiles on las araterístias de apa límite preesritas y se pueden analizar perfiles on formas presritas. En todos los otros métodos inversos, la distribuión de veloidad (presión) es espeifiada a un ángulo de ataque y la forma del perfil ausará que esa distribuión de veloidad (presión) sea alulada. Por lo tanto, el perfil se diseña en un solo punto. Todas las otras ondiiones son onsideradas "fuera de diseño" y deben ser tomadas en uenta y analizadas después para determinar la aeptabilidad [7]. (f. [4], [5]). El método de trazado onformal en el ódigo Eppler es únio porque permite que la distribuión de veloidad sea espeifiada a lo largo de diferentes segmentos del perfil a diferentes ángulos de ataque. Esta es una apaidad extremadamente potente porque permite que las araterístias importantes de muhas distribuiones de veloidad sean inluidas en el diseño del perfil desde el prinipio. Por lo tanto, el perfil es diseñado en algunos puntos simultáneamente y las ondiiones fuera de diseño pueden ser tomadas en 3

36 uenta en la espeifiaión iniial. El ódigo utiliza un método integral esenial para la prediión del desarrollo de la apa límite para ada distribuión de veloidad. El método puede predeir apas limite laminar y turbulenta, la transiión y la separaión, tanto para flujo laminar omo para flujo turbulento. La resistenia al avane debido a la separaión laminar de burbujas también se puede predeir. El método es semi-empírio y ontiene una iteraión del desplazamiento de apa límite [7]. (f. [4], [5]). Una araterístia importante del ódigo de Eppler es la onexión entre el método de apa límite y el método de trazado onformal. Esta onexión permite que las araterístias de apa límite sean ontroladas diretamente durante el proeso de diseño del perfil. Esto es una apaidad partiularmente importante para el diseño de perfiles de flujo laminar y representa un paso adelante muy importante omparado on el proedimiento usado para diseñar los perfiles de flujo laminar de la NACA. Ahora, en lugar de transformar las araterístias de apa límite en una distribuión de veloidad intuitivamente o empíriamente, el diseñador puede determinar las modifiaiones diretamente a la distribuión de veloidad que produirá el desarrollo de apa límite deseado a ualquier ángulo de ataque en partiular. Rihard Eppler, a través de su ódigo de omputadora, ha desarrollado una onexión muho más direta entre el desarrollo de apa límite y la distribuión de presión. El rango de apliabilidad del método ha sido estableido. Iniialmente se investigo, el tradiional, rango de número de Reynolds de baja veloidad de 3 a investigó, números de Reynolds más altos ( 6 x 6 9x. Iniialmente, se ) y números de Mah (. 7). Más reientemente se ha investigado los números de Reynolds más 6 bajos (.5x ) (f. [6]). Las más reientes indiaiones señalan que el 6 método es también apliable en números de Reynolds más bajos (.x ) (f. []). El método ha sido mejorado regularmente en respuesta a los defetos revelados durante estas investigaiones experimentales [7].. Métodos de Diseño de Perfiles Aerodinámios Jepson [] expresa que los métodos diseño de perfiles se pueden lasifiar ampliamente en dos tipos: diseño direto e inverso. El proeso del diseño del 3

37 perfil viene de un onoimiento de las propiedades de la apa limite y de la relaión entre la geometría y la distribuión de presiones [7]. Una aproximaión para el diseño de perfiles es usar un perfil que ya fue diseñado por alguien. Este método es llamado optimizaión de perfiles y trabaja bien uando los objetivos de un problema de diseño partiular suelen oinidir on los objetivos del diseño del perfil original. En estos asos, los perfiles deben ser elegidos de atálogos tales omo son: Teoría de Seiones de Ala de Abbott y Von Doenhoff [f. 4 y 5], Profilkatalog Stuttgarter de Althaus y Wortmann, Catalogo de perfiles para bajo numero de Reynolds de Althaus o de Perfiles a bajas veloidades de Selig. La ventaja a esta aproximaión es que hay disponibilidad de los datos de las pruebas. Sin embargo, las herramientas disponibles ahora son lo sufiientemente refinadas que se puede asegurar que el rendimiento prediho se puede obtener [7]... Diseño Direto Filippone [8] señala que los métodos diretos para el diseño de perfiles inluyen la espeifiaión de la geometría de la seión, el álulo de presiones y rendimiento. Se evalúa la forma dada y entones se modifia la forma para mejorar el rendimiento mediante la optimizaión. Los rendimientos aerodinámios pueden ser ontrolados diretamente usando métodos de optimizaión, generalmente basada en la evaluaión de algunos gradientes. La optimizaión apunta a la minimizaión de una funión objetivo araterístia de los rendimientos del perfil. Anderson desribe el diseño direto, donde la forma del perfil es dada y la distribuión de presiones de la superfiie se alula, mediante la teoría de perfil delgado y los métodos de panel numérios []. Csanady [3] define el diseño direto omo sigue, dada una forma de los álabes en una asada, se debe enontrar la distribuión de presiones para una tasa de flujo espeifia y la direión de flujo a la entrada. Jepson [] desribe que en el método direto, la forma del perfil se usa omo punto iniial para el ilo de diseño. Los resultados aerodinámios se alulan omo una salida del diseño. Suesivamente ajustando la forma, la aproximaión del diseño trabaja haia la obtenión de un perfil que resulta en el rendimiento deseado. La figura.. presenta una representaión esquemátia del proeso 3

38 del diseño direto, en el ual la forma del perfil es usada para alular las distribuiones de veloidad, araterístias de apa limite, la posiión de la transiión laminar a turbulenta y finalmente la polar de arrastre. Figura.. Diagrama de Flujo del Diseño Direto [].. Diseño Inverso Fillipone define el diseño inverso omo la determinaión de la forma del perfil orrespondiente a una distribuión de presiones de superfiie espeifiada bajo ondiiones de flujo [8]. Anderson desribe que es deseable espeifiar la distribuión de presiones de superfiie, una presión que logre el rendimiento del perfil mejorado, y alular la forma del perfil que produirá la distribuión de presiones espeifiada, esta aproximaión es llamada diseño inverso []. Csanady define el diseño inverso omo sigue, a iertas ondiiones preesritas de flujo, para una distribuión de presiones preesrita a lo largo de la superfiie del álabe (espeifiada, por ejemplo, de tal manera de evitar la separaión de la apa límite, avitaión loal, o veloidades aproximadas a la veloidad sónia) se debe enontrar la forma del álabe [3]. Jepson desribe que el objetivo de un método de diseño de perfiles inverso es determinar la forma de un perfil que satisfaga espeifiaiones geométrias y aerodinámias. Los 33

39 primeros métodos permitían la presripión de la distribuión de veloidad no visosa a un solo ángulo de ataque. La motivaión de estos métodos fue tomar ventaja de las relaiones entre la distribuión de veloidad y otras propiedades aerodinámias tales omo sustentaión, arrastre y momento de abeeo. Estas relaiones resultan del heho que la veloidad es una mediión de la presión de superfiie. Los gradientes de veloidad sobre el perfil también se determinan del desarrollo de la apa límite. Del desarrollo de apa limite también se puede alular la resistenia al avane. Por lo tanto, el rendimiento total del perfil puede ser indiretamente ontrolado espeifiando la distribuión de veloidad. Subseuentemente, para permitir un mayor ontrol sobre el rendimiento final del perfil, los métodos de diseño de perfil inversos fueron desarrollados y permitieron espeifiaiones en el desarrollo de apa límite. En estos métodos primero se usa un método de apa límite inverso para determinar la distribuión de veloidad, después esta distribuión de veloidades es usada para determinar la forma del perfil []. Zingg señala una desripión, la apliaión y las desventajas del método inverso [9]. Dahl da una desripión del método []. Liebek desribe el método inverso al igual que las referenias anteriores []. La figura.. muestra la representaión esquemátia del diseño inverso. Figura.. Diagrama de Flujo del Diseño Inverso [] 34

40 En general, el diseñador espeifia una funión objetiva que omúnmente es la distribuión de presión. Es a vees posible espeifiar una distribuión Cp deseada y usar la diferenia de mínimos uadrados entre los verdaderos Cp s y los designados omo el objetivo. Esto es la idea básia detrás de una variedad de métodos para el diseño inverso. El diseño inverso requiere que el diseñador espeifique una distribuión de presiones que produirá el rendimiento deseado, la forma que produe esta distribuión de presiones se alula usando un método inverso. La segunda parte del problema de diseño empieza uando uno ha definido de algún modo un objetivo para el diseño del perfil. Esta etapa del diseño involura ambiar la forma del perfil para mejorar el rendimiento. Esto puede ser heho en algunas formas:. Usando onoimientos de los efetos de los ambios de geometría sobre el Cp y los ambios del Cp sobre el rendimiento.. Por la optimizaión numéria, usando funiones de forma para representar la geometría del perfil y dejando que la omputadora, mediante un algoritmo previamente programado, realie la seuenia de modifiaiones que se neesitan para la mejora del diseño..3 Tipos de diseño de perfiles aerodinámios El objetivo de un diseño de perfil es variado. Algunos perfiles son diseñados para produir bajo arrastre (y pueden no ser diseñados para generar sustentaión del todo). Algunos perfiles pueden neesitar produir un bajo arrastre mientras produen una antidad dada de sustentaión. En algunos asos, el arrastre realmente no importa, sino el máximo levantamiento es lo que realmente importa. El perfil debe ser diseñado para lograr este rendimiento on una limitaión: en el espesor, o en el momento de abeeo, o en el rendimiento fuera del diseño, o en algunas otras limitaiones inusuales. Sin onsiderar los objetivos de diseño y las restriiones, uno se enfrenta on algunos problemas muy omunes que haen difíil el diseño de perfiles. 35

41 .3. Diseño de perfiles on espesor máximo La difiultad on los perfiles on espesor es que la presión mínima es reduida debido al espesor. Esto resulta en un gradiente de presión adversa más severa y la neesidad de iniiar la reuperaión prontamente. Si el punto de máximo espesor se espeifia, la seión on el espesor máximo debe reuperarse de un punto en partiular on el gradiente más inlinado posible. La seión más gruesa posible tiene una apa límite justo sobre el borde de separaión durante toda la reuperaión. Somers diseña y analiza una familia de perfiles gruesos, los S8 y los S83, para turbinas de viento de eje horizontal de 3 a metros on pérdida regulada, los objetivos prinipales son obtener la máxima sustentaión y un bajo arrastre, todo bajo las restriiones de momento de abeeo y espesor del perfil [5]..3. Diseño de perfiles on sustentaión máxima Para produir oefiientes de sustentaión elevados, se requieren presiones demasiado negativas sobre la superfiie superior del perfil. El límite para esta suión puede ser relaionado on los efetos de ompresibilidad, o puede ser impuesto por el requisito de que la apa límite sea apaz de retrasarse en su gradiente de presión adversa. Selig y Guglielmo presentan una nueva filosofía de diseño de perfiles on sustentaión máxima validada experimentalmente en pruebas de túnel de viento. La lave de esta filosofía es usar una presión de reuperaión ónava on arga trasera. Se utilizaron tres ódigos de diseño y análisis (PROFOIL, el ódigo Eppler e ISES) para diseñar el perfil de sustentaión máxima S3 para un número de Reynolds de x 5. El perfil demuestra gananias dramátias en el l max sobre otros perfiles previamente usados [6]. f. [], []..3.3 Diseño de perfiles Laminares El flujo laminar puede ser útil para reduir el arrastre por friión, inrementando la máxima sustentaión y reduiendo la transferenia de alor. Se puede lograr fáilmente a bajos números de Reynolds manteniendo una superfiie delgada y usando un perfil on un gradiente de presión favorable. 36

42 Bradford E. Green et al. desarrollan un método de diseño iterativo en el ual un perfil se puede diseñar on una antidad substanial de flujo laminar, mientras se mantienen otras restriiones geométrias y aerodinámias. Las reduiones de arrastre se realizan usando el método de diseño sobre un rango de números de Mah, números de Reynolds y espesores de perfil [3]. Jepson desarrolla una aproximaión para la ual una urva deseada de transiión de apa limite puede ser espeifiada omo una entrada en el diseño inverso, también presenta una aproximaión para inorporar onsideraiones de diseño de la aeronave en el proeso de diseño inverso []. Somers diseña y analiza teóriamente una familia de perfiles de flujo laminar natural (NLF) para ventiladores de torres de enfriamiento. Los objetivos de una elevada sustentaión y un bajo arrastre fueron alanzados [4]. Somers diseña y analiza teóriamente el perfil S89 de flujo laminar natural (NLF) de 6% de espesor para la región de punta de una turbina de viento de eje horizontal de a 4 metros de diámetro on pérdida regulada. Los objetivos prinipales son la máxima sustentaión y bajo arrastre, bajo las restriiones de momento de abeeo y el espesor del perfil, además de que el perfil debe tener una pérdida dóil [7]..3.4 Diseño de perfiles Transónios Fillipone señala que a veloidades más altas se tienen los perfiles en el rango transónio, aquí se desea diseñar perfiles superrítios y la optimizaión de los perfiles básios para mover la onda de hoque dondequiera que ourra (minimizaión de la resistenia al avane) [7]. Se desea limitar las pérdidas por resistenia aerodinámia de la onda de hoque a una veloidad transónia. El problema de diseño transónio es rear una seión de perfil on elevado levantamiento y/o espesor sin ausar fuertes ondas de hoque. Una regla general es que los números de Mah loales máximos no deben exeder aproximadamente de. a.3 sobre un perfil superrítio bien diseñado. Fillipone india que este tipo de diseño ha sido tratado por Volpe y Melnik ( f. [8]). Volpe y Melnik señalan que la soluión exata de Lighthill del problema de determinar la forma del perfil que orresponde a una distribuión preesrita en un flujo inompresible demuestra que la distribuión de presiones de 37

43 superfiie y la veloidad de orriente libre no pueden ser preesritas independientemente, ellos presentan un nuevo método que no viola la restriión antes señalada para resolver el problema inverso a veloidades transónias [7]. Volpe y Melnik fueron entre los primeros en probar que el diseño inverso transónio estaba mal propuesto y lo dirigieron haia el papel de las restriiones [7]..3.5 Diseño de perfiles para bajos números de Reynolds Los métodos de diseño a un bajo número de Reynolds deben ser apaes de tomar en uenta los fuertes efetos visosos que llevan a la separaión de burbujas laminares, extensos efetos de apa limite, transiión a la turbulenia, histéresis en los oefiientes de fuerza, omportamiento no lineal. Filippone expresa que el rango de números de Reynolds es aproximadamente 5, a 5, (números de Reynolds más bajos todavía no son investigados) [8]. Los números de Reynolds bajos haen el problema del diseño de perfiles difíil porque la apa límite es muho menos apaz de manejar un gradiente de presión adversa sin la separaión. Por lo tanto, los diseños para bajo número de Reynolds no tienen gradientes de presión severas y la apaidad de sustentaión máxima está restringida. Los diseños de perfiles para bajos números de Reynolds son abominables on el problema de demasiado flujo laminar. Es a vees difíil garantizar que la apa límite sea turbulenta sobre las regiones de reuperaión de presión más pronuniadas. Las burbujas de separaión laminar son omunes y a menos de que sean estabilizadas, pueden resultar en una exesivo arrastre y en un bajo oefiiente de sustentaión. A bajos números de Reynolds, la mayoría o todas las apas límite son laminares. Bajo tales ondiiones la apa límite puede manejar solamente la reuperaión de presión gradual. Los métodos de diseño para veloidades intermedias (Números de Reynolds entre 5, y algunos millones) tienen las mismas araterístias de los métodos que trabajan on rangos de veloidades bajas, la separaión de burbujas laminar se puede omitir, el flujo puede ser ompletamente turbulento (dependiendo de la turbulenia de la orriente libre, ondiiones de superfiie, et.) [7]. Wayman demuestra la reaión de una 38

44 familia de perfiles on un bajo número de Reynolds, se rearon seis perfiles y el análisis india un buen rendimiento de las seiones a Re = 5 [6]..3.6 Diseño de perfiles multipuntual El diseño de perfiles multipuntuales inluye efetos no lineales de un elemento sobre los otros elementos [7]. Una de las difiultades en el diseño de un buen perfil es el requisito para el rendimiento aeptable fuera de diseño. Mientras que un perfil on un bajo arrastre no es demasiado difíil de diseñar, podría separarse en ángulos de ataque ligeramente altos de su punto de diseño. Los perfiles on la apaidad de una elevada sustentaión pueden funionar muy poo a bajos ángulos de ataque. Se puede aerar al diseño de perfiles on puntos de diseño múltiples en una manera bien definida. A menudo está laro que la superfiie superior será rítia en uno de los puntos y podemos diseñar la superfiie superior en esta ondiión. El intrados puede ser diseñada para haer que la seión atué apropiadamente en el segundo punto. Las restriiones están afetadas por la geometría de borde de salida del perfil. Cuando tal ompromiso no es posible, la onfiguraión de geometría variable puede ser empleada (algo ostosa) omo en los sistemas de hipersustentaión. En este tipo de diseño Selig resuelve el problema usando un método de Newton-Raphson mediante la espeifiaión de las distribuiones de veloidad a lo largo de los segmentos, para un ángulo de ataque dado, usando un trazado onformal y tres restriiones integrales [9]. Selig y Gopalarathnam presentan un método inverso multipuntual para el diseño de perfiles on múltiples elementos on una distribuión de veloidad deseada en flujo potenial inompresible. El método usa un ódigo inverso, multipuntual y de perfil aislado para generar ada elemento del perfil on múltiples elementos y un método de panel bidimensional para analizar el perfil on múltiples elementos. Mediante una iteraión de Newton, las variables asoiadas on el El termino en ingles es multi-point, y se refiere a que en este tipo de diseño se proponen segmentos de diferentes distribuiones de veloidad, y se diseña el perfil para esos tipos de distribuiones propuestos, en onlusión el perfil es apto para funionar a diferentes regimenes de veloidad y por ende a diferentes ángulos de ataque, por esa razón es que el termino se entiende de esa manera. 39

45 diseño de elementos aislados son ajustadas para lograr las distribuiones de veloidad multielementales deseadas [6]. El término en ingles es multi-element, y se refiere a la distribuión de veloidad ompuesta por diferentes segmentos de diferentes distribuiones de veloidad. 4

46 III

47 CAPITULO 3. MODELO MATEMATICO PARA EL DISEÑO DE PERFILES AERODINÁMICOS 3. Planteamiento del problema La teoría de perfiles es de vital importania en la aeronáutia. Este logro es el resultado de persistentes y extensivas pruebas realizadas por un gran número de instituiones e investigadores, además del heho de que los fatores importantes para el diseño ya se onoen. Sin el onoimiento de la teoría del flujo de aire alrededor de perfiles (aerodinámia) seria asi imposible interpretar inteligentemente los resultados del trabajo experimental o haer otras mejoras a la teoría. Una ienia solo puede desarrollarse sobre una base ompletamente experimental durante un ierto tiempo. La teoría es un proeso de arreglos y simplifiaiones de hehos onoidos. Mientras los hehos sean poos, la teoría no es neesaria pero uando estos se vuelven muhos y omplejos, la teoría es neesaria. Aunque el experimento por si mismo requiere un poo de esfuerzo, es, sin embargo, a menudo extremadamente difíil de analizar los resultados, inluso de los experimentos más senillos. Por lo tanto, allí existe, siempre una tendenia para produir más resultados que puedan ser resumidas por la teoría y apliadas en la industria. Los diferentes tipos de perfiles exhiben propiedades totalmente diferentes, y es uno de los objetivos de la ienia aerodinámia, detetar y definir de una manera preisa los fatores que ontribuyen al perfeionamiento del perfil []. El propósito de este apítulo es estableer la teoría para obtener la distribuión de presiones de superfiie (alrededor) de un perfil mediante la transformaión onforme, dada una geometría se proederá a obtener la formulaión que determinará la distribuión de presiones de superfiie. 4

48 3. Desarrollo teório 3.. Funión de Corriente En esta seión, se onsidera flujo estaionario bidimensional. De auerdo a la euaión diferenial para una línea de orriente en un flujo bidimensional, la ual es omo sigue vdx udy = (3..) Si u y v son funiones onoidas de x y y, entones la euaión (3..) se puede integrar para produir la euaión algebraia para una línea de orriente: ( x y) f, = (3..) donde es una onstante de integraión arbitraria, on diferentes valores para diferentes líneas de orriente. En la euaión (3..), la funión de x y y se denota por el símbolo ψ. De esa forma, la euaión (3..) se esribe omo La funión ( x, y) ( x, y) = ψ (3..3) ψ es onoida omo la funión de orriente. De la euaión (3..3) se nota que la euaión para una línea de orriente esta determinada por un onjunto de funiones de orriente iguales a una onstante, es deir,,, 3, et. En la figura 3.. se ilustran dos líneas de orriente diferentes; las líneas de orriente ab y d están dadas respetivamente por ψ = y ψ =. ψ= V n d a ψ= b Figura 3... Diferentes líneas de orriente son determinadas por diferentes valores de la funión de orriente. 4

49 Existe ierta arbitrariedad en las euaiones (3..) y (3..3) debido a la onstante de integraión arbitraria. La definiión más preisa de la funión de orriente que redue esta arbitrariedad se refiere a la figura 3.., definiendo el valor numério de ψ de manera que la diferenia ψ entre ψ = para la línea de orriente d y ψ = para la línea de orriente ab es igual al flujo másio entre las dos líneas de orriente. Debido a que la figura 3.. es un flujo bidimensional, el flujo másio entre dos líneas de orriente se define por unidad de profundidad, es deir, perpendiular a la página. Esto es, en la figura 3.., se onsidera el flujo másio dentro de un tubo de orriente limitado por las líneas de orriente ab y d, on un área retangular seional igual a n vees una unidad de profundidad perpendiular a la página. Aquí, n es la distania normal entre ab y d, omo se muestra en la figura 3... Aquí, el flujo másio entre líneas de orriente ab y d por unidad de profundidad perpendiular a la página es ψ = (3..4) La definiión anterior no remueve ompletamente la arbitrariedad de la onstante de integraión en las euaiones (3..) y (3..3), sin embargo hae las osas un poo más preisas. Por ejemplo, onsiderar un ampo de flujo bidimensional dado. Elegir una línea de orriente del flujo, y darle un valor arbitrario de la funión de orriente, es deir, ψ =. Entones, el valor de la funión de orriente para ualquier otra línea de orriente en el flujo, es deir, ψ =, es fijo de auerdo a la definiión dada en la euaión (3..4). La equivalenia entre ψ = onstante designada omo línea de orriente, y ψ igualando el flujo másio (por unidad de profundidad) entre líneas de orriente, es natural. Para un flujo estable, el flujo másio dentro de un tubo de orriente dado es onstante a lo largo del tubo; el flujo másio a lo largo de ualquier seión del tubo es la misma. Como por definiión ψ es igual a este flujo másio, entones ψ por si misma es onstante para un tubo de orriente dado. En la figura 3.., si ψ = designa la línea de orriente sobre el fondo del tubo de orriente, entones ψ = = + ψ es también onstante a lo 43

50 largo del lado superior del tubo de orriente. Como por definiión de un tubo de orriente el límite superior de un tubo de orriente es una línea de orriente por si misma, entones ψ = onstante, debe designar esta línea de orriente. = Aun falta desarrollar la propiedad más importante de la funión de orriente, es deir, las derivadas de ψ produen las veloidades del ampo de flujo. Para obtener esta relaión, se deben de onsiderar otra vez ab y d en la figura 3... Se asume que estas líneas de orriente están demasiado juntas (i.e., se asume que n es pequeño), de manera que la veloidad de flujo V es un valor onstante a lo largo de n. El flujo másio a través del tubo de orriente por unidad de profundidad perpendiular a la página es o ψ ( ) = ρv n ψ = ρv n (3..5) Considerando el límite de la euaión (3..5) uando n : ρv ψ ψ lim = (3..6) n n n = La euaión (3..6) expresa que si se onoe ψ, entones se puede obtener el produto ( ρ V ) difereniando ψ en la direión normal a V. Para obtener una forma pratia de la euaión (3..6) para oordenadas artesianas, observar la figura 3... Se debe notar que la distania normal dirigida n es equivalente primero, al movimiento haia arriba en la direión y por la antidad después, a la izquierda en la direión negativa x por la antidad a la onservaión de masa, el flujo másio a través de x y y. Debido n (por unidad de profundidad) es igual a la suma de los flujos másios a través de y y unidad de profundidad): x (por Flujo Másio = = ρv n = ρu y + ρv( x) ψ (3..7) 44

51 Permitiendo que d se aproxime a ab, en el límite la euaión (3..7) se vuelve dψ = ρudy ρvdx (3..8) Sin embargo, omo ψ = ψ ( x, y), la regla de la adena del álulo expresa que ψ ψ dψ = dx + dy (3..9) x y Comparando las euaiones (3..8) y (3..9), se tiene ρ u = ψ (3..a) y ψ ρ v = (3..b) x y x ψ + ψ n x d a V u v ψ y b Figura 3... El flujo másio a través de x. n es la suma de los flujos másios a través de y y Las euaiones (3..a) y (3..b) son importantes. Si ( x, y) ψ es onoida para un ampo de flujo dado, entones en ualquier punto en el flujo los produtos ρ u y normales a u y v respetivamente. ρ v se pueden obtener difereniando ψ en las direiones 45

52 Se debe notar que las dimensiones de ψ son iguales a flujo másio por unidad de profundidad perpendiular a la pagina. Esto es, en unidades del Sistema Internaional, ψ esta en términos de kilogramos por segundo por metro perpendiular a la página, o simplemente ( s m) kg. La funión de orriente ψ definida anteriormente aplia para flujo ompresible e inompresible. Ahora, si se onsidera el aso de flujo inompresible solamente, donde ρ = onstante. La euaión (3..6) se puede esribir omo V ( ψ ρ) = n (3..) Si ahora se define una nueva funión de orriente, para flujo inompresible solamente, omo ψ = ψ ρ. Entones la euaión (3..) se vuelve V = ψ (3..) n y las euaiones (3..a) y (3..b) se vuelven u = ψ (3..3a) y ψ v = x (3..3b) La funión de orriente inompresible ψ tiene araterístias análogas a su ontraparte más general ompresible ψ. Por ejemplo, uando ( x, y) = ψ es la euaión de una línea de orriente, y omo ρ es una onstante para flujo inompresible, entones ψ ( y) = ψ ρ = x, onstante, es también la euaión para una línea de orriente (solamente para flujo inompresible). Además, debido a que ψ es el flujo másio entre dos líneas de orriente (por unidad de 46

53 profundidad perpendiular a la página), y omo ρ es masa por unidad de volumen, entones físiamente ψ = ψ ρ representa el flujo volumétrio (por unidad de profundidad) entre dos líneas de orriente. En unidades del Sistema Internaional, ψ esta expresado omo metros úbios por segundo por metro perpendiular a la página, o simplemente m s. En resumen, el onepto de funión de orriente es una poderosa herramienta en aerodinámia, por dos razones. Considerando que se onoe ( x, y) [ ψ ( x, y) ] en un ampo de flujo bidimensional, entones: ψ o. ψ = onstante (o ψ = onstante) da la euaión de una línea de orriente.. La veloidad del flujo se puede obtener derivando ψ (o ψ ), uando es dada por las euaiones (a) y (b) para flujo ompresible y las euaiones (3..3a) y (3..3b) para flujo inompresible. 3.. Potenial de Veloidad Partiendo de que un flujo irrotaional está definido omo un flujo donde las vortiidad es ero en ualquier punto. La euaión para un flujo irrotaional es: ξ = V = (3..4) Considerando la siguiente identidad vetorial: si φ es una funión esalar, entones ( ) = φ (3..5) es deir, el rotaional del gradiente de una funión esalar es idéntio a ero. Comparando las euaiones (3..4) y (3..5), se demuestra que V = φ (3..6) La euaión (3..6) expresa que para un flujo irrotaional, existe una funión esalar φ tal que la veloidad es dada por el gradiente de φ. Se denota φ 47

54 omo el potenial de veloidad. φ es una funión de las oordenadas espaiales; es deir, φ = φ( x, y, z) artesianas, dado por la siguiente euaión:. De la definiión de gradiente en oordenadas = i + j + k (3..7) x y z se tiene, de la euaión (3..6) ui + vj + wk φ φ = i + x y φ j + k z (3..8) Los oefiientes de los vetores unitarios deben ser los mismos en ambos lados de la euaión (3..8). Por lo tanto, en oordenadas artesianas, u = φ v x = φ w = φ y z (3..9) El potenial de veloidad es análogo a la funión de orriente en el sentido de que las derivadas de φ produen las veloidades del ampo de flujo. Sin embargo, hay distintas diferenias entre φ y ψ (o ψ ):. Las veloidades del ampo de flujo se obtienen derivando φ en la misma direión que las veloidades, onsiderando que ψ (o ψ ) se deriva normal a la direión de la veloidad.. El potenial de veloidad se define solamente para flujo irrotaional. En ontraste, la funión de orriente se puede usar en flujo rotaional e irrotaional. 3. El potenial de veloidad aplia a flujos tridimensionales, mientras que la funión de orriente se define úniamente para flujos bidimensionales. Cuando el ampo de flujo es irrotaional, si se define un potenial de veloidad, existe una enorme simplifiaión. En lugar de tratar on las omponentes de 48

55 veloidad (es deir, u, v y w) omo desonoidas, aquí se requieren tres euaiones para estas tres inógnitas, se puede tratar on el potenial de veloidad omo una inógnita, debido a esto se requiere la soluión de una sola euaión para el ampo de flujo. Una vez que ψ se onoe para un problema dado, las veloidades se obtienen diretamente de la euaión (3..9). Esto es debido a que, en aerodinámia teória, se hae una distinión entre flujos rotaionales e irrotaionales y debido a que el análisis de flujos irrotaionales es más simple que el de flujos rotaionales. Debido a que los flujos irrotaionales se pueden desribir mediante el potenial de veloidad φ, tales flujos son llamados flujos poteniales. veloidad 3..3 Relaión entre la funión de orriente y el potenial de Se puede ver que una línea onstante φ es una isolínea de φ ; omo φ es el potenial de veloidad, se le da un nombre espeifio a esta isolínea, línea equipotenial. Además, si se dibuja una línea en el espaio de manera que φ sea tangente en ada punto se define omo línea gradiente; sin embargo, omo V = φ, esta línea gradiente es una línea de orriente. A su vez, una línea de orriente es una línea onstante de ψ (para un flujo bidimensional). Debido a que las líneas gradiente y las isolíneas son perpendiulares, entones las líneas equipoteniales (φ =onstante) y las líneas de orriente (ψ = onstante) son mutuamente perpendiulares. Para ilustrar este resultado más laramente, onsiderar el flujo bidimensional, irrotaional e inompresible en oordenadas artesianas. Para una línea de orriente, ψ ( x, y) = onstante. De esta forma, la diferenial de ψ a lo largo de una línea de orriente es ero; es deir, ψ ψ dψ = dx + dy = (3..) x y 49

56 De las euaiones (3..3a y 3..3b), la euaión (3..) se puede esribir omo d ψ = vdx + udy (3..) Soluionando la euaión (3..) para dy dx, la ual es la pendiente de ψ = línea onstante, es deir, la pendiente de la línea de orriente: dy dx ψ = onstante = v u (3..3) De forma similar, para una línea equipotenial, φ( x, y) = esta línea, onstante. A lo largo de φ φ dφ = dx + dy = (3..4) x y de la euaión (3..9), la euaión (3..4) se puede esribir omo d φ = udx + vdy (3..5) Soluionando la euaión (3..5) para dy dx, la ual es la pendiente de φ = línea onstante, es deir, la pendiente de la línea equipotenial, se obtiene dy dx φ= onstante u = v (3..6) Combinando las euaiones (3..3) y (3..6), se tiene dy dx ψ = onstante = ( dy dx) φ= onstante (3..7) 5

57 La euaión (3..7) muestra que la pendiente de una línea onstante ψ es el reiproo negativo de la pendiente de una línea onstante φ, es deir, las líneas de orriente y las líneas equipoteniales son mutuamente perpendiulares Potenial Complejo y Veloidad Compleja Existe una relaión entre la funión potenial y la funión de orriente y además entre las omponentes de la veloidad en flujo bidimensional. Denotando el potenial mediante Φ, la funión de orriente Ψ y las omponentes de veloidad mediante u y v, se tiene Φ = Φ( x, y), Ψ = Ψ( x, y) = u( x y), v v( x, y) u, =. Las funiones Φ y Ψ se relaionan mediante las euaiones difereniales Φ x Ψ = u = y Φ y Ψ = v = x y ambas obedeen la euaión de Laplae Φ =, Ψ = Las líneas equipoteniales desritas por Φ( y) = orriente desritas por Ψ( y) = x, onstante, y las líneas de x, onstante, forman un onjunto de urvas ortogonales. Las omponentes de veloidad tienen propiedades similares, on lo que se tiene u v = (ondiión de inompresibilidad) x y 5

58 u y v = x (ondiión de irrotaionalidad) y u =, v =. De la misma forma, las urvas u ( x, y) = onstante y ( x y) = una red ortogonal. v, onstante, forman De las euaiones anteriores se dedue que existe una interrelaión entre la funión potenial y la funión de orriente, al igual que en las omponentes u y v, y que además son exatamente las mismas que existen en las partes real e imaginaria de una funión analítia. Por lo tanto, se puede ombinar naturalmente el potenial y la funión de orriente en una funión analítia de una variable ompleja, e inluso afirmar que las partes real e imaginaria de alguna funión analítia representa, respetivamente, la funión potenial y la funión de orriente de un ierto flujo potenial bidimensional. Equivalentemente, las omponentes u y v se pueden interpretar omo las omponentes real e imaginaria de una funión analítia y vieversa. En general es habitual ombinar Φ y Ψ en una funión analítia y llamarla el potenial omplejo. Denotándolo mediante F ( z) ( z) Φ( x, y) + iψ( x y) F =, (3..8) Hablando en este ontexto, el plano x, y se vuelve el plano de la variable ompleja z. La derivada del potenial omplejo está dada por F' df Φ Ψ = = + i dz x x Ψ Φ = i = u y y ( z) ( x, y) iv( x, y) (3..9) 5

59 La prinipal ventaja de usar el potenial omplejo es que en la funión analítia de variable ompleja F ( z) están implíitas, la funión potenial Φ y la funión de orriente Ψ. Cabe menionar que en el presente trabajo se haen notar las siguientes onsideraiones, que se haen de auerdo a lo tratado en los puntos 3.., 3.., 3..3 y 3..4:. El flujo de fluido es bidimensional, es deir, el modelo del flujo básio y las araterístias del movimiento del fluido en un plano, son esenialmente las mismas en todo plano paralelo. Esto nos permite onfinar nuestra atenión no más que a un plano simple, por lo que los efetos lejanos se pueden despreiar razonablemente.. El flujo es estable, es deir, la veloidad del fluido en un punto, depende solamente de la posiión ( x, y) y no del tiempo. 3. El fluido es inompresible, es deir, la densidad, o masa por unidad de volumen del fluido, es onstante. 4. El fluido es no visoso, es deir, no tiene visosidad o friión interna. Un movimiento de un fluido visoso tiende a adherirse a la superfiie de un obstáulo oloado en su amino. Un fluido que es no visoso e inompresible, se llama freuentemente un fluido ideal. Se debe por supuesto observar que tal fluido es solamente un modelo matemátio de un fluido real, en el ual seguramente, tales efetos, se supone, son insignifiantes. 5. Los omponentes de la veloidad se derivan de un potenial, o sea, si u y v denotan los omponentes de la veloidad del fluido en ( x, y) en las direiones x y y positivas respetivamente, existe una funión esalar Φ, que se llama potenial de veloidad. 53

60 En la teoría de funiones hay un teorema de Riemann, que muestra que es siempre posible transformar el ampo potenial de ualquier ontorno errado en el ampo potenial alrededor de un írulo. La transformaión direta de un perfil en un írulo puede ser llevada a abo en dos pasos onvenientemente para propósitos analítios. El primer paso es transformar el perfil en una urva, que difiera muy poo de un írulo mediante la transformaión a ζ = z ' + (3..3) z' donde ζ es una funión ompleja que define los puntos en el plano en donde se desribe el flujo alrededor del perfil y z ' es otra funión ompleja que define los puntos en el plano en donde se desribe el flujo alrededor de la urva uasiirular. La onstante a es una dimensión de longitud y es simplemente un fator de esala geométrio, mostrado en la figura En la siguiente teoría, la atenión es dirigida al heho de que la forma de la urva que resulta de la transformaión (3..3) es arbitraria, ya que la forma del perfil es arbitraria. En un punto posterior se transformará esta urva en un írulo. Los planos z ' y ζ son mostrados superpuestos en la figura ζ z' z' B C ζ z' ζ Figura Esquema de la transformaión de una urva asi irular B en un perfil 54

61 a -a ρ/ 4a y flujo α x (,) % Figura Sistema oordenado del Perfil Se notará que a grandes distanias del origen z ' ζ ; es deir, ambos flujos son similares en el infinito. En partiular, el "ángulo de ataque", definido omo la direión de flujo en el infinito on respeto a alguna línea de referenia fija en el uerpo, es idéntio en ambos flujos. Cera del origen los dos flujos son ompletamente diferentes; un valor de partiular de ζ por la relaión (3..3). z ' es relaionado on un valor en En un punto posterior, se determinara el flujo en el plano z '. Ahora se determinara la aparienia del perfil uándo la urva asi irular B sea dada, o en su equivalenia, determinaremos la urva B uando el perfil sea dado. En la figura 3..3, C es un írulo de radio unitario. Debido a que el tema de las dimensiones es algo importante, se evitará la onfusión en lo que sigue, señalando a esta longitud omo unitaria. La urva B es dada úniamente por la relaión z ψ + iθ ' = ae donde ψ es una funión real onoida o desonoida del ángulo θ, donde θ varía desde ero hasta π e i es la unidad imaginaria. Cuando la superfiie del perfil orresponde a la superfiie de la urva, lo anterior es dado de la relaión (3..3) omo ζ = ae ψ + iθ + ae ψ iθ o omo ζ ψ ψ ψ ψ ( + e ) θ + ia( e e ) senθ = a e os 55

62 Esta relaión, además debe ser expresada onvenientemente en funiones hiperbólias ζ = aoshψ osθ + iasenhψsenθ Y omo ζ = x + iy, las oordenadas del perfil ( x, y) son dadas por x = aoshψ osθ y = asenhψsenθ (3..3) Obteniendo una relaión entre θ y las oordenadas del perfil omo sigue: x oshψ = aosθ x senhψ = asenθ y omo osh ψ senh ψ =, se tiene que x y aosθ asenθ = desarrollando queda donde y = L + L + sen θ (3..3) a x y L = a a de manera similar se obtiene la relaión entre ψ y las oordenadas del perfil usando la euaión desarrollando queda x y + aoshψ asenhψ = 56

63 y = L + L + senh ψ (3..33) a despejando a ψ tenemos y L + L + a ψ = sin (3..34a) Ahora se está en la postura de reproduir la representaión onformal de un perfil en el plano ' determinado θ y ψ. Las urvas en donde ψ z, de manera que para ada punto del perfil ( y) = ons tante, son elipses en el plano ζ x, se han x y + aoshψ asenhψ = Los foos están ubiados a ( ± a,). El radio de urvatura al final del eje mayor es ρ = ( asenhψ ) aoshψ o ρ a ( ψ ) = senh oshψ ψ despejando a ψ, tenemos ρ ψ (para ψ pequeños) a La relaión es útil para la determinaión de ψ era de la nariz y la ola. El borde de ataque, orrespondiente a θ =, esta loalizado a 57

64 ψ a osh ψ a + = a + a ψ = a + ρ Por lo tanto, se ve que la longitud 4a orresponde a la distania entre el punto medio entre la nariz y el entro de la urvatura del borde de ataque al punto medio entre la ola y el entro de urvatura del borde de salida 3. Para estableer la magnitud de la veloidad en ualquier punto (x, y) sobre el perfil, se omienza en la manera aostumbrada on la veloidad alrededor de un írulo en flujo bidimensional. Sin embargo, ontrario a la prátia ψ aostumbrada haremos que el radio del írulo sea igual a ae, donde ψ es una antidad onstante pequeña. Esta antidad es demostrada después en este desarrollo (euaión (e)), para representar el valor medio de ψ, tomado alrededor del írulo C. La funión potenial del flujo más allá de este írulo es w ψ a e iγ z = V z + log (3..35) ψ z π ae y la veloidad 4 dw dz ψ a e iγ = V (3..36) z πz donde Γ es la irulaión. Esta expresión debe desapareer en el punto de estanamiento trasero (ondiión de Kutta) uya oordenada es z ( α ε ) i T ae ψ = + +, donde α es el ángulo de ataque y εt es el ángulo de ero levantamiento. Obteniendo πz a e = V i z ψ Γ 3 La eleión de los ejes es ompletamente arbitraria. Es un tema de onvenienia solamente para esoger que los ejes de manera que el perfil sea asi elíptio tanto omo sea posible, de este modo haiendo a la urva B "asi irular", tan irular omo sea posible así por medio de la simple transformaión Será visto que la evaluaión de la integral importante que aparee en el apéndie es entones más fáilmente resuelta. De heho, la transformaión 3..3 así misma es solamente un tema de onvenienia para permit ir la evaluaión de esta integral. 4 dw en realidad iguala dz u iv, la imagen del vetor veloidad era del eje x. 58

65 Γ i ψ e = 4π Vae ( α + ε ) i ( α + ε ) T e i T Γ ( α + ε ) ψ = 4 πvae sen (3..37) T Este flujo alrededor del írulo ahora debe ser transformado en el flujo alrededor de ualquier otro uerpo. En el aso partiular en el ual el flujo en el infinito no es alterado, la irulaión no será modifiada y la fuerza experimentada por un uerpo en el origen permaneerá en el valor fijo L = ρ VΓ. Ahora, se debe transformar este írulo, definido omo z ψ + iϕ = ae dentro de la urva B definida por la relaión z' = ae ψ + iθ. Para este propósito se debe emplear la transformaión general n + = ae n n z ( A ib ) z ' que deja el flujo en el infinito sin alteraiones, las onstantes que están determinadas por las ondiiones de límite. Por definiión Conseuentemente ψ ψ o + i ψ ψ + i z' = ae ( θ ϕ ) ( θ ϕ ) = ( A + ib ) n n n z ψ ψ + i sin n n n r ( θ ϕ) = ( A + ib ) ( osnϕ i nϕ) donde z ha sido expresada en la forma polar y del teorema de Moivre ( osϕ i sinϕ ) z = r + n z = n r ( osnϕ i sinnϕ) Igualando las partes real e imaginaria obtenemos las dos expansiones de Fourier: A B n n ψ ψ = osnϕ + sinnϕ (a) n n r r 59

66 y θ ϕ = B A n n osnϕ sinnϕ (b) n n r r Los valores de los oefiientes determinados de (a) omo sigue: A n n, n n r B al igual que la antidad ψ pueden ser r π An = ψ osnϕdϕ () n r π y π Bn = ψ sinnϕdϕ (d) n r π ψ = π π ψd ϕ (e) La antidad ( θ ϕ) es neesaria en el siguiente análisis. Si se eliminan los oefiientes Se obtiene A B n n y n n r r en (b) por medio de () y (d). π π ( θ ϕ) = osnϕ ψ sinnϕdϕ sinnϕ π π ψ os nϕdϕ El subíndie se agrega para indiar que los ángulos así distinguidos son mantenidos onstantes mientras la integraión se lleva a abo. La expresión puede ser simplifiada Pero π ( θ ϕ) = ψ ( sinnϕosnϕ osnϕ sinnϕ ) π π ( θ ϕ) = ψ sinn( ϕ ϕ ) π dϕ dϕ 6

67 Por lo tanto, ( θ ϕ) ( ϕ ϕ ) = ot ( ) ( ) ( ϕ ϕ os ) ϕ ϕ n + ( ϕ ϕ ) sinn = π π ψ ot sin ( ) ( ) ( ϕ ϕ ) π ϕ ϕ os n + dϕ ψ ( ϕ ϕ ) π sin dϕ La última integral es idéntia a ero. Entones ( θ ϕ) ( ϕ ϕ ) π = ψ ot dϕ (3..38) π Debido a propósitos de álulo esta integral es expresada en forma onveniente en el apéndie y. Ahora se debe resumir la tarea de determinar la veloidad en ualquier punto de la superfiie del perfil. dw La veloidad en la superfiie del írulo es (ver euaión (3..36) y la nota dz al pie). Para puntos orrespondientes sobre la urva B en el plano z ' y sobre el perfil en el plano ζ las veloidades son respetivamente dw dz dz dz ' dz' dζ. Las antidades ζ y z ' son relaionadas por la expresión Ahora derivando la relaión anterior dζ a = dz' z' a ζ = z ' + z' a = z' z' z' = z' ψ + iθ ψ iθ ( ae ae ) dw dz y dz dz' ψ ψ ψ ψ [ a( e e ) osθ + ia( e + ) sinθ ] dζ = e dz' z' 6

68 dζ = dz' z' [ asinhψ osθ + iaoshψ sinθ ] Usando las relaiones (3..3) se obtiene y x a sinhψ = y a oshψ = sinθ osθ dζ = [ y otθ + ix tanθ] (3..39) dz' z' Ahora queda enontrar la relaión dz. De la relaión dz' derivando se obtiene z ' n + = ae n n z ( A ib ) o Pero de la ual, Por lo tanto z dz' d = + z' dz z dz n z ( A + ib ) dz' d = z' + ϕ dz z dz d dz dz' d = z' ϕ dz dz z n [( ψ ψ ) + i( θ )] ( ψ + i( θ ) + logz) d dz ψ + iϕ = ae ( logz) = ( loga + ψ + iϕ ) = ( iϕ ) = dz' = z' dz d dz ( ψ + i( θ ϕ) + iϕ) n d dz 6

69 dz' = z' dz d dz ( ψ + iθ ) Esta expresión puede ser esrita Pero tenemos o y Ahora donde dz' d = z' dz dθ dz z dz' = dz dθ ( ψ + iθ ) dz dϕ = i z dz = idϕ = id dz d = iz + dθ z' d z dθ ( ϕ θ ) + idθ ( ϕ θ ) dθ ( iψ + θ ) ε = ϕ θ dε + dθ o dz' = dz z' iψ' z + ε' (3..4) donde ε ' y ψ ' indian dε dθ y dψ dθ, respetivamente. Al multipliar las euaiones (3..39) y (3..4) ahora resulta dζ dz' dz' dz dζ = dz = z' ( y otθ + ix tanθ ) z' iψ' z + ε' 63

70 dζ dz' dz' dz dζ = dz = ( y otθ + ixtanθ ) iψ ' z + ε' (3..4) Debido a que hay más interés en la magnitud que en la direión de la veloidad esribiremos para el valor numério de esta expresión dζ dz = ( y ot θ + x tan θ )( + ψ' ) ψ ae ( + ε' ) (3..4a) La antidad y a ot θ x + a tan θ es visible que es igual a (por la relaión (3..3)) o también y a sinθ + sin sinh ψ + sin θ θ Ahora dζ dz = y sin θ + sinθ a ψ e ( + ε' ) ( + ψ ' ) (3..4b) El valor numério de la veloidad en la superfiie del írulo se obtiene mediante las euaiones (3..36) y (3..37) omo sigue: Se sustituye el punto general ( α ϕ) ψ + i + z = e, donde α es el ángulo de ataque medido desde el eje de oordenadas, en la euaión (3..36) dw dz = V i ( α + ϕ ) i ( α + ϕ ) ( e ) iv sin( α + ε ) e T dw dz [ os( α + ϕ) + sin( α + ε ) sin( α + ϕ ) + i( sin( α + ϕ ) + sin( α + ε ) ( α + ϕ )] = V os T T 64

71 dw dz = V [ sin ( α + ε ) + 8sin( α + ε ) sin( α + ϕ) + 4sin ( α + ϕ )] 4 T T dw dz [ sin( α + ϕ) + ( α + ε )] = V sin T Remplazando ϕ por ( θ + ε ) ( ε T, el ángulo de ero levantamiento, es el valor de ( ϕ θ ) en la ola), se tiene dw dz [ sin( α + θ + ε ) + ( α + ε )] = V sin T Para un punto sobre el perfil tenemos, entones, ν dw dz = y de (3..4), dz dζ finalmente ν [ ( α + θ + ε ) + sin( α + ε )]( + ε' ) ( sinh ψ + sin θ )( + ψ' ) ψ sin T e = V (3..4) donde los varios símbolos tienen el siguiente signifiado: ν Es la veloidad en ualquier punto ( x, y) del perfil V y Es la veloidad uniforme del flujo en el infinito Es la ordenada del perfil medida desde el eje x, donde para fijar el sistema de oordenadas ( a, ), es el punto medio entre la nariz y el entro de urvatura de la nariz y ( a, ) es el punto medio entre la ola y el entro de urvatura de la ola, visto en la figura α Es el ángulo de ataque medido desde el eje x omo se india en la figura y, θ, ψ, ψ', ε, ε' Todas son funiones de x La euaión (3..4), expresa el valor de la veloidad en ualquier punto de un perfil de ualquier forma, es sorprendentemente simple uando se onsidera que la naturaleza del problema es ompleja y tiene la ventaja de ser exata. 65

72 Se debe haer notar algunas de las propiedades de esta importante relaión. Debido que y es generalmente pequeña, el término prinipalmente era del borde de ataque, donde y embargo, se nota que si sin θ = todos los asos y asinθ es de influenia sin θ es pequeño. Sin para θ =, la euaión (3..4) produe en ν =. Esto signifia que la veloidad en la nariz se vuelve infinita para sinh ψ = (perfiles delgados). La antidad y asinθ lo tanto de onsiderable signifiado en la teoría de perfiles gruesos. La veloidad era de la ola se obtiene poniendo Donde θ es un ángulo pequeño, en la euaión (3..4). o sinh ψ es por θ = π + θ y ε = ε + ε' θ T. se obtiene ν V ν V e ( + ε' )[ sin( θ + α + ε ) + sin( α + ε )] ( sinh ψ + sin θ )( + ψ ' ) ψ T = e ψ ( + ε' )[ θ + α + εt + ε' + α + εt ] ( ψ + θ )( + ψ' ) ν V ψ e ( + ε' ) θ ( ψ + θ )( + ψ' ) ν V e ψ ( + ε' ) ψ + θ θ ( + ψ ' ) (f) ψ era de la ola puede ser expresado omo o = ψ + ψ ' θ + ψ '' θ ψ T ψ T θ ψ = θ ( ) ψ ' + ψ '' θ

73 La antidad ψ T es infinita si ψ T es diferente de ero en θ =. La veloidad θ es en este aso ero, indiando la presenia de un punto de estanamiento trasero. Sin embargo, si ψt es ero, signifia que, si la ola esta perfetamente afilada, ψ = ψ' θ para θ = y la veloidad en la ola es o ν ν T e = V e ψ ( + ε' ) ( + ψ' ) ψ ( + ε' ) ( + ψ' ) 4 T = V (g) Se obtiene el punto de estanamiento frontal permitiendo que ν = en la euaión (3..4). Ahora ( α ) α + θ + ε = + N ε T ( α + ) θ = ε N + ε T α ε N + ε = T ha sido definido omo el ángulo de ataque ideal. Es visto que, para este ángulo de ataque, θ es ero o el punto de estanamiento ourre diretamente en la nariz. La euaión (3..4) puede ser apliada también a formas punteadas, y para tales formas simétrias inluso lleva una forma más simple. 67

74 IV

75 CAPITULO 4. DESARROLLO Y RESULTADOS 4. Metodología de diseño apliada al perfil NACA 44 Ahora se apliará la formula (3..4) al aso de un perfil NACA 44, y se alularán las veloidades en los puntos de la superfiie del perfil. El método detallado del proedimiento es omo sigue:. El eje de oordenadas es dibujado a través de los puntos ( a, ) y ( a, ) loalizados respetivamente en el punto medio entre la nariz y el entro de urvatura de la nariz y el punto medio entre la ola y el entro de urvatura de la ola. (Ver figura 4..).. Los puntos ( x, y) de las superfiies superior e inferior del perfil están determinadas on respeto a este eje. 3. sin θ, sin θ y θ están determinados por la euaión (3..3). 4. ψ es dado por la euaión (3..34a) 5. ψ es trazado omo una funión de θ, ψ = ψ ( θ ) 6. Se debe de determinar ψ ' de la grafia ψ vs θ 7. Determinar ε mediante la formula mostrada en el apéndie. 8. De la urva ε vs θ determinar ε '. 9. Determinar F de la euaión (3..4a).. ( θ + ε ) es determinada en radianes y grados.. ( θ + α + ε ) + sin( α + ) sin es alulado ahora donde α sea el ángulo de ε T ataque medido desde el eje de oordenadas. ν. = F [ sin ( θ + α + ε ) + sin ( α + ε )] 3. V P q ν = V (Coefiiente de Presión) T A ontinuaión se desribirán y realizaran ada uno de los puntos para llevar a abo la metodología, antes menionada. 68

76 Punto. a -a 4a y ρ/ flujo α x (,) % Figura 4... Sistema oordenado del Perfil NACA 44 Punto. Tabla 4... Coordenadas del Extradós e Intrados Extradós Intrados %C x y %C x y

77 Perfil NACA 44 Y X EXTRADOS INTRADOS Figura 4... Perfil NACA 44 Punto 3. En este aso a =, los valores de x y y se toman de la tabla 4... Tabla 4... Valores de L, Extradós sin θ, sin θ y θ. sin sin θ θ (rad) θ ( ) %C L θ

78 Intrados sin sin θ θ (rad) θ ( ) %C L θ Punto 4. Se alula ψ de la euaión (3..34a), y sustituyendo los valores de las tablas 4.. y 4.., queda omo sigue: Extradós Tabla Valores de ψ. Intrados %C ψ %C ψ

79 Punto 5. Se traza ψ omo una funión de θ Extradós Tabla Valores de θ y ψ. Intrados %C θ (rad) ψ %C θ (rad) ψ Grafia q vs Y.5..5 Y q Extrados Intrados Figura Grafia θ vs ψ del Perfil NACA 44 7

80 Punto 6. Se debe de determinar ψ ' de la grafia ψ vs θ En el método Theodorsen plantea la letura de ψ ' de forma grafia en ada punto (ψ,θ ), lo ual no es muy preiso, debido a lo anterior se planteó la posibilidad de apliar algún ajuste de urva, siendo el ajuste on splines úbios el apropiado debido a que es posible derivar ada uno de estos y obtener apéndie 3. ψ '. Para ver la formulaión de este tipo de interpolaión ver el Tabla Valores de θ, ψ y ψ '. Extradós %C θ (rad) ψ ψ ' Intrados %C θ (rad) ψ ψ '

81 Y' vs q Y' q Spline Cúbio Figura Grafia θ vs ψ ' del Perfil NACA 44 Punto 7. Se proede a determinar apéndie : ε mediante la formula mostrada en el Se pretende analizar el primer dato omo ejemplo, para posteriormente presentar los demás datos obtenidos onforme al proedimiento dado. De auerdo a los valores de la tabla 4..5, se onoe lo siguiente: Tabla Valores de ϕ y ψ ' para θ =. Donde: ϕ ψ '.9999 ϕ es la oordenada analizada θ. 74

82 ψ ' es la pendiente determinada on el método de splines úbios del punto orrespondiente a la oordenada analizada θ. Posteriormente se determina la siguiente tabla, donde se aplia para π ϕ = ϕ +, 5 ϕ 3π ϕ 3 = ϕ, et. 5 π = ϕ, 5 π ϕ = ϕ +, 5 ϕ π 5 = ϕ, 3π ϕ 3 = ϕ +, 5 Tabla Valores de ϕ, ϕ, ϕ, ϕ, ϕ 3, ϕ 3, ϕ 4 y ϕ 4. ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Ahora on los valores obtenidos de la tabla 4..7, se proede leer en la grafia de la figura 4..4 los orrespondientes valores de ψ, esto se hae mediante la interpolaión on los splines úbios, resultando la siguiente tabla: Tabla Valores de ψ, ψ, ψ, ψ, ψ 3, ψ 3, ψ 4, 4 ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ. Una vez que se han obtenido los valores de las tablas 4..7 y 4..8, se proede a alular los oefiientes de la euaión del punto 7, estos oefiientes estarán en funión del número de divisiones (en este aso se manejan divisiones) que se menionan en el apéndie. 75

83 Tabla Coefiientes a k. k n a k Sustituyendo valores de las tablas 4..6, 4..8 y 4..9 en la euaión del punto 7, se proede a alular el valor de ε. ε.68 = π +.4 (.9999 ) +.65( ) ( ) +.3( ) ( ) ε = La tabla 4.. muestra los 33 valores de ε para ada punto θ. Extradós Tabla 4... Valores de θ y ε. Intrados %C θ (rad) ε %C θ (rad) ε El proedimiento anterior se debe haer para los siguientes 3 puntos orrespondientes de θ. 76

84 q vs e.5..5 e q Spline Cúbio Figura Grafia θ vs ε del Perfil NACA 44 Punto 8. De la urva ε vs θ se determinan ε '. Nuevamente para este punto se aplia el método de interpolaión de splines úbios (ver apéndie 3) para obtener ε '. Tabla 4... Valores de θ, ε y ε '. Extradós ε %C θ (rad) ε '

85 Intrados ε %C θ (rad) ε ' q vs e' e q Spline Cúbio Figura Grafia θ vs ε ' del Perfil NACA 44 78

86 Punto 9. Determinar F de la euaión (3..4a). Con los valores de las tablas 4.., 4..5 y 4.. se determina el valor de F. Tabla 4... Valores de F. Extrados Intrados %C F %C F Punto. ( θ + ε ) es determinada en radianes y grados. Con los valores de las tablas 4.. se determinan los valores para Tabla Valores de θ + ε. θ + ε en radianes y grados. Extradós Intrados %C θ + ε (rad) θ + ε ( ) %C θ + ε (rad) θ + ε ( )

87 Punto. sin para α =. Tabla Valores de ( θ + ε + α ) + sin ( α + ) ε T α ( ) ετ α+ετ Extradós Intrados %C sin ( θ + ε + α ) + sin ( α + ) %C sin ( θ + ε + α ) + sin ( α + ) ε T ε T Punto. Tabla Valores de v para V α =. α ( ) ετ α+ετ Extrados %C V Intrados v %C v V

88 Punto 3. Tabla Valores de P para α =. q α ( ) Extrados %C q Intrados P %C P q Finalmente, se obtiene la distribuión de presiones para α = mediante el método de Theodorsen. La Figura 4..7 muestra a manera de ejemplo la distribuión de presiones obtenida mediante la apliaión del método desarrollado en este apitulo. En la siguiente seión se mostraran resultados obtenidos a diferentes ángulos de ataque y serán omparados ontra datos experimentales y métodos omputaionales. 8

89 - Cp vs %C NACA 44 α= %C P/q Spline Figura Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 a partir de la tabla 4.6, mediante el método Theodorsen para un α = 8

90 4. Comparaión de resultados teórios ontra experimentales y omputaionales (XFOIL) de la distribuión de presiones del perfil NACA 44 Las siguientes grafias muestran la omparaión de la distribuión de presiones entre el método desarrollado en el presente trabajo, el software XFOIL v6.94 y datos experimentales [3]. - Cp vs %C NACA 44 α= %C P/q Spline XFOIL (No Visoso) Exp.(Re=3.E6) Figura 4... Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = 83

91 Cp vs %C NACA 44 α= %C P/q Spline XFOIL (No Visoso) Exp. (Re=3.E6) Figura 4... Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = 84

92 -.5 Cp vs %C NACA 44 α= 4 %C P/q Spline XFOIL(No Visoso) Exp.(Re=3.E6) Figura Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = 4 85

93 -4 Cp vs %C NACA 44 α= 8 %C P/q Spline XFOIL(No Visoso) Exp. (Re=3.E6) Figura Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = 8 86

94 Cp vs %C NACA 44 α= %C P/q Spline XFOIL(No Visoso) Exp.(Re=3.E6) Figura Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = 87

95 - Cp vs %C NACA 44 α= 6 %C P/q Spline XFOIL (No Visoso) Exp.(Re=3.E6) Figura Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = 6 88

96 Cp vs %C NACA 44 α= 8 %C P/q Spline XFOIL(No Visoso) Exp.(Re=3.E6) Figura Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = 8 89

97 Cp vs %C - NACA 44 α= %C -7 - P/q Spline XFOIL(No Visoso) Exp.(Re=3.E6) Figura Distribuión de Presiones del Perfil NACA 44 para un α = 9

98 V

99 Conlusiones - Se presentó un método en el ual la veloidad de flujo en ualquier punto a lo largo de la superfiie de un perfil se puede determinar. La veloidad del flujo potenial alrededor del perfil se expresó mediante una fórmula exata y ninguna onsideraión se hizo en el análisis. - En la teoría de perfil delgado iertas aproximaiones han restringido su apliaión solamente para pequeñas urvaturas. Esta araterístia se ha evitado, y los resultados obtenidos tienen una apliabilidad ompleta a perfiles de ualquier urvatura y espesor. - El método Theodorsen ordinariamente usado para alular las distribuiones de presiones en los perfiles, no es lo sufiientemente preiso respeto a los datos experimentales era del borde de ataque omo lo muestran las grafias de resultados para la prediión de los gradientes loales de presión. - La distribuión de presiones era de ualquier perfil puede ser alulada mediante el método Theodorsen, aunque el método es laborioso, los álulos son demasiado largos omo para permitir álulos rápidos y fáiles para un gran número de perfiles. - La preisión del método Theodorsen respeto a los resultados experimentales no aumenta a pesar de la implementaión del método de interpolaión mediante splines úbios. - Un gran defeto del método Theodorsen es la prediión de una veloidad infinita en el borde de ataque. 9

100 VI

101 Referenias y Bibliografia [] Anderson J. D., Fundamentals of Aerodynamis, Third Edition, Ed. M Graw Hill,. [] Carmona A. I. Aerodinámia y Atuaiones del Avión, Ed. Paraninfo, ª Ediion,. [3] ologia.htm (noviembre, 5) [4] Abbott, I.H., Von Doenhoff, A.E., Theory of Wing Setions (Summary of Airfoil Data) Dover, New York, 959. [5] Abbott, I.H., Von Doenhoff, A.E., Stivers L. S. Summary of Airfoil Data, NACA Report [6] Jaobs Eastman N., Ward Kenneth E., Pinkerton Robert M. The Charateristis of 78 related airfoil setions from tests in the variable-density wind tunnel, NACA Report [7] Somers Dan M. President, Airfoils Inorporated, Researh Engineer, NASA Langley Researh Center, Rose Drive, Port Matilda, PA , USA, Telephone: (84) 357-5, Fasimile: (84) , [email protected] (Noviembre 5) [8] Antonio Filippone, The University of Manhester, Dept. Mehanial, Aerospae, Civil Engineering, P.O. Box 88, Manhester M6 QD, United Kingdom, Phone (+44) 6-37 (diret), Fax (+44) 6-373, [email protected], (Noviembre 5) [9] Zingg D. W., Jay Liu P. Y., Kong F. M., Comparison of optimization and inverse design of long-endurane airfoils [] Dahl S. Kristian, Fuglsang Peter. Design of the Wind Turbine Airfoil Family RISO-A-XX, Riso National Laboratory, Roskilde, Denmark, Deember 998 [] Liebek R. H. Design of Subsoni Airfoils for High Lift, Airraft J., Vol.5, No. 9, [] Selig M. S. and Guglielmo J. J. High-Lift Low Reynolds Number Airfoil Design, Airraft J. Vol. 34, No., January-February 997 [3] Bradford E. Green et al. A Method for the Constrained Design of Natural Laminar Flow Airfoils 4th AIAA Applied Aerodynamis Conferene, June 7-, 996, New Orleans, LA 9

102 [4] Eppler R. and Somers Dan M. A omputer program for the design and analysis of low-speed airfoils. NASA TM-8 [5] Eppler R. and Somers Dan M. Supplement to: A omputer program for the design and analysis of low-speed airfoils. NASA TM-886 [6] Wayman T. R. Low Reynolds Number Airfoil Design Using The Eppler Method. AIAA Journal 993 [7] Volpe G., Melnik R. E., The Role of onstraints in the inverse design problem for transoni airfoils, AIAA Journal,, 984,, [8] Volpe G., Melnik R. E., A method for designing losed airfoils for arbitrary superritial speed distributions. Airraft J. [9] Selig, M.S. and Maughmer, M.D. Multipoint inverse airfoil design method based on onformal mapping, AIAA Journal, Vol. 3 No. 5, pp. 6-7, 99 [] Theodorsen, Theodore, Theory of wing setion of arbitrary shape, NACA Report No [] Somers D.M. and Maughmer M.D. Theoretial Aerodynami Analyses of Six Airfoils for Use on Small Wind Turbines. NREL/SR June 3 [] Keith Jepson Jeffrey. Enhanements to the Inverse Design of Low Speed Natural Laminar Flow Airfoils. North Carolina State University. Aerospae Engineering. MS Thesis. 3 [3] Csanady G. T. Theory of Turbomahines. M Graw Hill. 964 [4] Somers D.M. The S94 and S95 Airfoils. NREL/SR January 5 [5] Somers D.M. The S8 and S83 Airfoils. NREL/SR January 5 [6] Gopalarathnam Ashok and Selig M. S. Multipoint Inverse Method for Multielement Airfoil Design, Journal of Airraft, Vol. 35, No. 3, May. June 998 [7] Somers D.M. The S89 Airfoil. NREL/SR January 5 [8] Jaobs, Eastman N.; and Pinkerton, Robert M.: Tests in the Variable- Density Wind Tunnel of Related Airfoils Having the Maximum Camber Unusually far Forward. NACA Rep. 537, 935. [9] Jaobs, Eastman N.; Pinkerton, Robert M.; and Greenberg, Harry: Tests of Related Forward Camber Airfoils in the Variable Density Wind Tunnel. NACA Rep. 6,

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104 VII

105 Evaluaión de la formula ε = π Apéndie π ψ ot ( ϕ ϕ ) Aunque la integral anterior se vuelve positivamente y negativamente infinita alrededor de ϕ = ϕ, es fáilmente verifiable que para ψ finito, durante todo el intervalo π, la integral permanee finita, las tiras infinitas positivas y negativas finitas se anelan exatamente una on otra. El valor de la integral para ualquier punto ϕ puede ser obtenido on exatitud mediante el siguiente dispositivo. Sabemos que si ψ es una funión ontinua y el rango de ϕ a ϕ no es demasiado grande. ϕ ϕ ϕ ( ) sin ϕ ϕ ψ ot dϕ esta eranamente a ψ log A, donde ψ A es el ϕ ϕ ϕ sin valor medio de ψ en el rango de ϕ a ϕ. También era de ϕ = ϕ, podemos esribir ψ' ' ψ = ψ + ( ϕ ϕ ) ψ ' + ( ϕ ϕ ) +... Entones para s una antidad pequeña ϕ s ϕ+ s ψ ot dϕ ϕ s ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) d ϕ = ψ ' ot ϕ+ s dϕ (Ya que las potenias uniformes se omitan y el limϕ otϕ = ) ϕ = 4sψ ' Sea la división del intervalo π en partes, omenzando on ϕ omo punto de referenia. (Ver figura ) Ψ π/5 π/5 π/ Nariz ϕ π Cola ϕ π Nariz Figura. Curva ψ vs ϕ, ilustrando el método de evaluaión de ϕ 94

106 π ϕ 7π ϕ + 5π ϕ a a a π ϕ + 9π ϕ + 3π ϕ,, y π ϕ + 9π ϕ + 3π ϕ a a a 3π ϕ + 9π ϕ π ϕ,,. 3π ϕ + 9π ϕ a a 5π ϕ + 7π ϕ,, 5π ϕ + 7π ϕ a a 7π ϕ + 5π ϕ,, Entones, ε + = π ψ ot ( ϕ ϕ ) 7π sin π dϕ ψ ' + π 5 7π sin ( ψ ψ ) log + ( ψ ψ ) log + ( ψ ψ ) ε 3 π 3 5π sin π ϕ ϕ = ot ψ π ( ) 3 5π sin dϕ [.68ψ ' π ( ψ ψ ) +.4( ψ ψ )] ( ψ ψ ) log + ( ψ ψ ) donde ψ ' es la pendiente de la urva ψ en ϕ = ϕ 3π sin π sin 9π sin log 7π sin 5π sin log 3π sin ( ψ ψ ) +.445( ψ ψ ) π ψ valor de ψ en ϕ = ϕ +, ψ en 5 3π ϕ = ϕ +, etétera. 5 ϕ π = ϕ, ψ en 5 π ϕ = ϕ +, ψ 3 en 5 Para valorar la integral anterior, es, estritamente hablando, neesario onoer ψ omo una funión de ϕ en lugar de θ 6. Tenemos ϕ = θ + ε. Sin embargo, para todos los uerpos planos o de línea de orriente, ε es pequeño; para perfiles ordinarios es, de heho, tan pequeño que ψ ( θ ) puede inondiionalmente ser onsiderado igual a ψ ( ϕ). Sin embargo, por ausa de la exatitud matemátia demostraremos ómo puede ser soluionado el problema para uerpos de ontornos más irregulares mediante las aproximaiones suesivas. Tenemos ψ ( ϕ ) = ψ ( θ ) + εψ' ( θ ) +... Como una primera aproximaión negamos el segundo y todos los términos siguientes de esta expresión. El valor de ε, por lo tanto se obtiene mediante la 6 La euaión para ε es una euaión integral no lineal y para obtener su soluión exata es un tema difíil; afortunadamente debido a la magnitud pequeña de ε, la soluión es alanzable a ualquier exatitud deseada mediante integrales definidas ordinarias. 95

107 integraión gráfia o de otra manera, entones se usa en la expresión para ψ ( ϕ) y una segunda integraión es llevada a abo, etétera. 96

108 VIII

109 Apéndie Evaluaión numéria de la integral e que ourre en la teoría potenial de perfiles arbitrarios de Theodorsen 7 RESUMEN Un más preiso método de evaluar la integral e que ourre en la teoría potenial de perfiles arbitrarios de Theodorsen (Reportes NACA #4 y #45) es desarrollado manteniendo los términos de orden más alto en la expansión de Taylor y mediante el uso de la regla de Simpson. Las formulas son dadas para una rutina de alulo de la integral e y para los oefiientes omputaionales neesarios. Los oefiientes omputaionales son tabulados para una división de 4 puntos en un rango de integraión de a π. Sin algún inremento en el trabajo omputaional el error sistemátio en el valor numério de e es reduido del orden de % a aproximadamente.%. INTRODUCCIÓN La soluión del problema general por medio de la transformaión onforme para el flujo era de un perfil arbitrario (referenias y ), un enrejado simétrio (referenia 3) y un biplano (referenia 4) involura la determinaión de la parte imaginaria de una funión de transformaión ompleja, dada la parte real. Como se muestra en las referenias y la parte real puede ser extendida en una serie de Fourier y la parte imaginaria es la onjugada de la serie de Fourier. También se muestra en estas referenias que la parte imaginaria e puede ser obtenida de la parte real? mediante la siguiente euaión funional: ε π ϕ ϕ' = π () ( ϕ' ) ψ ( ϕ) ot dϕ Esta integral freuentemente ourre en los problemas de transformaión onforme involurando la evaluaión de las funiones sobre un írulo. Un proedimiento para la evaluaión numéria de esta integral es dado en las referenias y. Este método, el ual es atualmente usado en el LMAL, da un error de aproximadamente.5% para una división de 4 puntos de rango de integraión. Por lo tanto, una mejora en la preisión se desea, partiularmente si el trabajo involurado no se inrementa. Un método revisado dado aquí es enontrado para involurar un poo menos de esfuerzo del que previamente era requerido y da un error aproximadamente erano del.%. Las onstantes para el uso de este método más preiso son aluladas y presentadas en la tabla. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL e 7 Traduido del reporte, Irven Naiman, Numerial Evaluation of the ε -integral ourring in the Theodorsen Arbitrary Airfoil Potenial Theory, NACA ARR L4D7a. April 944. Las series de potenias originales fueron extendidas en la traduion a un número mayor de términos on la finalidad de obtener mayor preisión. 97

110 La evaluaión de la integral e es ompliada debido a la disontinuidad ϕ = ϕ '. Esta difiultad puede ser superada mediante una soluión separada a lo largo de la disontinuidad. Cuando s = ϕ ϕ' se sustituye en la euaión () se tiene: ε π ϕ' s π ot ( ϕ' ) = ψ ( ϕ' + s) ds ϕ' o, debido a la periodiidad de esta funión ( ) π s s ' ( ' s) ds ε ϕ = ψ ϕ + π ot () s La disontinuidad ahora ourre en s =. Para propósitos de evaluaión numéria esta integral puede ser separada omo sigue: Donde y ε ε ( ϕ' ) = ψ ( ϕ' + s ) ot ds + ψ ( ϕ' + s) π ( ϕ' ) = ε + ε s π s s s ot ds s s (3) s s ε = ( ' s) ot ds ψ ϕ + (4) π s s π s ( s) ' ot ds ε = ψ ϕ + (5) π s Evaluaión de ε.- La primera integral ε inluye la disontinuidad y el limite s puede ser tomado omo algún valor onveniente pequeño. Mediante una expansión en serie de Taylor la integral es fáilmente evaluada omo sigue: ψ s! s! 3 s 3! ( ϕ' + s ) = ψ ( ϕ' ) + ψ' ( ϕ' ) + ψ' ' ( ϕ' ) + ψ '' ' ( ϕ' ) +... Cuando esta expansión se sustituye en la euaión (4) las integrales ontienen derivadas de igual orden y se enuentra que son idéntiamente igual a ero. La euaión (4) entones se vuelve: s s V s = s ψ ''' 3 s ψ s ε ψ ' s ot ds s ot ds s ot ds (6) π 3! 5! s s s donde las derivadas son evaluadas en es: s ot = s s s 6 36 ϕ '. La expansión de Taylor para 3 s σ 6 ( s ) ot s 98

111 y por lo tanto la euaión (6) se obtiene integrando y sustituyendo omo: ε = 5 s + ψ s s s 3 4sψ '... + s ψ π V 5s s s s VII 7s... + ψ (7) 4 6 s s s ''' s s Evaluaión de ε.- La segunda integral ε (euaión (5)) puede ser reordenada por onvenienia en álulos numérios omo sigue: ε ε ε = = = π π π π ψ s π ψ s π s ( ϕ' + s) ot ds + ψ ( ϕ' + s) s ( ϕ' + s) ot ds + ψ ( ϕ' s) [ ψ ( ϕ' + s) ψ ( ϕ' s) ] s π s s π π s ot ds s ot ds s ot ds (8) donde s ha sido sustituida por s en la segunda integral y los limites han sido reaomodados. MÉTODOS NUMÉRICOS Método de la referenia.- En la referenia el intervalo a π es dividido en n partes iguales en magnitud π n (n es un número par). Los valores de ψ son designados ψ n, ψ,, ψ n +, ψ, ψ, ψ n, donde ψ es el valor de ψ en ϕ = ϕ' y ψ = es el valor en ϕ = ϕ' ± π. Las integraiones se desarrollan n ψ n sobre los intervalos de anho π n on los valores de ψ en el punto medio del intervalo. El rango de integraión para ε es desde s = π n hasta s = π n y π para ε desde π n hasta π. n La primera integral ε es evaluada onservando úniamente los términos de primer orden en s : ε s π 4sψ ' = ψ ' = ψ ' = ψ ' (9) π π πn n donde la pendiente ( ) ϕ = ϕ' s =. ψ ' es determinada gráfiamente en ψ, esto es en 99

112 La segunda integral ε esta ompuesta de la suma de las integrales que ruzan ada intervalo ε = π n k + π n ψ k= k π n ( ϕ' + ) s s ot ds La funión ψ no ambia muho a través del intervalo y por lo tanto es aproximada mediante el uso del valor en el punto medio Entones, k= k+ π n = n s ε ψ ot ds π k k π n k + sin π n ε = ψ k log n π k= k sin π n o, mediante la euaión (8), on ψ n k =ψ k ψ k kπ = ψ ϕ' +. n donde n k= ( ψ ψ ) ε = ak k k () π a a k n k + sin π = log n k sin π n = () La integral ompleta es dada por ε = ε + ε, o n ε = ψ + ( ) a k ψ k ψ k () n π k= Los valores de las onstantes a k en la referenia fueron de n = y en la referenia de n =. Los valores revisados para estas onstantes para n = 4 se proporionan en la tabla. Método mejorado.- Se mostrara una mejora en la preisión numéria de la evaluaión de la integral ε mediante el siguiente método: el intervalo a π es dividido en n partes iguales y los valores de ψ son designados omo en la

113 seión previa. La segunda integral ε es evaluada mediante la regla de Simpson desde ψ hasta ψ n ( ψ =ψ n ). Por lo tanto, el rango de integraión para ε es del doble de grande que el de la seión previa, esto es desde s = π n hasta s = π n. La aproximaión en la que solo el término de primer orden de la euaión (7) es insufiiente y las derivadas más altas deben ser usadas. Estas derivadas deben obtenerse onvenientemente mediante difereniaión numéria. Las formulas de Newton-Stirling para derivadas (referenia 5, p. 75) son 3 5 sψ ' = δψ δ ψ + δ ψ s ψ' ' ' = δ ψ δ ψ +... (3) 4 5 V 5 s ψ = δ ψ... donde s = intervalo tabular ( π n). La diferenia entral media δψ puede ser expresada en términos de los valores tabulares omo δψ δ 3 5 δ ψ = ψ ψ = ψ V = ψ ψ ψ 3 4ψ + ψ + 5ψ ψ 5ψ + 4ψ ψ 3 (4) La sustituión de las relaiones (3) en la euaión (7) resulta ε + δ = ψ 5 π s s s δψ... δ ψ 4 6 s 3s 37s (5) s s s La sustituión adiional de la relaión (4) en la euaión (5) resulta omo

114 ( ) ( ) ( ) = s s s s s s s s s ψ ψ ψ ψ ψ ψ π ε o ( ) ( ) ( ) = ψ ψ ψ ψ ψ ψ ε b b b (6) donde = = = = = s s s b s s s b s s s b s s s b s s s b π π π π π (7) La segunda integral ε es evaluada mediante la regla de Simpson desde ψ hasta n ψ : ( ) = n n n n n n n π ψ π ψ π ψ π ψ π π ε ot... ot ot ot o esrito, mediante la euaión (8), on k k n =ψ ψ

115 donde n = k = k ( ψ ψ ) ε (3) k k k n = 3n a n = 3 = donde (exepto en el primer termino) La integral ompleta es dada por donde n = k= π ot n kπ ot (9) n a = para k impar y a = 4 para k par. ε = ε + ε, o omo sigue k ( ψ ψ ) ε A () k k k A = b + () Los valores de A k para n = 4 se muestran en la tabla. k k PRECISIÓN DE LA EVALUACIÓN La preisión de los dos métodos de evaluaión desritos puede ser determinada integrando varias armónias. Los resultados son presentados omo relaiones de los valores integrados para el valor orreto de manera que un valor de unidad sea una evaluaión orreta. Los valores de esta relaión para las armónias son: Armónia 4 puntos, método de la referenia 4 puntos, presente método

116 Considerando que las armónias más altas generalmente entran en una proporión muho más pequeña que las más bajas para tales ontornos que son enontrados para formas de perfil, el error de los 4 puntos del método de la referenia es del orden de.5%, mientras que el del presente método es aproximadamente del.%. Tabla. Valores de Tabla. Valores de k A k para usar on la euaión () A k n = 4 k A k n = a k para usar on la euaión (); método de las referenias y. k a k n = n = n = REFERENCIAS. Theodorsen, Theodore: Theory of Wing Setions of Arbitrary Shape. NACA Rep.#4, 93. Theodorsen, Theodore and Garrik, I. E.: General Potential Theory of Arbitrary Wing Setions. NACA Rep.#45, Garrik, I. E.: On the Plane Potential Flow Past a Symmetrial Lattie of Arbitrary Airfoils. NACA ARR #4A7, 944 4

117 4. Garrik, I. E.: Potential Flow About Arbitrary Biplane Wing Setions. NACA Rep. #54, Davis, Harold T.: Tables of the Higher Mathematial Funtions. Vol.. The Prinipia Press, In. (Bloomingston, Ind), 935, p. 75 5

118 IX

119 Apéndie 3 Interpolaión Spline Se sabe que se requieren polinomios de un elevado grado para obtener una aproximaión preisa y que estos tienen algunas serias desventajas. Todos tienen una naturaleza osilatoria, y una flutuaión sobre una pequeña porión del intervalo que puede induir grandes flutuaiones sobre todo el rango. Una aproximaión alternativa es dividir el intervalo en una oleión de subintervalos y onstruir un polinomio de aproximaión diferente en ada subintervalo. Esto es llamado aproximaión polinomial por pedazos. La aproximaión polinomial por pedazos más simple onsiste de la unión de un onjunto de puntos dato ( x, f ( x )), ( x, f ( x )),..., ( xn, f ( x n )) mediante una serie de líneas retas. Una desventaja de la aproximaión lineal es que la aproximaión generalmente no es difereniable en los puntos finales de los subintervalos, de manera que la funión de interpolaión no es suave en esos puntos. Es laro que de las ondiiones físias se requiere suavidad, y que la funión de aproximaión debe ser ontinuamente difereniable. Un remedio para este problema es usar un polinomio por pedazos de Hermite. Por ejemplo, si los valores de f y f ' son onoidos en ada uno de los puntos x < x <... < xn, se puede usar un polinomio úbio de Hermite en ada uno de los subintervalos [ x, x ], [ x, x ],...,[ x n, x n ] para obtener una funión de aproximaión que tiene una derivada ontinua en el intervalo [ x, x n ]. Para determinar el polinomio úbio de Hermite adeuado sobre un intervalo H 3 x para ese intervalo. dado, simplemente se alula la funión ( ) Los polinomios de Hermite son omúnmente usados en problemas de apliaión para estudiar el movimiento de partíulas en el espaio. La difiultad on el uso de los polinomios por pedazos de Hermite para problemas de interpolaión en general onierne a la neesidad de onoer la derivada de la funión aproximada. La aproximaión polinomial por pedazos más omún usa polinomios úbios entre pares de nodos y es llamada interpolaión de splines úbios. Un polinomio úbio general involura uatro onstantes; así es que hay sufiiente flexibilidad en el proedimiento de splines úbios para asegurar que la interpolaión tiene dos derivadas ontinuas sobre el intervalo. Sin embargo, las derivadas del spline úbio en general no onuerdan on las derivadas de la funión, inluso en los nodos. Interpolaión de Splines Cúbios Dada una funión f definida entre [ a, b] y un onjunto de nodos, a = x < x <... < x = n b, una interpolaión de splines úbios S, para una funión f que satisfae las siguientes ondiiones: 5

120 j, ( x) (a) Para ada =,,..., n por S j ( x), en el subintervalo [ j, x j +) (b) S j ( x) = f ( x j ) para ada j =,,..., n. () j+ ( xj+ ) = S j+ ( xj+ ) (d) ' j+ ( x j+ ) = S' j+ ( x j+ ) (e) ' ( x ) S' ( x ) S para ada j =,,..., n. S para ada j =,,..., n. S para ada j =,,..., n. ' j+ j+ = ' j+ j+ S es un polinomio úbio, denotado x. (f) Uno de los siguientes onjuntos de ondiiones límite se debe umplir: (i) S ''( x ) S'' ( x ) = (Limite natural o libre) = n f ' x (ii) S '( x ) = ( ) y S ( x ) f '( ) ' = (Limite sujeto). n x n Aunque los splines úbios son definidos on otras ondiiones limites, las ondiiones dadas en (f) son las más usadas en la prátia. Cuando las ondiiones límites naturales se usan, el spline adopta la forma que una vara flexible larga tomaría si se le obligara a pasar por los puntos {( x, f ( x )), ( x, f ( x ),...,( xn, f ( x n ))}. Este spline ontinúa linealmente uando x x y uando x x. En general, las ondiiones límite fijas llevan a aproximaiones más preisas debido a que inluyen más informaión aera de la funión. Sin embargo, para este tipo de ondiión límite, se neesitan valores de la derivada en los puntos finales o una aproximaión preisa de estos valores. Para onstruir la interpolaión de splines úbios para una funión dada f, las ondiiones en la definiión se aplian a los polinomios úbios para ada j =,,..., n. S j ( x) = a + b ( x x ) + ( x x ) + d ( x x ) 3 j j j j j j j Como j ( x ) = a f ( x ) S = j j j se puede apliar la ondiión () para obtener a ( x ) = S ( x ) = a + b ( x x ) + ( x x ) + d ( x x ) 3 j+ = S j+ j+ j j+ j j j+ j j j+ j j j+ j para ada j =,,..., n. Debido a que el termino onveniente introduir una notaión más simple x j+ x j se usa repetidamente en este desarrollo, es h j = x j + x j 6

121 para ada =,,..., n euaión j. También si se define a = f ( ) n x n, entones la se onserva para ada j =,,..., n. De una forma similar, se define b S' ( ) S' implia que S j ( x) = bj resulta j 3 j = a j + bjhj + jhj d jhj a + + (3.) = y se observa que n x n ( x) b + ( x x ) + 3d ( x x ) = (3.) j j j ' para ada j =,,..., n. Apliando la ondiión (d) j j para ada j =,,..., n. Otra relaión entre los oefiientes de j = bj + jhj 3d jhj apliando la ondiión (e). En este aso, para ada j =,,..., n. b + + (3.3) 3 S se obtiene definiendo S' '( x ) j = y j+ = j + d jhj (3.4) Resolviendo para d j en la euaión (3.4) y sustituyendo este valor en las euaiones (3.) y (3.3) resultan nuevas euaiones n n y hj a j+ = a j + bjhj + ( j + j+ ) (3.5) 3 ( ) b (3.6) j+ = bj + hj j + j+ para ada j =,,..., n. La relaión final que involura los oefiientes se obtiene resolviendo la euaión apropiada en la forma de la euaión (3.5) para b j, h b (3.7) j ( a a ) ( ) j = j+ j j + j+ hj 3 y entones, on una reduión del índie, para b j, resulta 7

122 hj ( a a ) ( ) b + j = j j h j j 3 Sustituyendo estos valores dentro de la euaión derivada de la euaión (3.6), uando el índie es reduido por, resulta en un sistema lineal de euaiones 3 3 ( h + h ) + h = ( a a ) ( a a ) h (3.8) j j + j j j j j+ j+ j j j hj hj para ada j =,,..., n debido a que los valores de { h } y { j a } n j= j j de los nodos { x } n j y los valores { f ( x )} n j= j j. Este sistema involura solo { } n j j= n Una vez que los valores de { } n j j= n =. = onstantes { b } de la euaión (3.7) y { } j j= j j= n el polinomio úbio { S ( )} j x j= euaiones que involuren { j } S j omo inógnitas son onoidos por el espaiamiento son determinados, es simple enontrar las n d de la euaión (3.4) y onstruir. En el aso de un spline fijo, se neesitan que aseguren que '( x ) f '( x ) '( x ) = f '( ). En la euaión (3.) se tiene ( ) y n x n Debido a que ahora se onoen bj y d j en términos de j euaión para mostrar que las euaiones apropiadas son S = y S' j x en términos de b j, j d j., se puede usar esta y 3 h + x (3.9) ( a a ) 3 f ( ) h = ' h 3 h. (3.) ( x ) ( a a ) n n + hn n = 3 f ' n n n hn 8