Departamento de Ciencias e Ingeniería de la Computación Lenguajes Formales y Autómatas

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1 Departamento de Cienias e Ingeniería de la Computaión Lenguajes Formales y Autómatas Segundo Cuatrimestre de 2011 Trabajo Prátio N 3 Conjuntos y Relaiones Feha sugerida para finalizar este prátio: 23/09/ Desriba uáles son los elementos de los siguientes onjuntos: A = {x ( y)(y {0, 1, 2} y x = y 3 )} B = {x x N y ( y)(y N y x y)} C = {x x N y ( y)(y N x y)} D = {x x N y ( y)((y es impar) (x y))} E = {x x N y ( y)( z)(y {0, 1} y z {3, 4} y y < x < z)} 2. Sean A = {a, {a}, {{a}}}, B = {a} y C = {, {a, {a}}}, determinar uáles de las siguientes sentenias son válidas. a. B A d. C g. {a, {a}} A b. B A e. C h. B C. C A f. {a, {a}} A i. {{a}} A 3. a) Para A = {x x R y x 2 4x + 3 < 0} y B = {x x R y 0 < x < 6}, probar que A B. b) Probar que si A B, entones B A; y probar que si A B y B C entones A C. ) Probar que para todo entero n 2, se verifia que un onjunto on n elementos tiene n(n 1)/2 subonjuntos on exatamente dos elementos. d) Probar que para todo entero n 3, se verifia que un onjunto on n elementos tiene n(n 1)(n 2)/6 subonjuntos on exatamente tres elementos. e) Para S = {, { }, {, { }}}, enontrar (S); y para S = {a, b}, enontrar ( (S)). f ) Probar que si S tiene n elementos, entones (S) tiene 2 n elementos. g) Probar que si A B, entones (A) (B); y probar que si (A) = (B), entones A = B. h) Probar que si (A) (B) = (A B); y si (A) (B) (A B). i) Probar que si A B = A B, entones B =. j ) Probar que si (A B) (B A) = A B, entones B A =. k) Probar que si C B A, entones A C =. l) Probar que A B si y solo si A B =. m) Probar que (A B) C = A (B C), si y solo si C A.

2 n) Considerando la operaión binaria -diferenia simétria- que se define omo: A B = (A B) (B A) Probar que A B = (A B) (A B) y probar que A B = B A. 4. Cuáles de las siguientes son operaiones binarias ( ) o unarias ( # ) sobre el onjunto S dado? En aso de no serlo, expliar por qué. a) x y = x + 1; para S = N b) x y = x + y 1; para S = N ) ; para S = {1, 2, 3} d) x y = xy (onatenaión); para el onjunto de todas las palabras de longitud finita formadas on las letras en el onjunto {p, q, r} Por ejemplo; ppq qr = ppqqr. e) x # = la reversa de una palabra x; para el onjunto de todas las palabras de longitud finita formadas on las letras en el onjunto {p, q, r} Por ejemplo; ppqrq # = qrqpp. 5. Cuando haemos una onsulta en un busador en la web, obtenemos omo resultado una lista de links asoiados a los parámetros de la búsqueda realizada. Suponga que U es el onjunto de links asoiados a una onsulta por autos usados, F el onjunto de aquellos links asoiados a una onsulta por Ford, B el onjunto de los links asoiados a una onsulta por Buik, y T el onjunto asoiado a una onsulta por truk. Dar una expresión que represente el onjunto de links que se esperaría sean los asoiados a la onsulta: autos usados AND ( Ford OR Buik ) AND NOT truk 6. Considere los siguientes subonjuntos del onjunto de estudiantes de la UNS: D= onjunto de todos los alumnos del DCIC I= onjunto de todos los alumnos de la arrera Ing. en Sistemas de Computaión L= onjunto de todos los alumnos de la arrera Li. de Cs. de la Computaión P = onjunto de todos los alumnos de la arrera Profesorado en Computaión Usando operaiones sobre onjuntos, desribir ada uno de los siguientes onjuntos, en términos de D, I, L y P : a) todos los estudiantes que no son alumnos de la Li. de Cs. de la Computaión b) todos los estudiantes que son alumnos tanto de la Ingeniería omo de la Lieniatura ) todos los estudiantes que son alumnos de la Ingeniería o del Profesorado d) todos los alumnos del DCIC que sólo estudian la Lieniatura e) todos los alumnos que estudian sólo una de las arreras del DCIC 7. Qué signifia que una relaión sea...

3 a)... simétria? b)... transitiva? )... reflexiva? d)... antisimétria? e)... irreflexiva? 8. Considere las relaiones binarias definidas sobre el onjunto de los números enteros, las uales identifiamos on los onjuntos denominados: igual menor menoroigual mayor mayoroigual distinto y que se definen intuitivamente de auerdo a lo que el nombre de la relaión india. Determinar a qué son equivalentes las siguientes expresiones: a) igual menor b) igual menoroigual ) (menoroigual) d) mayoroigual igual e) igual mayor f ) menor mayor 9. Considere las siguientes relaiones, e indique si son 1 a 1, 1 a muhos, muhos a 1, o muhos a muhos. a) EsCapitalDe = {(, p) CIUDADES P ROV INCIAS es apital de p} b) InsriptoEn = {(l, ) LU CARRERAS el alumno on LU l está insripto en } ) Dita = {(p, m) P ROF ESOR MAT ERIAS el profesor p dita la materia m} d) CodMat = {(, m) CODIGOS MAT ERIAS la materia m tiene ódigo } e) Naio = {(f, p) F ECHAS P ERSONAS la persona p naió en feha f} 10. Para ada una de las relaiones enuniadas, indique si verifia las propiedades reflexiva, simétria, transitiva, irreflexiva y antisimétria. a) R = {(x, y) x mod y = 0 y x, y {1, 2, 3, 4}} b) R = {(x, y) md(x, y) = 1} definida sobre los enteros positivos. ) R = {(x, y) x divide a y} definida sobre los enteros positivos. d) R = {(x, y) x 2 = y 2 } definida sobre los reales. e) La relaión Es hermano de definida sobre el onjunto de las personas. f ) La relaión Es padre de definida sobre el onjunto de las personas. g) La relaión si y solo si ( ) definida sobre el onjunto de fórmulas bien formadas del álulo proposiional. 11. Por qué la relaión vaía definida sobre ualquier onjunto es irreflexiva, simétria, antisimétria y transitiva?

4 12. Un instituto dita ursos que pueden ser tomados por ualquiera de sus alumnos. Cada urso es ditado por un profesor. Sea P el onjunto de profesores, C el onjunto de ursos, y A el onjunto de alumnos. Considere la relaión dita que india que un profesor dita un urso y la relaión est omadop or que india que un urso es tomado por un alumno. Qué representa la relaión dita est omadop or? Definir diha relaión. 13. Sea R = {(a, b), (b, ), (, d)} Calular R 2, esto es R R, y alular R 3, esto es R R R. Dar una representaión gráfia para R, R 2 y R Sea R = {(a, b) Z Z a + b es impar)} Calular R 2 y R Para ada una de las siguientes relaiones binarias, hallar la lausura reflexiva r(.), la lausura simétria s(.) y la lausura transitiva t(.). Para el aso de las relaiones R i, onsidere que son relaiones binarias definidas sobre el onjunto de elementos {a, b, }, para el aso de las relaiones Q i onsidere que se definen sobre el onjunto {a, b,, d}. a) R 1 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, )} b) R 2 = {(a, b), (b, ), (, b)} ) R 3 = {(a, b), (b, ), (, a)} d) menor = {(x, y) x, y N, x < y} e) distinto = {(x, y) x, y N, x y} f ) Q 1 = g) Q 2 = {(a, b), (a, ), (b, )} 16. Enontrar la lausura transitiva de R = {(x, y) Z Z x + y es impar}. 17. Enuentre un nombre apropiado para la lausura transitiva de las siguientes relaiones: a) esp adrede = {(p, h) : p es papá de h o p es mamá de h} b) eshijode = {(h, p) : h es hijo de p} ) {(x + 1, x) x N} 18. Para las relaiones R 1, R 2, R 3, Q 1 y Q 2 dadas en el ejeriio 15, a) Mostrar una matriz de adyaenia (también llamada matríz de inidenia) que la represente. b) Mostrar un grafo dirigido que la represente. 19. Suponga que representa una relaión binaria R definida sobre un onjunto S, a través de una matriz de adyaenia. Explique ómo haría para a) hequear si R es reflexiva b) hequear si R es simétria ) hequear si R es transitiva d) alular la matriz asoiada a r(r) (lausura reflexiva) e) alular la matriz asoiada a s(r) (lausura simétria)

5 20. Dados los onjuntos M={LFyA, AM1, ipoo, F1 }, y D={lu, ma, mie, jue, vie} dar una representaión de matries de adyaenia para las siguientes relaiones definidas en D M: a) dr i m si y solo si, en este uatrimestre el día d se dita la materia m para la Ingeniería en Sistemas. b) dr l m si y solo si, en este uatrimestre el día d se dita la materia m para la Lieniatura. Dar una representaión de matriz para R i R l y R i R l 21. Sea G un grafo dirigido ponderado, donde ada tupla (i, j, d) representa un aro de i a j on distania d. G = {(1, 2, 20), (1, 4, 5), (2, 3, 10), (3, 4, 10), (4, 3, 5), (4, 2, 10)} a) Mostrar la matriz de adyaenia del grafo ponderado G. b) Calular las distanias más ortas entre los vérties. 22. Qué propiedades debe umplir una relaión binaria R definida sobre un onjunto S para ser una relaión de equivalenia? 23. (Entrega opional: 19/09/2011) Cuáles de las siguientes relaiones son relaiones de equivalenia? En aso de serlo, probar que efetivamente es una relaión de equivalenia. a) xry x y es par, definida sobre N. b) xry x y es múltiplo de 3, definida sobre Z. ) xry x es impar, definida sobre N. d) xry el número de arateres de x es igual al número de arateres de y, definida sobre el onjunto de todas las adenas (palabras) de longitud finita. e) Sea X un onjunto no vaío ualquiera y una relaión binaria ρ definida sobre (X) omo: AρB si y solo si A B f ) Sea f una funión on dominio A, y R la relaión definida omo: xry si y solo si f(x) = f(y). 24. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Dar dos partiiones diferentes para A y la relaión de equivalenia asoiada a ada una de ellas. 25. Considere una relaión definida sobre N que ontiene los siguiente pares ordenados: (1, 8), (4, 5), (9, 2), (4, 10), (3, 7), (6, 3), (4, 9) Genere, paso a paso, la relaión de equivalenia que puede induirse a partir de esos pares ordenados. IMPORTANTE De auerdo a algunos autores una relaión binaria sobre un onjunto X es un orden parial si es antisimétria y transitiva. Sin embargo, la definiión más ampliamente adoptada de orden parial requiere además que la relaión sea reflexiva. Por lo tanto; deimos que una relaión binaria es un orden parial si es reflexiva, antisimétria y transitiva.

6 26. Dar ejemplos de relaiones binarias definidas sobre onjuntos (i) finitos e (ii) infinitos que umplan on las siguientes propiedades: a) antisimétria, transitiva, no reflexiva y no simétria, b) antisimétria, transitiva, reflexiva y no simétria, ) antisimétria, transitiva, reflexiva y simétria. 27. Cuáles de las relaiones definidas arriba son relaiones de orden parial? Dar los diagramas de Hasse para los asos finitos. 28. Indiar si los siguientes diagramas son diagramas de Hasse de onjuntos parialmente ordenados o no. Justifiar. a) a b) a ) a d) a b b e) a b b d d b f) a d b d g) a h) a e b b 29. Sea P = {f 0, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6, f 7, f 8, f 9, f 10, f 11, f 12, f 13, f 14, f 15 } un onjunto parialmente ordenado representado por el diagrama de Hasse de la figura 1: f 15 f 11 f 13 f 7 f 14 f 9 f 3 f 5 f 10 f 12 f 6 f 1 f 8 f 2 f 4 f 0 Figura 1: Ejeriio 29 a) Dar dos ejemplos familiares de onjuntos parialmente ordenados que se orrespondan on el diagrama de Hasse de la figura 1.

7 b) Para los siguientes subonjuntos de P enontrar (i) los elementos minimales, (ii) los elementos maximales, (iii) el primer elemento (si existe), (iv) el último elemento (si existe). 1) S 1 = {f 1, f 2, f 4, f 8 } 2) S 2 = {f 0, f 1, f 2, f 4, f 8 } 3) S 3 = {f 0, f 2, f 6, f 7, f 15 } 4) S 4 = {f 0, f 6, f 15 } 5) S 5 = {f 0, f 6, f 9, f 15 } 6) S 6 = {f 0, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6, f 7 } ) Definir adena. Es alguno de los subonjuntos S i definidos arriba una adena? Cuántas adenas de 5 elementos hay en P? 30. Sea S = {a, b,..., z} el abeedario, ordenado de la manera usual y sea S el onjunto de todas las palabras posibles de longitud finita formadas on elementos de S. Proponer una relaión de orden parial sobre S que no sea orden total, y proponer una relaión de orden total sobre S. 31. Sea M el onjunto de materias de los dos primeros años de la Ingeniería en Sistemas de Computaión. Considere la siguiente tabla de materias en M on sus respetivas orrelatividades para final: Materia Correlatividad 5912 Elementos de Álgebra y de Geometría 5551 Análisis Matemátio I 5793 Resoluión de Problemas y Algoritmos 3051 Físia I 5551, Lenguajes Formales y Autómatas Introduión a la Programaión Orientada a Objetos 5912, Teoría de la Computabilidad 7713, Análisis Matemátio II Estruturas de Datos 5551, Tenología de Programaión Ténias Digitales Modelos Estadístios para Cienias de la Computaión 7791,5551, Organizaión de Computadoras 7655,7791 Considere la relaión binaria definida sobre M tal que x y si y sólo si x = y o el final de la materia x debe ser aprobado antes de rendir el final de la materia y. a) Mostrar que define una relaión de orden parial sobre M y dibujar el diagrama de Hasse orrespondiente a M y. b) Dar tres órdenes topológios para M (es deir, mostrar tres ordenes en que las materias pueden ser rendidas de tal manera que se satisfagan las ondiiones de orrelatividad). ) Cuales son los elementos minimales de M y uáles los maximales? Existe primer elemento? Existe último elemento? d) Enontrar todas las adenas de M de longitud mayor a dos. 32. Considerando la tabla de tareas dada:

8 a) Construir un diagrama de PERT a partir de la tabla dada. b) Enontrar el amino rítio y determinar el tiempo mínimo requerido para ompletar todas las tareas. ) Mostrar un ordenamiento topológio para las tareas. Tarea Pre-requisito Tiempo 1. Piar la ebolla Lavar la lehuga Preparar el aderezo Freír Condimentar la ensalada 2, Cortar el pollo ninguna Rallar el jengibre Piar el repollo Marinar el pollo Calentar la sartén 1,7,8, Preparar el arroz ninguna Una relaión de orden se die bien fundada si toda adena desendente de elementos es finita. Sea S el onjunto de palabras definido en el ejeriio 30. Supongamos que para w 1, w 2 S definimos w 1 w 2 si y sólo sí el número de a s en w 1 es menor que el número de a s en w 2 o w 1 = w 2. Mostrar que define un orden bien fundado sobre S. 34. Definir retíulo inferior, retíulo superior, y retíulo. Determinar uáles de los diagramas de Hasse del ejeriio 28 representan retíulos inferiores, retíulos superiores, y uáles retíulos. Justifiar. 35. Definir elemento irreduible y elemento primo de un retíulo. Identifiar los elementos irreduibles y los elementos primos del retíulo de la figura 1 justifiando adeuadamente ada aso. 36. Considere los diagramas de Hasse de la figura 2: a) Señalar uáles representan retíulos inferiores, uáles retíulos superiores y uáles retíulos. Luego para aquellos diagramas que representan retíulos, marar los elementos irreduibles. Justifiar. b) Determinar si para alguno de los retíulos los elementos primos NO oiniden on los elementos irreduibles. Justifiar. ) Mostrar un retíulo de ino elementos diferente a los dados en la figura 2 tal que los elementos irreduibles NO oinidan on los elementos primos. Justifiar. 37. Probar que el onjunto de los números naturales ordenados on la relaión divide es un retíulo. 38. Probar que un onjunto ordenado es una adena si y sólo si todos sus subonjuntos son retíulos.

9 Figura 2: Ejeriio 36