Fórmula integral de Cauchy

Transcripción

1 Fórmula integral de Cauhy Fórmula integral de Cauhy. Si una funión f es analítia en una región que ontiene a urva simple errada y a su interior, entones para ada punto z 0 enerrado por, dz = 2πi f(z 0 ) z z 0 En partiular, los valores de una funión que es analítia en el interior de una urva están determinados por los valores de la funión en. Demostraion. Observar que la funión z z 0 es analítia en todos los puntos del interior de exepto z 0, por lo tanto si r es un írulo de radio r entrado en z 0 entones dz = dz z z 0 z z 0 Ahora basta probar que f(z 0 ) dz = dz z z 0 r z z 0 porque ya sabemos que f(z 0 ) r r r z z 0 dz = 2πi f(z 0 ) Veamos entones que r f(z 0 ) f(z 0 ) dz dz = dz = 0 z z 0 r z z 0 r z z 0 Como es ontinua en z 0, para ada ɛ > 0 existe δ > 0 tal que f(z 0 ) < ɛ si z z o < δ Asi que si r < δ entones f(z 0 ) dz ɛ 2πr = 2πɛ r z z 0 r Como esto vale para todo ɛ tomando r sufiientemente pequeño y el valor de la integral no ambia al disminuir el r, la integral debe valer 0.

2 Ejemplos. os(z) es analítia en todo el plano, asi que si es el irulo on entro en 0 y radio mayor a, os(z) os(z) dz = 2πi os(0) = 2πi dz = 2πi os() i z z os(z) z i Cuanto valen las integrales de la funión z(z ) ei i + e i i dz = 2πi os(i) = 2πi( ) = π(/e + e)i 2 en todas las urvas simples erradas o.p en C? Si no enierra a 0 ni a entones z(z ) es analitia en el interior de y z(z ) dz = 0 Si enierra a 0 pero no a, entones z z(z ) dz = es analítia en el interior de y z z dz = 2πi 0 = 2πi Si enierra a pero no a 0, entones z es analítia en el interior de y z(z ) dz = z z dz = 2πi = 2πi Si enierra a 0 y a, entones la integral a lo largo de es la suma de las integrales a lo largo de una urva 0 que enierra solo a 0 y de otra urva que enierra solo a, asi que z(z ) dz = dz = 2πi + 2ıi = 0 0 z(z ) dz + z(z ) Problemas. Si es el írulo on entro en 0 y radio 3 (orientado positivamente) alula z 3 + z 2 + z + z 3 + z 2 + z + z 3 + z 2 + z + dz dz z z + 2 z + 2. Calula, para la misma, z 2 + dz sen(z) z 2 dz 3. Calula, para todas las urvas simples erradas (orientadas positivamente) en C, z(z )(z + 2) dz dz 2

3 Derivadas de las funiones analítias. La fórmula integral de Cauhy die que si es analítia en una urva y en su interior, entones para ada punto z en el interior de = 2πi ζ z dζ Observar que para que la integral del lado dereho tenga sentido no hae falta que la funión f sea analítia, ni que la urva sea errada, basta que f este definida y sea ontinua en. Afirmaión. Si es ualquier funión que esta definida y es ontinua en una urva entones la funión g(z) = 2πi ζ z dζ es analítia en todos los puntos de C y g (z) = 2πi (ζ z) 2 dζ Demostraión. Por definiión, si w, z C, Falta ver que g(w) g(z) w z g (z) = lím w z g(w) g(z) w z = 2πi(w z) lim w z si es que este limite existe. ζ w ζ z dζ = 2πi (ζ w)(ζ z) dζ = (ζ z)(ζ z) dζ La diferenia entre las integrales es (ζ w)(ζ z) dζ = (ζ z)(ζ z) (ζ w)(ζ z) dζ w z dζ (ζ w)(ζ z) 2 Sea L es la longitud de y sea M una ota superior para la norma de los valores de en. Si la distania mínima de z a los puntos de es d y la distania de w a z es menor que d/2 entones w z (ζ w)(ζ z) 2 dζ w z 2 d M L d2 y esta útima antidad tiende a 0 uando w z 0. 3

4 Afirmaión. La derivada de la funión g(z) también es analítia y g (z) = 2 2πi (ζ z) dζ 3 Demostraión. Ya sabemos que g(z) es derivable y que g (z) = f(ζ dζ asi que 2πi (ζ z) 2 g (w) g (z) = w z 2πi(w z) (ζ w) 2 (ζ z) 2 dζ = ζ w + ζ z 2πi (ζ w) 2 dζ (ζ z) 2 Falta ver que lim w z ζ w + ζ z 2 (ζ w) 2 dζ = dζ (ζ z) 2 (ζ z) 3 La diferenia de estas dos integrales es (ζ w + ζ z)(ζ z) 2(ζ w) 2 (ζ w) 2 (ζ z) 3 dζ = (3ζ z 2w)(w z) (ζ w) 2 (ζ z) 3 dζ Sea L la longitud de y sea M una ota para los valores de en. Si la distania mínima de z a los puntos de es d y la distania maxima es D y si w dista de z menos que d/2 entones (ζ z + 2ζ 2w)(w z) 4D w z (ζ w) 2 (ζ z) 3 dζ M L 4 d2 d 3 y esta útima antidad tiende a 0 uando w z 0. Se puede demostrar por induión que la funión g(z) tiene derivadas de todos los ordenes y que g (n) (z) = n! dζ 2πi (ζ z) n+ Ejemplo. Si es el írulo on entro en 0 y radio, entones os(z) os(z) dz = 2πi os(0) = 2πi z z 2 dz = 2πi os (0) = 0 os(z) z 3 dz = 2πi 2 os (0) = πi 4

5 Las fórmulas integrales para las derivadas de g tienen muha apliaiones, pero basta saber que la segunda derivada de g existe para obtener el siguiente resultado, que muestra uan distintas son las funiones difereniables reales de las funiones difereniables omplejas: Teorema. Si una funión f es analítia en una región A entones la derivada de f tambien es analítia en A. Por lo tanto f es infinitamente difereniable y sus derivadas son funiones analítias en A. Demostraión. Para ada z A elijamos una urva simple errada que enierre a z y uyo interior este ontenido en A. Por la fórmula integral = ζ z dζ y por las dos afirmaiones anteriores esta funión es derivable al menos dos vees, asi que f (z) es analítia. Entones el mismo argumento apliado a f (z) muestra que f (z) es analitia, y apliado a f (z) muestra que F (z) es analítia, et. Problemas 4. Si es un írulo on entro en el origen y radio menor que π, alula 2 z os(z) dz z 2 os(z) dz z 3 os(z) dz 5. Calula e z z n dz para n N donde es una urva simple errada (orientada positivamente) que enierra al origen. 6. Muestra que si es analítia en una región simplemente onexa A, entones para toda urva simple errada en A, y todo z 0 en el interior de, f (z) dz = z z 0 (z z 0 ) dz 2 5

6 El Teorema de Cauhy-Goursat die que si una funión es analítia en una región simplemente onexa A, antones dz = 0 para todas las urvas erradas en A. El siguiente resultado muestra que el reiproo tambien es ierto, sin importar si la región es simplemente onexa: Teorema de Morera. Si es una funión ontinua en una región A y todas las integrales de f en urvas erradas en A valen 0, entones f es analítia en A. Demostraión. Para ada z en A hay una urva errada que enierra a z y y uyo interior este ontenido en A. Como todas las integrales de en urvas erradas son 0, el teorema de independenia de la trayetoria die que tiene una antiderivada F (z) en el interior de. Como F (z) es analítia entones por el teorema anterior F (z), que es igual a, tabién es analítia. El siguiente resultado die que las funiones omplejas no pueden tener pios aislados, omo suede on la funión valor absoluto en R, que es ontinua en todo R y es derivable en todos los puntos de R menos el 0. Corolario. Si una funión es ontinua en una región A y es analítia en A z 0, para un z 0 en A, entones f es analítia en todo A. Demostraión. Basta ver que f es analítia en un diso D alrededor de z 0. Para esto basta mostrar que para ada urva poligonal errada P en D, P dz = 0. Si el interior de P no ontiene a z 0 entones la integral es 0 por el Teorema de Cauhy-Goursat. Si z 0 está en el interior de P, y es un uadrado de lado ɛ alrededor de z 0, entones dz = dz P 6

7 ya que la región que queda entre P y es la unión de 4 regiones aotadas por poligonos P, P 2, P 3 y P 4 y la integral de f en ada P i es 0. Ahora omo f es ontinua en z 0, existe una ota superior M para los valores de f era de z 0 y dz M (longitud de ) = M ɛ Si haemos ɛ 0, entones dz 0, pero la integral no depende del tamañ0 de, asi que la integral debe ser 0. Desigualdades de Cauhy. Las fórmulas integrales de Cauhy dien que si es una funión analítia en una región A y R es un írulo on entro en z y radio r totalmente ontenido en A, entones las derivadas de f en z satisfaen f (n) (z) = n! 2πi r Asi que si M es una ota superior para f en r, f (n) (z) = n! 2π r dζ (ζ z) n+ (ζ z) dζ n! n+ 2π M n! 2πr = rn+ r M n Estas son las desiguladades de Cauhy, de las que veremos algunas apliaiones. Observar que existen muhas funiones reales que son infinitamente difereniables y son aotadas en todo R, por ejemplo f(x) = sen(x). Esto no puede ourrir on las funiones difereniables omplejas: Teorema de Liouville. Si f una funión entera (es deir, analítia en todo C) y existe una onstante M tal que M para toda z C, entones f es onstante. Demostraión. Para ada z C tomemos un írulo de radio r on entro en z, entones por la primera desigualdad de Cauhy f (z) M r. Como f es analítia en todo C, podemos haer r y obtenemos que f (z) = 0. Asi que f (z) = 0 para todo z C y por lo tanto es onstante. Un orolario del Teorema de Liouville es el siguiente: 7

8 Teorema Fundamental del Algebra. Cada polinomio omplejo P (z) = a n z n a z + a 0 de grado mayor que 0 tiene al menos una raíz ompleja. Demostraión. Supongamos que existe un polinomio P (z) que es distinto de 0 para todo z C. Entones = P (z) es una funión entera. Por el Teorema de Liouville, basta demostrar que es aotada para que sea onstante y por lo tanto p(z) sea onstante, que es una ontradiión porque p(z) tiene grado al menos. Para ver que es aotada, observar que lim z p(z) =, así que existe un r tal que p(z) > para todo z on z > r. Además, omo p(z) es una funión ontinua, alanza un valor mínimo m en el diso errado on entro en 0 y radio r. Si este mínimo fuera 0, habria un punto z 0 tal que p(z 0 ) = 0 y entones p(z 0 ) = 0. Por lo tanto p(z) min{, m} asi que p(z) max{, m }. Corolario. Todo polinomio omplejo se fatoriza omo un produto de fatores lineales. Demostraión. Si un polinomio P de grado n tiene una raíz en z entones P (z) es divisible por z z, asi que P (z) = (z z )P (z) para un polinomio P de grado n. Ahora P tiene una raiz en z 2, por lo tanto P (z) = (z z 2 )P 2 (z) donde P 2 es un polinomio de grado n 2. Asi llegamos por induión a que P (z) = (z z )(z z 2 )... (z z n ). Problemas 7. Demuestra que si f es analítia en una región A y z 0 es un punto de A, entones la funión g definida omo g(z) = f(z 0) z z 0 para z z 0 y g(z 0 ) = f (z 0 ) es analítia en A. 8. Si es analítia en A y f(z 0 ) = 0 para algún z 0 en A, entones = (z z 0 )g(z) donde g(z) es una funión analítia en A. Hint: problema anterior. 9. Demuestra que si es una funión entera y lím z z = 0 entones es onstante. 0. Demuestra que si f es una funión entera y M z n para alguna onstante M, entones es un polinomio de grado a lo mas n. Hint: desigualdades de Cauhy.. Si p(z) = z n + a n z n + + a 2 z 2 + a z + a 0 entones todas las raies de p están dentro del írulo de radio R = max{, a 0 + a + a a n }. 8

9 Prinipio del módulo máximo Teorema del valor medio de Gauss. Si f es una funión analítia en un diso D, el valor de f en el entro de D es el promedio de los valores de f en la frontera de D. Demostraión. Si z 0 es el entro de D y es su frontera, entones por la fórmula integral de Cauhy f(z 0 ) = dz 2πi z z 0 y si parametrizamos a omo (t) = z 0 + re it para 0 t 2π entones f(z 0 ) = 2πi 2π 0 f((t)) (t) z 0 ) (t) dt = 2πi 2π 0 f(z 0 + re it ) re it ire it dt = 2π 2π 0 f(z 0 + re it ) dt Corolario. Sea es una funión analítia en un diso D on entro en z 0. Si f(z 0 ) para todo z en la frontera de D, entones = f(z 0 ) para todos los puntos de D. Demostraión. Sea un írulo entrado en z 0 y ontenido en D. Si f(z 0 ) para toda z en, entones por el teorema del valor medio f(z 0 ) = 2π f(z 0 + re it ) dt 2π f(z 0 + re it ) dt 2π 2π 2π f(z 0) 2π = f(z 0 ) 0 0 Si f(z ) < f(z 0 ) para algun z entones, omo f es ontinua, < f(z 0 ) en una veindad de z y la segunda desigualdad sería estrita, lo que es imposible. Por lo tanto = f(z 0 ) para toda z, y esto vale para todos los írulos entrados en z 0, asi que = f(z 0 ) para toda z D, asi que el módulo de la funión f es onstante en todo D. Afirmaión: Las únias funiones analítias on módulo onstante son las funiones onstantes. Hay varias maneras de probar esto, una es usando las euaiones de Cauhy-Riemann: Si f = u + iv entones f 2 = u 2 + v 2. Si f es onstante entones f 2 es onstante y sus derivadas pariales son 0. Por Cauhy-Riemann 2uu x + 2vv x = 0 2uu y + 2vv y = 0 u x = v y u y = v x entones podemos ombinar las igualdades anteriores para obtener u(u 2 x + v 2 x) = 0 v(u 2 x + v 2 x) = 0 Asi que u = v = 0 o u 2 x + vx 2 = 0 pero entones u x = v y = 0 y v x = u y = 0, asi que u = v = 0, por lo tanto f = 0. 9

10 Prinipio del módulo máximo. Si es una funión analitia no onstante en en una región onexa A, entones no puede alanzar su valor máximo en el interior de A. Demostraión. Supongamos que existe un z 0 en el interior de A tal que f(z 0 ) para todo z en A. Si w es ualquier otro punto de A, entones hay una adena de disos D 0, D,..., D n en A de modo que el entro de D 0 es z 0, el entro de D n es w, y el entro z i del diso D i está ontenido en D i. Por el orolario anterior, omo alanza un máximo en z 0, entones es onstante en D 0. Como z D 0, alanza un máximo en z y por lo tanto es onstante en D. Como z 2 D, alanza un máximo en z 2 y por lo tanto es onstante en D 2, y asi llegamos finalmente a que es onstante en todos los D i y por lo tanto f(w) = f(z 0 ) El siguiente teorema muestra que una funión analítia que mapea a D 2 = {z C z < } en si mismo fijando su entro, no puede estirar al entro del diso mas que la identidad. Lema de Shwartz. Si f es una funión analítia que envía D 2 a D 2 y fija al origen entones f (0) y z para ada z en el diso. Ademas, si f (0) = o si hay un z 0 0 tal que f(z 0 ) = z 0 entones = az, a =. 0

11 z if z 0 Demostraión. Definamos g(z) = f (z) si z = 0 Por un ejeriio anterior g es analítia en el diso. Como f envía el diso en el diso, < para toda z en D 2, Si z es un punto de D 2 on z < r <, entones por el prinipio del módulo máximo g(z) sup w =r g(w) sup w =r f(w) /r /r Haiendo r, obtenemos g(z) para todo z en D 2, es deir, g(0) = f (0) y z. Si f (0) = o si hay un punto z 0 0 en el interior de D 2 tal que f(z 0 ) = z 0 entones g(z) alanza su valor máximo en el interior de D 2 y por el prinipio del módulo máximo g(z) debe ser onstante, i.e., z = a, asi que = az, y omo f (0) =, a =. Ejemplo. Dados dos puntos en el interior del diso unitario D 2, existe una funión analítia y biyetiva de D 2 en D 2 que envía uno al otro. Para ver esto basta ver que para ada en el interior de D 2, hay una funión así que envía 0 a : r(z) = z+ z+. Corolario. Todas las funiones analítias y biyetivas de D 2 en D 2 son de la forma az+ a z+, donde a y son omplejos on a = y <. Demostraión. Dada una funión analítia f de D 2 en D 2, si f(0) =, podemos omponerla on la funión inversa de r(z) = z+ z+. La omposiión g = r f envía D 2 a D 2, envía 0 a 0, y umple g(0) = 0. Además, omo g y g son funiones analítias de D 2 en D 2 que mandan 0 a 0, g (0) y (g ) (0), pero (g ) (0)g (0) = (g g) (0) = (id) (0) =, asi que g (0) = y por lo tanto g debe ser una rotaión: r = az así que = r(az) = az+ az+ Problemas 2. Cual es el promedio de la funión /z en el írulo on entro en 2i y radio r, si r < 2? Puedes hallar el promedio si r > 2? 3. Enuentra el módulo máximo de las siguientes funiones: z 2 z en el diso z sen(z) en [0, 2π] [0, 2π]. 4. Demuestra que si una funión es analítia en una región A y 0 en A, entones no puede tener un mínimo en el interior de A. 5. Demuestra que si f es una funión analítia y biyetiva del diso D = {z z < } a una región A, entones la distania de f(0) a la frontera de A es a lo mas f (0).

12 Algunas propiedades de las funiones armónias Las funiones armónias apareen en las soluiones de muhos problemas de físia, on el nombre de funiones poteniales. Por ejemplo, dada una distribuión de argas elétrias en un onjunto de puntos del plano, el potenial eletrio resultante en el resto del plano es una funión armónia en el omplemento de. Reordar que las funiones armónias en dos variables son las funiones u : A R 2 R que son 2 vees difereniables y satisfaen u = 2 u + 2 u = 0. x 2 y 2 Teorema. Cada funión armónia en una región simplemente onexa A del plano es la parte real de una funión analítia en A. Demostraión. La funión g = u x iu y es analítia en A porque satisfae Cauhy-Riemann: (u x ) x = u xx = u yy = ( u y ) y y (u x ) y = u xy = u yx = ( u y )x Como g es analítia en A, que es simplemente onexa, g tiene una antiderivada f = p + iq en A. Ahora por un lado f = g = u x iu y y por otro f = p x + iq x = q y ip y asi que p x = u x y p y = u y por lo tanto u = p + para una onstante, asi que u es la parte real de f +. Corolario. Las funiones armónias son infinitamente difereniables. Teorema. Si u es una funión armónia en un diso D, el valor de u en el entro de D es igual al promedio de los valores de u en la frontera de D. Demostraión. Sea v funión armónia tal que u y v son las partes real e imaginaria de una funíon analítia f en D. Por el teorema del valor medio de Gauss el valor de f en el entro de D es el promedio de los valores de f en la frontera de D, asi que la parte real en el entro es el promedio de las partes reales en la frontera (y la parte imaginaria es el promedio de las partes imaginarias). Teorema. Si u es una funión armónia no onstante en una región A, entones u no puede alanzar un valor máximo en el interior de A. Demostraión. Si z 0 es un punto en el interior de A y v es una onjugada armónia de u en una veindad V de z 0, onsiderar la funión = e u+iv. Entones f es analítia en V y omo = e u no puede alanzar un máximo en z 0, entones u no puede alanzar un máximo ahi. 2

13 Las funiones armónias también sirven para desribir a las superfiies mínimas, que son modelos matemátios de las pelíulas de jabón. El Problema de Dirihlet: Dada una funión ontinua f en la frontera de una región A del plano, hallar una funión armónia u en A que sea ontinua y oinida on f en A. En el plano, el aso mas senillo es uando la frontera de la región es una urva. Si la urva es un írulo, hay fórmulas explíitas para hallar u a partir de f, pero en general, hallar la soluiones es muy difíil. Teorema. Si el problema de Dirihlet tiene soluión en una región aotada A, la soluión es únia. Demostraión. Supongamos que u y u 2 fueran dos funiones armónias en el interior de A que oiniden en A. Entones u = u u 2 es armónia en el interior de A y u es 0 en A. Como u es ontinua A A, que es un onjunto errado y aotado, u debe alanzar un valor máximo y un valor mínimo en A A. Pero u no puede alanzar su valor máximo ni su valor mínimo en el interior de A, asi que debe alanzarlos en A, pero ahi ambos son 0, por lo tanto u debe ser identiamente 0 en A, asi que u = u 2. Problemas 6. Demuestra que si u es una funión armónia no onstante en una región A, entones u no puede alanzar un valor mínimo en el interior de A (ojo: u puede valer 0 y tambien puede tomar valores negativos). 7. Demuestra que si una funión u es armónia en todo el plano y u es aotada inferior o superiormente, entones u es onstante. Hint: Si v es una onjugada armónia de u, onsidera la funión e ±(u+iv). 3