SECCIÓN 2: CÁLCULO DEL GOLPE DE ARIETE

Transcripción

1 SECCIÓN : CÁCUO DE GOPE DE ARIETE CÁCUO DE GOPE DE ARIETE SEGÚN AIEVI El impato de la masa líquida ante una válvula no es igual si el ierre es instantáneo o gradual. a onda originada no tendrá el mismo omportamiento, por ello distinguimos entre ierre instantáneo y gradual ierre instantáneo Como sabemos, al errar una válvula se produe una sobrepresión p. El aumento de presión viene produido por la fuerza que ada una de las rebanadas de la masa líquida van ejeriendo en las ontiguas al esar su veloidad. a fuerza originada vale: F S Dp por otra parte tendrá que verifiarse que el impulso meánio habrá de ser igual a la variaión de la antidad de movimiento de la masa líquida omprimida, m ñ.s., al pasar de una veloidad V a otra menor V y para el aso de ierre instantáneo es V 0 F.t m. V durante el tiempo que en el tramo de longitud de tubería, tarda en detenerse el fluido, on la veloidad o eleridad. S Äp Ä ñ S V p ρ..v valor máximo en el golpe de ariete Äp H ρ g V g - ierre gradual En un ierre gradual se invierte ompletamente la válvula. un tiempo (no instantáneo) hasta errarse a diferenia on el ierre instantáneo estriba en que el ierre gradual uando la onda ha reorrido una distania, es deir, ha ido de B hasta A y vuelve, puede ourrir que la válvula no esté todavía errada, depende del tiempo T de ierre y de la longitud de la onduión. Página 1 de 1

2 Una onduión larga puede tener el mismo omportamiento ante el golpe de ariete que una orta on menos tiempo de ierre. Por tanto, abe hablar de ierre rápido o ierre lento lo que equivale a distinguir entre onduión larga o orta. T <, ierre rápido a >.T onduiónlarga T <, ierre lento a <.T onduión orta para el aso de ierre rápido, estaríamos en el aso de apliar la misma expresión que en el ierre instantáneo. VEOCIDAD DE A ONDA EN E GOPE DE ARIETE Si la tubería fuese rígida (inelástia) y el fluido inompresible, al errar instantáneamente la válvula la veloidad de propagaión de la onda seria infinita. En efeto, al errar en B, no hay posibilidad de que ontinue entrando por A líquido en la tubería. El audal sería nulo, on lo que. Si la tubería fuera rígida y el fluido ompresible, la eleridad de la onda tendrá el valor la veloidad del sonido en ese fluido. Aunque se haya errado la válvula en B, omo el líquido es ompresible, sigue entrando audal. Ninguno de los anteriores asos es real, el fluido siempre es ompresible y la tubería elástia. Por tanto, la veloidad de propagaión de la onda será menor que la veloidad del sonido en el fluido. a eleridad de la onda en tuberías viene definida por la fórmula de Joukowski 1+ k ρ k. D E.e k módulo de elastiidad del fluido; ρ densidad del fluido; D diámetro de la tubería; E módulo de elastiidad del material onstitutivo de la tubería y e espesor de la tubería. Página de

3 El valor del numerador se orresponde on el valor de la veloidad del sonido en el propio fluido. Si E orrespondiese a un material inelástio E, el denominador de la expresión anterior valdría la unidad, quedaría k, valor que se obtendría para una tubería inelástia ρ y por tanto no real, la eleridad real será inferior. a llamada fórmula de Allievi, para el álulo de la eleridad de la onda en el golpe de ariete, no es más que una partiularizaión de la fórmula de Joukowski. a veloidad del sonido en el agua tiene un valor de 145 m/s, y su módulo de elastiidad es k, N/m, a la temperatura de 10 ºC. a fórmula anterior queda simplifiada, la llamada fórmula de Allievi para el agua: 9900 â D 48,3 + e siendo â un valor adimensional igual a /E. En la tabla 1 se reogen módulos de elastiidad E y valores de β, de algunos materiales. Tabla 1 Valores de b en la fórmula de Allievi Material E módulo de elastiidad Kp/m b Aero ,5 Aluminio ,43 Fundiión dútil ,50 Fundiión laminar Hormigón Plomo Polietileno alta densidad (HDPE) ,11 Polietileno baja densidad (DPE) PVC ,33 Página 3 de 3

4 PRESIONES MÁXIMAS Atendiendo a la lasifiaión anterior, en ierre gradual, abe distinguir los asos de: ierre rápido y lento. Analiemos uales son las presiones máximas originadas por un golpe de ariete, para onoer on exatitud los diferentes valores que pueden presentarse, on el fin de onsiderar el material o timbraje de las tuberías a emplear. En el ierre instantáneo la presión máxima vendría dada por el valor que obtenga en la fórmula de Allievi, sea ual fuese la longitud de la onduión. Cierre instantáneo Cuando el ierre es instantáneo, en B (fig. 9.) se alanza el valor máximo del golpe desde el prinipio, t 0, y se mantiene durante t / omo se observa en la fig. 9.1 P Äp. 0 / / t fig. 9.1 Cierre rápido En el ierre gradual, el golpe aparee en B gradualmente alanzándose el punto de valor máximo en el instante T final del ierre, uando t T manteniéndose hasta t /. En la gráfia (fig. 9.13) se apreian las líneas piezométrias (P) de dos asos diferentes de ierres de válvulas, on distintos tiempos. Äp ρ..v fig T T / t Página 4 de 4

5 El primer ierre T es menor que / y el segundo mayor. En ambos asos se alanza el valor máximo del golpe p ρ V. Es lo que aontee en B, en el resto de la onduión, en ada instante, ada seión tendrá un valor de Äp. Sus P, nos indiarán el valor de ellas, valor para el que elegiríamos el timbraje de nuestra tubería. Estableemos uatro intervalos arbitrarios de tiempo (fig. 9.14). El tiempo total de ida y vuelta de la onduión es /, podrían ser los siguientes intervalos: 0 < T < /; / < T < / ; / < T < 3/; 3/ < T < / Estudiemos el primer aso, 0 < T < /, se ierra la válvula antes de que la onda llegue a la mitad de la onduión /. A 4 3 K 1 H H H H H Q B 1 M P B fig a línea naranja es la P antes de errar la válvula. as líneas 1 y indian la presión en los instantes t T y t / respetivamente. En el tramo AM antes del instante t /, la presión es la línea naranja. Igualmente en el tramo AP, antes del instante t T. Cuando t 0, onforme se va errando la válvula van apareiendo en B inrementos de presión, on sus ondas que los transmiten. Cuando se ierra la válvula, esto es, uando t T, en B se produe el último inremento de presión. En ese momento, esta última onda se dirige haia B, pero en P se enuentra la primera onda.. Observemos que uando la primera onda alanza el punto medio, el inremento de presión de la última no ambia, ya que la válvula esta errada. o que si ambia es la presión en ada instante, las pérdidas de arga van disminuyendo. Véase las líneas de puntos omo ada vez son menores hasta llegar a B 1. Página 5 de 5

6 a línea 3 presenta la P orrespondiente al instante t /. Una parte de la línea va asendiendo desde A, otro tramo horizontal, hasta la vertial sobre B. El tramo horizontal evidentemente tiene la misma presión. a línea asendente es el orrespondiente al tiempo que tarda en errarse la válvula, al errarse, el valor de la presión es el mismo. a presión puede seguir aumentando, aún existen pérdidas de arga. a P, llegará a tener un valor máximo, en uanto no existan pérdidas en el onduto, (por que el onduto a reorrer por el audal es nulo). Al tiempo total que transurre desde que se empieza a errar la válvula hasta el momento en que la P es máxima se llama tiempo rítio, la P máxima, sería el teho de presiones, ourrirá uando no existan pérdidas de arga. En el instante t / la primera onda se enuentra en A y la última se enuentra en Q. a distania AQ PB, uando la primera onda llega a P, ha transurrido un tiempo t T, la válvula ya se ha errado on lo ual la última onda se aaba de produir. a distania entre la primera y la última será PB. Por ello, uando la primera onda llega a A, la última tiene que estar una distania por detrás de valor PB. Esto signifia que AQ PB. a primera onda estabilizadora arrana de A haia B y la última onda ontinua su amino. Al ser la eleridad la misma se enontraran en el punto medio de AQ. Este punto es K, es el punto ritio. A partir de aquí se ompensan ambas ondas y la presión disminuye linealmente hasta A. Existe una distania rítia, longitud ritia, la presión va del valor máximo, según la euaión de Allievi, al valor ero. Esta longitud es mas pequeña uanto mas rápido es el ierre, siendo nula en el ierre instantáneo. El golpe es el mismo que en el ierre instantáneo, en el ierre instantáneo el valor del golpe es el mismo en toda la onduión, hay un tramo a partir de A en el ual la presión va de ero al valor máximo. Si este tramo es muy largo se podría diseñar la tubería on distintos materiales o distintos timbrajes para eonomizar, el golpe omo hemos diho no se establee en toda la onduión on valor máximo sino, que partir del instante rítio disminuye hasta ero en ese tramo. En otro intervalo / se produe lo mismo on golpe negativo. A partir de aquí todo el proeso se repite, la onda va disipándose hasta despareer. En los siguientes asos, uando el tiempo de ierre está en el segundo medio tramo ( / < T < / ) o posteriores el proeso es el mismo, on la salvedad de que la longitud rítia es mayor en ada aso. Página 6 de 6

7 Cierre lento En el ierre lento la onda, uando reorre la distania se enuentra la válvula todavía abierta, al ontrario que en el ierre rápido, en este aso el ierre es posterior, su valor máximo se produe en el tiempo /, aunque la válvula termine de errarse más tarde, a partir de este instante todas las ondas que salgan de B haia A son ompensadas por todas las que llegan. Supongamos que tenemos una onduión de 500 m, una eleridad de la onda de 500 m/s. En dos segundos la onda retorna, erramos la válvula en 3 segundos el valor máximo se produe en los dos segundos, ya que a partir de este momento, todas las ondas que surjan en B son ompensadas por todas las ondas estabilizadoras que llegan. Imaginemos que en la misma onduión anterior, la eleridad es de 500 m/s, erramos la válvula en 0 segundos. el valor máximo del golpe se nos produe nuevamente en dos segundos, ya que a partir de ese momento todas las ondas son ompensadas. No obstante, el valor máximo en ada aso no es el mismo, en un aso la válvula se enuentra a /3 de su superfiie errada y en otro está /0 1/10. os golpes son distintos. Cuanto más tardemos en errar la válvula menos golpe tendremos, el tiempo rítio de / es en este aso s. En la figura 9.15, se observan, las líneas piezométrias (P) en distintos tiempos. En el instante / la primera onda se enuentra en M. a P será la representada por 1 y la ontinuaión por la naranja que aun no esta afetada del golpe. En el instante / la primera onda se enuentra en A. a P será la A M B fig Página 7 de 7

8 En el instante 3/ la primera onda se enuentra en M y la P de la onduión es la línea 3 y la ontinuaión por la 4 hasta A En el instante / la primera onda se enuentra en B y la P es la 4. A partir de este momento, las ondas que salgan de B se ompensan on las ondas estabilizadoras que llegan desde A, on lo ual la presión ya no aumenta. a presión máxima o teho de presiones es la representada por la línea 4. El razonamiento es el mismo para ierre rápido. GOPE DE ARIETE EN CIERRE ENTO Teniendo en uenta lo expuesto en ierre lento y representado en ordenadas p y en abisas tiempos, obtenemos la línea de presiones para ierre lento (azul) y rápido (verde). Rapido lento M M 1 ρ V Äp N 1 N / / T < / T > / fig De la figura podemos estableer por semejanza de los triángulos OM N y OM 1 N 1 M1N M N 1 ON ON 1 p ρ V T V ρ p H T V g T Página 8 de 8

9 Es la euaión de Miheaud, la deduión es anterior a la fórmula de Allievi, en ella no tiene en uenta la ompresibilidad del agua ni la elastiidad de la tubería. Jouguet obtuvo también para ierre lento, la mitad del valor de la fórmula de Miheaud, su expresión es: H V g T ONGITUD CRITICA Y TIEMPO CRITICO lamamos a la longitud ritia. El tiempo ritio es el transurrido desde el iniio del ierre de la válvula hasta el instante rítio + : t + El tiempo invertido por la última onda en reorrer la distania, será t T, siendo T el tiempo de ierre de la válvula. t T Restando ambas euaiones, se obtiene T T Podemos simplifiar el riterio de lasifiaión de ierre rápido o lento, que equivale a distinguir entre onduión larga o orta. - si < se trata de una onduión orta - si > se trata de una onduión larga onduión ritia aquella en la que su longitud oinide on la longitud ritia.. Página 9 de 9

10 Como onlusión hay que manifestar que el valor de la longitud rítia permite lasifiar las onduiones en ortas o largas, siendo el valor del golpe para onduiones largas el dado por la expresión de Allievi y el de onduiones ortas el dado por Miheaud. ejemplo 1 En una onduión de 000 metros de longitud la eleridad de la onda de golpe de ariete es 800 m/s. El tiempo de ierre de la válvula es de 3 s. Determinar el tiempo y la longitud rítia, e indiar tipo de onduión. soluión: longitud rítia T m tiempo rítio t 4s 800 si > se trata de una onduión larga > 000 > 100 se trata de una onduión larga lo que equivale a un ierre rápido. ejemplo Determinar el golpe de ariete en una onduión de 000 m de longitud sabiendo que la eleridad de la onda es 900 m / s y la veloidad del fluido es V m/s. El tiempo de ierre de la válvula es T 3 s. soluión: longitud ritia : T m >, 000 > 1350 se trata de una onduión larga apliando la euaión de Allievi, obtenemos el valor del golpe, ierre rápido Página 10 de 10

11 P 183,5 A V 900 H 183,5 m g 9,81 fig C C B el tramo CB soportará los 183,5 m.. a. de presión. a P va aumentando hasta alanzar la vertial de C ejemplo 3 Calular el golpe de ariete en una onduión de 800 m de longitud. a eleridad de la onda es 900 m / s. a veloidad del fluido es V 3 m/s. El tiempo de ierre de la válvula es T 5 s. soluión: longitud ritia: T m si < 800 < 50 se trata de una onduión orta Apliando la euaión de Miheaud, obtenemos el valor del golpe ierre lento V H 98m g T 9,81 5 Página 11 de 11

12 P 98 m. A B fig El teho de presiones está representado por la línea roja. CONDUCCIONES CON CARACTERISTICAS VARIABES Con freuenia en una onduión suele ourrir que su onstituión pueda estar formada por tubos de omposiión variables, diferentes materiales en los tubos, espesores de distintos materiales, diferentes diámetros y timbrajes. Suele haerse un álulo equivalente que se asemeje a la realidad para determinar la eleridad. Diferentes espesores En las tuberías que están onstituidas por diferentes espesores de distinta naturaleza, es neesario determinar un espesor equivalente al de un solo material. Según esto, podemos expresarlo de dos formas distintas: e.e 1 e 1 E 1 + e E ; e e 1 + e (E /E 1 ) o e.e e 1 E 1 + e E ; e e 1 (E 1 /E ) + e ejemplo 4 Determinar la eleridad de la onda en una tubería de fundiión dútil de 500 mm de diámetro, y de espesor 4,1 mm (E 1, Kp/m ) revestida interiormente de mortero de un espesor de 6 mm (E Kp/m ). Página 1 de 1

13 soluión: e e 1 + e (E /E 1 ) 4,1 + 6 ( / 1, ) 4,45 mm el espesor equivalente en fundiión es de 4,45 mm. El equivalente en hormigón sería: e e 1 (E 1 /E ) + e 4,1(1, / ) ,7 mm la eleridad teniendo en uenta, la tabla 1 para fundiión â 0,5; D 500 mm e 4,45 mm 48, β. D + e 48, ,5.0, , ,5 m / s Tramos de diferentes materiales Si se disponen tramos de diferentes materiales y sus longitudes son 1,, 3,... on eleridades 1,, 3,... y tiempos t 1, t, t 3,... que tarda la onda en reorrer ada tramo respetivamente El tiempo total equivalente / valdrá: t t 1 + t + t i i En el álulo de la veloidad obtenemos una veloidad media, para los tramos 1,, 3,... on diámetros D 1, D, D 3,... y por tanto veloidades V 1, V, V 3,... V (.V ) la veloidad media será:: (i V i ) V i i Página 13 de 13

14 ejemplo 5 Calular el golpe de ariete en una onduión de dos tramos de distintos materiales de 1000 m ada uno por los que irulan 8 l/s. a eleridad del primer tramo es 1100 m/s y la del segundo tramo 400 m/s. El diámetro de la primera es 100 mm y el de la segunda 80 mm. El ierre de la válvula se realiza en 3 segundos. Soluión: veloidad del primer tramo 3 V 4 Q ,0 m / s π D π 0,1 veloidad del segundo tramo 4 Q π D π 0,08 3 V 1 veloidad media 1,6 m / s ( V i) , ,6 V 000 eleridad media de la onda: i longitud rítia: i m / s 1,31m / s T ,5 m < 000 m onduión larga Apliando la fórmula de Allievi para ierre rápido, el golpe de ariete vale: V 587 1,31 H g 9,81 78,4 m Página 14 de 14