PROBLEMA N 1: Vibraciones mecánicas

Transcripción

1 U.T.N. F.R.B.B. Meánia del Sólido Sergio R. Val PROBLEMA N 1: Vibraiones meánias Analizar el problema en idioma inglés sobre un montaje antivibratorio para el tambor de una seadora entrífuga. - Traduir - Expresar en unidades SIMELA - Relaionar on la teoría de la asignatura Expresar onlusiones aera del funionamiento de la máquina y de los resultados obtenidos. Se propone montar un tambor de seador entrífugo omo muestra la Fig Las araterístias apropiadas de los resortes y amortiguadores disponibles serán seleionadas para las siguientes ondiiones. - Peso total del anasto más el ontenido 50Lb.68Kg - Veloidad de giro ω 400rpm - Máximo desbalaneo asumido 0Lb.in Kg.m. (produto del peso y de la exentriidad) - La amplitud de vibraión en ualquier direión no debe ser más que ½ (1.7m) en resonania. Soluión: Se eligen las oordenadas X e Y omo muestra la Fig. 1- Si se onsiderar una pequeña deflexión x del entro del anasto. El resorte 1 se estirara, el resorte 3 se omprime, y el resorte sufrirá un ambio despreiable de longitud. Las fuerzas del resorte serán aproximadamente tal omo se india en la Fig. 1. La fuerza neta del resorte en la direión X es: ΣF s -(k.x.os30º os 30º) kx En otras palabras, la onstate de resorte equivalente en la direión X es keq-1.5 k. Un análisis similar onluiría al mismo valor para la onstate de resorte en la direión Y. Si la fuerzas de amortiguamiento en la direión X e Y se investigaran en la misma manera omo anteriormente las fuerzas de los resortes, enontraríamos que el fator amortiguamiento efetivo en ambas direiones X e Y es 1.5 Ceq - 1 -

2 Debido a que todos los oefiientes en las euaiones difereniales para los movimientos en X e Y serán iguales, neesitamos investigar sólo una euaión. Donde Fo (me) ω M& x x& k x (me) ω sen ω t La ual fue desarrollada de la euaión (1) de la Pág.3 del apunte. La amplitud del desplazamiento será: Y meω [1] (1.5k - M ω ) + (1.5. ω) Que surge de la euaión (3) de la Pág.3 del apunte adjunto. Por analogía on la teoría para la ual la euaión diferenial era idéntia en forma; la amplitud de la fuerza transmitida será: F TR meω (1.5k ) (1.5k - M ω ) + (1.5. ω) + (1.5. ω) Se vio en teoría que para mantener pequeña a la fuerza transmitida, haemos la freuenia natural inferior on respeto a la freuenia de operaión que se espeifia. Para un diseño tentativo, esogeremos haer ω / ω n 3. Ya que en este sistema la freuenia natural es ω n 1.5 k /M, esto signifia que diseñaremos de manera que 1.5 k ω n M (ω / 3) M ó M. ω k 9.(1,5) (400 x π / 60) (50/3.) 01 lb/ft 16.8 lb/in 3 Kg/m 9.(1,5) Ahora alulamos el fator de amortiguamiento requirió para limitar la amplitud del desplazamiento a 1/ in. (1.7m). a resonania. Reemplazando en la euaión [1], nos queda: Y m e ω n / 0 + (1.5 ω n ) ó (m e. ω n /1.5 Y) 11.5 lb-seg/in 0.96 lb-seg/in kg-seg/m. Donde: Y 1/4 ft1.7mm, me (0/3.) (1/1) slug-ft3kg-m. ω n (π x400 / 60)/313.9 rad/seg Respuesta. Diseñar para: ωnω/3 k 16.8 Lb /in 3Kg /m 943N/m.

3 0.96 Lb- seg/in 0,1714Kg - seg /mm 167,7N.seg/m. C/C. M ω.50lb.0,45 n 0,66 kg Lb 400. π ,31N.seg/m. 3seg Conlusión: El fator amplifiador M es: C M Fo k ω f [1- ωn ] 1 +. ω. ωn y expresa la razón de la amplitud de la deflexión ausada por la vibraión forzada a la deflexión ausada por la fuerza Fo (estátia). En la gráfia siguiente puede verse que la amplifiaión de la amplitud aumenta uando disminuye / y que la ω amplitud máxima se produe en general para f 1 ω ω Por lo tanto, on C/C0,66 y f 3, la gráfia nos india que la amplifiaión es ω n baja para nuestra máquina, enontrándose muy erana a ero, óptima ondiión de funionamiento. n 3

4 Resumen analítio de un sistema on amortiguamiento y exitaión armónia forzada Solamente son desriptas las expresiones matemátias a los efetos de reordar y orientar lo visto en la asignatura de Meánia del Sólido. La exitaión armónia es originada en el modelo presentado, on la fuerza generada por una masa rotante m girando a una veloidad angular, a una distania r respeto del entro e impulsada por el motor. Por lo tanto sabemos que la euaión de movimiento es: M.& x + x& + k x (Fo) sen ω. t (1) La soluión de esta euaión onsta de dos partes, la funión omplementaria que en este aso es una vibraión libre amortiguada (es la soluión de la homogénea m& x& + x& + k x 0) y la soluión partiular, que es una osilaión estaionaria de la misma freuenia de la exitaión. Se puede suponer que la soluión partiular es de la forma: x X sen (ω.t - Φ) () donde X es la amplitud de la osilaión y Φ es la fase del desplazamiento respeto a la fuerza exitadora. La amplitud y fase en la euaión () se alulan sustituyéndola en la euaión diferenial (1). Cabe reordar que en el movimiento armónio las fases de la veloidad y aeleraión están adelante del desplazamiento en 90 y 180 respetivamente. Los términos de la euaión diferenial pueden ser representados gráfiamente tal omo muestra la figura 1. Se puede observar que: (3) (4) Figura 1 Las euaiones (3) y (4), si las expresamos en forma adimensional, permiten una lara representaión gráfia de estos resultados. Si dividimos numerador y denominador de diha euaiones por k se obtiene: 4

5 (5) k (6) Las expresiones (5) y (6) pueden expresarse en términos de las antidades siguientes: Las expresiones no dimensionales de amplitud y fase quedan: (7) (8) Las representaiones gráfias de estas expresiones serán realizadas on los valores obtenidos en el modelo de laboratorio. Las euaiones (7) y (8) indian que la amplitud adimensional Xk/F0 y la fase Φ, son funiones solamente de la razón de freuenias ω/ωn y del fator de amortiguamiento según se demuestra en los gráfios obtenidos. Se puede observar que el fator de amortiguamiento tiene gran influenia sobre la amplitud y el ángulo de fase, en la zona próxima a resonania. Si realizamos un 5

6 diagrama de fuerzas omo muestra la figura, podrá omprenderse mejor el fenómeno físio. Figura _ Relaión vetorial en vibraión forzada Como puede observarse para pequeños valores de ω/ωn < 1, tanto las fuerzas de ineria omo las de amortiguamiento son pequeñas, lo que tradue en un pequeño ángulo de fase. La magnitud de la fuerza global es entones asi igual a la fuerza del resorte omo se muestra en la figura (a) Para ω/ωn 1 el ángulo de fase es 90 y el diagrama de fuerzas esta indiado en la figura (b). La fuerza de ineria, que ahora es mayor es equilibrada por la fuerza del resorte, mientras que la fuerza apliada supera la fuerza de amortiguamiento. La amplitud y la resonania pueden alularse de las euaiones (5) y (7) o de la figura (b) (9) A valores grandes de ω/ωn >>>1, el ángulo de fase se aproxima a 180 y la fuerza apliada se emplea asi enteramente para vener la fuerza de ineria, tal omo muestra la figura (). Resumiendo, la euaión diferenial y su soluión ompleta, inluyendo el término transitorio, puede esribirse omo: (10) (11) 6