Esta es la relatividad de Galileo.

Transcripción

1 FJC 009 Transformaión de Galileo Supongamos dos sistemas de referenia: uno fijo on origen en y otro móil on respeto al primero que tiene su origen en. Para simplifiar, amos a suponer que el móil sólo se muee en el eje X respeto al fijo on una eloidad. Una partíula se muee on respeto a ómo serán las euaiones del moimiento respeto a?. x = x' + t y = y' z = z' Esta es la relatiidad de Galileo. Los postulados de Einstein Un postulado es algo que establee sin demostraión a partir del que se deduen unas onseuenias. Si estas pueden omprobarse experimentalmente entones los postulados son álidos. Primer Postulado: Las leyes físias son idéntias en todos los sistemas ineriales y se expresan mediante euaiones análogas. No hay forma de saber el estado de moimiento de un obserador a partir de un experimento físio que se realie por el obserador dentro de su sistema de referenia. Una bombilla tarda el mismo tiempo en llegar al suelo de un asensor si este está en reposo o si se muee on eloidad onstante. Piénsalo! Segundo Postulado: La luz siempre se propaga en el aío on una eloidad, que es independiente del estado de moimiento del uerpo que emite la luz o del obserador. Transformaión de Lorentz Relaiona las oordenadas de un sistema de referenia fijo y un sistema de referenia móil teniendo en uenta los postulados de Einstein. x' = a x+ a y+ a z+ a t y' = a x+ a y+ a z+ a t z' = a x + a y + a z+ a t t' = a x + a y + a z + a t (1)

2 FJC 009 Si suponemos que el sistema móil se desplaza a lo largo del eje X, no hay moimiento relatio en los otros ejes y tendríamos que a = a = 1 33 a1 = a3 = a4 = 0 a = a = a = Como no hay ariaiones en los ejes Y y Z, se onsidera: a4 = a43 = 0 Debido al moimiento de los ejes sabemos que x =x-t, luego a14 = a11 Con estos alores, el sistema de euaiones (1) se ha transformado en: x' = a x t 11 ( ) y' = y () z' = z t' = a x + a t Supongamos que en el instante t=0 los dos orígenes de oordenadas oiniden y en ese momento sale una onda eletromagnétia desde el origen on eloidad. El espaio reorrido por esa onda en ada sistema de referenia será: x + y + z = t x' + y' + z' = t' (3) Sustituyendo los alores () en la última euaión de (3), tenemos: Si ordenamos los términos ( ) + + = ( + ) a x t y z a x a t a x a xt+ a t + y + z = a x + a a xt+ a t ( 11 41) + + ( ) = ( ) a a x y z a a a xt a a t Para que esta expresión oinida on la primera euaión de (3) tiene que ourrir que: a a = a a a = a a = Se trata de un sistema de tres euaiones on tres inógnitas. La soluión del sistema es: 1 a = a = a =

3 FJC 009 Sustituyendo estos alores en el sistema () tenemos: t x x t x' = y' = y z' = z t' = Transformada de Lorentz Si la es despreiable frente a la transformada de Lorentz se onierte en la de Galileo. Para obtener las euaiones de x, y, z y t en funión de x, y, z y t solo tenemos que sustituir por. Si es mayor que los alores de x y t se haen imaginarios por lo que el moimiento on eloidad superior a la de la luz es imposible. 1 Al término γ= se le llama fator de Lorentz. Las transformadas de Lorentz nos llean a onseuenias ontraditorias sobre las propiedades del espaio y del tiempo basadas en la experienia diaria. Estas onseuenias son: La longitud se aorta en la direión del moimiento: L L = = L γ 1, siendo L o la longitud en reposo. La longitud solo aría en la direión del moimiento; permanee onstante en las direiones perpendiulares al moimiento. Aortamiento de la longitud Supongamos que estamos en una terraza de erano. Vemos un deportio de 4,5 m de longitud detenido delante de un semáforo. En el momento de abrirse el semáforo pasa otro deportio, igual que el anterior a una eloidad de 0,98 pero lo emos más orto porque la longitud se ontrae. Para nosotros, que estamos en reposo, apenas mide 1m. L 0,98 γ 1 El olumen de un uerpo también se ontrae: L = = L = 4,5m = 0,895m V V = = V γ 1 Puesto que se ontrae la longitud en la direión del moimiento, mientras las longitudes en otras direiones se mantienen onstantes. El tiempo se dilata: t = t

4 FJC 009 Dilataión del tiempo: La paradoja de los gemelos Supongamos dos hermanos gemelos de 5 años: X e Y. X iaja haia un planeta lejano durante 0 años a una eloidad de 0,98. A la uelta, después de otros 0 años se enuentran de nueo. El gemelo Y que ha quedado en la Tierra aaba de jubilarse y tiene una edad de 65 años, ha enejeido 40 años, mientras que el gemelo iajero X todaía no ha umplido 33 años, solo ha enejeido 8 años: t 40años t = = = ,96años La masa aumenta on la eloidad: m = m La energía de un eletrón en moimiento será: E E m = = Efeto fotoelétrio Hertz obseró en 1887 que al iluminar la superfiie de un metal on una radiaión eletromagnétia se desprenden eletrones. Hay tres hehos experimentales que no puede expliar la meánia lásia: Sólo se emiten eletrones uando la freuenia de la radiaión inidente es mayor que un alor mínimo al que se denomina freuenia umbral y que es diferente para ada metal. Si la radiaión tiene menos freuenia, por muy grande que sea la intensidad, no se produe emisión de eletrones. Si la freuenia de la radiaión es superior a la freuenia umbral, el número de eletrones emitidos es proporional a la intensidad de la radiaión. La eloidad on la que se mueen los eletrones no depende de la intensidad de la radiaión. La llegada de la radiaión al metal y la emisión de eletrones se produen a la ez. Expliaión de Einstein La energía orrespondiente a una radiaión, de auerdo on la teoría de Plank, es E = hf

5 FJC 009 La energía mínima para arranar un eletrón, trabajo de extraión o energía de ionizaión, depende de la fuerza on la que el núleo atrae al eletrón, aría on el átomo y iene dado por E = hf, siendo f 0 la freuenia umbral. Si la energía de la radiaión es mayor que la orrespondiente al trabajo de extraión el resto de la energía omuniada se onierte en energía inétia: Eonda = Eumbral + Einetia 1 hf = hf0 + m Si representamos gráfiamente la energía inétia de los eletrones emitidos frente a la freuenia de la radiaión inidente, tenemos: E f o f Efeto Compton El efeto Compton onsiste en el aumento de la longitud de onda de una radiaión X uando hoa on un eletrón y pierde parte de su energía. La longitud de onda de la radiaión dispersada depende del ángulo on el que sale dispersada. Este efeto solo puede expliarse si suponemos que la luz se omporta omo una partíula. Cuando un fotón hoa on un eletrón en reposo amos a suponer que se trata de un hoque elástio. En este tipo de hoques la energía se onsera, EINICIAL = EFINAL hf + m = hf + m F ( ) hf hff m 1 = + γ (1) E hf Para el fotón: p = m = =

6 FJC 009 Por tratarse de un hoque la antidad de moimiento se mantiene onstante: y resoliendo el sistema llegamos a: hf hf = α+γ β hf = α γ β F En el eje X : os m os F En el eje Y : 0 sen m sen h λ F = λ + 1 os α m ( ) El efeto Compton es un fenómeno por el que la radiaión eletromagnétia que inide sobre iertas superfiies sale on una longitud de onda mayor que la de entrada. Hipótesis de De Broglie: Dualidad onda-orpúsulo Al igual que la luz tiene un doble omportamiento omo onda y omo partíula, la materia también tiene ese omportamiento. La energía, si se omporta omo onda, es E = hf La energía, si se omporta omo partíula, es E = m Si igualamos las dos expresiones: hf = m y omo fλ = llegamos a que todos los uerpos que se mueen tienen asoiada una longitud de onda dada por: h h λ = = m p Cuanto mas grande sea la antidad de moimiento menor será la longitud de onda asoiada. Así la longitud de onda asoiada a un ohe de 900 kg de masa moiéndose a 50 km/h es de 1, m y la de un eletrón de masa 9, moiéndose a km/s tiene asoiada un longitud de onda de m. La longitud de onda asoiada solo es apreiable uando la masa es muy pequeña y la eloidad onsiderable. Para uerpos grandes la longitud de onda es despreiable. Prinipio de indeterminaión de Heisenberg Cuando se trabaja on magnitudes omplementarias el produto de los errores ometidos en la determinaión simultánea de ambas es mayor que la onstante de Plank. En partiular, no podemos determinar on total preisión y a la ez la posiión y h la eloidad de una partíula. Δx Δ 4 π