Tema 2: Fundamentos de la teoría de la Relatividad

Transcripción

1 Tema : Fundamentos de la teoría de la Relatiidad. INTRODUCCIÓN finales del siglo XIX, las euaiones de Mawell habían prediho la eistenia de ondas eletromagnétias propagándose a la eloidad de la luz (omo imos en el tema anterior. Se pensaba que estas ondas neesitaban un medio material para propagarse a este medio se le llamó ÉTER. Se le atribuen una serie de propiedades se pretendió deidir si el éter era estaionario o era arrastrado por los planetas. Para medir el efeto del iento del éter, Mihelson (88 ideó su famoso interferómetro. Supongamos que se orienta on el brazo OM paralelo a la eloidad de la Tierra respeto al éter. Foo Emisor L M Detetor La diferenia de tiempo hae que los haes interfieran dando lugar a un patrón araterístio de interferenias. Si ahora se rota el interferómetro, es de esperar que el patrón ambie, al ambiar la orientaión relatia de los haes. L M Midiendo los tiempos que tardan los raos en reorrer OM OM, se enuentra que no son los mismos, porque (aunque l l fueran iguales de auerdo on las transformaiones de Galileo (er Figura inferior t l l OM + +. Y Y O U X X ω + ut u + Foo Emisor Detetor L L Pero se obseró que el patrón no ariaba lo que, además de poner en duda la eistenia del éter, sugirió a Einstein la hipótesis de su teoría espeial de la Relatiidad: La eloidad de la luz en el aío es la misma para todos los sistemas de referenia ineriales. Por otra parte, desde tiempos de Newton, se sabía que las lees de la físia no pueden depender del sistema de referenia inerial que se esoja, por lo que las transformaiones de Galileo no son ompatibles on este postulado. Esto a lo

2 sospehaba Einstein al omprobar que las euaiones de Mawell no son inariantes a las transformaiones de Galileo. Realmente en el eperimento de Mihelson-Morle había 6 espejos. El que hubiesen tantos espejos era para dar tiempo a que la diferenia en la llegada de los haes hasta el lugar de reogida (patrón de interferenia fuese fáilmente mensurable. El resultado esperado era éste. Una diferenia en el tiempo de llegada de las franjas de los haes de luz uo amino tenía el mismo sentido que el de traslaión de la Tierra el de las que iban en ontra originarían un desplazamiento en interferómetro. Esto onordaba on la idea de relatiidad de Galileo en el que las eloidades se sumaban si iban en el mismo sentido se restaban si iban en sentidos ontrarios. Los resultados anteriores eidenian la neesidad de enontrar un nueo sistema de transformaiones ompatibles on los últimos resultados eperimentales.. TRNSFORMCIONES DE LORENTZ EINSTEIN Cómo obtener las nueas transformaiones entre sistemas de referenia? Lo primero que ha que deir es que las transformaiones han de ser lineales porque el espaio es homogéneo, es deir, neesitaremos una orrespondenia punto a punto entre posiiones tiempos de un mismo sueso medido por distintos sistemas ineriales. No es admisible que un punto de un sistema de referenia se orresponda on dos o más de otro sistema, por lo que las euaiones no podrán ser de orden uadrátio o superior. Si las relaiones de Galileo eran: + ut ut ahora se introdue una onstante, que dependerá de la eloidad del sistema, pero no de ni de t. Las nueas relaiones serán: ( + ut ( ut debe ser la misma porque ninguno de los dos obseradores es priilegiado respeto al otro. Es deir, para ambos la desripión de las lees de la Naturaleza debe haerse de la misma forma, por tanto no puede priilegiar un obserador frente a otro, sólo relaionarlos. Por otro lado, nos hemos despojado de la idea de que el tiempo es absoluto; al difereniar t t el tiempo puede depender del sistema de referenia. Para obtener las relaiones de transformaión supongamos que en el instante t t, uando los dos orígenes de los dos sistemas de referenia oiniden, se emite un pulso de luz desde una fuente situada en el origen omún. Conforme transurre el

3 tiempo los sistemas se separan. Supongamos que el pulso de luz inide sobre un detetor situado sobre. Este sueso tendrá lugar en (,,, t por O en (,,, t para O. Y Y Y Y O O X X O O X X Z Z Z Z Como la eloidad de la luz es la misma para los dos sistemas, ada uno de ellos esribirá las siguientes euaiones de moimiento: t t partir de: ( + ut t ( t + ut ( + u t ( ut t ( t ut ( ut Despejando: t ( + u t ( u ( + u t t ( u Obsérese que > que uando u<<,. u Para obtener la relaión entre los tiempos: despejamos t, obteniendo: [ ( + ut ut] u t t + Si hubiéramos heho lo mismo utilizando [ ( ut + ut ] despejamos t obtenemos: u t t. l igual que suediera on las transformaiones de Galileo, las direiones perpendiulares al moimiento permaneen inalteradas, on lo que el onjunto ompleto de transformaiones es: 3

4 ( ut ( + ut z z z z u t t u t t + on siendo u la eloidad de O medida en O. u Cómo se obtienen ahora las transformaiones de eloidad? Partiendo de d, dt difereniando, se obtiene: ( d u d + ud dt + Y sustituendo en la euaión anterior, se llega a: d + u d + u d + u d + u + u u + Si queremos la transformaión inersa, o bien despejamos o bien partimos de realizamos el mismo proeso anterior. d El resto de omponentes se obtienen igual las transformaiones ompletas son: u u u z z u + u u + u + z z u + Obsérese ómo para u<<, se obtienen las transformaiones de Galileo que, por tanto, quedan reduidas a un aso partiular de las de Lorent-Einstein. Podemos omprobar también ómo se umple el postulado de la onstania de la eloidad de la luz. Si para el sistema O,, para el sistema O : 4

5 ( u u u u u u 3. CONSECUENCIS DE LS TRNSFORMCIONES DE LORENTZ a Contraión de la longitud Consideremos una arilla en reposo en el sistema O on un etremo en otro en. La longitud de la arilla en el sistema respeto al que está en reposo se llama longitud propia, L será:. Para hallar la p L p longitud de la arilla en S, respeto al que se está moiendo habrá que alular L o, donde son las posiiones de los etremos medidos por O en el mismo instante de tiempo t. Como ( ut ( ut ( o bien: Z Z O Y Y O X el X ( L o L p La longitud de la arilla se ha ontraído al ser medida desde un sistema de referenia respeto al ual la arilla está moiéndose. b Dilataión del tiempo Consideremos dos suesos que se produen en o en los instantes t sistema S. De auerdo on las transformaiones de Lorentz: uo uo t t + t t + de donde: t ( t t t t en el El interalo de tiempo medido en el sistema de referenia en el que los dos suesos ourren en el mismo lugar se llama tiempo propio. El interalo de tiempo medido en un sistema de referenia distinto es maor, fenómeno que se onoe omo dilataión del tiempo. Eidenias eperimentales de estos resultados Los mesones μ (muones son unas partíulas que se generan en la alta atmósfera por el impato de los raos ósmios (núleos de H mu rápidos on las partíulas de la alta atmósfera (núleos de N O. Dihas partíulas tienen una ida media en reposo de unos µs, dado que se generan a unos 9 m sobre la superfiie terrestre, mu poos de ellos deberían ser detetados a niel del mar. Sin embargo, se detetan una antidad no despreiable. 5

6 Lo que está suediendo puede entenderse en el maro de la teoría de la Relatiidad: para un obserador situado en un sistema de referenia en reposo respeto a la superfiie de la Tierra pero en moimiento respeto al muón, el tiempo de ida media es: τ ni. mar τ muón { muón.9978} 3µ s, en ese tiempo, más muones pueden alanzar el niel del mar. Muon 9m El mismo resultado puede desribirse omo una ontraión de la longitud en el sistema de referenia del muón. Para el muón, la atmósfera está irulando junto a él a una eloidad de.9978 la distania para él no son 9 m sino d d m. unque sólo ie µs, en su muón ni. mar 6 sistema de referenia, la distania que tiene que reorrer permite que un número onsiderable lleguen al niel del mar. 6 m Relatiidad de la simultaneidad Deimos que dos eentos son simultáneos uando ourren en el mismo momento. Supongamos dos eentos que ourren en los puntos del sistema O en el mismo tiempo ( t t. Por tanto, son simultáneos en O. Pero, uáles son los tiempos de ourrenia de esos eentos en O? u t t u t t u Por tanto: t t ( t t ( donde t t, a que t t. Salo que los eentos ourran en el mismo lugar en O ( no serán simultáneos en O. La simultaneidad es un onepto relatio al obserador. d Eentos relaionados ausalmente Supongamos ahora dos eentos que ourren en tiempos distintos t t on. relaión a un sistema O, no ourren en el mismo lugar ( u La relaión entre los tiempos en O será: t t ( t t ( Para que el orden de suesión de los eentos sea el mismo en los dos sistemas, debe umplirse que t > t, o sea: u u ( ( ( ( t t > t t >. El máimo alor que puede tomar el miembro de la dereha es:. Por tanto si ( t t >, los eentos se presentarán en el mismo orden en ualquier sistema de 6

7 referenia. Se die que dihos eentos están relaionados ausalmente (uno puede ser la ausa del otro. Y Y O 4. DINÁMIC RELTIVIST Reordemos que la ª le de Newton transformaiones de Galileo U X X F ma F ma ma F F + ut V a F ma es inariante frente a las V + u Pero, es también inariante frente a las transformaiones de Lorentz? Ya sabemos que las lees de la físia deben epresarse igual para todos los sistemas de referenia ineriales, por lo que, si la le es álida, debe permaneer inariante. Pues bien: d d dt dt a Pero: dt u ; u u Por lo que: d d u u d dt dt dt u Sustituendo todo en la euaión de partida, se obtiene: ( u a d d dt 4 ( u ( u 3 a a F F La ª le de Newton esrita en la forma F ma no es inariante frente a las transformaiones de Lorentz. Quizás esta le no sea álida, pero tal ez el error proenga de haber asumido demasiado a la ligera que m es onstante. 7

8 Consideramos dos obseradores: en el sistema de referenia O B en el sistema de referenia O, que se muee haia la dereha on eloidad u respeto a O. Cada obserador tiene una bola de masa idéntia m uando se omparan en reposo. El obserador lanza su bola haia arriba on eloidad u o relatia a él B lanza su bola haia abajo on la misma eloidad. Las bolas realizan un hoque elástio regresan al punto de partida. Y Y B B o O X O X Mirando el ejemplo anterior un obserador esribiría: u ; * u B B u B Puesto que B ub + B * u B * Donde las antidades maradas on * haen referenia a la situaión después del hoque. La euaión de la antidad de moimiento según el eje Y será: u p um( m( B u Pero B B + B u + u p * m( B um( B + u puesto que B u al ser B ub + En la epresión anterior, se ha onsiderado de forma epliita la posibilidad de que la masa dependa del obserador. Como la onseraión de la antidad de moimiento debe umplirse para ualquier obserador, en partiular el, se tendrá: u u u um( u m( B m( B um( u um( u m( B O bien: m B m ( u ( En ez de obtener la relaión entre las masas para distintas eloidades, onsideremos que el hoque se produe a una eloidad mu pequeña, es deir u. o 8

9 Entones B u eloidad u. m( u mo la relaión se obtiene entre la masa en reposo m o la masa a una La masa depende del estado de moimiento aumenta al aumentar la eloidad. Si u, entones m, lo que onfirma que la eloidad de la luz es una eloidad límite también que una partíula que se muea a la eloidad de la luz debe tener masa en reposo nula. La antidad de moimiento relatiista es p mo puede omprobarse que la ª dp d( m d( le de Newton en la forma F m es inariante frente a las dt dt dt transformaiones de Lorentz. Calulemos ahora el trabajo realizado por la fuerza relatiista e igualémoslo (por el teorema del trabajo la energía inétia a la ariaión de energía inétia. B Bd( m B W F dr dr d( m dt Integrando por partes: u ; du d I m m d d d( m m os d d d d d m m ( + dt dt dt dt d( d d( d dt dt dt dt m m m + m d( m m + m + m m + m / m Si onsideramos que la partíula parte del reposo (, enontramos que ( llega al punto B on eloidad B EC m B mo, epresión de la energía inétia relatiista. El primer término depende de la eloidad, pero el segundo no, se denomina energía en reposo de la partíula (energía intrínsea asoiada a la partíula m o debida a su masa en reposo. La energía relatiista total se define omo la suma de la energía inétia la energía en reposo, es deir: E EC + mo m( mo, que epresa la posibilidad de onertir masa en energía. En ualquier ompuesto 4 estable, por ejemplo, el núleo de He formado por dos protones dos neutrones, la 9

10 masa en reposo del ompuesto es menor que la suma de las masas en reposo de sus omponentes por separado. La diferenia de las masas en reposo (energías en reposo es igual a la energía de enlae del ompuesto. En los átomos moléulas, las energías de enlae son de poos ev, pero en los núleos son del orden de arios MeV, lo que origina una diferenia de masas obserable. Otro aso es el de los núleos radiatios, en el que el núleo original tiene una maor masa (energía en reposo que las partíulas obtenidas en la desintegraión. El eeso de energía aparee omo energía inétia de los produtos de la desintegraión. Una última relaión útil entre la antidad de moimiento, la energía total la masa en reposo, puede obtenerse de: p m E m obtiene: ( E p Multipliando la primera por, eleando al uadrado restando se m. O bien: E p + ( m Partíulas que se muean a la eloidad de la luz (fotones tendrán una energía total dada por E p. Por otro lado, partíulas en reposo (p tendrán por energía total la energía en reposo E mo. Esta euaión nos die que si la energía de un objeto ambia en una antidad E entones su masa ambia en un E ( m. Normalmente la euaión se esribe tal omo la emos arriba, se asimila a la idea de equialenia entre masa la energía. La relaión entre el inremento de energía el inremento de masa es erdadera para ualquier tipo de ambio de energía. Por último, amos a omprobar ómo la epresión m E m se redue a la onoida E m para el aso <<. Para ello, utilizamos el desarrollo del binomio ( + n + n + n( n n si << / Por tanto + Entones: E / m m + m El postulado de Einstein de que la eloidad de la luz debe ser la misma para ualquier espetador implia que nada pude moerse on eloidad maor que ella. sí, si utilizamos energía para aelerar una partíula, su masa aumenta, lo ual hae más difíil

11 seguirla aelerando, por lo que llearla hasta la eloidad de la luz seria imposible puesto que eigiría una antidad infinita de energía. La teoría de la relatiidad no resulta ompatible on la teoría de Newton graitaional, a que además de admitir la posibilidad de eniar señales on una eloidad superior a la de la luz eigiría un tiempo absoluto o uniersal mientras que la relatiidad se inlinaba por tiempos propios. Einstein aó en la uenta de que la relaión entre aeleraión graedad supuesta hasta ese momento no pareía funionar on una Tierra esféria, a que obseradores que se enontraran en las antípodas deberían estar aelerándose en sentidos opuestos, pero, permaneiendo a la ez a la misma distania entre si. La únia forma de epliar este fenómeno era suponer una geometría del espaio-tiempo urilínea en lugar de plana. Con la auda del matemátio Georg Friedrih, Einstein hallo las euaiones que relaionaban la uratura del espaio on su ontenido de masa energía, relaionando así la graedad on la deformaión del espaio-tiempo. Esta nuea teoría fue llamada Relatiidad General para distinguirla de la teoría original sin graedad (Relatiidad Espeial, que sólo onsidera sistemas de referenia ineriales, es deir, no aelerados. Estas nueas hipótesis ambiaron ompletamente los análisis sobre el origen el destino del unierso, debido a su omplejidad, aen fuera de los objetios de este urso. "Pon tu mano en un horno aliente durante un minuto te pareerá una hora. Siéntate junto a una hia preiosa durante una hora te pareerá un minuto. Eso es la relatiidad" Criado ldeanuea, F., guiar, J. Gómez Merino,. ( mpliaión de Físia en la Ingeniería OCW- Uniersidad de Málaga Bajo lienia Creatie Commons ttribution-non-comerial-sharelike