ELEMENTOS DE FÍSICA RELATIVISTA. Introducción a la teoría de la Relatividad

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1 Físia de º de Bahillerato. Introduión a la Físia Relatiista Franiso Martínez Naarro 1. INTRODUCCIÓN ELEMENTOS DE FÍSICA RELATIVISTA Introduión a la teoría de la Relatiidad La Relatiidad, es la teoría desarrollada a prinipios del siglo XX, que originalmente pretendía expliar iertas anomalías en el onepto de moimiento relatio, pero que en su eoluión se ha onertido en una de las teorías básias más importantes en las ienias físias. Esta teoría, desarrollada fundamentalmente por Albert Einstein, fue la base para que los físios demostraran la unidad esenial de la materia y la energía, el espaio y el tiempo, y la equialenia entre las fuerzas de la graitaión y los efetos de la aeleraión de un sistema. ELEMENTOS DE FÍSICA RELATIVISTA PROGRAMA DE ACTIVIDADES 0. LA CRISIS DE LA FÍSICA CLÁSICA Y EL ORIGEN DE LA FISICA MODERNA Entre 1861 y 1873 Maxwell realizó la síntesis eletromagnétia que ulmino on su Tratado de eletriidad y magnetismo, integrando fenómenos onsiderados hasta entones sin ninguna onexión: la eletriidad, el magnetismo y la óptia. Con ello pareía haberse dado respuesta satisfatoria a los prinipales problemas que planteaba la ienia físia. A lo largo de dos siglos se había onstruido así un sólido edifiio imponente del que la meánia newtoniana y la teoría eletromagnétia eran sus dos más fuertes pilares. A finales del siglo XIX se onsideraba la Físia omo una ienia prátiamente elaborada y errada, uyos prinipios y leyes estaban sólidamente estableidos. La atiidad físia pensaba que onsistiría en apliar estas leyes y prinipios a distintos fenómenos. Pero una serie de problemas que no pudieron ser expliados originaron a prinipios del siglo XX, la risis de la físia lásia, poniendo en uestión hasta sus oneptos más eidentes y sólidos y el origen de una nuea onepión de la físia. A.1 A. Señalar algunos de los prinipales éxitos, señalando los prinipales interrogantes y problemas que resolió (inluyendo sus apliaiones prátias), de la físia lásia, desde la époa de Galileo a la de Maxwell Tratar de indiar qué imagen del omportamiento de la materia introdue la físia lásia (en partiular, ómo se onibe el espaio, el tiempo, las radiaiones y los uerpos) Coniene reordar que la físia lásia se onstruyo ontra la isión del pensamiento aristotélio - esolástio, ontra la onepión denominada Físia del sentido omún y supuso un profundo ambio metodológio, aompañando al radial ambio oneptual. A.3 A.4 A.5 India que problemas o difiultades no pudieron ser resueltos por la Físia aristotélio - esolástia y que ontribuyeron al surgimiento de la físia lásia en los siglos XVI y XVII Nombrar algunas de las prinipales ideas o prinipios básios de la onepión anterior que derribo la Físia lásia denominada newtoniana - meaniista. Resumir las prinipales araterístias del ambio metodológio que supuso el triunfo de la reoluión ientífia de los siglos XVI y XVII frente a la onepión anterior. 1

2 Físia de º de Bahillerato. Introduión a la Físia Relatiista Franiso Martínez Naarro Para ompletar esta bree reisión de las prinipales araterístias de la ienia lásia, oniene tener en uenta, que su triunfo supuso junto on el ambio oneptual y metodológío un ambio de atitud y el triunfo de unos nueos alores, lo que pone de manifiesto las relaiones ienia, tenológia y soiedad A.6 Indiar algunas de las impliaiones más releantes de la ienia lásia en los dominios ideológio, soial, medioambiental. La Físia lásia llegó a expliar prátiamente todos los fenómenos físios onoidos y se onirtió en un uerpo oherente de onoimientos en el que solo quedaban por resoler algunos pequeños problemas A.7 Señalar algunos de estos problemas pendientes por la físia lásia a finales del siglo XIX. Estos pequeños problemas pendientes que quedaban sin resoler por la físia lásia a finales del siglo XIX, (fundamentalmente la interpretaión de la radiaión del uerpo negro, el resultado negatio del experimento de Mihelson y Morley, las líneas espetrales de los átomos, el efeto fotoelétrio, et...), originaron fundamentalmente dos líneas de inestigaión que prooaron la risis de las prinipales onepiones igentes en la físia lásia y ondujeron al estableimiento de dos nueas ramas de la físia moderna: la Físia relatiista y la Físia uántia 1. ELEMENTOS DE RELATIVIDAD Los pequeños problemas a los que la físia lásia se enfrentaba sin éxito a finales del siglo XIX, fueron los primeros indiadores de que la físia lásia exigía ambios fundamentales. Una de las líneas de inestigaión, que ontribuyo a prooar la risis de la físia lásia, marando sus limites de alidez, fue la Teoría General de la Relatiidad. A ontinuaión abordaremos algunas de las prinipales ideas de la físia relatiista y sus prinipales impliaiones FENÓMENOS QUE NO SE EXPLICAN CON LA FÍSICA CLÁSICA. CRISIS DE LA MISMA Y ORIGEN DE LA FÍSICA MODERNA A omienzos del siglo XX la Físia iba a experimentar una risis profunda en la que jugaría un papel espeial la teoría espeial de la relatiidad o de la relatiidad restringida, que es la únia que trataremos aquí ( no abordaremos por tanto la teoría general de la relatiidad) FRACASO EN LA DETECCIÓN DE UN SISTEMA DE REFERENCIA EN REPOSO ABSOLUTO. La génesis de la teoría de la relatiidad puede asoiarse on un problema presente desde antiguo en la historia de la Cienia: el de la existenia del espaio absoluto: A.1 Indiar breemente qué objetos materiales se han onsiderado, a lo largo de la historia de las ideas, omo sistemas de referenia en reposo absoluto 1.. LOS POSTULADOS BÁSICOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL. El prinipio de relatiidad de Galileo establee, de auerdo on toda nuestra prátia habitual, que no existen diferenias entre los fenómenos meánios que ourren en maros de referenia en reposo o en moimiento retilíneo uniforme uno respeto al otro, lo que le lleo al propio Galileo a enuniar el llamado prinipio de relatiidad de Galileo: Las leyes de la meánia no se modifiabn al referirlas a un sistema en reposo o que se muea on moimiento retílineo uniforme on respeto al obserador

3 Físia de º de Bahillerato. Introduión a la Físia Relatiista Franiso Martínez Naarro A. A.3 Consideremos dos sistemas de referenia de origen O y O, respetiamente, tales que el segundo se desplae respeto del primero, a lo largo del eje X on eloidad. Podremos er la forma en que arían las leyes de la físia al pasar de un sistema a otro, sin mas que estableer la relaión existente entre las fuerzas F y F referidas a uno y otro sistema. Enontrar diha relaión estableiendo: a) la relaión entre las euaiones que ligan las oordenadas (x,y,z) de un punto referidas al primer sistema, y las (x, y, z ) referidas al segundo sistema. Supongamos que en el instante iniial ambos orígenes oiniden. (Estas euaiones se denominan transformaiones de Galileo) b) Obtener a partir de dihas euaiones las relaiones entre las eloidades y las aeleraiones de un punto en ambos sistemas. Tener en uenta se muee on respeto a O on moimiento uniforme, es deir que es onstante. [Fáilmente se obtiene que: x = x -.t; y =y; z = z]; Por tanto, deriando: [ x= x -; y = y ; z = z ]. Por lo que, deriando de nueo: [a x =a x ; a y = a y ; a z = a z ] y por onsiguiente sin más que multipliar por la masa. [F x= F x ; F y = F y ; F z = F z ] Nada pues permite difereniar, desde un punto de ista meánio a un sistema en reposo absoluto de otro que se desplae on moimiento uniforme: las leyes de la meánia resultan ser las mismas A modo de onfirmaión, en un aso onreto del prinipio de relatiidad de Galileo, obtener la expresión de la fuerza que atúa sobre un punto de masa 10 kg, uyas oordenadas respeto a un sistema en reposo son, respetiamente (4t, 5,0) m Obtener igualmente la expresión de diha fuerza respeto a un sistema de oordenadas que se muee on relaión al primero a una eloidad de m/s, en la direión del eje X. [Soluión: En ambos asos F = ( 80, 0, 0 ) N ] A.4 Predeir si la propagaión de las ondas luminosas (y por extensión los fenómenos óptios) harán posible difereniar entre los sistemas en reposo absoluto o los proistos de moimiento uniforme A.5 El experimento realizado por Mihelson y Morley trataba de poner de manifiesto la existenia de un maro espeial de referenia en reposo absoluto ( el éter ) a partir de fenómenos óptios. El fundamento del mismo estriba en tomar en onsideraión el Moimiento de la Tierra on respeto al eter, que podía onsiderarse uniforme para interalos de tiempo pequeños (dado el gran radio de uratura de su trayetoria 150 millones de km) Aeptando que la Tierra se muee en el espaio (es deir en el seno del éter inmóil) on una eloidad. El tiempo que tarde la luz en reorrer una ierta distania sobre la Tierra dependerá de la direión en que la luz reorra diha distania, por sumarse etorialmente la eloidad de la luz y la de la Tierra. Mihelson y Morley diseñaron un ingeniosos montaje (interferometro) para poner de manifiesto las diferenias preistas de tiempo, on que la luz alanza ierta posiión, según el moimiento relatio de la Tierra on respeto al éter. Pero se obtenia siempre un resultado negatio: no se apreiaba diferenia alguna en el tiempo Aeptando que la Tierra se muee on respeto al éter on eloidad y siendo La eloidad de la luz, alular el tiempo en que la luz emitida por el foo F alanzara la pantalla P, situada a una distania d en ada uno de los asos esquematizados. ( representa la eloidad de la Tierra y por tanto la eloidad de los objetos situados sobre ella on relaión al supuesto éter) a) b) P * * F F d [Soluión: a) t = ; b) t d d = + ] d P 3

4 Físia de º de Bahillerato. Introduión a la Físia Relatiista Franiso Martínez Naarro A.6 Del resultado negatio del experimento de Mihelson y Morley, repetido on todo tipo de preauiones, se onluía que había que rendirse a la eidenia La eloidad de la luz no se eía afetada por el moimiento de la Tierra on respeto al éter. O sea que: la eloidad de la luz para todos los obseradores ualquiera que fuera su eloidad on respeto al éter era siempre la misma Cómo expliar el resultado inesperado del experimento de Mihelson para haerlo ompatible on las teorías igentes, que poseían una sólida base experimental y estaban tan solidamente estableidas? Todo intento de expliar este resultado eidente: la eloidad de la luz en el aío es siempre la misma, independiente mente de la eloidad del obserador o de la fuente luminosa en el maro de la físia lásia (hipótesis de arrastre del éter, et.) llearían al fraaso. Einstein generaliza este resultado afirmando que las leyes de la físia son las mismas para todos los sistemas que se mueen on moimiento uniforme on respeto al obserador lo que onstituye su prinipio de la relatiidad espeial, basado en los resultados negatios de eideniar el moimiento absoluto. A.7 Explia que onepto fundamental (impliito en las transformaiones de Galileo) ritiado por Einstein abrió las puertas a la soluión del problema planteado por la soluión inesperada del resultado del experimento de Mihelson y de paso al desarrollo de la nuea Físia. La suposiión de sentido omún de igualdad de los interalos temporales y espaiales en ambos sistemas de referenia, daba por eidente la uarta euaión t = t de identidad de las esalas temporales para uno y otro sistema en las transformaiones lásias de Galileo.. A.8 Obtener la relaión entre los tiempos en el siguiente aso: Sean dos relojes de luz Ay B, formados ada uno de ellos por dos espejos paralelos separados una distania d, donde t es el tiempo neesario para que un pulso luminosos que parte del fondo inida en el espejo superior (d=.t) : Cada ez que la luz inide sobre un espejo se tiene un ti del reloj. El reloj B se desplaza on respeto al A on eloidad. Si nosotros permaneemos solidarios del reloj A, obseraremos que el amino reorrido por el rayo luminoso en B, desde la base inferior hasta inidir en la superior, es mayor que el que reorre en el reloj A. Y omo la eloidad de la luz es siempre la misma (omo ha quedado estableido, el tiempo t será mayor que el t. Es deir que el reloj B se retrasara on respeto al A, para un obserador solidario on A. Para uno solidario on B, sera el reloj A el retrasado. Obtener matemátiamente a partir de la situaión desrita en la figura la relaión entre t y t y explia omo esta diferenia de tiempos entre t y t.t iene a ompensar lo que predeía la experienia de d=.t Mihelson, dando uenta del resultado negatio enontrado. A B [Sin más que apliar el teorema de Pitagoras al triángulo de la figura se obtiene: (t ) =(t).t + (t ). De donde saando fator omún t y despejando se llega a la famosa t euaión: t = ] 1 4

5 Físia de º de Bahillerato. Introduión a la Físia Relatiista Franiso Martínez Naarro 1.3. ALGUNAS IMPLICACIONES DE LA FÍSICA RELATIVISTA Las euaiones de transformaión galileana no son alidas, ya que parten del aráter absoluto de la esala temporal, que sería la misma en ualquier sistema, en ontra de toda la eidenia experimental que lleo al prinipio de la relatiidad espeial. La orrespondenia entre las oordenadas (x, y, z, t ) de (x,y,z,t) fue estableido por Lorentz : x = y = y x. t 1 ; x = x 1 z = z t = x t 1 ; t = t 1 Transformaiones de Lorentz A.9 Analiza las transformaiones de Lorentz y mostrar que las euaiones de transformaión de Lorentz se onierten el las Galileanas para eloidades muhisimo más pequeñas que las de la luz La importania de la teoría de la relatiidad no se limita a dar uenta de los hehos experimentales que estén en su base, sino que de ella se siguen gran número de impliaiones, uya erifiaión dara a las hipótesis iniiales el aráter de una teoría firmemente estableida. Impliaiones teórias que permitan una mejor omprensión del mundo físio e impliaiones prátias, que abrirán el amino a una mayor utilizaión de la naturaleza: Dos importantes onseuenias que están en la base de la teoría son la dilataión del tiempo y la ontraión de la longitud DILATACIÓN DEL TIEMPO A.10 a) Explia y justifia a partir de las transformaiones de Lorentz la dilataión temporal para un sistema en moimiento on respeto a otro. Es deir que el interalo entre dos suesos t es diferente si se mide desde dos sistemas de referenia distintos on una eloidad relatia. Demuestra que esta diferenia solo adquiere importania para eloidades próximas a las de la luz. b) Lo mismo para la ontraión de la longitud. A.11 t Si aeptamos que omo india la euaión t =, el tiempo transurre diferentemente en 1 dos sistemas de referenia, uno de los uales se muee on eloidad respeto al otro. Cómo expliar que las experienias otidianas, un iaje en tren, por ejemplo, no señalen tal diferenia? A.1 5

6 Físia de º de Bahillerato. Introduión a la Físia Relatiista Franiso Martínez Naarro Calular el alor de t para el interalo entre dos suesos medidos por un obserador a que se muee on eloidad respeto a otro B, que da para diho interalo 10 s. en los siguientes asos: a) = 10 m/s; b) = m/s; ) = km/s Comenta y justifia los resultados obtenidos. [Soluión: a) t =10 s; b) t 10 s; ) t =. 94s] A.13 Analizar omo el onepto de simultaneidad de dos suesos pierde sentido uando se trata de suesos que tienen lugar en puntos diferentes. Mostrar que dos suesos que ourren en puntos distintos ( x 0 ), y son simultáneos ( t = 0) en ierto sistema de referenia, no lo son en otro sistema que se muea respeto al primero on eloidad. A.14 a) El periodo de semidesintegraión de determinada partíula inestable es de 10-6 s. Cuál sería el período medido si dihas partíulas fueran aelaradas hasta alanzar eloidades de 0,7 respeto al obserador? [Solu: T=1, s] b) La ida media del neutrón libre es 700 s Cuál será su ida media si fuese aelerado hasta alanzar la eloidad de 0,7 ees la eloidad de la luz respeto al obserador? Justifia la respuesta EQUIVALENCIA MASA - ENERGÍA Para que se umpla el prinipio de onseraión de la antidad de moimiento, en una transformaión de oordenadas, la masa de un uerpo ha de ariar on la m0 eloidad según la euaión: m =, en donde m 0 es la masa en reposo, es 1 deir la masa medida por un obserador respeto del uál la partíula esta en reposo. A.15 Mostrar que la masa de un uerpo puede onsiderase onstante, tal omo suponía la meánia lásia si su eloidad es pequeña omparada on. A.16 Suponer que una nae espaial de kg se aleja de la Tierra a una eloidad de 0, a) Cuál será su masa para un obserador situado en la Tierra? b) Y para un iajero de la nae? ) Cuál sería para diho iajero la masa de otra nae idéntia situada en la Tierra? [Soluión: a)5.103 kg; b) kg; ) kg] A.17 Siendo la masa del eletrón en reposo m e =9, kg Qué masa obseraremos si llea una eloidad de 0,8 respeto a nosotros? Interpreta los resultados. La relaión de la ariaión de la masa on la eloidad puede interpretarse omo un inremento de la masa que tiene lugar al omuniar energía al uerpo En la meánia relatiista la relaión entre la energía y una eloidad dada iene dado por: m0. E = m. = 1 6

7 Físia de º de Bahillerato. Introduión a la Físia Relatiista Franiso Martínez Naarro A.18 A.19 A. 0 Analiza y justifia la expresión anterior, mostrando la existenia de un ontenido energétio inluso para =0. Dedue su alor y omenta el resultado La euaión E= m 0., es una de las más famosas de la físia. Explia sus signifiado. Y sus posibles apliaiones. a) Calular la energía que puede liberarse en la desintegraión de 1 g de materia. Comparar on la energía que se libera al quemar 1 g de petróleo (poder alorífio 10,30 Kal/g) [Soluión: E= J y E = 4, J] b) Demostrar que si un uerpo emite energía E en forma de radiaión, la masa disminuye en E/. A que eloidad debe onertirse masa en energía para produir 30 Mw? A. 1 Comenta y analiza el siguiente texto: La masa no se puede onertir en energía. En las reaiones nuleares, on defeto de masa lo que tiene lugar es el paso de una forma de materia (las partíulas) a otra forma de materia (los fotones del ampo eletromagnétio, et.). En ada uno de estos proesos la materia total (no solo la existente en forma de partíulas) se onsera y se onsera asimismo la energía total. Hay simplemente una liberaión de energía existente en forma potenial, aompañada del paso de la materia de un estado a otro. No existe la energía sin sustrato material, por lo que ualquier aumento de energía supone neesariamente un aumento de la masa. De aquí la proporionalidad de la relaión E=m.. A. India algunas de las prinipales ontribuiones de la teoría espeial de la relatiidad a la omprensión del omportamiento de la materia. A.3 Señala algunas de las influenias e impliaiones de la teoría de la Relatiidad en la soiedad. A.4 Con las orientaiones del profesor realiza un trabajo de reisión bibliográfia expliando la isita de Einstein a España, resaltando las araterístia de la generaión de ientífios españoles que la hizo posible. Quién fue Blas Cabrera? Qué papel jugo en la difusión en España de la físia moderna? y en la isita de Einstein a España? En que organismos ientífios internaionales trabajaron juntos? SELECCIÓN BIBLIOGRÁFICA ALONSO, M. y FIN, E. (1971): Físia (3 ol.) Meánia, Campos y Ondas, Fundamentos uántios y estadístios. Aguilar. Barelona. (1986) Addison-Wesley Iberoameriana. E.U.A. ARNEDO, M., CATALÁN, O., DE SANTA ANA, E., MARTÍNEZ, F. Y NAVARRO, P., 1989, "La Crisis de la físia lásia y los orígenes de la físia moderna: Una propuesta de trabajo para EE.MM.". Taller presentado en el III Congreso Internaional sobre la didátia de las Cienias y de las matemátias, Santiago de Compostela, Atas, tomo II, pp, BARRIO, J. (.000): Físia º de Bahillerato. Oxford Eduaión. Naarra. 7

8 Físia de º de Bahillerato. Introduión a la Físia Relatiista Franiso Martínez Naarro EINSTEIN, A., INFELD, E. (1939): La físia aentura del pensamiento. Losada, Buenos Aires. (La eoluión de la físia, 1986, Salat, Barelona). EINSTEIN, A, GRÍMBAUM, A.S., EDINTONG, A.S Y OTROS (1978): La teoría de la relatiidad. Sus orígenes e impato sobre el pensamiento moderno. Alianza Uniersidad. Madrid. EINSTEIN, A. (1985): Sobre la teoría espeial y la teoría general de la relatiidad. El Signifiado de la relatiidad. Planeta-Agostini. Barelona. EINSTEIN (1986): Sobre la teoría de la relatiidad espeial y general. Alianza Editorial. Madrid. FERNÁNDEZ RAÑAD, A (editor) (1997). Físia. Madrid. Alianza. FEYNMAN, R. P., LEIGHTON, R.B. y SANDS, M. (1987): Físia ( ols.). Meánia. Campos y Ondas. Fundamentos uántios y estadístios. Addisson-Wesley. Iberoameriana. Madrid. GAMOV, G. (1980): Biografía de la Físia. Alianza, Madrid. GARDNER, M.(1988): La explosión de la Relatiidad. Barelona. Salat, ol. Bibliotea Científia. GARZÓN, l. (1980): Radiatiidad del medio ambiente. Alhambra. Madrid. GETTYS, W.E., KELLER, F.J. SKOVE, M.J. (199): Físia lásia y moderna. M Graw Hill. Madrid. GIANCOLI, D (1985). Físia: Prinipios y apliaiones. Barelona. Reerte. GIL, D., SENENT, F. y SOLVES, J. (1986): Análisis rítio de la introduión de la físia moderna. Reista española de Físia., GIL, D., SENENT, F. y SOLVES, J. (1988): E=m., la euaión más famosa de la físia: una inomprendida. Reista española de Físia., GIL, D., SENENT, F. y SOLVES, J. (1989): La Físia moderna en la Enseñanza Seundaria: Una propuesta fundamentada y unos resultados. Reista española de Físia. 3(1), HEWITT, P.G. (1999). Físia Coneptual. Méxio. Addisson Wesley. Longman. HOLTON, G. (1976): introduión A los oneptos y teorías de las ienias físias. Barelona. Reerte. LANDAU, L. Y RUMER, Y. (1968): Qué es la teoría de la relatiidad? Aguilera Editor. Madrid. LAHERA, J. (1995): Introduión a la Físia moderna en la enseñanza seundaria. Fundamentaión y Módulos de aprendizaje. Editorial Síntesis. Madrid. MALEH, I. (1971): Físia Moderna. Labor. Barelona. MARCH, R. (1986): Físia para poetas. Siglo XXI, Méxio. RUSSELL, B. (1985); ABC de la teoría de la relatiidad. Bibliotea de muy interesante. Orbis. Barelona. RUBIO, F. (1980): Físia. Coneptos básios. Editorial Interinsular Canaria. SAGAN, C. (1983): Cosmos. Planeta. Barelona. SERWAY, R.A. (1993): Físia. Inluye Físia moderna. 3ª ediión reisada ( tomos). M Graw Hill. Méxio. SOLBES, J. y NAVARRO, J. (1989): Físia moderna. Consejería de Eduaión. Valenia. SOLVES, J., Tarin, F. (1996): Físia º Bahillerato. Otaedro. Valenia. TAYLOR. J. (1984): La nuea Físia. Alianza Uniersidad. Madrid. TIPLER, P. (1980): Físia moderna. Reerté. Barelona. ALGUNAS PÁGINAS WEBS Y ANIMACIONES INTERACTIVAS (Teoría de la relatiidad. Applets dilataión del tiempo) indie.htm edu.aytolaoruna.es/aula/fisia/applets/hwanl/ntnujaalrelatiity/relatiity.html 1.htm relatiista pdf (Unidad didátia de Relatiidad para Físia Moderna) En (en seión laboratorio irtual hay una seión de applets de relatiidad) 8