Solución: Observamos que los números de la sucesión se pueden escribir de la siguiente L de esta manera la suma de los primeros

Transcripción

1 roblema : uánto suman los primeros 008 términos de la suesión 0,,,,, L? Soluión: Observamos que los números de la suesión se pueden esribir de la siguiente 0 manera,,,,, L de esta manera la suma de los primeros términos es ( ) + ( ) + ( ) + L+ ( ) 00 S. roblema : uál es el término que se loaliza en la posiión 008 en la suesión,,, L? Soluión: En la suesión presentada observamos el siguiente patrón o omportamiento 6,,,,,,LEs laro que el término que se loaliza en la posiión 008 debe tener a tal número omo índie del radial y omo radiando a un número impar de la forma n + (00) + 0, por lo que el término busado es roblema : uál es el déimo término en la suesión,,, 0, L? Soluión: Observamos que la suesión se puede esribir de la siguiente manera a a a a a a Siguiéndole patrón de omportamiento, es lógio onluir que a a a a6 a En general los términos se pueden esribir de manera reurrente, es deir, n ( n ) an+ an + + ( L ( n )) an + + Sustituyendo onluimos que el déimo término debe ser 0. roblema : Si en la siguiente figura el aro A mide 0 y el aro DB mide 00, uánto mide el ángulo BED?

2 Soluión: De auerdo a las ondiiones dadas en el problema onluimos que el ángulo BAD tiene una medida de 0 y el ángulo AB tiene una medida de, omo la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 80, se debe tener que la medida del ángulo AEB es de, así que el ángulo BED tiene una medida de 8 por ser suplementario on el ángulo AEB. roblema : onsiderando la siguiente adiión, uál es el valor de A + B + + D + E? 6 8 A E D Soluión: or la forma de la suma se onluye que B y se lleva una unidad, por lo que D y se llevan dos unidades, lo ual nos indue a onluir que A 0 y se lleva una unidad, de esta manera y se lleva una unidad por lo que E, en onseuenia A + B + + D + E. B + roblema 6: uántos números de la forma 8866 A B son divisibles por 8? Soluión: Solamente nos interesan los últimos tres dígitos del número, es deir, basta on analizar la ifra A B. Si A es impar onsideraremos úniamente el número B, lo ual implia que B 6, hasta ahora tenemos ino números divisibles por 8 y estos son 6, 6, 6, 6, 6; pero si A es par entones B y tenemos otros ino números divisibles por 8 y estos son 0,,, 6, 8. En total tememos 0 números de la forma 8866 A B divisibles por 8.

3 roblema : Si ada uadro tiene un área de una unidad, uánto vale el área de la región sombreada? Soluión: La región sombreada tiene un área de 6 unidades uadradas ya que las regiones no sombreadas son triángulos. roblema 8: Si ada uadro tiene un área de una unidad, uánto vale el área de la región sombreada? Soluión: La región sombreada tiene un área de unidades uadradas ya que las regiones no sombreadas son triángulos. roblema : uál es el residuo al dividir por la antidad Soluión: Tenemos que ( )( ) onluimos que, omo 008? 008 termina en y 008 termina en 6, luego entones el residuo al dividir por es. 008 termina en 6 roblema 0: uánto suman los últimos 00 dígitos del resultado de la operaión ? ( )( ) Soluión: Tenemos que ( )( ) 0, así que el resultado tiene 008 eros omo dígitos terminales y sólo falta determinar el dígito inmediato anterior, para esto basta 008 ver que termina en 6, por lo tanto los últimos 00 dígitos del resultado suman 6. roblema : Suponga que multipliaión A, B,, D son dígitos diferentes y onsidere la A B D D

4 uál es el valor de A + B + + D? Soluión: Según la operaión,,, 6 ; pero debemos desartar al porque la propia operaión lo eluye. Si 6 entones ( 6 )( B ) lo ual implia que ( 6 )( B) + 0 y se observa que no tenemos soluión, por lo que 6 y no nos queda mas que suponer que y luego entones ( )( B ) lo ual implia que ( )( B) 0 Se observa que B 0,,, 6, 8. or las ondiiones del problema B 0, supongamos que B, on esta suposiión llegaríamos a que ( )( A ) lo ual no se umple, por razones similares se desartan los valores de, 8 para B, así que nada mas queda B 6 y on este valor se obtiene que A, por lo que A + B + + D 0. roblema : Suponga que son divisibles por? a, b son dígitos a 0 uántos números de la forma ab6 Soluión: Apliando un riterio prátio de manera reurrente, llegamos a lo siguiente a b 6 a b 6 ()() a b 0 a b ()(0) a b or último a b ( )() a b 0a + b debe ser un múltiplo de. a) Supongamos que 0 a + b a, b b) Supongamos que 0 a + b 6 a 6, b ) Supongamos que 0 a + b a, b 6 Ya no podemos haer más suposiiones por la naturaleza de a, b en onseuenia sólo tres números de la forma señalada son divisibles por. roblema : Se tienen anastas on manzanas. De la primera anasta se pasa su terera parte de manzanas a la segunda anasta. Luego, de las que quedaron en la segunda anasta, se pasa la terera parte a la terer anasta. or último, de la terera anasta, se pasan dos manzanas a la primera. Si al final, ada una de las anastas tiene 0 manzanas, uántas manzanas tenía ada una de las anastas al iniiar todo este proeso? Soluión: onsidere que las anastas iniialmente tienen, y, z manzanas.obviamente + z 0. En el primer paso, en la anasta quedaron manzanas y en la anasta quedaron manzanas. La anasta quedó on z manzanas.

5 En el segundo paso,la anasta quedó on la quedó on z +. ;la anasta quedó on En el último paso, la anasta quedó on + ; la quedó on ;y la anasta quedó on z +. omo + 0,se sigue que La anasta : ,por lo que y omo + z 0,entones z 0 ; y or lo que la anasta tenía manzanas anasta tenía manzanas anasta tenía manzanas roblema : Sea f ( ) a + b + y suponga que f ( ) f (0), uál es el valor de f (( a + a + a a ) + ( b + b + b b ))? Soluión: Tenemos que f ( ) f (0) implia que a + b +,por lo que a + b 0 Entones ( a + a a ) + ( b + b b ) ( a + b) + ( a + b ) ( a + b ) 0. or lo que la respuesta será f ( 0). roblema : Se traza la siguiente figura en un semiírulo de diámetro igual a m. uánto vale el área de la región sombreada? Soluión: onstruyamos el uadrado en el írulo interior de la figura:

6 El valor de ada lado del uadrado es l + or lo que el área del uadrado es l La diferenia de áreas entre el írulo entral y el uadrado es de medios pétalos, esto es π π a ( pétalo) 8 Entones el área de la región sombreada es área será 6 π m π π 6 π A 6, por lo que el valor del 8 roblema 6 : Se onstruye un blano on uadrados onéntrios uyos lados miden,,,, metros, respetivamente (ver figura). Es laro que el blano tiene regiones, de ellas en forma de anillo y la entral, que es un uadrado pequeño on lado de. Designe a estas regiones omo,,, y. Suponga que al haer un disparo sobre el blano, se tiene una probabilidad uniforme de impatar ualquier punto de éste, esto es, la probabilidad de una región es igual al área de la región de interés entre el área total del blano, que es un metro uadrado. Si se haen disparos sobre el blano, uál es la probabilidad de que al menos dos de ellos impaten a una misma región?

7 Soluión: onsidere al evento : al menos dos disparos impatan a una de las regiones. or lo que :se tiene un sólo impato en ada una de las regiones. Es laro que [ [ 6 6 [ 00 6 [ [ or lo que ! [ [ [ [