Un paralelogramo es un cuadrilátero con sus lados opuestos paralelos. Los paralelogramos gozan de las siguientes propiedades PROPIEDAD 1

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2 1.1. PARALELOGRAMO Definiión Un paralelogramo es un uadrilátero on sus lados opuestos paralelos o Los paralelogramos gozan de las siguientes propiedades PROPIEDAD 1 En todo paralelogramo, los lados opuestos son ongruentes PROPIEDAD 2 En todo paralelogramo, las diagonales se isean Oservaión: El punto de interseión de las diagonales es entro de simetría, por qué? PROPIEDAD 3 En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son ongruentes Demuestra las Propiedades 1, 2 y 3. P O L I T E C N I C O 1

3 Los Cuadriláteros Matemátia Propiedades reíproas Las propiedades anteriores, enunian las ondiiones neesarias de los uadriláteros que son paralelogramos. Serán sufiientes? Es deir, si un uadrilátero umple on alguna de esas ondiiones, el mismo, será paralelogramo? Atividad Nº 1: TEC (GeoGera) Reurre a Relaión entre dos ojetos Traza un uadrilátero ad on lados opuestos ongruentes. Sugerenia: Para su onstruión onvendrá trazar primero dos lados onseutivos a y, luego on la herramienta Compás traza dos irunferenias de radio a y on entros en y a respetivamente. En la interseión de amas se enuentra el punto d. Compruea que se trata de un paralelogramo Qué signifia que sea neesario y sufiiente? Un ejemplo: El tomar 2l de agua diaria es una ondiión neesaria para tener una uena salud. Ahora, laro está que sólo de agua no vive el homre. es deir que no es una ondiión sufiiente. Investiga Condiión neesaria y sufiiente en Wikipedia y esrie un par de ejemplos otidianos. Justifia esta onstruión PROPIEDAD 4 Si los lados opuestos de un uadrilátero son ongruentes, entones es un paralelogramo Atividad Nº2: TEC (GeoGera) Podrás usar el omando Compás Traza los segmentos a y d punto o Qué tipo de uadrilátero resulta? tales que se isequen en un Pruea moviendo alguno de los vérties, qué puedes onluir? PROPIEDAD 5 Si las diagonales de un uadrilátero se isean, entones el mismo es un paralelogramo 2 P O L I T E C N I C O

4 Atividad Nº 3: Traza un uadrilátero on ángulos opuestos ongruentes. Sugerenia: Para su onstruión, previamente pruea que si en un uadrilátero los ángulos opuestos son ongruentes, entones sus ángulos onseutivos son suplementarios. PROPIEDAD 6 Si los ángulos opuestos de un uadrilátero son ongruentes entones es un paralelogramo. CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES De las propiedades 1 y 4 resulta: Un uadrilátero, es paralelogramo si y sólo si los lados opuestos son ongruentes En símolos: ad paralelogramo a d ad De las propiedades 2 y 5 resulta: Un uadrilátero, es paralelogramo si y sólo si las diagonales se isean En símolos: ad paralelogramo ao o o od De las propiedades 3 y 6 resulta: En símolos: Un uadrilátero, es paralelogramo si y sólo si los ángulos opuestos son ongruentes P O L I T E C N I C O 3

5 Los Cuadriláteros Matemátia paralelogramo Otra propiedad importante: ad a d Un uadrilátero, es paralelogramo si y sólo si posee un par de lados opuestos ongruentes y paralelos En símolos: ad paralelogramo a d a d Verifia usando el GeoGera esta Propiedad y luego demuéstrala. 4 P O L I T E C N I C O Prolemas 1) Demuestra que las isetries de dos ángulos opuestos de un paralelogramo son paralelas. 2) Demuestra que las isetries de dos ángulos onseutivos de un paralelogramo son perpendiulares. 3) Si x e y son los puntos medios de los lados opuestos de paralelogramo ad y xy a o, será o punto de interseión de las diagonales? Justifia tu respuesta. 4) H) ad paralelogramo de a f d T) de f Realiza la demostraión 5) H) def paralelogramo a T) perímetro paralelogramo def = 2 Realiza la demostraión d f a e a d d y a x f e

6 6) H) xyzt paralelogramo y ta T) tya paralelogramo Realiza la demostraión. t a z x y d 7) Saiendo que x es mediana del y que eˆd ad ˆ,, demuestra que aed es un paralelogramo d a x e 1.2. TRAPECIO Definiión Un trapeio es un uadrilátero que posee al menos un par de lados opuestos paralelos TRAPECIO ISÓSCELES Definiión Un trapeio que tiene el par de lados no paralelos ongruentes se llama trapeio isóseles En símolos: ad a d a d ad trapeio isóseles a d Oservaión A ualquiera de los lados paralelos se le llama ase del trapeio isóseles. P O L I T E C N I C O 5

7 Los Cuadriláteros Matemátia Propiedades: (I) (II) En un trapeio isóseles, los ángulos de la ase son ongruentes. En un trapeio isóseles, las diagonales son ongruentes. Demostraremos la propiedad I. H) ad trapeio isóseles, T) a d y ad D) Completa las proposiiones y así otendrás la demostraión Trazamos ma, entones am es un paralelogramo. Por qué?... Luego: (3) (4) (3) (5) a m 1 md d m d md isóseles a d a d 2 a md (Por (6)) Ya demostramos que: a d (*) a 2R por ser onjugados d 2R por ser onjugados internos en... a d internos en... y(*) a d (1) (2) (3) Propiedad transitiva (4). (5) En todo triángulo, a lados ongruentes se opones ángulos ongruentes (6) Ángulos orrespondientes en 6 P O L I T E C N I C O

8 Prolemas 8) Demuestra la Propiedad II 9) Demuestra que si un trapeio posee el par de ángulos de una ase ongruentes, entones el trapeio es isóseles. 10) En el paralelogramo ad donde ad, sea el punto m del lado ad y perteneiente a la isetriz del ángulo interior. Saiendo que demuestra que el uadrilátero md es un trapeio isóseles. 2a, 1.3. BASE MEDIA BASE MEDIA DE UN CUADRILÁTERO Consideremos la siguiente definiión: Base Media de un uadrilátero es el segmento determinado por los puntos medios de dos lados opuestos Simóliamente: a p q p punto medio de a q punto medio de d pq ase media del ad d Construye la otra ase media P O L I T E C N I C O 7

9 Los Cuadriláteros Matemátia BASE MEDIA DE UN PARALELOGRAMO En el aso partiular que el uadrilátero es un paralelogramo pueden demostrarse que: La ase media de un paralelogramo es paralela y ongruente on los lados opuestos del paralelogramo a m d H) ad es un paralelogramo ase media mn n T) mn a ; mn d D) Completando las proposiiones otendrás la demostraión ad es un paralelogramo ad (1) mn ase media 1 m... de ad md ad (2) 2 1 n... de......(3) 2 De (1) ;(2) y (3) md n por ser mitades de lados opuestos de un paralelogramo. md n mdn es un pues.. mdn paralelogramo mn d mn P O L I T E C N I C O

10 ad paralelogramo a d BASE MEDIA DE UN TRAPECIO Cuando el uadrilátero es un trapeio puede demostrarse que: El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapeio es paralelo a los otros dos lados y ongruente on su semisuma m a n H) ad es trapeio on mn ase media ad d T) a d mn ; mn a d 2 Completa las proposiiones para demostrar el teorema. Previamente efetuaremos una onstruión auxiliar: por n trazamos una reta S paralela a a S q y d S r S ad y llamamos a q m n Comparamos los triángulos qn y n r d r qn y n r ˆnq rn ˆ por... qˆn n ˆr por... qn r n pues... n n por P O L I T E C N I C O 9

11 Los Cuadriláteros Matemátia q r qn r n por... qn nr (1) aqrd es un paralelogramo por onstruión m punto medio de ad por H n punto medio de qr por (1) mn es... De aqdr mn aq mn dr siendo aq r de donde mn a d (Aquí se demuestra la primera parte de la Tesis) Además mn mn aq mn a q dr mn d r 2 mn a d mn... (se demuestra la segunda parte de la tesis) BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO Si se extiende la definiión de ase media de un uadrilátero para un triángulo resulta: Base Media de un triángulo es el segmento que posee omo extremos los puntos medios de dos lados TEC (GeoGera) 10 P O L I T E C N I C O

12 Diuja un triángulo y onstruye la ase media respeto a uno de los lados y mide amos segmentos. Mueve ualquier vértie de diho triángulo, puedes enontrar alguna regularidad? PROPIEDAD La ase media respeto a un lado del triángulo, es paralela y ongruente on la mitad del mismo D) Trazo a A R q. Vamos a demostrarla H) a mp ase media mp a T) 1 mp a 2 R por el punto p, R a t ; luego trazo A a por el punto, Por onstruión: aqt es un q at (*) Comparamos: Por (1) p... por dato qp y pq... por qp tp q t tp qp... por Por (2) Por (3) (**) y qp pt ( ) m punto medio de a por dato mp es ase media del paralelogramo aqt p punto medio de qt por ( ) mp at y mp at (por (5)) mp a Por (4) P O L I T E C N I C O 11

13 Los Cuadriláteros Matemátia De (*) y (**) y por propiedad transitiva: at t ( a 2at mp at) a 2mp mp (1). Por (5) 1 a 2 (2) (3) Elemento homólogo (4) La ase media de un paralelogramo es paralela e igual a la ase (5).. Prolemas 11) Calula la medida de la ase media mn, en ada aso a) 5 ) m n m n 12) Calula x e y si mn pq a) p m x 8 y a n 12 q Saiendo que: mn ase media p a q pq ase media a 8 ) m n p q x mn ase media pq 13) r, s y t son puntos medios de los lados del a miden: uyos lados 12 P O L I T E C N I C O r s

14 a 23m, 32 m y a 45 m Halla el perímetro del r s t 14) Si x, y, t son puntos medio de los lados a, y a respetivamente del a, demuestra que xyt es un paralelogramo 15) e, f, g y h son los puntos medios de los lados onseutivos de un uadrilátero no onvexo de la figura. Será efgh un paralelogramo?. Justifia tu respuesta. a e g d f h ACTIVIDAD Nº4 TEC (GeoGera) a Construye el triángulo, uia el punto m, punto medio del lado a y traza la reta R paralela al lado a que pasa por m. Busa el punto de interseión de R on el lado y mide los segmentos m y m. Mueve ualquier vértie del triángulo. Qué puedes onjeturar? PROPIEDAD Toda reta paralela a un lado de un triángulo trazada por el punto medio de otro de los lados, intersea al terer lado en el punto medio de éste. A ontinuaión demostraremos la propiedad P O L I T E C N I C O 13

15 Los Cuadriláteros Matemátia m punto medio de a H) R a, mr T) n punto medio D) Trazamos qr a y q ar mn mnq y mnra son paralelogramos, on lo que: nq m am rn rn nq Ahora omparemos los triángulos qn y r n qn qn... por... y rn nq por qn rn n n rn nq... por... (1)... (2).. Por (1) Por (2) Prolemas 16) Pruea que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapeio isea a las dos diagonales. 14 P O L I T E C N I C O

16 17) Sea ad un paralelogramo, e y f los puntos medios de los lados opuestos a y d respetivamente. Demuestra que de y f dividen a la diagonal a en tres segmentos ongruentes. 2 PARALELOGRAMOS PARTICULARES Paralelogramos partiulares son el retángulo, el romo y el uadrado. 2.1 RECTÁNGULO Definiión: Un retángulo es un paralelogramo on un ángulo reto a d Demuestra que el retángulo ad es un CUADRILÁTERO EQUIÁNGULO Veamos una propiedad importante de los retángulos: PROPIEDAD Las diagonales del retángulo son ongruentes Efetúa su demostraión Propiedad reíproa Si un paralelogramo tiene sus diagonales ongruentes es un retángulo P O L I T E C N I C O 15

17 Los Cuadriláteros Matemátia Efetúa su demostraión 2.2 ROMBO Definiión Un romo es un paralelogramo on dos lados onseutivos ongruentes a d En la figura a Demuestra que un romo es un CUADRILÁTERO EQUILÁTERO Veamos una propiedad importante de los romos: PROPIEDADES o Las diagonales del romo son perpendiulares. o Las diagonales del romo son isetries de los ángulos opuestos. Efetúa las demostraiones orrespondientes Propiedades reíproas 16 o Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiulares, el paralelogramo es un romo. o Si las diagonales de un paralelogramo son isetries de los ángulos opuestos, el P O L I T E C N paralelogramo I C O es un romo

18 Efetúa las demostraiones orrespondientes 2.3 CUADRADO Definiión: Un uadrado es un uadrilátero regular Completa: Un uadrado es un retángulo porque... Un uadrado es un romo porque... Veamos un diagrama que muestre la relaión de inlusión entre los onjuntos T = {trapeios} P = {paralelogramos} R = {retángulos} B = {romos} C = {uadrados} P O L I T E C N I C O 17

19 Los Cuadriláteros Matemátia SINTESIS NOMBRE CUADRILÁTERO PARALELOGRAMO CON: RECTÁNGULO equiángulo un ángulo reto PROPIEDADES DE LAS -Se isean mutuamente -Son ongruentes ROMBO equilátero dos lados onseutivos ongruentes -Se isean mutuamente -Son perpendiulares -Bisean a los ángulos opuestos CUADRADO equilátero y equiángulo un ángulo reto y dos lados onseutivos ongruentes -Se isean mutuamente -Son ongruentes -Son perpendiulares -Bisean los ángulos opuestos Prolemas 18) Demuestra ada una de las siguientes proposiiones: a) Todo romo es un paralelogramo ) Un retángulo es un trapeio ) Un uadrado es un paralelogramo d) Algunos paralelogramos son romos e) Todos los uadrados son romos f) Las diagonales de un uadrado se isean 18 P O L I T E C N I C O

20 g) Las retas que inluyen a las diagonales de un romo son eje de simetría del mismo 19) Responde y justifia: a. Un uadrilátero que tenga un par de lados onseutivos ongruenes, es un romo?. Un uadrilátero que tenga dos ángulos retos, es un retángulo? 20) Utilizando el software GeoGera, diuja: 21) a) Un romo que no sea uadrado ) Un paralelogramo on diagonales perpendiulares ) Un uadrilátero on diagonales perpendiulares y ongruentes. d) Un trapeio isóseles on un ángulo reto. d e H) d punto medio de a e punto medio de f punto medio de a a= a f T) def romo Realiza la demostraión. 22) Si en la figura del prolema anterior d; e y f son puntos medios de los lados a; y a respetivamente y def es un romo, dee ser a neesariamente isóseles?. Justifia la respuesta. 23) Demuestra que la reta que une los puntos medios de los lados de un retángulo es eje de simetría de la figura. P O L I T E C N I C O 19

21 Los Cuadriláteros Matemátia 24) Demuestra ada propuesta on respeto al diujo de la dereha: f H) ad paralelogramo e, f, g y h puntos medios e de los lados. T) efgh paralelogramo a h g d 25) (Para traajar on GeoGera) Considera un uadrado ad y en él determina los puntos m, p, q y r de modo que d q m p qd ra p y p q dr am r Demuestra que mpqr es un uadrado a m 26) Demuestra que un paralelogramo insripto en una irunferenia on diagonales perpendiulares es un uadrado 20 P O L I T E C N I C O

22 P O L I T E C N I C O 21

23 Los Cuadriláteros Matemátia AUTOEVALUACIÓN. f e 1) En la figura es f ad, e ad, af ed y f e Demuestra que ae fd a d 2) En el paralelogramo ad traza las perpendiulares a la diagonal a desde y d y llama r y s a los respetivos pies de tales perpendiulares. Demuestra que rds es un paralelogramo. 3) Demuestra que los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un uadrilátero se isean mutuamente. d y 4) Sean x, y, z y t los puntos medios de los lados del romo ad. Demuestra que xyzt es un retángulo. z x a t 5) En un paralelogramo ad on ad a, la isetriz â orta a del ˆ intersea a ad en h. Demuestre que agh es un romo. en g y la BIBLIOGRAFIA Apunte El Universo de los uadriláteros Hinrihsen-Bushiazzo-Cattaneo Impreso en el instituto Politénio 1985 Geometría Serie Awli - Clemens - Editorial Addison Wesley Longman Impreso en Mexio - Año P O L I T E C N I C O