FIGURAS PLANAS. ÁREAS

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1 FIGURAS PLANAS. ÁREAS 2º DE ESO JUAN MIGUEL MÉNDEZ LÓPEZ IES Puerta de Pehina 29 de aril de 2012

2 Índie de Contenidos 1 TEOREMA DE PITÁGORAS Justiaión de la Expresión del Teorema de Pitágoras 2 APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Determinar si un triángulo es retángulo Cálulo de la diagonal de un retángulo Cálulo de la altura de un triángulo isóseles Cálulo de la apotema de un polígono regular 3 ÁREAS DE POLÍGONOS Área de los paralelogramos Área del triángulo Área del trapeio Área de un polígono regular 4 Longitud de una irunferenia y de un aro de irunferenia 5 Áreas de guras irulares

3 Teorema de Pitágoras Los lados ( y ) de un triángulo retángulo que forman el ángulo reto, se llaman atetos. El otro lado (a) se denomina hipotenusa. C a A B Theorem En todo triángulo retángulo, el uadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los uadrados de los atetos. a 2 =

4 Justiaión de la expresión del teorema de Pitágoras I Parte I C a a 2 A B

5 Justiaión de la expresión del teorema de Pitágoras II Parte II Paso 2 Los triángulos retángulos del Paso 2 los reoloamos tal y omo se india en el Paso 3. Paso 3 Osérvese que el anho y el alto son los mismos en los diujos. C a a 2 A B

6 Justiaión de la expresión del teorema de Pitágoras III Parte III Paso 3 Completamos la gura del Paso 3 on uadrados (ver Paso 4). Paso 4 Osérvese que el anho y el alto son los mismos en los diujos. 2 2

7 Justiaión de la expresión del teorema de Pitágoras IV Parte IV Los dos uadrados son iguales. C a a A B

8 Justiaión de la expresión del teorema de Pitágoras V Parte V La superfie de este uadrado es igual a la suma de las áreas de estos dos uadrados 2 a a 2 2 Por lo tanto se muestra que a 2 =

9 Determinar si un triángulo es retángulo Dado un triángulo, A B a C 1 es retángulo si a 2 = 2 + 2, siendo el lado a el más grande. 2 es autángulo si a 2 < 2 + 2, siendo el lado a el más grande. 3 es otusángulo si a 2 > 2 + 2, siendo el lado a el más grande.

10 Determinar si un triángulo es retángulo Dado un triángulo, A B a C 1 es retángulo si a 2 = 2 + 2, siendo el lado a el más grande. 2 es autángulo si a 2 < 2 + 2, siendo el lado a el más grande. 3 es otusángulo si a 2 > 2 + 2, siendo el lado a el más grande.

11 Determinar si un triángulo es retángulo Dado un triángulo, A B a C 1 es retángulo si a 2 = 2 + 2, siendo el lado a el más grande. 2 es autángulo si a 2 < 2 + 2, siendo el lado a el más grande. 3 es otusángulo si a 2 > 2 + 2, siendo el lado a el más grande.

12 Ejemplos I Ejemplo 1 Tenemos tres segmentos uyas medidas son 3 m, 5 m y 6 m. Clasia el triángulo en funión de sus ángulos. a = 6 = = 36 5 = = = 34 3 triángulo otusángulo. } 6 2 > es un Ejemplo 2 Tenemos tres segmentos uyas medidas son 3 m, 5 m y 4 m. Clasia el triángulo en funión de sus ángulos. a = 5 = = 25 4 = = = 25 3 triángulo retángulo. } 5 2 = es un

13 Ejemplos I Ejemplo 3 Tenemos tres segmentos uyas medidas son 4 m, 5 m y 4 m. Clasia el triángulo en funión de sus ángulos. a = 5 = = 25 4 = = = 32 4 triángulo autángulo. } 5 2 < es un

14 Cálulo de la diagonal de un retángulo Calula la diagonal de un retángulo de ase 4 m y altura 3 m. d 3 4 Por el teorema de Pitágoras, d 2 = = = 25 d 2 = 25 d = 25 d = 5. La diagonal de este retángulo mide 5 m.

15 Cálulo de la altura de un triángulo isóseles Calula la altura de un triángulo isóseles uya ase mide 3 m y el otro lado mide 3 m. h La altura divide al triángulo en dos triángulos retángulos. Luego podemos utilizar el teorema de Pitágoras para alularla. 4 2 = h 2 + 1,5 2 h 2 = 4 2 1,5 2 h 2 = 16 2,25 h 2 = 13,75 h = 13,75 h = 3,71. La altura de este triángulo mide 3.71 m, aproximadamente.

16 Cálulo de la apotema de un polígono regular Calula la apotema de un exágono regular de lado 6 m. 6 a En un hexágono regular se veria que la longitud del radio es igual a la longitud del lado. En el diujo se oserva que la apotema es un ateto de un triángulo retángulo uya hipotenusa es 6 m y el otro ateto 3 m. Por lo tanto, se puede utilizar el teorema de Pitágoras. 6 2 = a a 2 = a 2 = 36 9 a 2 = 25 a = 25 a = 5. La apotema de este hexágono mide 5 m.

17 Área del uadrado y del reta«gulo Área del uadrado y del retángulo Área del uadrado Área del retángulo l El área de un uadrado de lado l: A = l 2. a El área de un retángulo de ase y altura a es: A = a.

18 Área del romo I Área del romo Área del romo D d El área de un romo de diagonal menor d y diagonal mayor D es: A = d D 2. Justiaión Hagamos oinidir los lados del romo on las hipotenusas de uatro triángulos retángulos iguales a los que las diagonales d y D dividen al romo. De esta forma la gura otenida tendra el dole de área que el romo original. La gura que hemos onstruido es un retángulo de ase d y altura D.

19 Área del romo II Área del romo d D Como el área de este retángulo es A = d D, entones el área del romo es A = d D 2.

20 Área del romoide Área del romoide Justiaión Área del romoide h El área de un romoide de ase y altura h es: A = h. h Si el triángulo oloreado de verde lo amiamos de lugar, se otiene un retángulo. Por lo tanto, el área del romoide de ase y altura h oinide el área de un retángulo de ase y altura h. Es deir, A = h. h

21 Área del triángulo Área del triángulo Justiaión Área del triángulo h El área de un triángulo de ase y altura h es: A = h 2. h Con dos triángulos iguales podemos onstruir un romoide de ase y altura h. Por lo tanto, el área de un triángulo de ase y altura h es la mitad del área del romoide. Es deir, A = h 2.

22 Ejemplo Calula el área de un triángulo de ase 8 m y altura 6 m. 6 m 8 m A = h = = 48 2 = 24. El área del triángulo es de 24 m 2.

23 Área del trapeio Área del trapeio Justiaión Área del trapeio h B El área de un trapeio de ase mayor B, ase menor y (B + ) h altura h es: A =. 2 h +B B Con dos trapeios iguales podemos onstruir un romoide de ase B + y altura h. Por lo tanto, el trapeio de ase mayor B, ase menor y altura h es la mitad del área del romoide. Es deir, A = (B + ) h. 2

24 Ejemplo Calula el área de un trapeio de ase mayor 8 m, ase menor 5 y altura 6 m. 6 m 5 m (B + ) h A = = 2 (8 + 5) 6 = = 78 2 = 39. El área del trapeio es de 39 m 2. 8 m

25 Área de un polígono regular a l r El área de un polígono regular de apotema a es: A = p a 2, donde p es el perímetro y a la potema.

26 Longitud de una irunferenia y de un aro de irunferenia Longitud de una irunferenia Longitud de un aro de irunferenia r B α r A La longitud de una irunferenia de radio r es: L = 2πr. La longitud de un aro de irunferenia de radio r es y α grados es: L = 2πrα 360.

27 Áreas de guras irulares Área del írulo Área del setor irular Área de la orona irular r A α r B R r A = πr 2 A = πr 2 α 360 A = π ( R 2 r 2)

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