Repartido 1. Profesor Fernando Díaz Matemática II 5to cient. I.D.A.L. 2016

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1 Repartido 1 Profesor Fernando Díaz Matemática II 5to cient. I.D..L ONTEXTO : JUSTIFIIÓN : La ciencia utiliza el método deductivo, que consiste en encadenar los saberes de manera tal que se obtengan nuevos conocimientos. En Geometría, existen puntos de partida necesarios para obtener nuevos saberes y que son aceptados por sí mismos : son los axiomas y postulados ; es decir se fijan conceptos primitivos que se aceptan sin definir y ciertas propiedades que se aceptan sin demostrar, que son los axiomas. partir de los conceptos primitivos ( punto, recta, plano ) se definen nuevos conceptos y de los axiomas se deducen nuevas propiedades apareciendo los teoremas, que son verdades que deben ser demostradas y de las cuales puedo obtener otras proposiciones que son los corolarios. Ejercicio 1 Investiga que significa cada uno de los siguientes conceptos, y completa el cuadro XIOM : POSTULDO : TEOREM : OROLRIO : Geometría: podemos partir de que es la iencia que estudia las propiedades de las figuras desde el punto de vista de la forma, de la magnitud, de la posición. lgunos conjuntos de puntos son: Nombre del onjunto Representación PUNTO RET SEGMENTO SEMIRRET PLNO Simbolo Se lee Punto P Recta MN Recta NM Segmento MN Segmento NM Semirrecta MN Plano α

2 ÁNGULO: podemos darle la siguiente definición : es la porción de un plano limitada por dos semirrectas que tienen el origen común. O = vértice del ángulo O y O semirrectas O O O Un ángulo se mide (en grados sexagesimales), en grados, minutos y segundos. El circulo completo mide 360º, es decir, un grado es la trescientas sesenta ava parte del circulo completo. Un grado se divide en 60 partes iguales y cada una de estas partes se llama minuto, es decir: 1º = 60 Un minuto se divide en 60 partes iguales y cada una de ellas recibe el nombre de segundo, es decir: 1 = 60 LSIFIIÓN DE ÁNGULOS : (completa el cuadro) ÁNGULO OMPLETO ÁNGULO LLNO ÁNGULO OTUSO mide mide Mide Dibujo Dibujo Dibujo ÁNGULO RETO mide ÁNGULO GUDO mide Dibujo Dibujo SUM (REST) DE NGULOS: Los ángulos expresados en grados, minutos y segundos se pueden sumar o restar como sigue: Ejemplos: 1) Suma de ángulos: 15º º º Luego, 63º = 64º 16 27

3 2) Realiza la resta: 150º - 122º Ejercicio 2 sí 149º º º ) Determinar el valor de los siguientes ángulos: O = OE = OD = OF = OE = DOF = OF = D 42º 45º 30º E 51º 0 ) Dados los siguientes ángulos: = 23º 45, = 120º 40 32, = 92º alcula F a) + + = b) - = c) 2 ) En la figura, O es bisectriz del O. Encuentra el valor de x e y, si O = 140º. DEFINIIONES : 2y-20º x+10º O ÁNGULOS DYENTES Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común. y son adyacentes ÁNGULOS OMPLEMENTRIOS: Dos ángulos adyacentes son complementarios si suman en conjunto 90º. 9

4 ÁNGULOS SUPLEMENTRIOS Dos ángulos adyacentes son suplementarios si suman en conjunto 180º 180º NGULOS FORMDOS POR DOS RETS PRLELS ORTDS POR UN SENTE L1 L Ejercicio 3 ) En la figura, cuál es el valor de x? 2x-1 29º ) En la figura, cuál es el valor de x? x ) En la figura, encuentra los valores de x e y y+10º 2x 3x-70º D) La suma de las magnitudes de dos ángulos es 124º. Si la medida de uno de ellos es el triple de la del otro. cuál es la medida de cada uno de ellos? E) Tres ángulos suman 157. El mayor mide 32º más que el segundo, y éste 25º más que el tercero. uánto vale cada ángulo? 2x-10 F) G) H) x+40 3x 2x 5x x+50 2x-80

5 ONSTRUIONES ÁSIS. Es necesario para el trabajo posterior de polígonos, sepas realizar las construcciones básicas de geometría, esto es con compás y escuadra. Ejercicio 4 ) opia en tu cuaderno el ángulo dado en la figura : ) En tu cuaderno, construye la mediatríz del segmento : La mediatriz es la perpendicular en el punto medio del segmento dado. ) onstruye la bisectriz del ángulo dado. D) Desde un punto P exterior a la recta L, traza otra recta perpendicular a la recta dada. X P L E) Encuentra el conjunto de todos los puntos del plano que están a distancia d del punto dado P. d x P

6 F) omprueba con tus útiles, que los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí. G) Desde un punto exterior P a una recta L, traza una paralela a la recta dada. P POLÍGONOS. POLÍGONO es una figura limitada por segmentos de rectas. Los polígonos pueden ser cóncavos o convexos. POLÍGONO ONVEXO POLÍGONO ÓNVO. Se clasifican de acuerdo al número de lados: 3 lados es un 4 lados es. 5 lados es un 6 lados es un 10 lados es un 20 lados es un NGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO La suma de los ángulos interiores se obtiene multiplicando 180º por el número de lados del polígono menos dos. S = 180º ( n - 2 ) DIGONLES Número de diagonales que parten de un sólo vértice.

7 El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados, desde un mismo vértice se obtiene restando tres al número de lados. d = n - 3 NÚMERO TOTL DE DIGONLES. El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados se obtiene según la siguiente fórmula: D = n 2 ( n - 3) POLIGONO REGULR. Es el polígono que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos congruentes. demás se puede inscribir en una circunferencia. a) ngulo Interno: como tiene todo sus ángulos congruentes, se divide la suma total por el número de ángulos. i = 180º ( n 2) n i b) ngulo del centro: se divide 360º por el número de lados del polígono. c = 360º n c c) ngulo exterior: también se obtiene dividiendo 360º por el número de lados. e = 360º n e Ejercicio 5 ) uánto mide el ángulo interior de un decágono regular? ) uánto mide la suma de los ángulos interiores de un polígono de 8 lados?

8 ) uántas diagonales se pueden trazar en total en un polígono de 9 lados? D) uál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide 150º? E) En qué polígono se pueden trazar 9 diagonales en total? F) En un polígono regular de 12 lados: i) cuánto mide cada ángulo interior? ii) cuánto mide cada ángulo exterior? iii) cuánto mide cada ángulo central? TRIÁNGULOS. Identificar los triángulos. triángulo cualquiera, y lados del triángulo interiores `,, exteriores, y vértices del triángulo LSIFIION DE TRIÁNGULOS. SEGÚN SUS LDOS. 1. EQUILÁTERO 2. ISÓSELES 3. ESLENO

9 SEGÚN SUS ÁNGULOS : 4. UTÁNGULO Todos sus ángulos interiores son agudos. 5. RETÁNGULO 1 ángulo recto y dos agudos suplementarios 6. OTUSÁNGULO 1 ángulo obtuso y dos agudos. PROPIEDDES DE TODO TRIÁNGULO : I. LOS TRES ÁNGULOS INTERIORES SUMN EN ONJUNTO 180º. II. LOS TRES NGULOS EXTERIORES EN ONJUNTO, SUMN 360º. III. D NGULO EXTERIOR ES EQUIVLENTE L SUM DE LOS DOS ÁNGULOS INTERIORES NO DYENTES. Ejercicio 6 ) De los tres ángulos de un triángulo el mayor mide 32 más que el segundo y éste 25 más que el tercero. uánto mide cada ángulo? ) Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón de 3 : 5 : 7. uál es la medida del ángulo del medio? ) El ángulo basal de un triángulo isósceles mide 57 más que el ángulo del vértice. uánto mide cada ángulo? D) El perímetro de un triángulo equilátero es 24. uál es la magnitud de su lado?

10 Hallar x e y en cada caso E) F) 35º 20 30º x y x 65 y G) H) x 120º 100º 35º 62º x y SEGMENTOS SEUNDRIOS EN UN TRIÁNGULO. I.ISETRIES. E = b F = b D = b F E Las tres bisectrices se cortan en un mismo punto que sirve de centro a la circunferencia INSRIT. D DIHO PUNTO SE LLM INENTRO. II. MEDINS E punto medio de D punto medio de F punto medio de. F E E = ta ; F = tb ; D = tc G D Las tres medianas se cortan en un sólo punto llamado ENTRO DE GRVEDD o RIENTRO

11 Una característica especial de las medianas es que el segmento adyacente al vértice es el doble del segmento adyacente al lado. es decir, G = 2GE. III. LTURS DEL TRIÁNGULO. La altura es un segmento perpendicular al lado bajada desde el vértice opuesto. D ; E ; F F E Las tres alturas se cortan en un mismo punto llamado ORTOENTRO. D IV. PRLELE MEDI E D, E y F son los puntos medios de los lados del triángulo. DE, EF y FD son las medianas. F V. MEDITRIES D ada paralela media que une dos puntos medios es paralela al lado al tercer lado y es la mitad de dicho lado. Mmediatriz es la perpendicular levantada en el punto medio de cada lado del triángulo. Las tres mediatrices se cortan en un solo punto que sirve de centro a la circunferencia circunscrita, es decir, pasa por cada vértice del triángulo. Dicho punto se denomina IRUNENTRO.

12 Ejercicio 7 ) Qué puedes decir acerca de las alturas?. Dibújalas. i) en un triángulo rectángulo onclusiones ii) en un triángulo acutángulo onclusiones iii) en un triángulo obtusángulo onclusiones Dibuja las medianas : onclusiones Traza las mediatrices de los lados del triángulo : onclusiones

13 Traza las medianas onclusiones ONSTRUIONES DE TRIÁNGULOS PRIMER SO : Se conocen los tres lados. onstruye un triángulo dados : lado a = 4 ; b = 5 cm y c = 6 cm. onstrucción : 1º Se dibujan los tres segmentos dados 2º Se traza una recta. Se determina el vértice. Se dibuja una arco centro y con radio c. Se determina el vértice. 3º Desde se traza un nuevo arco hacia con radio b. 4º Desde el vértice se traza un arco hacia con radio a. 5º Queda determinado el vértice. Se une con y b con a b c b a Ejercicio 8 c EN TU UDERNO : ) Dibuja un triángulo dados : a = 12 : b = 7 ; c = 8 ) rees tú poder construir una triángulo dados a = 4 ; b = 6 ; c = 12 cm.? SEGUNDO SO : Se conocen dos lados y el ángulo formado por ellos.. onstruye un triángulo dados : lado b = 4 ; c = 5 cm y = 60º. onstrucción : 1º Se dibujan los dos trazos dados y el ángulo de 60º 2º Se traza una recta. Se determina el vértice. Se dibuja una arco centro y con radio c. Se determina el vértice. 3º En se copia el ángulo de 60º. Se obtiene el lado libre del ángulo.

14 4º Sobre el lado libre del ángulo se copia el segmento b. Se determina el vértice. 5º Se une con y queda construido el triángulo. ONSTRUIÓN ( EN TU UDERNO ) EN TU UDERNO : ) onstruye un triángulo dados : b = 4,5 cm ; c = 5,0 cm y = 50º D) onstruye un triángulo dados : b = 52 mm ; a = 35 mm y = 65º TERER SO : Se conocen un lado y los dos ángulos contiguos. onstruye un triángulo dados : lado c = 4,6 cm ; = 120º y = 30º. onstrucción : 1º Se dibujan el trazo dado y los dos ángulos dados. 2º Se traza una recta. Se determina el vértice a. Se dibuja una arco centro y con radio c. Se determina el vértice. 3º En el vértice se copia el ángulo. 4º En el vértice se copia el ángulo. 5º Se unen los vértices con los puntos determinados en cada arco. Queda determinado el triángulo. EN TU UDERNO : E) onstruye un triángulo dados : a = 4,5 cm ; = 75º y = 50º F) onstruye un triángulo dados : b = 52 mm ; = 105º y = 35º URTO SO : Se conocen dos lados y un ángulo. onstruye un triángulo dados : lado c = 4,6 cm ; b = 5,4 cm y = 85º. onstrucción : 1º Se dibujan los tres datos 2º Se traza una 3º 4º 5º EN TU UDERNO : G) onstruye un triángulo dados : b = 4,5 cm ; c = 5,0 cm y = 50º

15 H) onstruye un triángulo dados : b = 52 mm ; a = 35 mm y = 65º Ejercicio 9 ) El pueblo está situado a 23 km al sur del pueblo. El pueblo está 35 km al suroeste de. uál es la distancia entre y? ) Desde un acantilado, Luis observa un barco bajo un ángulo de 20º. Luis se encuentra a 15 metros sobre el nivel del mar. qué distancia está el barco ONGRUENIS ESTS SÍ SON FIGURS ONGRUENTES ESTS SÍ SON FIGURS ONGRUENTES ESTS NO SON FIGURS ONGRUENTES Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Esto significa que deben tener lados y ángulos iguales : =, = =, = =, = La notación de que un triangulo es congruente con otro lo anotamos

16 Existen criterios que permiten afirmar que dos triángulos son congruentes : RITERIO NGULO - LDO - NGULO (. L..) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los ángulos adyacentes a él : : = L : = : = 2. RITERIO LDO - NGULO - LDO ( L..L ) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos : L : = : = L : = 3. RITERIO LDO - LDO - NGULO ( L. L.. ) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos : L : = L : = : = 4. RITERIO LDO - LDO - LDO ( L. L. L. ) Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales : L : = L : = L : =

17 DOS EJEMPLOS DE PLIIÓN : 1) TEOREM : La bisectriz correspondiente al ángulo basal de un triángulo isósceles es perpendicular a la base y la biseca. 1 2 Hipótesis : es isósceles D es bisectríz Tesis : D = D = 90º y D = D D Demostración : En primer lugar se deben ubicar los datos de la hipótesis en la figura para luego darse cuenta cuál es el criterio a utilizar, así : L : = (lados iguales de un triángulo isósceles ) : 1 = 2 (por ser D bisectríz ) L : D = D ( lado común a los dos triángulos ) Por tanto : D D ( por criterio L..L.) hora, si dos triángulos son congruentes, entonces todos sus elementos respectivos son iguales ( se dice que los elementos homólogos son iguales), así : D + D = 180º ( son ángulos adyacentes ) y como éstos son iguales, cada uno mide 90º ( los ángulos homólogos son los opuestos a lados iguales ). demás : D = D ( por ser elementos homólogos ) Q. E. D. ( Queda Esto Demostrado ) 2) En la figura : F E Hipótesis : F = D y F = ED Tesis : i) F DE ii) es el punto medio de E D Demostración : I : F = ED ( por hipótesis ) II : F = D ( por hipótesis ) III: F = ED ( ángulos opuestos por el vértice )

18 por tanto : i) F DE ( por criterio L..L.) ii) = E ( lados homólogos ) 3) En la figura : Hipótesis : = D y = D Tesis : i) D ii) = D D Demostración : I: = D ( por hipótesis ) II : = D ( por hipótesis ) III : = ( por hipótesis ) sí : i) D ( por criterio L.L.L.) ii) = D ( ángulos homólogos ) E J E R I I O S. 1) onsidera los siguientes pares de triángulos, en los que se indica los lados o ángulos respectivamente congruentes. En qué casos se puede asegurar la congruencia del par de triángulos? Indica el criterio utilizado en cada caso : a) F b) E D D = DE, = FE, = DF E F = DF = ED = EDF c) N d) D M L R J K D = D = MN = LJ = MR = JK

19 NRM = LKJ E e) f) D D F E F = EF = DE = = DE = DF = FE 2) Señala en qué condiciones serían congruentes ( Realiza un dibujo ) a) Dos trazos o segmentos b) Dos rectángulos c) Dos cuadrados d) Dos circunferencias 3) Responde, EN EL UDERNO,las siguientes preguntas ( Justifica tus respuestas ) a) Pueden dos triángulos ser congruentes sin ser coplanares? b) Pueden dos artículos manufacturados en serie llamarse congruentes en el más estricto sentido matemático? c) Un cuadrado tiene un lado igual a uno de los lados de otro cuadrado. Son los cuadrados necesariamente congruentes? d) Un cubo tiene igual arista a una arista de otro cubo. Son los cubos congruentes? En los casos siguientes demuestra lo que se indique : R 4) Hipótesis : 1 = 2 ; 3 = 4 Tesis : RZS RZT T Z S T 5) Hipótesis : 3 = 4 = 90º ; RS = RT Tesis : RZS RZT 3 R 4 Z S

20 6) Hipótesis : DE EF ; XY XZ E X D = Y ; DZ = FY Tesis : DEF XYZ 7) Hipótesis : = y D = E Tesis : D E D Z F Y D E UDRILÁTEROS. PRLELOGRMO (dos pares de lados paralelos) UDRDO lados iguales ángulos rectos RETNGULO lados paralelos iguales ángulos rectos ROMO lados iguales ángulos oblicuos diagonales se bisecan y son perpendiculares entre sí. sus diagonales se bisecan. sus diagonales se bisecan y son perpendiculares entre sí. ROMOIDE lados paralelos iguales ángulos oblicuos sus diagonales se bisecan Los ángulos internos y opuestos son congruentes. Los ángulos internos no opuestos son suplementarios. ESLENO (Sus lados no paralelos desiguales) TRPEIOS ISOSELES (Sus lados no paralelos iguales ) RETNGULO (Tiene dos ángulo rectos En los casos siguientes, si D es paralelogramo, hallar el valor de las variables: 2y - 2 a) b) c) y 2x E x+40 D D D 2y-10

21 Perímetro ROMO = 40 DE = 3 y, E = x D es rombo = 30, E = z 1) En los siguientes casos, si D es un rombo, hallar x e y. a) b) y+10 c) 2y y +20 x 20 3x-7 D D D = 4x - 5 D = 2x ) Sean D trapecio, hallar x e y en los casos siguientes : a) b) c) 105º 9x+5º y y 7x 3y 2x+10º 2x+10º 4x-30º 2x D D D 3) Si D es un paralelogramo, hallar x e y en los casos siguientes : (a) D = 5x, = 2x, D = y, Perímetro = 84. (b) = 2x, = 3y+8, D = 7x25, D = 5y10. (c) = 4y60, = 2y, D = x. (d) = 3x, = 10x15, = y. D E J E R I I O S. Usando congruencia de triángulo demuestra las siguientes propiedades de los paralelógramos : D 4) Los lados opuestos de los paralelógramos son iguales. = D y D = 5) Los ángulos opuestos de los paralelógramos son iguales : = D y D = D D E 6) Hipótesis : D // y // D D Tesis : D

22 7) Hipótesis : D = y 2 = 4 D Tesis : D y = D 4 2 8).Las diagonales de un rombo son perpendiculares D entre sí. Hipótesis : D es rombo Tesis : D 9) Las diagonales de un rectángulo son iguales. D Hipótesis : D es rectángulo Tesis : = D.