A B Trazo AB se denomina AB

Transcripción

1 PÍTULO I. GEOMETRÍ BÁSI. GENERLIDDES DE GEOMETRÍ SÉPTIMO. SMS PROF. J.K.B.M EL punto es un ente matemático creado por el hombre para poder representar las figuras geométricas. El punto no tiene peso, ni forma ni olor ni sabor; sólo tiene posición. Se representa por la intersección de 2 líneas y se nombra con una letra mayúscula para diferenciar uno de otro. Ejemplo: D B Espacio.- Es un conjunto infinito de puntos.- Línea recta.- Es un conjunto infinito de puntos ordenados siguiendo la misma dirección.- R R 1 Línea urva.- Es un conjunto infinito de puntos ordenados cambiando de dirección.- Segmento o Trazo.- Es la de los puntos y B con los puntos entre y B B Trazo B se denomina B Rayo.- Es la de una semi -recta con el punto frontera.- O N Rayo ON se denomina ON REOPILDO POR: PROF. JKBM. MIZPH 1

2 Rectas secantes.- Son las que se intersectan, es decir, tienen un punto en común. Rectas paralelas.- Son las que están en un mismo plano y tienen (intersección vacía) Ejercicio: Dibuja en el siguiente recuadro, los segmentos indicados. B, D, DF, EG, FH, HI E B E G I D F H Observa la figura y completa el cuadro que sigue en la página siguiente.- B D F I L M N J K H PROF. JKBM. MIZPH 2

3 OMPLETR Ej. Puntos Segmentos Rayos Rectas Segmentos Rectas Rectas secantes Pintar B, LM, LM, LM BD IL D LM F BJ La región interior entre las paralelas En el siguiente Plano se han dibujado diversos elementos que debes identificar.- P E D B Menciona: a) uatro puntos { }, { }, { }, { } b) uatro rectas c) inco segmentos d) inco rayos e) Rectas paralelas y rectas perpendiculares. PROF. JKBM. MIZPH 3

4 En el siguiente ejercicio resuelve: B D 1) B 6) B B 2) B D 7) ( ) 3) B D 8) B BD 4) D 9) B B 5) B B PÍTULO II. DIVERSS LSES DE ÁNGULOS I I I Si trazamos una recta horizontal que se intersecte con una recta vertical se forman 4 ángulos de la misma medida, que es 90 º. Las regiones que I I I I V separan estas rectas se llaman UDRNTES: I, II, III. IV. cada uno de los ángulos que se forman de esta manera, se les llama Ángulos Rectos. Def.- ÁNGULO RETO es el que mide (Se dibuja con la escuadra) 90º Def.- ÁNGULO GUDO Es todo ángulo menor que PROF. JKBM. MIZPH 4

5 Def.- ÁNGULO OBTUSO.- Es todo ángulo mayor que 90 0 y menor que Def.- ÁNGULO EXTENDIDO.- Es el ángulo que mide Sus rayos forman una línea recta Def.- NGULO OMPLETO.- Es el que mide 360 0, es decir, da la vuelta completa a la circunferencia.- ÁNGULO ES L UNIÓN DE DOS RYOS QUE TIENEN UN PUNTO FRONTER OMÚN. PROF. JKBM. MIZPH 5

6 Def.- ÁNGULOS OMPLEMENTRIOS.- Son los que suman = 90 0 Def.- OMPLEMENTO DE UN ÁNGULO.- Son los grados que le faltan a un ángulo agudo para completar 90º.-. es el complemento de Ejemplo: Si mide 35 0, entonces su complemento es = 55 0 Def.- ÁNGULOS SUPLEMENTRIOS. Son los que suman = Def.- SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO.- Son los grados que le faltan para completar = = 68 0 = 68 0 es el suplemento de PROF. JKBM. MIZPH 6

7 MEDIIÓN DE ÁNGULOS. Existe una unidad universal para medir ángulos, esta unidad de medida se llama grado. Si dividimos una circunferencia en 360 partes iguales, cada una de esas partes es un grado. Para medir se construyó un instrumento llamado transportador. ómo se usa? Debes poner el centro del transportador en el vértice del ángulo y el cero en uno de los lados del ángulo 180º 0 La medida de este es de 45 0 Observa uál de estos ángulos tiene mayor medida? Si los mides con tu transportador te darás cuenta que los dos miden 30 0, o sea, tienen igual medida. onclusión: El largo de los lados de un ángulo no influye en su medida, lo importante es la abertura entre los lados.- PROF. JKBM. MIZPH 7

8 Ejercicios: 1) Usa tu transportador para medir cada uno de los siguientes ángulos.- m = m = 2) Sea N un ángulo cualquiera. ópialo aquí usando regla y compás N 3) onstruye un B. / m B = 65 0 Luego clasifícalo. 4) Nombra los siguientes ángulos y sin usar tu transportador, anota cuales son agudos, obtusos, rectos o extendidos.- I II III IV V VI PROF. JKBM. MIZPH 8

9 Def. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VERTIE. Son los que se forman al prolongar los lados de un ángulo más allá del vértice.- es opuesto por el vértice con ; es opuesto por el vértice con Los ángulos opuestos por el vértice son de la misma medida Def.- ÁNGULOS ONTIGUOS.- Son los que tienen un lado común Def.- ÁNGULOS DYENTES.- Son ángulos contiguos, con 2 de sus lados formando una línea recta (180º). µ ß PROF. JKBM. MIZPH 9

10 Def.- POLÍGONO Es una figura geométrica formada por la unión de 3 o más segmentos de recta. TRIÁNGULO.Es un polígono de tres lados UDRILÁTERO. Es un polígono de cuatro lados.- PENTÁGONO. Es un polígono de cinco lados.- HEXÁGONO.- Es un polígono de seis lados.- HEPTÁGONO.- Es un polígono de siete lados.- OTÓGONO.- Es un polígono de ocho lados.- NONÁGONO.- Es un polígono de nueve lados.- DEÁGONO.- Es un polígono de diez lados.- UNDEÁONO.- Es un polígono de once lados.- DODEÁGONO.- Es un polígono de doce lados.- PERÍMETRO DE TODO POLÍGONO. ES L SUM DE SUS LDOS. Ejemplo: alcular el P. De un triángulo. POLÍGONO DE 13 LDOS.- POLÍGONO DE 14 LDOS.- POLÍGONO DE 15 LDOS.- ET... B B = 9cm.; B = 10cm.; = 5cm.; P = 9cm. + 10cm. + 5cm. = 24cm. PROF. JKBM. MIZPH 10

11 EJERIIOS SOBRE ÁNGULOS.- Previo a los siguientes cálculos, el profesor explicará la operatoria con números complejos. 1) alcula el complemento de un que mide ) Si la m = 18 0, su complemento es 3) Si la m = El complemento de es 4) Si la m = Su complemento es 5) alcular el suplemento de: si la m = si la m = 47 0 si la m = 90 0 si la m = si la m = ) alcular el complemento y suplemento de los siguientes ángulos: m = 27 0 ; m = 58 0 ; m = 87 0 PROF. JKBM. MIZPH 11

12 EJERIIOS SOBRE ÁNGULOS 1) Mide los siguientes ángulos y clasifícalos.- m = m = m = ) Dibuja un ángulo obtuso, uno agudo y uno recto.- 3) Dibuja un ángulo de 50 0, otro de 90 0, y otro de ) omplemento de un ángulo es 5) Ángulos complementarios son 6) Dibuja el complemento de un ángulo agudo cualquiera.- PROF. JKBM. MIZPH 12

13 7) Suplemento de un ángulo es 8) Ángulos suplementarios son 9) Dibuja el suplemento de un ángulo cualquiera.- 10) Dados los ángulos: B ; DEF ; GHI, cópialos.- D G B E F H I 11) Dibuja un ángulo de 40 0, otro de 25 0 y también el ángulo suma.- 12) Dibuja la suma de los siguientes ángulos.- B O D E PROF. JKBM. MIZPH 13

14 13) Encuentra el complemento y el suplemento de cada ángulo según medida.- m omplemento Suplemento ) onstruye un ángulo de 50 0 y otro de 30 0 y con compás construye el ángulo suma. 15) onstruye un ángulo de 70 0 y otro de 20 0 y con compás construye el ángulo diferencia.- 16) Dibuja un par de ángulos opuestos por el vértice y otro par de ángulos adyacentes.- PROF. JKBM. MIZPH 14

15 EJERIIOS SOBRE ÁNGULOS. 1) Si alfa = alcular el complemento de alfa.- a) 75 0 b) 65 0 c) d) e) ) alcular el suplemento del complemento de a) 40 0 b) c) 90 0 d) e) ) lfa y Beta son complementarios. Si lfa es el doble de Beta. uánto mide lfa? a) 60 0 b) 30 0 c) d) e) Otro 4) lfa y Beta son suplementarios. Si lfa es 5 veces Beta uánto mide Beta? a) 30 0 b) c) 60 0 d) 80 0 e) ) lfa y Beta son suplementarios. Si lfa es 6 veces Beta uánto mide lfa? a) b) 27,5 0 c) 25,7 0 d) 154,2 0 e) ) B B. Si el BD es la tercera parte Del DB. uánto mide el BD? D a) 45 0 b) 22,5 0 c) 30 0 d) 50 0 e) 80 0 B D 7), B,, colineales. BD bisectriz del ángulo B; BE bisectriz del ángulo BD. BF bisec- triz del ángulo EBD uánto mide BF? F E B a) 20 0 b) 45 0 c) 22,5 0 d) 67,5 e) 90 0 PROF. JKBM. MIZPH 15

16 8) Determinar el valor del ángulo lfa. a) 30 0 b) 45 0 c) 60 0 d) f) otro 9) Determinar el valor del ángulo cuyo suplemento es igual a la mitad de su complemento. a) 22,5 0 b) 50 0 c) 30 0 d) 60 0 e) otro 10) La medida de un ángulo es 5 veces la medida de su complemento. Encontrar la medida del ángulo.- a) 75 0 b) 15 0 c) d) 30 0 e) otro 11) La medida del suplemento de un ángulo es 5 veces la medida del complemento del mismo ángulo. Encontrar la medida del ángulo. a) 67,5 0 b) 22,5 0 c) 112,5 0 d) e) N.R.. 12) Si el ángulo = 63 0 el ángulo = Qué puede concluirse acerca del ángulo del ángulo? ) Suplementarios B) omplementarios ) Opuestos por el vértice D) orrespondientes E) Otro 13) Si 2 ángulos suplementarios tienen medidas iguales uál es la medida de cada ángulo? ) 90 0 y 60 0 B) 45 0 y 45 0 ) 90 0 y 90 0 D) 60 0 y 60 0 E) Otro PROF. JKBM. MIZPH 16

17 14) Si la medida de un ángulo es 3 veces la medida de su suplemento uál es la medida del ángulo? a) 45 0 b) c) 90 0 d) 60 0 e) 0tro 15) La medida de un ángulo es 24 0 más que la medida de su suplemento. Encontrar la medida de cada ángulo. a) 78 0 b) c) 73 0 d) e) Otro 16) Si la medida de un ángulo es 2 veces la medida de su complemento uál es la medida de cada ángulo? a) 90 0 b) c) 30 0 d) 60 0 e) Otro 17) Si = 85 0 ; = 30 0 Determinar la medida del ángulo. a) b) 65 0 c) 85 0 d) 30 0 e) Otro 18) En el vértice del ángulo, se han trazado 2 rayos perpendiculares. uánto sumarán el ángulo (formado por estos rayos) y el ángulo? Por qué razón? Por lo tanto son ángulos PROF. JKBM. MIZPH 17

18 PÍTULO III. RETS PRLELS (/ /) Def.- RETS PRLELS son aquellas que estando en un mismo plano, tienen intersección vacía.- ( ) R 1 R 1 // R 2 R 2 Def.- La región del plano comprendida entre 2 paralelas se llama INT.- R 1 R 2 RETS PRLELS ORTDS POR UN TRNSVERSL adyacente al adyacente al 4 4 adyacente al 3 3 adyacente al adyacente al 6 6 adyacente al 8 8 adyacente al 7 7 adyacente al 5 1 opuesto por el vértice al opuesto por el vértice al 3 5 opuesto por el vértice al opuesto por el vértice al PROF. JKBM. MIZPH 18

19 Def. ÁNGULOS ORRESPONDIENTES.- Son los que coinciden por traslación paralela.- R 1 R 2 Los ángulos correspondientes son de la misma medida.- Si trasladamos la recta R 2 por la Transversal de manera que coincida con R 1, el punto B queda sobre el punto, entonces: 5 queda sobre el 1 6 queda sobre el 2 7 queda sobre el 3 8 queda sobre el 4 Def. ÁNGULOS LTERNOS INTERNOS.- Son los que están dentro de la cinta y a distinto lado de la transversal.- 3 es alterno interno con B T 4 es alterno interno con Son iguales entre si porque: 6 = 2 (correspondientes) = 2 ( op. Por el vértice = 3 ( 2 cantidades iguales a una tercera, son iguales entre sí) Def.- NGULOS LTERNOS EXTERNOS.- Son los que están fuera de la cinta y a distinto 1 2 lado de la transversal Son lternos Externos: 1 con con Son iguales entre sí.- PROF. JKBM. MIZPH 19

20 Def. ÁNGULOS INTERNOS DEL MISMO LDO.- Son los que están dentro de la cinta y al mismo lado de la transversal Son Internos del mismo lado: con 5 4 con 6 Son suplementarios porque: = (suplementarios) = 1 ( correspondientes ) T = ( cantidades iguales pueden reemplazarse una por otra ) Def. ÁNGULOS EXTERNOS DEL MISMO LDO.- Son los que están fuera de la cinta y al mismo lado de la transversal.- Son Externos del mismo lado con con Son suplementarios Def. ÁNGULOS ONTRRIOS O ONJUGDOS.- Son los que están uno dentro y otro fuera de la cinta y a distinto lado de la transversal Son ontrarios o onjugados: 1 con con con 8 4 con 7 Son ángulos suplementarios. PROF. JKBM. MIZPH 20

21 Def. ÁNGULOS DE L MISM NTURLEZ.- Los ángulos que tienen sus lados respectivamente // son de igual medida si son de igual naturaleza.- L 3 H) L 1 // L 2 ; L 3 // L 4 L 4 L 1 L 2 T) son de igual medida.- D) med = med (correspondientes entre // ) med = med ( correspondientes entre // ) med = med ( Transitividad ) EJERIIOS ON RETS // ORTDS POR TRNSVERSL. En cada figura siguiente, encontrar x e y.- 1) L 1 // L 2 2) L 1 // L 2 // L 3 L 1 L 1 x y x L L 2 L 3 y PROF. JKBM. MIZPH 21

22 3) L 1 // L 2 4) L 1 // / L 2 ; L 3 / // L 4 L 1 x L 3 L 4 y L 1 y L 2 x ) L 1 // L 2 ; L 3 // L 4 6) L 1 // L 2 x L 3 L 4 y L 1 L = = L 2 x y 65 0 L 2 PÍTULO IV. EL TRIÁNGULO Def.- Es un polígono formado por la unión de tres segmentos de recta.- b a c B PROF. JKBM. MIZPH 22

23 Elementos del triángulo.- Lados: a, b, c. Ángulos:,,. RE La amarilla es la Región Interior del triángulo.- El triángulo mismo es la Frontera separadora La verde es la Región Exterior del triángulo.- entre las dos regiones.- LSIFIIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS. Def.- TRIÁNGULO UTÁNGULO es el que tiene sus 3 ángulos agudos.- B PROF. JKBM. MIZPH 23

24 Def. TRIÁNGULO RETÁNGULO es el que tiene 1 ángulo recto y dos agudos B Def. TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO Es el que tiene 1 ángulo obtuso y dos agudos LSIFIIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LDOS. B Def.- TRIÁNGULO EQUILÁTERO es el que tiene sus 3 lados de la misma medida. También sus interiores son de igual medida y c/u mide b a c B PROF. JKBM. MIZPH 24

25 Def.- TRIÁNGULO ISÓSELES es el que tiene dos lados de igual medida y sus ángulos basales también son de igual medida.- a b c B BSE Def.- TRIÁNGULO ESLENO es el que tiene sus tres lados de distinta medida como también sus ángulos.- B Teorema.- Es una verdad que necesita ser demostrada.- onsta de 3 partes (Hipótesis, Tesis y Demostración).- La Hipótesis son los datos, es decir, lo que conocemos mediante el enunciado del teorema.- La Tesis es la que dice que es lo que vamos a demostrar.- La Demostración es un razonamiento basado en definiciones, axiomas y teoremas anteriormente aprendidos, que nos permiten llegar a una conclusión.- xioma.- Es una verdad evidente por si misma. omo por ejemplo, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.- Un xioma no necesita demostración. Veremos a continuación ejemplos de teoremas que atañen a los triángulos.- Teorema: L SUM DE LOS 3 ÁNGULOS INTERIORES DE TODO TRIÁNGULO ES PROF. JKBM. MIZPH 25

26 Dibujamos un cualquiera y por, trazamos la // a B R H) B triángulo cualquiera. R // B T) + + = = ( Suplementarios ) Pero = ( alt. internos entre // ) y = ( alt. internos entre // ) + + = B Teorema.- EL ÁNGULO EXTERIOR DEL VÉRTIE, ES IGUL L SUM DE LOS ÁNGULOS INTERIORES NO DYENTES ÉL. Se dibuja un cualquiera y por, se traza una // a B R B H) B cualquiera.- R // B. PROF. JKBM. MIZPH 26

27 T) = + D) = ( correspondientes entre //) = ( alt. internos entre //) + = = + Ejercicios.- Medidas de ángulos en polígonos convexos. Triángulos Isósceles, Triángulos equiláteros.- 1) B Isósceles Base B = = = 55 0 = B 2) Sea B equilátero y BD bisectriz del B.- = = D = = B = = PROF. JKBM. MIZPH 27

28 = B 1) = El B es equilátero y D es altura. 2) = = = = D = = B B 75 0 El B es isósceles de base B, BE es E Bisectriz del BD = = = = = = = L 1 // L 2 = 65 0 = 85 0 x = L 1 x 3) 5) B = 4) El B de la figura es equilátero y F y BF son bisectrices de los E y B. F x D w y E B x = y = z = w = x + y + z + w = B equilátero 6) M // B x = z L 2 x B PROF. JKBM. MIZPH 28

29 alcular x en: 1) alcular x en: 2) x 60 0 x x x 54 0 O alcular x en: 3) alcular x y en: 4) y x x Si B es congruente con B, calcular 5), En la figura, los 3 son equiláteros. 7) alcular x Y Si B congruente con calcular 6) x, y z. Z X Y BDE equilátero; B cong. con 8) alcular x y. x y E 70 0 x y B D PROF. JKBM. MIZPH 29

30 PÍTULO V.RETS Y PUNTOS NOTBLES DEL TRIÁNGULO 1. LTURS. Def.- ltura es la perpendicular bajada P desde un punto a una recta. R lturas en un triángulo.- Perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto.- lturas en un triángulo acutángulo.- h c h a h b B En un triángulo acutángulo las tres alturas se intersectan en un solo punto dentro del. lturas en un triángulo rectángulo.- En un triángulo rectángulo las tres alturas se intersectan en un solo punto en el vértice del recto- h b =b h c h a = a c B PROF. JKBM. MIZPH 30

31 D lturas en un triángulo obtusángulo.- h a h b a h c b B En un triángulo obtusángulo, si prolongamos las alturas, se intersectan en un punto fuera del. Los puntos de intersección de las alturas de todo triángulo se llaman ORTOENTRO. 2. BISETRIES. Def: Bisectriz de un ángulo es el rayo que lo divide en 2 partes iguales. b bisectriz = Ro b b Es el radio de la inscrita B PROF. JKBM. MIZPH 31

32 En todo triángulo, las 3 bisectrices se intersectan en un solo punto dentro del triángulo. Ese punto es el centro de una circunferencia tangente a los 3 lados, llamada ircunferencia Inscrita y el punto se llama INENTRO.- Simetral de un trazo: es la recta que 3. MEDITRIES. lo divide en dos partes iguales, formando un ángulo recto. M B R Simetrales de un triángulo acutángulo.- S b S a M 3 M 2 M 1 B S c En un triángulo acutángulo, las 3 mediatrices se intersectan en un solo punto dentro del.- PROF. JKBM. MIZPH 32

33 Mediatrices de un triángulo rectángulo.- S a S b B En un triángulo rectángulo, las 3 simetrales e intersectan sobre la hipotenusa.- S c Mediatrices de un triángulo obtusángulo.- S b S a B S c En un triángulo obtusángulo las 3 MEDITRIES se intersectan en un punto fuera del.- El punto centro de la circunferencia exincrita se llama IRUNENTRO.- PROF. JKBM. MIZPH 33

34 M 3 M 2 4. RET NOTBLE DE GRVEDD. MEDINS DE UN TRINGULO.- Mediana de un triángulo es un trazo que une los puntos medios de los lados. ada mediana es // a uno de los lados y es equivalente a 1 de dicho lado.- Mediana. (Transversal de gravedad) de un triángulo es un trazo que une un vértice del con el punto medio del lado opuesto.- t c t a t b M 1 B Las 3 transversales de gravedad se intersectan en un solo punto dentro del triángulo, llamado entro de gravedad o BRIENTRO. Este punto divide a la transversal en la razón 2:1 es decir, si divides la tangente en tres partes, 2 de ellas quedan desde el punto hacia el vértice y la otra desde el punto hacia el lado PROF. JKBM. MIZPH 34

35 Ejercicios con transversales de gravedad y medianas. 1) E, BF y D son transversales de gravedad G = 21 cm., GD = 3cm. y FG = 4cm. 2) El B es equilátero, E, BF y D son Transversales de gravedad y BG = 12cm. E = F G D B GE = BF = G = E GE = F E BF = G GD = D B D = 3) E, BF y D son transversales de gravedad E = 48cm., BF = 45cm. y D = 42cm. G = 4) DE, DF y FE son medianas, B = 24cm. B = 20cm. y = 27cm. F G E GE = BG = F E FG = D B G = 5) B; E, BF y D son transversales G = F D B GE = BF = E BG = FG= GD= D B DE = EF = FD = 6) DE; DF y FE son medianas. = 75º y = 46º = x = y = x F z w E z = y w = D B PROF. JKBM. MIZPH 35

36 UESTIONRIO.- 1) Nombra las rectas notables de un triángulo cualquiera. Defínelas. 2) Define: a) Mdiatriz de un trazo: b) Bisectriz de un ángulo: 3) En qué coinciden todas las transversales? 4) Dónde se ubica el ortocentro de un rectángulo? 5) Dónde se ubica el circuncentro en un rectángulo? 6) Dónde se ubica el ortocentro en un obtusángulo? 7) En qué el incentro y el circuncentro coinciden? 8) En que la altura de la base es a la vez bisectriz del ángulo del vértice ( )? 9) uál es el radio de la circunferencia inscrita a cualquier? 10) uál es el radio de la circunferencia circunscrita a cualquier? 11) Qué clase de es aquel en que la m = 30º y la m = 60º? 12) Qué clase de es aquel en que m = 160º y m = 60º? 13) Qué clase de es aquel en que m = 160 y m = 10º? 14) Qué es el centro de Gravedad de un? PROF. JKBM. MIZPH 36

37 Otros Ejercicios: I Identifica el nombre de un triángulo que tiene: a) 1 ángulo recto b) 1 ángulo obtuso c) 3 ángulos agudos d) Todos sus ángulos interiores iguales II Identifica las afirmaciones falsas: a) En un triángulo rectángulo hay 2 ángulos agudos b) En un triángulo obtusángulo hay un ángulo obtuso c) En un triángulo rectángulo hay 2 ángulos rectos d) Los 3 ángulos de un triángulo son siempre agudos e) En un triángulo acutángulo los 3 ángulos son agudos f) 1 triángulo rectángulo tiene 1 ángulo recto y dos agudos III Identifica el triángulo que tiene: a) 3 lados desiguales b) 2 lados = entre si c) 3 lados = entre si IV Encuentra los errores: a) Triángulo rectángulo escaleno b) Triángulo rectángulo isósceles c) Triángulo rectángulo equilátero d) Triángulo obtusángulo isósceles e) Triángulo obtusángulo escaleno f) Triángulo acutángulo escaleno PROF. JKBM. MIZPH 37

38 V Señala que elementos secundarios del triángulo forman los siguientes puntos: a) El Ortocentro b) El entro de Gravedad c) El Incentro d) El ircuncentro VI Señala si son V o F las siguientes afirmaciones: a) La bisectriz divide al ángulo en 2 ángulos congruentes b) La simetral es la perpendicular en el punto medio de un trazo c) La altura es el segmento que une el punto medio de un trazo con el vértice opuesto d) El punto de intersección de las bisectrices se llama bicentro VII Señala donde se encuentra el ortocentro en a) 1 triángulo rectángulo b) 1 triángulo acutángulo c) 1 triángulo obtusángulo VIII Qué puedes decir sobre las alturas, simetrales, bisectrices y transversales de gravedad de un mismo triángulo equilátero? IX Si B es un triángulo rectángulo isósceles en, indica donde se encuentran los siguientes puntos: a) El Ortocentro b) El circuncentro c) El Incentro d) El entro de Gravedad PROF. JKBM. MIZPH 38

39 X uánto mide c/u de los ángulos basales de un triángulo isósceles si el ángulo del vértice mide 40º? XI Si los ángulos de un triángulo están en la razón 1 : 2 : 1 Qué tipo de triángulo es? XII Si 1 ángulo de 1 triángulo rectángulo mide 30º uánto mide el otro ángulo agudo? XIII Si 2 ángulos suplementarios están en la razón 1 : 2 uál es la medida de cada ángulo? XIV Si el Perímetro de un triángulo equilátero es 2a uánto mide 1 lado de ese triángulo? XV En un triángulo rectángulo en, se tiene que 1 ángulo es la mitad del ángulo uál es el valor del ángulo? XVI En un triángulo cualquiera, + = 120º. Si = 5 uál es el valor del? XVII Si 2 ángulos complementarios están en la razón 2 : 3 uánto mide cada ángulo? XVIII uánto mide c/ángulo de un triángulo rectángulo isósceles? XIX Si el Perímetro de un triángulo equilátero es 3 a uál es su área? XX B isósceles; = 40º ; D, incentro D z XXI Si = B x y E y BF bisectriz determina B x, y, z F y z E D x B PROF. JKBM. MIZPH 39

40 SEGÚN SUS LDOS SEGÚN SUS NGULOS Tiene sus 3 lados iguales. Tiene 2 lados iguales. Tiene sus 3 lados desiguales. Tiene sus 3 ángulos agudos. Tiene 1 ángulo recto Tiene 1 ángulo obtuso PROF. JKBM. MIZPH 40

41 ÁLULO DEL ÁRE DE UN TRIÁNGULO. Para calcular el área de cualquier triángulo, se multiplica la base por la altura y ese producto se divide por 2.- h D B 15 Ejemplo: B = 30m D = 15m Área del triángulo = =225 m 2 Ejercicios: alcular las áreas respectivas de los siguientes triángulos ) B = 45cm.; D = 22 cm. Área = 2) B = 5 Km. D = 2,3 Km. Área = Área de un triángulo rectángulo: es igual al producto de los catetos, dividido por 2. B En este caso la base es el cateto B y la altura es el cateto Ejemplo: B = 7,7 cm. = 4,6 cm. = 7,7 4,6 = 17,71 cm. 2 2 PROF. JKBM. MIZPH 41

42 PÍTULO VI. UDRILÁTEROS Def. Son polígonos formados por la unión de cuatro segmentos de recta. PRLELOGRMOS.- Def.- Son cuadriláteros que tienen 2 pares de lados paralelos.- UDRDO.- Def.- Es un paralelógramo () que tiene sus 4 lados iguales y sus ángulos rectos.- D E e f a B Perímetro = a + a + a+ a = 4 a Área = a a = a 2 Def.- Diagonal de un polígono es el trazo que une dos vértices no consecutivos. Propiedades de las diagonales de un cuadrado. 1) Tienen la misma medida 2) Se dimidian ( c/u divide a la otra en dos partes iguales) 3) Son bisectrices de los ángulos interiores 4) Se intersectan formando 4 ángulos rectos. PROF. JKBM. MIZPH 42

43 RETÁNGULO. Def.- Es un paralelógramo que tiene lados paralelos e iguales de 2 en 2 y 4 rectos.- D c d E b e f a B Perímetro = a+b+c+d ; pero a = c b = d P = 2( a + b ) Área = largo ancho = a b Propiedades de las diagonales de un rectángulo. 1) Tienen igual medida 2) Se dimidian. 3) No son bisectrices de los ángulos interiores. 4) Se intersectan formando ángulos oblicuos ( 2 agudos y 2 obtusos ) La suma de los ángulos interiores de todo paralelógramo es de 360º Los ángulos exteriores de un ( ) se forman alargando lados. Ej.: PROF. JKBM. MIZPH 43

44 ROMBO. Def.- Es un paralelógramo que tiene sus 4 lados iguales y sus ángulos oblicuos,. D h D e f a B Perímetro: a + a + a + a = 4 a Área = base altura = a h También el Área de un rombo puede calcularse multiplicando sus diagonales y dividiendo el producto por 2. Área = e f 2 Propiedades de las diagonales del rombo.- 1) Tienen distinta medida. 2) Se dimidian 3) Son bisectrices de los ángulos interiores. 4) Se intersectan formando 4 ángulos rectos. onstrucción de un rombo dadas sus diagonales. Si e = 3 cm. y f = 9 cm., construir el rombo. PROF. JKBM. MIZPH 44

45 ROMBOIDE. Def.- Es un paralelógramo que tiene sus lados paralelos iguales y sus ángulos oblicuos. D c d E b e f a B Perímetro: ( es el mismo caso del rectángulo ) P = 2 ( a + b ) Área: (base multiplicada por altura ) = b h Propiedades de las diagonales del romboide.- 1) Tienen distinta medida. 2) Se dimidian 3) No son bisectrices de los ángulos interiores. 4) Se intersectan formando ángulos oblicuos. PROF. JKBM. MIZPH 45

46 TRPEIOS. Def,. Son cuadriláteros que tienen un par de lados paralelos.- Perímetros: Para todos ellos, el Perímetro se calcula sumando los lados P = a +b +c +d Áreas: Para todos ellos el Área se calcula multiplicando la semisuma de las bases por la altura. = b + b h o bien Mediana altura 2 TRPEIO ISÓSELES.- Tiene los lados no paralelos iguales.- D base b` La altura de un trapecio se define como el segmento trazado perpendicularmente entre los lados paralelos. M Mediana M 1 base b B h TRPEIO RETÁNGULO. Tiene 2 ángulos rectos.- D TRPEIO ESLENO. B Tiene los lados no paralelos desiguales.- D B PROF. JKBM. MIZPH 46

47 TRPEZOIDE. Def.- Es un cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos.- D B MEDIDS DE ÁNGULOS DE UN UDRILÁTERO.- 1) u y x = 2) 112º x = x 115º 32º v y = u = y 102º y = u u = v = x v 76 v = v u º y x 3) x = y = u = v = 51º x u v 87º 4) 113º x = y y = u = v = PROF. JKBM. MIZPH 47

48 Ángulos en paralelógramos.- alcular x, y, u, v en cada figura.- 1) 3) v 2) x y x = y = v u 41º y u = u v = 4) x = y = x = x u y = v y 149º x y u = v = x = y = x 41º y u = 36º v u = v = u v = 5) x = 6) x = v x y = u = x v u y = u = y 117º u v = 56º 28º y v = 7) 38º v 52º x y u 8) x = x = v y y = y = u = u = 81º x u v = v = 9) x = 10) x = v y u x y = u = v = y 25º u x y = v u = v = PROF. JKBM. MIZPH 48

49 Ángulos interiores y exteriores de un trapecio.- 1) 2) x = x = y x y = 110º z = y = z = z 75º x y z 3) 4) z x = x 53º x y 40º xx = 127º y = z y = z = 40º z = y 5) 6) x = x = 60º z z x 98º y = y =. 130º y x 142º y z = z = 7) 8) y x z x = z y 40º x = 117º y = y = z = 80º x z = PROF. JKBM. MIZPH 49

50 9) 10) x = x z y = x x = z y y = 50º y 145º z = 48º 62º z = PROF. JKBM. MIZPH 50

51 Son cuadriláteros que tienen 2 pares de lados // Son cuadriláteros que tienen un par de lados // ( # que tiene sus 4 lados iguales y sus ángulos rectos ) ( # que tiene sus lados contiguos desiguales y sus angulos rectos) ( # que tiene sus 4 lados iguales y sus ángulos oblicuos) ( # que tiene sus lados contiguos desiguales y sus ángulos oblicuos) ( tiene sus lados no // iguales) (tiene sus lados no // desiguales) Polígonos de 4 lados ( tiene 2 ángulos rectos ) uadrilátero que no tiene ningún par de lados // PROF. JKBM. MIZPH 51

52 EJERIIOS Y UESTIONRIOS. 1) alcula la m x si: BD es un cuadrado E D x BE es isósceles m w = 25º w B 2) alcula m x si: BD es un rectángulo D DB su diagonal. 60º 15º x B 3) En el romboide BD: F FB D F EF // D FB B alcula; m = m = m = B m = m = D 4) Sea BD un cuadrado: E x alcula m x 5) Sea BD un trapecio: B E D = 3 cm. y B = 5cm. D 110º 120º Entonces la mediana del trapecio mide alcular m = m` = ` 80º B PROF. JKBM. MIZPH 52

53 UESTIONRIO Responde las siguientes preguntas: 1) Qué nombre recibe cualquier figura de 4 lados? 2) Qué nombre recibe un cuadrilátero que tiene 2 pares de lados // y? 3) Qué nombre recibe el cuadrilátero que sólo tiene 1 par de lados //? 4) uántos grados suman las medidas de todos los ángulos interiores de 1 cuadrilátero? 5) uántos grados suman las m de todos los interiores de un trapecio? 6) tendiendo a su longitud ómo son entre sí los lados opuestos de un? 7) tendiendo a sus medidas ómo son entre si los opuestos de 1? 8) Qué relación se cumple para los adyacentes en todo? 9) Qué relación se cumple para las diagonales en todo? 10) Nombra todos los 11) Escribe 2 características de las diagonales del cuadrado 12) Qué clase de determinan en el rectángulo sus diagonales? 13) Escribe 3 semejanzas entre el cuadrado y el rombo ( aparte de tener 4 lados y 2 diagonales 14) Describe el romboide PROF. JKBM. MIZPH 53

54 15) lasifica los trapecios. Elige uno de ellos y descríbelo 16) ómo se determina la mediana de un trapecio? (Nos están dando las medidas de sus bases) 17) onstruye un romboide cuyo ángulo agudo mide 60º, su lado mayor mide 6cm. y el menor mide 4 cm.. ( No olvides leyenda). Problemas.- alcular el Área y el Perímetro de cada uno de los rectángulos propuestos: ) 1.- Largo = 5 cm.; ancho = 6 cm. 2.- Largo = 0,8 m ancho = 2,3 m 3).- Largo = ¾ dm ancho = ½ dm B) alcular el Área de cada uno de los cuadrados propuestos: 1.- m = 3 mm 2.- n = 9 cm. 3.- s = 5 m ) continuación se dan la base y la altura de algunos rectángulos. alcular el área de ellos. 1.- a = 3 cm. 2.- a = 2,7 m 3.- a = 3¼ m b = 6 cm. b = 4,5 m 4.- a = ¾ m D) a = base inferior del trapecio; b = base superior; c = altura del trapecio- alcular el Área de los siguientes trapecios: 1) a = 4 cm.; b = 3 cm.; c = 2 cm.; 2) a = 8 m; b = 6 m; c = 7 m. PROF. JKBM. MIZPH 54

55 PÍTULO VII LGUNS INTERSEIONES IMPORTNTES. Intersección entre dos planos: Si la intersección es vacía, los Si existe intersec. entre ellos, Si para todo punto existe planos son paralelos es una línea recta. Intersec, son coincidentes Intersección de dos rectas en un plano: Las rectas paralelas están en un Rectas secantes son las que Rectas coincidentes mismo plano y tienen intersección se intersectan e 1 punto se intersectan. En todos vacía sus puntos. I Intersección entre 2 circunferencias: Pueden tener intersección ircunferencias tangentes ircunferencias secantes Vacía son las que se intersectan son las que se intersectan En un solo punto. en 2 puntos PROF. JKBM. MIZPH 55

56 SÍMBOLOS USDOS EN EL RESUMEN (Vocabulario) E Espacio 25) V = Volumen 49) < = Menor que 2) B = Recta 26) Suma 50) Es igual 3) B = Rayo 27) Resta 51) ayor que 4) B = Trazo 28) = Multiplicación 52) ongruente 5) = lfa 29) = División 53) Mayor o igual 6) Beta 30) Raíz 54) Semejante 7) Gamma 31) x 2 = Potencia 55) Distinto 8) Delta 32) Grado P = Plano 9) Épsilon 33) = Porcentaje 57) = ngulo 10) λ = Lambda 34) Para todo 58) // = Rectas paralelas 11) Pi 35) Unión 59) V = Verdadero 12) Rho 36) Intersección 60) F = Falso 13) fi 37) _ = ngulo recto 61) # = Paralelógramo 14) ji 38) Rectas perpendiculares 15) omega 39) Infinito 16) = Triángulo 40) h = ltura de un triángulo 17) = uadrado 41) b = Bisectriz de 1 ángulo 18) = Rectángulo 42) S c = Simetral de un trazo 19) = irculo 43) t b = Transversal de gravedad 20) = ircunferencia 44) tgte = Tangente 21) r = Radio de 1 45) M = Punto medio 22) d = Diámetro 46) sterisco 23) P = Perímetro 47) y 24) = Área 48) PROF. JKBM. MIZPH 56