Matemáticas III Andalucía-Tech. Integrales múltiples

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1 Matemátias III Andaluía-Teh Tema 4 Integrales múltiples Índie. Preliminares. Funión Gamma funión Beta. Integrales dobles.. Integral doble de un ampo esalar sobre un retángulo Integral doble de un ampo esalar sobre una región proetable Cambio de variables. Coordenadas polares 6.. Cambios de variables más habituales en el plano Ejemplos Integrales triples Integral triple de un ampo esalar sobre un paralelepípedo Integral triple de un ampo esalar sobre una región proetable Cambios de variables. Coordenadas ilíndrias esférias.. Preliminares. Funión Gamma funión Beta Funión Gamma La funión Γ extiende el onepto de fatorial. Se define omo Γ(p) = t p e t dt para p >. Se puede probar que estas integrales onvergen tienen las siguientes propiedades: Propiedades.. Γ() =.. Γ(p + ) = p Γ(p). 3. Γ(n) = (n )! para ada n Z Γ( ) = π. Ejemplos. Así, tenemos que Γ(5) = 4! = 4 Γ( 7 ) = 5 Γ( 5 ) = 5 3 Γ( 3 ) = 5 3 π = 5 π 8.

2 Funión Beta Relaionada on la funión Γ aparee la funión β, que se define, para ada par de reales postivos, p, q R +, omo Propiedades.. β(p, q) = β(q, p).. β(p, q) = 3. β(p, q) = π/ 4. β (, ) = π. Γ(p) Γ(q) Γ(p + q). β(p, q) = sen p t os q t dt. x p ( x) q dx Apliaiones. e la propiedad. se dedue que π sen a t os b t dt = β ( a+, b+ ) que nos permite resolver, de forma ómoda iertos tipos de integrales trigonométrias. A vees haemos uso de la simetría /o paridad de las funiones trigonométrias.. π/ sen 5 t dt = β ( 3, ) = 8 5. Usando la simetría la paridad de la funión oseno tenemos π π π os 5 t dt = π sen 3 t os 4 t dt = os 5 t dt = β (, 3) = 8 5 π sen 3 t os 4 t dt = sen 3 t os 4 t dt = β (, 5 ) 4 = 35. Integrales dobles.. Integral doble de un ampo esalar sobre un retángulo Sea el retángulo R = [a, b [, d f un ampo esalar positivo ontinuo sobre R. adas una partiión equidistante {x,..., x n } del intervalo [a, b otra {,..., m } del intervalo [, d, se define la partiión P = {R,..., R N } de R en nm subretángulos iguales de la forma [x p, x p [ q, q on p =,..., n q =,..., m. La norma P de la partiión P es la medida de la diagonal de dihos subretángulos. Todos los subretángulos de la partiión P tiene el mismo área (b a)(d ) nm. Si en ada uno de los subretángulos R k = [x p, x p [ q, q on k =,..., nm se seleiona el vértie (x k, k ) = (x p, q ) entones el volumen del paralelepípedo de base R k altura f(x k, k ) es una aproximaión del volumen enerrado por la gráfia de f sobre R k. La suma de los volúmenes

3 de todos estos paralelepípedos formados sobre los subretángulos ofree una aproximaión del volumen enerrado por f sobre el retángulo R. Si f : R R es un ampo esalar de dos variables ontinuo sobre el retángulo R = [a, b [, d entones se define la integral doble de f sobre R omo el número R f(x, ) da = (b a)(d ) lím P nm nm k= f(x k, k ). que, en aso de ser f positiva, oinide on el volumen de la región delimitada por la gráfia de f por el retángulo R.... Integral iterada de un ampo esalar sobre un retángulo Sea el retángulo R = [a, b [, d f : R R un ampo esalar ontinuo en R. Se define la integral iterada de f en R primero respeto de x luego respeto de omo d [ b f(x, ) dx d a Igualmente, se define la integral iterada de f en R primero respeto de luego respeto de x omo b [ d f(x, ) d dx a Teorema de Fubini sobre retángulos. Si f : R R es un ampo esalar ontinuo en el retángulo R = [a, b [, d R entones ambas integrales iteradas oiniden d [ b b [ d f(x, ) dx d = f(x, ) d dx = f(x, ) dxd a, además oiniden on la integral doble sobre el retángulo, es deir, f(x, ) da = f(x, ) dxd R a Ejemplo. Consideremos el ampo esalar f(x, ) = x x. Comprobamos el teorema de Fubini en el retángulo [, [,. [ [ x x 3 x dx d = 3 x [ 3 3 d = x= + 3 d = = 9 [ [x x [ x 3 x x d dx = R dx = = R x x dx = 3 x.. Integral doble de un ampo esalar sobre una región proetable Región proetable en el plano. Una región R se die X-proetable si existe un intervalo [a, b dos funiones (x), d(x) ontinuas en diho intervalo tales que = { (x, ) R : x [a, b, [(x), d(x) }. Igualmente, se die que es Y -proetable si existe un intervalo [, d dos funiones a(), b() ontinuas en diho intervalo tales que = { (x, ) R : [, d, x [a(), b() }. Existen regiones que son X-proetables e Y-proetables también existen regiones que no son proetables (figura ()). 3 = 9

4 d(x) (x) a x b (a) Región X-proetable d a() b() (b) Región Y -proetable Figura : Regiones proetables. d a b () Región no proetable Ejemplo. La región irular = {(x, ) : x + a } es tanto X-proetable omo Y - proetable. = {(x, ) : x [ a, a, a x } a x = {(x, ) : [ a, a, a x } a Integraión. Sea f : R R un ampo esalar ontinuo sobre la región X-proetable. La integral doble en se define omo [ b d(x) f(x, ) da = f(x, ) d dx a Igualmente, si el ampo esalar f es ontinuo en la región Y -proetable entones se define la integral doble omo [ d b() f(x, ) da = f(x, ) dx d Nota. Los retángulos son regiones X-proetables e Y -proetables. Es fáil omprobar que si apliamos la anterior definiión a los retángulos oinide on la definiión de integral vista anteriormente en... Teorema de Fubini sobre regiones proetables. Si f : R R es un ampo ontinuo sobre la región la ual es X-proetable también Y -proetable, es deir que puede esribirse omo = { (x, ) R : x [a, b, [(x), d(x) } = { (x, ) R : [, d, x [a(), b() } (x) a() entones f(x, ) da = b [ d(x) f(x, ) d dx = a (x) d [ b() f(x, ) dx d a() 4

5 Ejemplo. doble: Sea el diso de radio entrado en el origen. Calulemos la siguiente integral = {(x, ) : x + }, x da () Soluión: Considerando omo Y -proetable, tenemos x da = x dxd = d = Calula la misma integral onsiderando el diso omo X-proetable. Ejemplo. Calulemos (x + ) da on { x 4. 4 Soluión: Como podemos ver omo una región X-proetable, a que: = {(x, ) R : x [,, x 4} por tanto: (x + ) da = = =4 ( 4 ) (x + )d dx = [x + dx x =x ) (4x + 8 x 3 x4 dx = [x + 8x x4 4 x5 x= x= = 8 5 Ejeriio. Comprueba que la región anterior es Y -proetable alula la misma integral (x + ) da en este aso. Propiedades de la integral doble. Sea f : R R un ampo esalar ontinuo sobre la región errada aotada. Se verifian las siguientes propiedades:. Linealidad: si g es otro ampo esalar también ontinuo sobre α, β R entones (αf + βg) dxd = α f dxd + β g dxd. Aditividad: si = de forma que son regiones erradas aotadas on, a lo más, algún punto frontera en omún, entones f(x, ) dxd = f(x, ) dxd + f(x, ) dxd Nota: Esta propiedad nos permite alular la integral doble en regiones aotadas no proetables desomponiendo diha región omo unión de otras que si son proetables. 5

6 3. Monotonía: Si g es otro ampo esalar ontinuo definido en f(x, ) g(x, ) para todo (x, ), entones f(x, ) dxd g(x, ) dxd. 4. f(x, ) dxd f(x, ) dxd. 5. olumen: el volumen enerrado por la gráfia de f sobre la región se alula omo vol( ) = f dxd 6. Área: el área enerrada por la región se alula omo la integral en la región del ampo unidad f(x, ) = área() = dxd. Cambio de variables. Coordenadas polares Transformaión uno a uno a uno de regiones. Se die que una transformaión o ambio de variables, T : A R R es uno a uno si es inetiva T (A) = (, por tanto, A = T ()). Representamos (u, v) los elementos de A (x, ) los elementos de, así v A T = T (A) (u, v) (x, ) u x Figura : Un ambio de variables transforma la región A en la. T (u, v) = (x(u, v), (u, v)) o bien { x = x(u, v) = (u, v) Teorema del ambio de variables para integrales dobles. { Sea el ampo esalar f : R x = x(u, v) R ontinuo en onjunto errado aotado. Sea un ambio de variables = (u, v) que transforma uno a uno la región A en la región. Si diho ambio de variables es de lase C en un abierto que ontenga a la región A en el ual, salvo un antidad finita de puntos el (x, ) jaobiano J =, entones (u, v) f(x, ) dxd = f(x(u, v), (u, v)) (x, ) (u, v) dudv A Nota: El jaobiano del ambio de variables atúa omo fator de dilataión o de ompresión del área al pasar de A a mediante la transformaión dada. 6

7 Ejemplo. Calulemos (x ) dxd siendo la región del plano limitada por x, por x. { u = x Efetuando el ambio de variable v = x { x = v u tenemos, la nueva región de integraión R, es el retángulo R = [, [, = u v. x = x = x = x = x Por lo tanto, el jaobiano: x x v (x, ) (u, v) = u v u u = = u u v v = v u v v v, teniendo en uenta que v es positiva, (x, ) (u, v) = v. Luego: (x ) dxd = [ u 3 = 3 u ( v dudv = u R [ln v v= = 7 u= 3 ln.. Cambios de variables más habituales en el plano ) v dv du Algunos de los ambios de variables más utilizados en el plano son: { x = r os θ. Cambio a oordenadas polares: on r > θ [, π. = r sen θ Su jaobiano es J = (x, ) (r, θ) = r.. Cambio a oordenadas polares trasladadas al punto (a, b): Su jaobiano es J = r. 3. Cambio a oordenadas elíptias de semiejes a, b > : Su jaobiano es J = abr { x = a + r os θ { x = ar os θ = br sen θ = b + r sen θ.... Ejemplos. La integral doble () en página 5 se puede también resolver usando un ambio de variables a oordenadas polares. Observe que la región = {(x, ) : x + } es la imagen del retángulo R = {((r, θ) : r [,, θ [, π}, por la transformaión x(r, θ) = r os θ, (r, θ) = r sen θ. 7

8 θ π A x = r os θ = r sen θ = T (A) r x x dxd = Figura 3: El ambio de variables a oordenadas polares. = 5. amos a alular la reta = x. π [ [ sen 3 θ 3 π r os θ r sen θ r dr dθ = θ=π θ= = [ os θ sen θ r 4 dr dθ x dxd siendo la región superior limitada por la elipse x +4 = 4 La( reta la elipse se ortan en los puntos, ) ( P Q, ). Consideramos { el ambio de variables x = r os θ de donde P (r =, θ = π 4 = r sen θ ) Q(r =, θ = 5π 4 ). e aquí Q P x dxd = = Integrales triples 5π 4 θ= π 4 5π 4 π 4 r= r os θ r drdθ = os θ dθ = 4 3 [sin θ 5π 4 π 4 = 4 3 5π 4 θ= π 4 4 os θ r drdθ = r= ( ) = Integral triple de un ampo esalar sobre un paralelepípedo Sea el paralelepípedo R = [a, b [a, b [a 3, b 3 sea f : R R 3 R un ampo esalar ontinuo sobre R. La integral triple sobre R se define omo el número b 3 [ b [ b f(x,, z) d = f(x,, z) dxddz = f(x,, z) dx d dz R R El teorema de Fubini para paralelepípedos garantiza que si f : R R 3 R es un ampo esalar ontinuo sobre el paralelepípedo R = [a, b [a, b [a 3, b 3 entones la integral triple se puede alular omo una integral iterada en ualquier orden de las variables. 8 a 3 a a

9 Región proetable en el espaio. Sea R 3 una región en el espaio. Se die que es XY -proetable si existe una región del plano errada aotada, existen dos ampos esalares a 3 (x, ) b 3 (x, ) ontinuos en tales que = { (x,, z) R 3 : (x, ), z [a 3 (x, ), b 3 (x, ) } Igualmente se pueden definir regiones XZ-proetables regiones Y Z-proetables. 3.. Integral triple de un ampo esalar sobre una región proetable Sea f : R 3 R un ampo esalar ontinuo sobre la región XY -proetable, on (x, ) z [a 3 (x, ), b 3 (x, )}. La integral triple en se define omo [ b3 (x,) f(x,, z) dxddz = f(x,, z) dz dxd. a 3 (x,) Igualmente se definen las integrales triples para regiones XZ-proetables regiones Y Z- proetables. Además, el teorema de Fubini para regiones proetables en el espaio garantiza que si la región puede desribirse omo región proetable de más de una forma entones las integrales triples apliadas en ada aso obtienen el mismo resultado. Propiedades de las integrales triples. Las integrales triples verifian las mismas propiedades de linealidad, aditividad monotonía que las integrales dobles. Además satisfae que el volumen enerrado por la región R 3 se alula omo vol( ) = dxddz. z b x a Figura 4: Tetraedro. Ejemplo. amos a alular el volumen de un tetraedro enerrado por el plano que se apoa a una distania positiva a, b del origen sobre los ejes x, z, respetivamente, los tres planos oordenados (figura 4). Observamos que la región es XY -proetable on reinto que es el triángulo de vérties (,, ), (a,, ) (, b, ). También alulamos la euaión del plano menionado, que tiene por vetores diretores ( a,, ) ( a, b, ): x a z a a b = bx + a + abz = ab z = a x b 9

10 Por tanto, el volumen será [ a x b dz dxd = x= = z= ( a x ) b dxd Como la regíon en el plano XY es X-proetable, delimitada por la reta x a a la anterior integral doble queda [ a b a (a x) ( a x ) a b b(x a) d dx = a dx = ab 6 = b. Por tanto, 4. Cambios de variables. Coordenadas ilíndrias esférias. El teorema del ambio de variables puede enuniarse también para integrales triples. Algunos de los ambios de variables más utilizados en el espaio son: Coordenadas ilíndrias: Se representa un punto (x,, z) en el espaio mediante las oordenadas en polares (r, θ) de su proeión sobre el plano OXY su oordenada z, de forma que r >, θ [, π) z R. Las euaiones del ambio son x = r os θ = r sen θ on r >, θ [, π), z R z = z El ambio onsiste en tomar la región omo XY -proetable apliar un ambio a Eje Z Eje Z z O x θ r P Eje Y x z O φ θ ρ ρ sen θ P Eje Y Eje X Eje X (a) Coordenadas ilíndrias. (b) Coordenadas esférias. oordenadas polares en la integral doble sobre la proeión en el plano XY. (x,, z) El jaobiano de este ambio es (r, θ, z) = r. Coordenadas esférias: Se representa un punto (x,, z) mediante la distania ρ = x + + z al origen, el ángulo θ (olatitud) que forma su radio vetor on la parte positiva del eje OZ el ángulo azimutal φ de la proeión del radio vetor sobre el plano OXY, de forma que ρ >, θ [, π φ [, π). Las euaiones del ambio son x = ρ os φ sen θ = ρ sen φ sen θ on ρ >, θ [, π, φ [, π) z = ρ os θ

11 Su jaobiano es (x,, z) (ρ, θ, φ) = ρ sen θ. Cambio a oordenadas esférias trasladadas a un punto (a, b, ): x = a + ρ os φ sen θ = b + ρ sen φ sen θ on ρ >, θ [, π, φ [, π) z = + ρ os θ Ejemplos. Su jaobiano es (x,, z) (ρ, θ, φ) = ρ sen θ.. Calulemos el volumen del ilindro de radio R altura h. Para ello usaremos, obviamente, oordenads ilíndrias. dxddz = R r= π h θ= z= J dzdθdr = π R h. Calulemos el volumen de la esfera de radio R. Usaremos, laro está, oordenadas esférias. dxddz = Ejeriios del tema R ρ= π π φ= θ= ρ sen θ dθdφdr = R 4πρ dρ = 4 3 πr3 Ejeriio Calula las siguientes integrales dobles sobre retángulos.. (x + x) dxd 3. (x + xe ) dxd [, [,3. os (x + ) dxd 4. [, π [, π [,3 [, (x + + x 3x) dxd [, [, Ejeriio Calula las siguientes integrales dobles.. (x + ) dxd, donde es el triángulo de vérties (, ), (, ) (, ).. xdxd, donde es la región enerrada entre las urvas = x e = x (x ) dxd, donde es el triángulo de vérties (, ), (, ) (, ). 4. dxd, donde es la región del primer uadrante donde x x x 3 3 dxd, donde es la región del primer uadrante enerrada por las urvas x + 6. = 4, x + =, x = x =. (x + ) dxd siendo = { (x, ) R :, x + x, x + }. Ejeriio 3 Resuelve las siguientes integrales dobles.

12 .. [ x [ π e d dx ar sen x dx d [ x sen x dx d [ 4 x sen(π) d dx Ejeriio 4 Utiliza un ambio de variables para resolver las siguientes integrales dobles.. x dxd, donde es el paralelogramo enerrado por las retas = x, = x,. = x e = x +. x 3 3 dxd, donde es la región del primer uadrante enerrada por las urvas x + = 4, x + =, x = x =. 3. x + dxd, donde = [, [,. 4. x dxd, donde = {(x, ) R : x, x + x}. 5. dxd, donde es la región del primer uadrante exterior a la urva ardioide x r = + osθ e interior a la irunferenia x + = 3x. 6. ln(x + ) dxd, donde = {(x, ) R : a x + b, x, }. 7. x dxd, donde = {(x, ) R : x + 4, x x, x, }. 8. x dxd, donde = {(x, ) R : x, x 4x, x, }. Ejeriio 5 Halla el área de las siguientes regiones del plano.. El área de una elipse de semiejes a, b >.. El área de la región = { (x, ) R : x +, x, x }. 3. El área enerrada por la ardioide r = 3 + os θ. 4. El área de la región del primer uadrante enerrada por las siguientes urvas x =, x =, x + = x + =. Ejeriio [, [, [, [, [,3 [, [,4 [, [,3 Calula las siguientes integrales triples sobre paralelepípedos. (x + + z) dxddz. (x + z) dxddz. (x z) dxddz. Ejeriio 7 Halla las siguientes integrales triples.

13 .. 3. x dxddz, donde es la región del otante positivo interior al paraboloide x + = z on z. z dxddz, donde es el sólido aotado superiormente por el elipsoide x +4 +z = 9 e inferiormente por el paraboloide z + 3 = x + 4. ( + x) dxddz, donde es el sólido on z aotado superiormente por la esfera x + + z = z e inferiormente por el ono de euaión z = 4x + 4. Ejeriio 8 Calula las siguientes integrales triples usando algún ambio de variables.. (x + + z) dxddz, donde = {(x,, z) R 3 : x + + z, x +, x }. xz x + dxddz, donde + z = {(x,, z) R 3 : x,, z, x + + z 4} z x + dxddz, donde es el trozo de la esfera unidad limitado por el ono de euaión z = (x ) + en el otante positivo. ( ) 3 { x + + z dxddz, donde = (x,, z) R 3 : z [,, x + z }. x + + z dxddz, donde = { (x,, z) R 3 : x + + z, } x + z. 6. x dxddz, donde = { (x,, z) R 3 : 4x + z, x +, x,, z }. Ejeriio 9 Halla el volumen de los siguientes sólidos.. El sólido del primer otante interior al ilindro + z = enerrado entre los planos x + = x + = 3.. = { (x,, z) R 3 : (x + ) z 4 }. 3. El sólido del primer otante que es interior al ilindro x + = exterior al ono z = x = { (x,, z) R 3 : x +, x + + z 4 }. 5. La esfera de radio a >. 6. = { (x,, z) R 3 : x + z, x + + z 9 }. 7. El sólido aotado por los paraboloides x + = z x + = z. 8. = {(x,, z) R 3 : x +, z } 4 x. 9. = { (x,, z) R 3 : x +, z x + }. 3

14 . El sólido aotado entre dos esferas un ono en el semiespaio superior, = { (x,, z) R 3 : a x + + z b, x + z, z }. 4