Soluciones Hoja 1: Relatividad (I)

Transcripción

1 Soluiones Hoja 1: Relatividad (I) 1) Una nave abandona la Tierra on una veloidad de 3/5. Cuando el reloj de la nave mara 1 h transurrida, la nave envía una señal de vuelta a la Tierra. (a) De auerdo on los relojes de la Tierra, uándo se envió la señal? (b) De auerdo on los relojes de la Tierra, uánto tiempo tarda en llegar la señal ontando desde que partió la nave? () Según la nave, uánto tarda la señal en llegar a la Tierra ontando desde que partió de la Tierra? Soluión: (a) Asoiamos el sistema S on la Tierra y S on la nave. Además, definimos el evento omo la partida de la nave de la Tierra y el evento 1 omo el envío de la señal. Entones, t 1 t 1 t viene dado por la fórmula de la dilataión del tiempo: t 1 = γ t 1 = 1 1 (3/5) 2 (1 h) = 5 4 h. Es importante destaar que hemos podido usar la fórmula de la dilataión del tiempo porque los dos eventos tienen lugar en el mismo punto para el sistema de la nave, es deir, S mide el tiempo propio. (b) Definimos omo evento 2 la llegada de la señal a la Tierra. El tiempo que busamos es t 2 = t 1 + t 21, donde t ij = t i t j. El tiempo t 1 = 5/4 h (ver apartado anterior), mientras que t 21 es el tiempo que tarda la señal, que viaja a, en reorrer una distania igual a la reorrida por la nave según S en el intervalo t 1, es deir, t 21 = (3/5) t 1 / = 3/4 h. Por tanto, t 2 = 2 h. () Ahora busamos el tiempo t 2 que se puede alular usando la fórmula de la dilataión del tiempo: t 1 2 = γ t 2 = 1 (3/5) (2 h) = h. Nótese que en este aso es S quien mide el tiempo propio. 2) Un ohete espaial de longitud propia l se mueve a veloidad onstante v relativa a un sistema S (ver figura). La punta del ohete (A ) pasa por el punto A de S en el instante t = t = y en este instante se emite una señal desde A hasta B. (a) Cuánto tardará la señal en términos del tiempo del ohete (t 1) en alanzar la ola (B ) de la nave? (b) En qué instante t 1, medido en S, alanza la señal la ola (B ) de la nave? () En qué instante t 2, medido en S, pasa la ola de la nave (B ) por el punto A? v B A A Soluión: (a) El tiempo t 1 viene dado obviamente por t 1 = l. 1

2 (b) Para determinar el instante t 1 haemos uso de las transformaiones de Lorentz: Definiendo β = v/, t 1 = γ(t 1 + vx 1/ 2 ) = γ t 1 = l 2 = l ( l vl ) 2 ()(1 + β) = l = γl (1 v/). 1 + β. () Calulamos t 2 haiendo uso de la expresión de la dilataión del tiempo: γt 2 = t 2 = l v t 2 = l γv = l v 2. Obviamente, también se puede llegar a este resultado haiendo uso de las transformaiones de Lorentz. 3) (a) Determinar mediante un álulo direto la matriz de Lorentz que desribe un ambio de sistema de referenia S a otro S que se mueve on respeto a S on veloidad onstante en una direión ontenida en el pano xy y que forma un ángulo θ on el eje x. Pista: ver el final de la seión 1.3 de las notas del Capítulo 1. (b) Demostrar que ese resultado se puede obtener mediante la apliaión suesiva de una rotaión alrededor del eje z on ángulo θ, una transformaión de Lorentz a lo largo del eje x y una rotaión alrededor del eje z on ángulo θ. Soluión: (a) Reordemos que la matriz de Lorentz para una transformaión donde la veloidad relativa entre S y S es β = v/ = (β x, β y, β z ) viene dada por γ γβ x γβ y γβ z γβ ˆΛ( v) = x 1 + (γ 1)β 2 x/β 2 (γ 1)β x β y /β 2 (γ 1)β x β z /β 2 γβ y (γ 1)β y β x /β (γ 1)βy/β 2 2 (γ 1)β y β z /β 2. (1) γβ z (γ 1)β z β x /β 2 (γ 1)β z β y /β (γ 1)βz/β 2 2 donde γ = 1/ 2. En el aso que nos oupa, β = β(os θ, sen θ) y, por tanto, γ γβ os θ γβ sen θ γβ os θ 1 + (γ 1) os ˆΛ(θ) = 2 θ (γ 1) os θ sen θ γβ sen θ (γ 1) os θ sen θ 1 + (γ 1) sen 2 θ. (2) 1 (b) La matrix de Lorentz anterior se puede obtener también ombinando una rotaión alrededor del eje z on ángulo θ, dada por la matriz ˆR(θ), una transformaión de Lorentz a lo largo del eje x, dada por ˆΛ(θ = ), y una rotaión alrededor del eje z on ángulo θ, dada por ˆR( θ), del siguiente modo: ˆΛ(θ) = ˆR( θ)ˆλ(θ = ) ˆR(θ), 2

3 donde 1 γ γβ os θ ±sen θ ˆR(±θ) = sen θ os θ y ˆΛ(θ γβ γ = ) = 1. (3) 1 1 Es muy senillo mostrar que la multipliaión de esas tres matries nos da el resultado del apartado anterior. 4) Paradoja de Ehrenfest: Un diso de radio R gira on una veloidad angular ω. La irunferenia se ontrae debido a la ontraión de Lorentz, pero el radio (al ser perpendiular a la veloidad) no lo hae. Cuál es el oiente entre la irunferenia y el diámetro, en términos de ω y R. De auerdo a las reglas de la geometría eulideana el resultado tiene que ser π. Qué es lo que ourre? Soluión: Llamamos S al sistema inerial que está en reposo instantáneo on un sistema que rota on el diso y S a un sistema inerial donde el diso rota on una veloidad angular ω. La relaión entre los desplazamientos infinitesimales a lo largo de la irunferenia en estos dos sistemas está dada por ds = ds γ = 1 v 2 / 2 ds = 1 ω 2 R 2 / 2 ds. De este modo, la longitud L de la irunferenia en S viene dada por L = 2π 2π ds = 1 ω 2 R 2 / 2 ds = donde d = 2R es el diámetro de la irunferenia. Así pues, 1 ω 2 R 2 / 2 2πR = πd 1 ω 2 R 2 / 2, L d = π 1 ω 2 R 2 / 2 < π. Una forma de interpretar este resultado es que un objeto aelerado en relatividad no puede permaneer rígido. Para Albert Einstein, esta paradoja nos da una pista de que en los sistemas aelerados, que según el prinipio de equivalenia son equivalentes a sistemas donde hay un ampo gravitatorio, la geometría del espaio-tiempo no es eulideana. 5) La dilataión del tiempo implia que uando un reloj se mueve relativo al sistema S, medidas preisas hehas por observadores en S enontrarán que el reloj atrasa (el tiempo marado por ese reloj transurre más lentamente). Esto no signifia que un observador individual en S tenga que ver (en el sentido literal de la palabra) que diho reloj atrase. Para entender esto debemos reordar que lo que vemos viene determinado por la luz que llega a nuestros ojos. Consideremos un observador situado era del eje x uando un reloj se aproxima a él on una veloidad v a lo largo de diho eje. Cuando el reloj se mueve de la posiión A a la B marará un tiempo t, pero uando se mide entre los dos eventos 3

4 (reloj en A y reloj en B) diho tiempo es t = γ t. Sin embargo, omo B está más era del observador que A, la luz desde el reloj en B alanzará al observador en un intervalo de tiempo más orto que desde A. Por tanto, el tiempo t ver entre que el observador ve el reloj en A y lo ve en B es menor que t. (a) Demostrar que t ver = t() = t 1 + β. (b) Qué tiempo verá el observador una vez que el reloj le haya pasado y se aleje de él? Soluión: (a) El intervalo de tiempo t ver será igual al intervalo de tiempo t menos el tiempo que tarda una señal luminosa en reorrer la distania desde A hasta B, que es igual a v t/ (v t es la distania que reorre el reloj). De este modo, t ver = t() = γ t () = t = t β, donde hemos heho uso de la dilataión del tiempo t = γ t. Nótese que t ver < t. (b) Para obtener este tiempo tan sólo tenemos que invertir el signo de la veloidad, es deir, t ver = t 1 + β > t. Te suenan de algo estas fórmulas? 6) Un ohete, uya longitud propia es de 6 m, se mueve alejándose diretamente de la Tierra. La nave lleva espejos en ada extremo. Una señal luminosa enviada desde la Tierra se refleja en los dos espejos. La primera señal se reibe en la Tierra después de 2 s y la segunda 1.74 µs después. (a) Hallar la distania del ohete a la Tierra (medida desde el punto de vista de la Tierra) en el instante en el que se refleja la primera señal. (b) Determinar el tiempo medido desde el ohete que tarda la primera señal en regresar a la Tierra. () Calular la veloidad relativa del ohete on respeto a la Tierra. Soluión: (a) La distania, d, a la que se enuentra el ohete de la Tierra viene dada por t 1 = 2 s = 2d d = t 1 2 = 3 11 m = km. (b) El tiempo que tarda la primera señal en regresar a la Tierra medido desde la nave se puede alular haiendo uso de la expresión de la dilataión del tiempo: t 1 = γt 1 = t 1 1 v 2 / 2, donde v es la veloidad del ohete. Obviamente, neesitamos onoer primero la veloidad del ohete para alular t 1. Así pues, neesitamos resolver primero el siguiente apartado. () Para hallar la veloidad relativa usamos la diferenia de tiempos de medida de las dos señales en la Tierra, t = 1.74 µs. Esta diferenia se debe a la distania extra que ha de reorrer la segunda señal: v t + 2L /γ, donde L = 6 m es la longitud propia del 4

5 ohete. En la expresión anterior, el primer término es la distania reorrida por el ohete en ese intervalo de tiempo y el segundo orresponde a dos vees la longitud del ohete (medida desde la Tierra). Nótese que hemos usado la fórmula de la ontraión de la longitud para alular esta segunda ontribuión. Así pues, Nuestro objetivo ahora es despejar β = v/: t = v t + 2L /γ. t v t = 2L /γ t() = 2L 2. Haiendo uso de 2 = (1 + β)(), tenemos t = 2L 1 + β 2 t 2 () = 4L 2 (1 + β). Finalmente, β = v = 2 t 2 4L t 2 + 4L 2 Ahora podemos volver al apartado anterior para obtener: t 1 = s. 7) Relatividad espeial y ausalidad: Un mariano, harto de las burlas de los terríolas por su aspeto, deide destruir la Tierra on un rayo láser muy potente. El mariano lanza su rayo láser uando Marte se enuentra a 2 minutos-luz de la Tierra. Observando la esena se enuentran los tripulantes de una nave espaial que viaja a una veloidad v on respeto a la Tierra en direión a Marte. Para el mariano y la gente de la Tierra, que están aproximadamente en reposo relativo, transurren 2 minutos hasta que la Tierra explota omo onseuenia de la llegada del rayo láser que viaja a. Por supuesto, para ellos la ausa (lanzamiento del rayo láser) preede al efeto (destruión de la Tierra). A qué veloidad debe viajar la nave espaial para que vea que la Tierra explota antes de que el mariano lane el rayo destrutor? En otras palabras, uál es la veloidad que ha tener la nave para que se viole la ausalidad? Soluión: Asoiamos el sistema S on la Tierra y el S on la nave. El tiempo transurrido entre los dos eventos (disparo del rayo láser y su llegada a la Tierra) en el sistema S está relaionado on el orrespondiente tiempo en S de auerdo a las transformaiones de Lorentz: ( t = γ t v x ), donde t = 2 minutos y x = 2 minutos-luz. Para que se viole la ausalidad, debemos tener que t <, lo que implia que t v x 2 2 < t x = 1 < v 2 v >, es deir, la nave debe ir a una veloidad mayor que la de la luz. Como la relatividad espeial prohibe que eso ourra, la relatividad nos die que no se puede violar la ausalidad. 5

6 Es importante darse uenta de que esta onlusión es independiente de la distania entre la Tierra y Marte y también de la veloidad de la señal enviada por el mariano (siempre y uando sea menor o igual que la de la luz). En realidad, el argumento anterior es ompletamente general y la existenia de una veloidad límite (la de la luz) impide que se pueda violar la ausalidad. 6