Pruebas de Acceso a Ensen anzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG)

Transcripción

1 PAEG junio 016 Propuesta B Matemátias II º Bahillerato Pruebas de Aeso a Ensen anzas Universitarias Oiiales de Grado (PAEG) Matemátias II (Universidad de Castilla-La Manha) junio 016 Propuesta B EJERCICIO 1 a) Enunia los teoremas de Bolzano de Rolle. (1 punto) b) Razona que la euaión e x 0 tiene al menos una soluión real. (0,75 puntos) ) Razona que, de heho, diha soluión es únia. (0,75 puntos) a) Teorema de Bolzano Sea signo de ab, una unión ontinua en un intervalo errado. Entones existe tal que b Teorema de Rolle :, a, b Sea a b una unión ontinua en, existe un punto del intervalo ab, tal que x e x x b) La unión deinida por 5 errado 1,0 0 ab derivable en ' 0. supongamos que el signo de. a ab, veriiando que a b es distinto que el. Entones está deinida es ontinua en todo, en partiular en el intervalo. Además e 1 0 un número real 1,0 1 tal que 0 tiene al menos una soluión real. e, es deir, tal que 0 e 0 0. Entones existe al menos, on lo que la euaión e x 0 5 e 0 ) Supongamos que la euaión e x 0 tuviera dos soluiones:. O lo que es lo mismo, onsiderando la unión del aparatado b), que. La unión es laramente ontinua en derivable en 1 0 on lo que, por el teorema de Rolle, existiría, tal que 1, por que 1 1 1, ' 0. Pero esto es una ontradiión x ' x e x 0 para todo x. Esto quiere deir que no puede haber dos o más soluiones de la euaión e x 0, por tanto, la soluión del apartado b) es únia. EJERCICIO x x x a) Calula el área de la región aotada por las gráias de las parábolas (1,5 puntos) b) Calula para que las retas tangentes a las gráias de x la misma pendiente. (1 punto) a) Hallemos los puntos en los que se ortan ambas parábolas. g x x x 11. g x en el punto de absisa x tengan PAEG junio 016 Propuesta B Página 1

2 PAEG junio 016 Propuesta B Matemátias II º Bahillerato La parábola x x x x x 11 x 6x 8 0 x 1 g x x x 11 se abre haia abajo, por tanto, entre los puntos de absisa, estará por enima de la parábola de ambas parábolas viene dada por b) Las retas tangentes a las gráias de g ' EJERCICIO Sabiendo que x 1 x x x x. Entones, el área A de la región aotada por las gráias 1 A g x x dx. Hagamos los álulos. x A g x xdx x 6x 8dx x 8x uds x gx. Por tanto, si estas pendiente son iguales, tenemos: donde x,, z, a, b, en el punto de absisa x 6 ' g ' 6, alula los determinantes x z a b 10 1 tienen pendiente 0 x z a b x z a b indiando las propiedades que usas en ada aso para justiiar tu respuesta (1,5 puntos por determinante) x z 6 x z x z x z. 5 5 a b a b a b a b a b Para la primera igualdad hemos utilizado que si en un determinante los elementos de una ila o una olumna están multipliados por un número el valor del determinante queda multipliado por diho número. Para la segunda igualdad se ha utilizado que, si una ila o una olumna es una suma, el determinante puede desomponerse en una suma de determinantes. Finalmente, en la terera igualdad hemos utilizado que, si dos ilas o dos olumnas son proporionales, el determinante es ero (en este paso, en el segundo determinante, la segunda ila es la primera multipliada por dos). ' PAEG junio 016 Propuesta B Página

3 PAEG junio 016 Propuesta B Matemátias II º Bahillerato 0 x z 0 a b x z x z 5 a b 5 a b 15 x z a b Para la primera igualdad se ha desarrollado el determinante de orden uatro por los elementos de la primera olumna. Para la segunda igualdad se ha utilizado que que si en un determinante los elementos de una ila o una olumna están multipliados por un número el valor del determinante queda multipliado por diho número (todos los elementos de la primera olumna están multipliados por tres). Y para la terera igualdad hemos utilizado que, si se interambia dos ilas o dos olumnas entre sí, el determinante ambia de signo. En este aso hemos realizado dos interambios, on lo que el signo del determinante no varía: en primer lugar, primera ila por terera ila, en segundo lugar, segunda ila por terera ila. EJERCICIO Dados los planos donde a, se pide: 1 ax z, x z 0 x a z a, a) Estudiar la posiión relativa de los planos anteriores en unión del parámetro a b) Para el valor a 1, alular la distania entre. (1 punto). (1,5 puntos) a) Estudiaremos el aráter, según los valores del parámetro a, del siguiente sistema de euaiones: La matriz A de los oeiientes la matriz ampliada Por un lado la siguiente disusión: a 1 A ; 1 a 1 ax z x z 0 x a z a A b 1 1 asoiadas a este sistema son, respetivamente: a 1 Ab a 1 a A a a a a a. Como a 1 a a 0, podemos haer a Si a 1 a, A 0, on lo que rango A rango A b n ( n india el número de inógnitas), pues ha un menor de orden tres distinto de ero. Entones el sistema es ompatible determinado (soluión únia) los planos 1, se ortan en un punto. Si a 1 o a, A 0. En ambos asos rango A pues ontiene un menor de orden dos distinto de ero: Analiemos por separado lo que le ourre a la matriz ampliada para omparar on el rango de la matriz de los oeiientes, deidir el aráter del sistema, por tanto, la posiión relativa de los tres planos. PAEG junio 016 Propuesta B Página

4 PAEG junio 016 Propuesta B Matemátias II º Bahillerato Si a 1, 1 1 Ab , uo rango es tres porque ontiene un menor de orden tres distinto de Por tanto rango A rango A b el ero: sistema es inompatible (no tiene soluión). Esto quiere deir que los tres planos no tienen ningún punto en omún. Pero es que además los planos son: Claramente 1 x z, x z 0 x z 1 son paralelos (los oeiientes de x,, son los mismos) ambos seantes a on lo que la posiión será la de la igura siguiente: z 1, Si a, 1 Ab , uo rango vuelve a ser tres pues ontiene un menor de orden tres Por tanto, al igual que nos ourría distinto de ero: 1 PAEG junio 016 Propuesta B Página

5 PAEG junio 016 Propuesta B Matemátias II º Bahillerato anteriormente, rango A rango A b el sistema es inompatible (no tiene soluión). Esto quiere deir, de nuevo, que los tres planos no tienen ningún punto en omún. Esta vez los planos son: 1 x z, x z 0 x z Es mu áil darse uenta, omparando oeiientes, de que son seantes dos a dos, on lo que la posiión viene dada por una igura omo la siguiente: b) Para x z, x z 1 0. Por ser paralelos, la distania entre ambos planos será la a 1, 0 distania de un punto de uno de ellos al otro. Un punto de planos vendrá dada por: d d P P 1, 1,0 es ,, uds Por tanto, la distania entre los dos PAEG junio 016 Propuesta B Página 5