Examen final de Cálculo Integral

Transcripción

1 xamen final de Cálulo Integral 6 de septiembre de 1 (Soluiones) Cuestiones C 1 Apliando el teorema 1.15 y definiión 1. de los apuntes se onluye inmediatamente que el valor de la integral oinide on la longitud de C: si tenemos una parametrizaión de la urva C que umpla las hipótesis del teorema 1.15, entones T ds T T ds T ds ds l(c). C Graias a la definiión de aro simple, lo que tenemos garantizado es que hay alguna parametrizaión de C que puede desomponerse en suma de un número finito de aminos que sí que umplen las hipótesis del teorema Y on eso es sufiiente para terminar el razonamiento en todos los asos porque, si es neesario, no hay más que desomponer la integral en una suma de integrales. C Una forma de haerlo que sirve para ualquier amino es utilizar la definiión 1.18 de los apuntes. C e auerdo on el teorema.11 de los apuntes, los dos vetores normales son olineales y el fator por el que hay que multipliar uno para obtener el otro es el determinante jaobiano del ambio de variables. C 4 La soluión está ontenida en la definiión.5 de los apuntes. C 5 Nos piden identifiar el onjunto Σ y la orientaión on que hay que dotarlo para que la fórmula de Stokes sea orreta. Una uestión muy similar a ésta se resuelve en el apartado.4...b) de los apuntes (figura.8). La únia diferenia es que en el aso que allí se desarrolla las orientaiones son todas las opuestas del aso que aquí se plantea. Problemas P 1 e auerdo on el enuniado del problema, es adeuado tomar u y x, v x+y. espejando en estas euaiones x, y en funión de u, v, obtenemos que x v u, y v+u. Además, u 1, π v π, es deir, (u, v), 1] π, π]. Por tanto, la apliaión ( v u T :, (u, v), v + u )

2 satisfae las ondiiones del Teorema del Cambio de Variable (.), siendo detjt 1. Apliando diho teorema, (y x) 1 sin(x + y) da u sin v du dv. Apliando ahora el Teorem de Fubini (.1), 1 u sin v du dv 1 1 u du Conluimos que (y x) sin(x + y) da 1 6. π sin v dv 1 u 4 4 ] 1 os v 1 π 6. P Primera forma de resoluión Observar que x + y y x + (y 1) 1 (orresponde a un ilindro en el plano XY de entro en (, 1)). ntones, una parametrizaión de Σ es Φ(θ, z) (os θ, 1 + sin θ, z), (θ, z) Φ {(θ, z) R : π θ π }, z os θ (el intervalo de variaión para θ se dedue de que, omo x, os θ ). Un vetor normal en ada punto de la superfiie es n Φ (θ, z) Φ θ (θ, z) Φ z (θ, z) ( sin θ, os θ, ) (,, 1) (os θ, sin θ, ). legimos omo orientaión positiva de Σ la asoiada a n Φ, que es la de las normales exteriores. ntones, apliando la efiniión.1, F ds F (Φ(θ, z)) n Φ (θ, z) dθ dz Σ + Φ (1, os θ, z + os θ(1 + sin θ)) (os θ, sin θ, ) dθ dz Φ (os θ os θ sin θ) dθ dz. Φ Ahora, apliando el Teorema., Φ (os θ os θ sin θ) dθ dz π π (os θ os θ sin θ) dθ 1 ( os θ θ + sin θ os θ ) (os θ os θ sin θ) dz dθ π os θ + (para alular la integral del primer sumando se puede apliar la fórmula 15 de la tabla de integrales). Conluimos que Σ + F ds π. π π

3 Segunda forma de resoluión Usando oordenadas ilíndrias (x r os ϑ, y r sin ϑ, z z), tenemos que: (I) x + y y r r sin ϑ r sin ϑ (la última equivalenia es ierta ya que de la igualdad r sin ϑ se obtiene que r uando ϑ ). (II) z x z sin ϑ os ϑ z sin ϑ. (III) ϑ π, ya que, por (I), sin ϑ ; por (II), os ϑ. Teniendo en uenta lo anterior, una parametrizaión de Σ es también φ(ϑ, z) (sin ϑ, sin ϑ, z), (ϑ, z) φ {(ϑ, z) R : ϑ π }, z sin ϑ. Un vetor normal en ada punto de la superfiie es n φ (ϑ, z) φ ϑ (ϑ, z) φ z (ϑ, z) ( os ϑ, sin ϑ, ) (,, 1) ( sin ϑ, os ϑ, ). iho vetor n φ establee omo orientaión positiva de Σ la de las normales exteriores, omo en la primera forma de resoluión. ntones, apliando la efiniión.1, F ds F (φ(ϑ, z)) n φ (ϑ, z) dϑ dz Σ + φ (1, sin ϑ, z + sin ϑ sin ϑ) ( sin ϑ, os ϑ, ) dϑ dz φ ( sin ϑ + sin ϑ os ϑ) dϑ dz. φ Ahora, apliando el Teorema., φ ( sin ϑ + sin ϑ os ϑ) dϑ dz ( sin ϑ + sin ϑ os ϑ) dϑ 1 ( sin ϑ ) ( sin ϑ + sin ϑ os ϑ) dz dϑ ϑ sin ϑ os ϑ sin ϑ + (para alular la integral del primer sumando se puede apliar la fórmula 14 de la tabla de integrales). Conluimos nuevamente que Σ + F ds π. π P Usando oordenadas esférias, tenemos (ver Seión 4.4) z ρ os ϕ, x + y + z ρ, el determinate del jaobiano es ρ sin ϕ. Y por el Teorema del Cambio de Variable (.), z + (x + y + z ) dv 5 + ρ 5 os ϕ sin ϕ dρ dϕ dθ,

4 donde {(ρ, ϕ, θ) R : ρ 1, ϕ π, θ π}. Apliando ahora el Teorema de Fubini para integrales triples (p. 189), + ρ 5 os ϕ sin ϕ dρ dϕ dθ dθ os ϕ sin ϕ dϕ ] 1 π os ϕ 1 5 ln( + ρ5 ) 4π ( ) 15 ln. Conluimos que z + (x +y +z ) P 4 Primera forma de resoluión 4π dv ln ( 5 15 ). 1 + ρ 5 dρ Apliando el Teorema de la ivergenia (4.1) y teniendo en uenta que div F x, F ds x dx dy dz. (1) + Calulemos la integral triple que aparee en la fórmula anterior. n primer lugar, observar que {(x, y, z) R : (x, y), x + y z 4}, {(x, y) R : x + y 4, x }. ntones, apliando el Teorema 4., ( 4 x dx dy dz x x +y ) dz dx dy x(4 x y ) dx dy. Además, puede desribirse en oordenadas polares mediante x r os θ, y r sin θ, r, π θ π (ya que x ), siendo r el determinante del jaobiano de este ambio de oordenadas. Por tanto, usando el Teorema del Cambio de Variable (.) y el Teorem de Fubini (.1), x(4 x y ) dx dy r (4 r ) os θ dr dθ os θ dθ (4r r 4 ) dr () π sin θ Conluimos que + F ds π ] 4 r r Segunda forma de resoluión Se trata de apliar nuevamente el Teorema de la ivergenia, alulando ahora la integral triple de (1) usando oordenadas ilíndrias, uyo jaobiano asoiado es r. La región puede desribirse utilizando dihas oordenadas de la siguiente forma: x r os θ, y r sin θ, z z, r, π θ π (ya que x ), r z 4. π

5 Por tanto, usando el Teorema del Cambio de Variable (.) y el Teorema 4., x dx dy dz π ( 4 ) r os θ dz dr dθ r π on lo que llegamos a la misma integral que la segunda de (). r (4 r ) os θ dr dθ, Terera forma de resoluión (planteamiento) La integral + F ds también puede alularse diretamente, pero resulta más laborioso. Vamos a exponer su plantemaniento. l alumno interesado puede realizar el trabajo restante. n primer lugar, observar que + Σ + 1 Σ +, donde Σ 1 {(x, y, z) R : (x, y), z x + y }, Σ {(x, y, z) R : (x, y), z 4}, donde la orientaión positiva de Σ 1 y Σ es la de las normales exteriores. Por tanto, F ds F ds + F ds. + Σ + 1 Además, Σ 1 y Σ son superfiies dadas en formas explíita, on lo que sus vetores normales exteriores en ada punto (x, y) son n 1 (x, y) (x, y, 1) y n (x, y) (,, 1), respetivamente (ver p. 149). Ya se tiene todo lo neesario para, apliando la efiniión.1, alular las dos integrales F ds, F ds (y on ello F ds). iho trabajo, basiamente alulístio, se Σ + 1 Σ + + deja para el alumno. Observaión. n el Problema 4 se pone de manifiesto el interés del Teorema de la ivergenia para el álulo de iertas integrales de superfiie. Σ +