TEMA 3.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Transcripción

1 TEMA 3.- DISTRIBUIONES DE PROBABILIDAD 3.1 EXPERIMENTOS Y SUESOS ALEATORIOS Existen dos tipos de experimentos: deterministas y aleatorios. El primero es aquel del que se puede predeir el resultado siempre que se realie en las mismas ondiiones. Por ejemplo, si lanzamos una piedra desde una ventana podemos predeir el tiempo que tardará diho objeto en aer onoiendo iertos datos. Por el ontrario, el experimento aleatorio es aquel que del que no se puede predeir el resultado aunque se realie en las mismas ondiiones, omo por ejemplo, lanzar al aire una moneda o saar una bola de una urna en la que hay varias. Los posibles resultados de un experimento aleatorio reiben el nombre de suesos aleatorios y se lasifian en elementales y ompuestos. Los primeros son aquellos que no se pueden desomponer en suesos más simples mientras que los segundos son los que están formados por más de un sueso elemental. Espaio muestral es el onjunto formado por todos los suesos elementales. También se denominan sueso seguro, puesto que ourre siempre que se realiza el experimento y, generalmente, lo representamos por la letra griega Ω. El sueso imposible es aquel que no ourre nuna y se representa usando la misma letra que para el onjunto vaío φ. EJEMPLOS 1) Exp. Aleatorio Lanzar una moneda Suesos: Salga ara () o que salga ruz (). Ω =, { } Sueso imposible: que salga un 6. 2) Exp. Aleatorio Lanzo un dado. Ω = 1, 2,3, 4,5,6 { } Algún sueso elemental: A = salga 6 = {6} Algún sueso ompuesto: B = salga un número par = {2,4,6} 3) Lanzar una moneda Ω =,,,,,,, { } Sueso ompuesto: que al menos uno sea ara = {,,,,,,} 4) onstruir el espaio muestral del lanzamiento de dos dados OPERAIONES ON SUESOS Utilizando los diagramas de Venn, el sueso seguro Ω lo representaremos omo un retángulo y los demás suesos por medio de írulos. Los puntos interiores del irulo onstituirán los suesos A; y los exteriores forman el suesos ontrario o omplementario ( A ó A) A A Ω

2 Unión: Dados dos suesos A y B, se define el sueso A unión B (también se puede leer A ó B), y se representa A B omo el sueso onsistente en que se umpla al menos uno de los dos, es deir, el onjunto de suesos elementales que están en A o en B (y por tanto, también se umple A B si se umplen los dos a la vez. Interseión: Dados dos suesos A y B, se define el sueso A interseión B (también se puede leer A y B), y se representa A B, omo el sueso onsistente en que se umplen ambos suesos a la vez (son los suesos elementales que perteneen al sueso A y también al sueso B) Dos suesos uya interseión es el sueso imposible ( φ ) se llaman inompatibles. En aso ontrario los suesos son ompatibles. Diferenia: Dados dos suesos A y B, se define el sueso diferenia A B omo aquel que onsiste en que se umpla A pero no B. Diferenia simétria: Se define la diferenia simétria de A y B, y se representa A B omo el onjunto de los elementos que está en A y no en B ó que está en B y no en A. Ejeriio a) Se lanzan dos dados sobre la mesa y se anota el par de números obtenido. Desribe el espaio muestral indiando el número de suesos elementales que lo forman. b) Si A = al menos uno de los números es par y B = la suma de los números es múltiplo de tres, alula la unión de ambos suesos, su interseión y el omplementario de ada uno de ellos

3 Propiedades A Ω = Ω A φ = A A A = Ω A Ω = A A φ = φ A A = φ Ω = φ φ = Ω Además, son muy importantes las leyes onoidas omo Leyes de De Morgan, que relaionan la unión y la interseión de suesos on los omplementarios: ( ) A B = A B y ( ) A B = A B 3.3. PROBABILIDAD DE UN SUESO Sea un experimento aleatorio on un espaio muestral Ω. Definiión freuentista: supongamos que el experimento se repite N vees. Sea A un sueso de diho experimento. Llamamos freuenia absoluta f A del sueso A al número de vees que ha f A ourrido A. Llamamos freuenia relativa h A al oiente ha =. N El matemátio suizo Jakob Bernoulli ( ) enunió la Ley de los números grandes: la freuenia relativa de un sueso tiende a estabilizarse entorno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento ree indefinidamente. A este número se le llama probabilidad de un sueso. EJEMPLO a) Si un jugador de balonesto lanza 1000 tiros libres de los uales enesta 52, deimos que la 52 probabilidad de aierto es P( A ) = = 0,52. También podemos expresar estas probabilidades 1000 en porentajes (52,%) b) Si de 500 personas onsultadas, oyen la radio 325 personas, podemos deir que la probabilidad de oir la radio es 325 0, = Observaión La probabilidad será siempre un número omprendido entre 0 y 1. Definiión de Laplae: La primera definiión de probabilidad se debe a Pierre Simon, marqués de Laplae ( ) que fue un astrónomo y matemátio franés. La regla de Laplae die: La probabilidad de un sueso A, se obtiene dividiendo el número de asos favorables a A entre el número total de asos posibles P( A ) = asos favorables a A total de asos posibles

4 EJEMPLOS 1) Exp. Aleatorio Lanzar un dado Suesos: A = saar un 4 B = saar un número par 2) Saar una arta de una baraja española. Sueso: A = saar un oro P(A) = 1/6 P(B) = 3/6 = 1/2 P(A) = 10/40 = 1/4 = 0,25 Para esta definiión también ourre que 0 P( A) 1. Definiión axiomátia de Probabilidad: se debe al matemátio ruso Andrei Kolmogorov ( ) y se basa en las propiedades de la freuenia relativa. Se llama probabilidad a la funión que a ada sueso le hae orresponder un número real P(A) que verifia las siguientes propiedades k1) 0 P( A) 1 k2) P( Ω ) = 1 k3) Si dos suesos son inompatibles ( A B φ ) onseuenias = entones P( A B) = P( A) + P( B) i) P( A ) = 1 P( A) ii) P( φ ) = 0 iii)si A1, A2,..., A K son inompatibles entones: P( A1 A2... AK ) = P( A1 ) + P( A2 ) P( AK ) iv) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) v)podemos usar (en los asos onvenientes) la regla de Laplae para asignar probabildades. 3.4 VARIABLES ALEATORIAS Normalmente o en muhos asos los resultados posibles de un experimento aleatorio no suelen ser definidos numériamente. Resulta interesante desde el punto de vista matemátio asoiar valores numérios a los resultados. onsideremos el experimento aleatorio de lanzar tres monedas al aire y desribamos el espaio muestral: Anotamos el número de aras que obtenemos:

5 Esta forma de relaionar posibles resultados de experimentos aleatorios on números reales mediante funiones se onsigue on variables aleatorias. Variable aleatoria Es una funión que a ada elemento del espaio muestral de un experimento aleatorio le asoia un número real: Ω Se llama reorrido de la variable aleatoria al onjunto de valores reales que puede tomar diha variable. En el ejemplo el reorrido sería: {0, 1, 2, 3}. Según sean los valores que toman las variables aleatorias estas pueden lasifiarse en: Disretas: uando su reorrido esta formado por puntos aislados (omo en el ejemplo anterior). ontinuas: uando los valores del reorrido perteneen a un intervalo de la reta real. Las variables aleatorias obran sentido uando asoiamos a ada valor de su reorrido la probabilidad de que salga ese valor y la ley que relaiona los valores del reorrido on su probabilidad se llama funión de probabilidad o funión de densidad de la variable aleatoria. En el aso de las variables aleatorias disretas, la funión de probabilidad asoia a ada valor de la variable un número real entre 0 y 1 que es el que le hae orresponde la probabilidad de que ourra diho sueso. En el ejemplo anterior: P (X=0) = P (0 aras) = 1 P (X=1) = P (1 aras) = 3 P (X=2) = P (2 aras) = 3 P (X=3) = P (3 aras) = 1 Si X es una variable aleatoria disreta que puede tomar los valores x1, x2,..., x n on probabilidades

6 respetivas P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),..., P(X= x n ) de manera que P(X= x 1 )+P(X= x 2 )+...+ P(X= x n ) = 1, diremos que tenemos definida una distribuión de probabilidad (disreta) para X. Si estos valores x1, x2,..., x n están ordenados de menor a mayor, podemos alular uál será la probabilidad P( X xi ) (saar a lo sumo x i )?. En efeto, P( X xi ) = P( X = x1 ) + P( X = x2 ) P( X = xi ). La definiión de funión de distribuión aprovehará justo este álulo de probabilidades. Sea X una variable aleatoria disreta que toma n valores distintos, y uyo reorrido es { x 1, x 2,..., x n } Se define la funión de distribuión que representamos por (x), omo la funión dada por ( x) = P( X x) En nuestro ejemplo Así que, x i f( x i ) 1 ( x i ) (-1) = 0 ; (0) = P( X 0) = P( X = 0) = (1) = P( X 1) = P( X = 0) + P( X = 1) = + = 1 (1,5) = 1 2 (2) = P( X 2) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) = + + = La funión de distribuión no es más que la distribuión de probabilidad aumulada. Ejeriio onsideramos el experimento aleatorio de lanzar dos dados y la variable aleatoria orrespondiente a la suma de las puntuaiones obtenidas en el lanzamiento. alula la funión de probabilidad y la funión de distribuión 3.4 PARÁMETROS DE LAS DISTRIBUIONES DE PROBABILIDAD DISRETA. Las probabilidades son idealizaiones de las freuenias relativas, omo ya vimos en la definiión f freuentista de probabilidad i N.

7 Por tanto podemos definir unos oneptos análogos a los que teníamos en el aso de las variables estadístias y que nos permitan definir en ierto sentido el omportamiento de la variable aleatoria. Así, podemos definir los parámetros media, varianza y desviaión típia de la misma forma que en los temas anteriores: Se define la media de una variable aleatoria, y se representa on el símbolo µ omo: Se define la varianza omo: µ = p1x1 + p2x pnxn = pi xi i ( ) σ = p x + p x + + p x µ = p x µ n n i i i o diho de otra forma: ( ) ( ) 2 = p1 ( x1 ) + p2 x pn xn = pi ( xi 2 ) i σ µ µ µ µ La desviaión típia se definirá omo la raíz uadrada de la varianza.

8 RELAIÓN DE EJERIIOS 1.- En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres vees se onsideran los suesos: A: saar al menos una ara y una ruz ; B: saar a lo sumo una ara. alula: P( A ), P( B ), P( A B), P( A B). 2.- En una bolsa hay seis aramelos de naranja y uatro de limón. Se extraen dos aramelos. alula la probabilidad de que todos sean del mismo gusto si se realiza la extraión: a) on reposiión; b) sin reposiión. 3.- Un grupo de alumnos hae dos exámenes el mismo día; uno teório y otro prátio. El 5% de los que se presentan aprueban alguno de los dos; el 40% aprueba los dos, y el 50% no aprueba el prátio. Se elige un alumno al azar. alula la probabilidad de que: a) apruebe el examen teório, b) apruebe el prátio pero no el teório. 4.- Efetuamos dos extraiones on reposiión en una urna que ontiene ino bolas numeradas del 1 al 5. uál es la probabilidad de que la suma de los números sea igual a 4? 5.- De una baraja española hemos quitado algunas artas. Entre las que quedan, se tiene que la probabilidad de saar un rey es 0,15, la probabilidad de saar una arta de bastos es 0,3, y la probabilidad de saar una arta que no sea ni rey ni bastos es 0,6. Está entre ellas el rey de bastos? 6.- Sean A y B dos suesos del mismo espaio muestral tales que P( A ) = 0, 4, P( A B) = 0,, P( A B ) = 0,7. alula: P( A B), P( B ), P( A B), P( B A). 7.- Una moneda está truada de manera que la probabilidad de obtener ara es triple que la probabilidad de obtener ruz. alula la probabilidad de obtener ara y de obtener ruz al lanzar diha moneda..- Ana, Juan y Raúl, que están esperando para realizar una onsulta média, sortean, al azar, el orden en que van a entrar. Sean los suesos S 1 : la mujer entra antes que alguno de los hombres y S 2 : los dos hombres entran onseutivamente alula las probabilidades siguientes: P( S 1), P( S 2), P( S1 S2), P( S1 S2) 9.- En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4 bolas numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda; si sale ara, se extra una bola de la urna A, y si sale ruz, se extrae una moneda de la urna B. alula la probabilidad de que la bola extraída sea: a) la que lleva el número 5 b) la que lleva el número ) lleve un número par Saamos dos artas de una baraja y anotamos el número de ases obtenidos. Indiar la variable aleatoria asoiada a diho experimento, el reorrido de diha variable, la funión de probabilidad y la funión de distribuión asoiadas a esa variable aleatoria Una urna ontiene 5 bolas blanas, 3 rojas y 2 verdes. Se haen dos extraiones sin reemplazamiento y se anota el número de bolas rojas extraídas. Haz una tabla on la funión de probabilidad y alula la funión de distribuión asoiada.