TEMA: AZAR Y PROBABILIDAD.

Transcripción

1 TEMA: AZAR Y PROBABILIDAD. 1. EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS. Una experiencia aleatoria es toda aquella cuyo resultado depende del azar. (Extraer una carta de una baraja, lanzar una moneda, lanzar unos dados, ) Un suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar. Espacio muestral. Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Lo designaremos por la letra E. Ejemplo: Al lanzar un dado E = {1,2,3,4,5,} Ejemplo: Al lanzar dos monedas sobre la mesa E = {CC, CX, XC, XX} Sucesos. Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. Los elementos de E se llaman sucesos elementales o individuales. El suceso imposible lo designaremos por Ø, y el propio E es el suceso seguro. Suceso compuesto, son sucesos formados por dos o más elementos del espacio muestral. El conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se denomina espacio de sucesos y se designa por la letra S. Ejemplo: El experimento consiste en lanzar un dado: El suceso salir par= {2,4,} ; es un suceso compuesto. Son sucesos elementales {1}, {2}, {3}, Espacio de Sucesos S = { Ø, E, {1}, {2}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3} {1,2,4}, } El espacio de sucesos está formado por 2 = 4, sucesos. Suceso contrario o complementario de otro A, se designa por A y es el que se verifica siempre y cuando no se verifique A. Por ejemplo: Al lanzar un dado si el suceso A = salir un 1 o un 3, es decir A = {1,3}, entonces A = {2,4,5,, }. Si A = salir par entonces A = salir impar. Operaciones con sucesos. Unión de sucesos: A B (se lee A unión B) es el suceso formado por todos los casos de A y de B. Se realiza cuando se realiza A o B. Intersección de sucesos: A B (se lee A intersección con B) es el suceso formado por los elementos que son de A y de B a la vez. Ocurre cuando se realizan simultáneamente A y B. 1

2 Ejemplo: Al lanzar un dado sea A = Salir un número par = {2,4,} y B = salir número mayor que 4 = {5,}. A B = salir par o mayor que 4 = {2,4,5,} ; A B = salir par y mayor que 4 = {} Diferencia de sucesos: A B (se lee A menos B) Suceso formado por todos los casos de A que no son de B. Se verifica cuando lo hace A y no B. Sucesos incompatibles: Cuando no tienen ningún caso en común, es decir A B = Ø. Por ejemplo: A = salir par al lanzar un dado. B = salir impar. Dos propiedades importantes: 1. Si A está contenido en B es decir A B entonces A B = B y A B = A 2. (A B) = A B A B = A B (Leyes de Morgan) 2. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD. Frecuencia absoluta y relativa de un suceso. Se llama frecuencia absoluta de un suceso, A, al número de veces que ocurre ese suceso, al realizar un experimento un número determinado de veces. Se designa por f(a). Se llama frecuencia relativa de A, a la proporción de veces que ocurre a, es decir: f r (A) = f(a), siendo N el número de veces que N realizamos el experimento. Ley de los grandes números. Al realizar un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso va tomando distintos valores. Esos valores tienden a estabilizarse. Cuando el número de experimentos es muy grande se aproximan a un cierto valor que es la probabilidad de A. En el lanzamiento de una moneda, las frecuencias relativas del suceso salir cara tienden hacia el valor 0,5. Así la probabilidad de salir cara diremos que es 0,5. 3. LEY DE LAPLACE. lim f r(a) = P(A) N La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles 2

3 p(a) = número de casos favorables al suceso A número de casos posibles. A la hora de aplicar esta definición hay que tener en cuenta que los sucesos elementales tienen que ser igualmente probables (equiprobables). Ejemplo 1: En una baraja de 40 cartas, al extraer una carta, hallar: a) P(As) b) P (oros) c) P (figura) nº de Ases Solución: a) P(As) = = 4 = 1 = 0,1 nº total de cartas b) P(oros) = c) P(figura) = nº de Oros = 10 nº total de cartas nº de figuras = 12 nº total de cartas 40 = 1 4 = 0,25 40 = 3 10 = 0,3 Ejemplo 2: Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos de las caras superiores. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Obtener suma igual a 2. b) Obtener suma igual a 7. c) Obtener suma menor o igual a 4. El espacio muestral de esta experiencia podría ser: E= {2,3,4,5,,7,8,9,10,11,12} es decir suma 2, suma 3, suma 4, lógicamente no es igual de probable que la suma sea 2 a que sea 7, luego no podemos aplicar directamente la Ley de Laplace. Podemos, sin embargo, modificar el espacio muestral para que sean sucesos equiprobables, así E= {(1,1); (1,2); (1,3), (,)} (1,1) = salir 1 en el primer dado y 1 en el segundo. (3,2) = salir 3 en el primer dado y 2 en el segundo. Así hay 3 sucesos elementales y equiprobables. a) P( suma igual a 2) = 1 b) P( suma 7) = = (2,5) ; (3,4 ) ; (4,3) ; (5,2) y (,1), suma 7 cuando sale (1,) c) casos favorables suma menor o igual que cuatro: (1,1) ; (1,2) (1,3) ; (2,1) ; (2,2) (3,1) P (suma menor o igual a 4 ) = 3 = 1 4. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD. La probabilidad de cada suceso es un número p(a) que cumple: 1. Cualquiera que sea el suceso A P(A) La probabilidad del suceso seguro es igual a uno. P(E) = La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos: P(A B) = P(A) + P(B) Consecuencias: 1. P(A) = 1 P(A) 3

4 2. La probabilidad del suceso imposible es cero. P(Ø) = 0 3. Si A; B, C, son incompatibles dos a dos P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) Ídem para más sucesos incompatibles dos a dos. 4. Si A y B son dos sucesos compatibles de un mismo experimento aleatorio, se verifica: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Ejemplo: Se realiza un experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española. Sea: A= obtener un oro B= obtener un rey C= obtener el as de espadas Hallar la probabilidad de los sucesos: a) A B =obtener oros o rey b) A C = obtener rey o as de espadas. Solución: a) A B son compatibles pues pueden darse a la vez y A B = obtener el rey de oros. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = b) A y C son incompatibles pues A C = Ø 5. PROBABILIDAD CONDICIONADA. P(A C) = P(A) + P(C) = = El resultado de una encuesta sobre su actitud política entre un grupo de universitarios es la siguiente: A: Hombre A : Mujer B: Izquierdista B : derechista A= ser hombre. A = ser mujer; B= Tendencia izquierdista. B = tendencia derechista. A B= ser varón e izquierdista. P(A) = 255 ; P(B) = ; P(A B) = ; P(A ) = 200 ; P (B )= 185 Consideremos una nueva probabilidad la de ser de izquierda entre los varones que llamaremos P (B/ A) Se lee probabilidad de B condicionada por A. Entonces P (B/ A) = 120. A partir de los 255 resultados obtenidos, se verifica la siguiente igualdad: P(B A) = P(A B) P(A) ya que =

5 Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y la denotamos por P(B A), al cociente siguiente: P(B A) = P(A B) P(A), si P(A) 0 Del mismo modo P(A B) = P(A B) P(B) si P(B) 0 De las relaciones anteriores se tiene: P(A B) = P(A) P(B A) P(A B) = P(B) P(A B) Ejemplo: Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja. Cuál es la probabilidad de extraer dos reyes? R 1 = extraer rey en la primera extracción R 2 = extraer rey en la segunda extracción Extraemos una carta y sin devolverla extraemos la segunda carta, se pide: P(R 1 R 2 ) = P (R 1 ) P(R 2 R 1 ) = 4 3 = SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES. En el ejemplo anterior R 2 está condicionado por R 1, son sucesos dependientes P(R 2 R 1 ) P(R 2 ) Si dos sucesos son independientes, R 2 no está condicionado por R 1 P(R 2 R 1 ) = P(R 2 ) Si en el ejemplo anterior, después de la primera extracción se devuelve la carta a la baraja para hacer la segunda extracción: P(R 1 R 2 ) = P (R 1 ) P(R 2 R 1 ) = P(R 1 ) P(R 2 ) = 4 4 = Si dos sucesos son independientes entonces: P(A B) = P(A) P(B) 7. PROBABILIDAD TOTAL. Tenemos n sucesos, A 1, A 2,, A n Son incompatibles dos a dos y tales que A 1 A 2 A n =E. Entonces se cumple que para cualquier suceso B : P(B) = P(A 1 ) P(B A 1 ) + P(A 2 ) P(B A 2 ) +. P(A n ) P(B A n ) 5

6 Ejemplo: Consideramos dos urnas con bolas de colores. U 1 = {1N, 3R, V} y en la urna dos hay: U 2 = {2N, R, 2 V}.Se lanza un dado, si la 1 o 2, se extrae una bola de la urna 1 y si sale 3,4,5 0 extraemos una bola de la urna 2. Hallar la probabilidad de extraer una bola roja. Describimos el proceso mediante un diagrama de árbol: 2 {1,2} 3 10 Roja ; P({1,2}yR) = = {3,4,5,} 10 Roja; P({3,4,5,}yR) = 4 10 = 4 10 Ahora, hallamos la probabilidad Total: P(R) = P({1,2} P(R {1,2}) + P({3,4,5,}) P(R {3,4,5,}) = = PROBABILIDADES A POSTERIORI. FÓRMULA DE BAYES. Una vez realizado un experimento y sabiendo que ha ocurrido el suceso B, nos preguntamos acerca de la probabilidad de que haya sido por la ocurrencia o no del suceso A i, esta probabilidad se puede calcular con la fórmula: P(A i B) = P(A i ) P(B A i ) P(A 1 ) P(B A 1 )+P(A 2 ) P(B A 2 )+.P(A n ) P(B A n ) Ejemplo: Un gato persigue a un ratón. Este puede entrar en uno de los tres callejones A, B, C. En cada uno de ellos puede cazarlo, +, o no. Se sabe que: P(entre por A) = P(A)= 0,3 ; P(B)= 0,5 ; P(C) = 0,2. P(Lo cace habiendo entrado por A) = P( + / A)= 0,4 P( + / B) = 0, y P( + / C) = 0,1. Nos preguntamos por la probabilidad de que habiendo sido cazado lo hay sido en el callejón A, B, o C. P(A + ) = P(A) P(+ A) P(A) P(+ A) + P(B) P(+ B) + P(C) P(+ C) 0,3 0,4 = 0,3 0,4 + 0,5 0, + 0,2 0,1 = 0,12 0,44 = 0,273