OPERACIONES CON SUCESOS

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1 el blog de mate de aida. CS II: Probabilidad pág. PROBABILIDAD Experimentos aleatorios: Experimentos aleatorios o de azar son aquellos cuyos resultados no se pueden predecir antes de su realización. Son experimentos que no dan siempre el mismo resultado al repetirlos en las mismas condiciones. Por ejemplo, tirar al aire un dado numerado. Espacio muestral: Se llama espacio muestral y se designa por la letra E al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, es importante definir el experimento, no es lo mismo el experimento sacar una carta y mirar el palo (4 posibles resultados), que mirar el número (0 posibles en la baraja española). Ejemplo: E = {,,,4,5,6}. Suceso: Se llama suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral E. Si el espacio muestral tiene n elementos, se pueden formar exactamente n sucesos. Hay dos sucesos particulares, el suceso imposible ( ) y el suceso seguro E. Los sucesos formados sólo por un elemento (hay n) se llaman sucesos individuales o elementales. P.E. si lanzamos un dado y miramos el número que sale hay 6 sucesos elementales, hay 6 = 64 posibles sucesos, de los cuales alguno es: A ={,} B ={,,5} C ={,,5,6} Si tiro el dado y sale un se cumple el suceso A y C en este caso, pero si sale 6 sólo se cumple el suceso C. Cualquier suceso que sea igual al espacio muestral E, se llama suceso seguro. (Es aquel que siempre se verifica). Cualquier suceso que sea igual al conjunto se llama suceso imposible y, por tanto, será un suceso que no se produce nunca. OPERACIONES CON SUCESOS Sean los sucesos A y B; se dice que el suceso A está contenido en el suceso B, A B, si siempre que se verifica A, también se verifica B. Dados dos sucesos A y B, se llama suceso unión, y se designa por A U B, al suceso que se produce si se verifica A ó B. Ejemplo: A: salir par y B: salir mayor que 4. Entonces, A = {,4,6}, B = {5,6} y AUB={,4,5,6}. E A B

2 el blog de mate de aida. CS II: Probabilidad pág. Dados dos sucesos A y B, se llama suceso intersección, y se escribe por A B al suceso que se realiza si se verifica A y B. Ejemplo: A: salir par y B: salir mayor que 4. Entonces, A = {,4,6}, B = {5,6} y AB = {6}. E A B c Dado un suceso A, se llama suceso contrario o complementario del suceso A, y se designa por A ó A, al suceso que se verifica siempre que no se produce A. Ejemplo: A: salir par. Entonces A = {,4,6} y A = {,,5}. Observación: el suceso seguro E y el suceso imposible son contrarios. Dos sucesos son incompatibles si no se pueden verificar a la vez, es decir, A B =. Ejemplo: A: salir par ; B: salir primo mayor que dos. Entonces A = {,4,6}, B = {,5} y A B =. Por tanto, A y B son incompatibles. Diferencia de sucesos: Dados dos sucesos A y B, el suceso A menos B es el suceso que se verifica cuando se realiza A y no se realiza B. Lo representaremos por A\B. Se verifica que A\B=A B. Ejemplo: A: salir par y B: salir mayor que 4. Entonces: A = {,4,6}, B = {5,6} y A\B = {,4}.

3 el blog de mate de aida. CS II: Probabilidad pág. Propiedades de las operaciones con sucesos: Cualesquiera tres sucesos A, B, C, verifican las siguientes propiedades: Unión Intersección Unión e intersección Asociativa (AUUC=AU(BUC) (AC=A(BC) Simplificativas: Conmutativa AUB=BUA AB=BA AU(BA)=A Idempotente AUA=A AA=A A(BUA)=A De complementación AUA C =E AA C = Distributivas: Elemento neutro AU=A AE=A AU(BC)=(AU(AUC) Elemento absorvente A= A(BUC)=(AU (AC) Leyes de Morgan AUB AU B A B AU B Ley de los grandes números: Consideremos una experiencia aleatoria que pueda ser repetida un elevado número de veces en condiciones uniformes. Empíricamente, se comprueba que la frecuencia relativa f r(a) de un suceso se estabiliza para valores crecientes de n (porque al ser el denominador cada vez más grande, le afectan menos las fluctuaciones del numerador). Por regularidades estadísticas de los fenómenos aleatorios entenderemos, pues, la estabilización de las frecuencias relativas de los sucesos ligados a ellos, al repetirse dichos fenómenos un elevado número de veces. La idea de regularidad sugiere que si repitiésemos la experiencia un número infinito de veces, las frecuencias relativas alcanzarían un determinado valor teórico. Esto permite asignar a cada suceso ligado a un experimento un nº entre 0 y tal que la frecuencia relativa de A, en una larga serie de repeticiones del experimento, se aproxime a dicho número p, que se designa como probabilidad de A. Esto se llama ley de los grandes números. Es decir: si realizamos N veces un experimento aleatorio y el suceso A ocurre n A veces, se define: n A : Frecuencia absoluta del suceso A. n A : Frecuencia relativa del suceso A. N Definimos la probabilidad de que A ocurra como el límite de su frecuencia relativa cuando N tiende a infinito: na A) lim N N DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD Llamamos función de probabilidad a toda aplicación P definida entre el espacio de sucesos y el conjunto de los números reales, tal que a todo suceso A, le asocia un número real A), al que llamamos probabilidad del suceso A, cumpliendo, por definición, las siguientes propiedades (axiomas):. 0 A), para todo suceso A.. La probabilidad del suceso seguro es uno: E) =. (Probabilidad total).. Si A y B son sucesos incompatibles (AB = ): AU = A) +.

4 el blog de mate de aida. CS II: Probabilidad pág. 4 Estas tres propiedades indican que disponemos de una cantidad total de probabilidad igual a que tenemos que repartir aditivamente entre los distintos sucesos. Propiedades de la probabilidad: º. A) A) º. ) = 0 º. Si A y B son dos sucesos tales que AB entonces: A) y B-A) = - A) 4º. Si A y B son sucesos compatibles (A, entonces: P (A U = P (A) + P ( P (A (A U B = sacar A ó sacar. 5º. Si A y B son sucesos incompatibles (A, entonces: P (AU = P (A) + P ( 6º. Si el espacio muestral es finito y un suceso A se compone de n sucesos elementales se cumple: A = {x, x,..., x n} P (A) = P (x ) + P (x ) + + P (x n) 7º. P (A C B C ) = - P (A y P (A C B C ) = - P (A (Se deducen de las leyes de Morgan.) 8º. Sea A y B dos sucesos cualesquiera P (A) = P (A + P (A B C ) ya que B = (A (A B C ) con (A y (A B C ) incompatibles. NOTA: Es útil recordar esta regla P (al menos una.) + P (ninguna ) = Ejemplo : Si se lanza una moneda tres veces, cuál es la probabilidad de obtener tres caras? Probabilidad de Laplace: Si tenemos un espacio muestral E formado por sucesos elementales (casos) equiprobables (tienen la misma probabilidad) y llamamos casos favorables de un suceso A al número de sus sucesos elementales, es decir, al número de casos en que es un éxito y casos posibles al número total de casos posibles, se define la probabilidad de Laplace de la siguiente forma: La probabilidad A) de un suceso A, es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles : número de A) número casos favorables a de casos posibles A

5 el blog de mate de aida. CS II: Probabilidad pág. 5 No siempre se puede utilizar la ley anterior, por ejemplo en instrumentos irregulares (dado trucado, chincheta etc...) o cuando los sucesos no son equiprobables (tirar dos dados y sumar sus caras, sacar una baraja y mirar cuando es figura etc. ). Ejemplo : Por ejemplo: Sea el suceso A: sacar múltiplo de tres, en el lanzamiento de un dado de seis caras numeradas del al 6. Cuál es la probabilidad del suceso A? Casos posibles: E={,,,4,5,6}. Casos favorables: A={,6}. Ejemplo : En una baraja de 40 cartas, halla: a) P[as] b) P[oros] P ( A) a) P ( as) 0, ; número número total de de ases cartas b) P ( oros) 0, 5 número número total de de oros cartas Ejemplo 4: En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las que quedan se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas: P[Rey] = 0,5; P[bastos] = 0,; P[carta que no sea rey ni bastos] = 0,6. a) Está entre ellas el rey de bastos? b) Cuántas cartas hay? a) El suceso ni rey ni bastos es el suceso complementario de rey o bastos, pues R B R B. b) P[ni rey ni bastos] = 0,6 P[rey o bastos] = P[rey bastos] = 0,6 = 0,4 P[rey bastos] = P[rey] + P[bastos] P[rey bastos] Sustituyendo: 0,4 0,5 0, P[ rey bastos] P[ reybastos] 0,05 Por tanto, el rey de bastos está y su probabilidad es: P rey de bastos 0,05 b) Como la probabilidad de extraer cada una de las cartas de una baraja es la misma, si en este montón la probabilidad de sacar el rey de bastos es /0, es porque hay 0 cartas. PROBABILIDAD CONDICIONADA 0 Se llama probabilidad condicionada del suceso A, respecto al suceso B, y se simboliza por A/, al cociente: A/ A con 0. (Es la probabilidad de que se realice A sabiendo que se ha realizado. Se dice que A y B son independientes cuando P (A/ = P (A), en este caso si aplicamos la definición: P (A = P (A) P ( Es importante no confundir sucesos incompatibles (no se pueden producir a la vez A B =, por lo tanto P (A = 0 y P (A = P (A) + P ( ), con sucesos independientes P (A = P (A) P (.

6 el blog de mate de aida. CS II: Probabilidad pág. 6 Ejemplo 5: En el experimento aleatorio de lanzar tres monedas, si A={sacar dos caras}, su probabilidad es P ( A) 8, pues los casos favorables son tres: CCX, CXC, XCC, siendo los casos posibles 8: CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX y XXX. Por tanto, ahora, la probabilidad del suceso A, sabiendo que ha ocurrido B={hay, como mínimo una cruz} (que llamaremos suceso A condicionado con B y se escribe A/, sería: A/ A Estrategias para estudiar probabilidades Un experimento aleatorio compuesto es el que está formado por varios experimentos simples o que se puede descomponer en varios experimentos más simples. Siempre que tengamos que resolver un problema de un experimento compuesto, lo descomponemos en los experimentos simples correspondientes. En este tipo de problemas tenemos estrategias distintas: Diagrama de árbol: Un árbol de probabilidades es un diagrama en árbol, de forma que en cada rama escribimos su probabilidad, que es la probabilidad de un experimento simple. Un camino es un conjunto de ramas que nos lleva desde el principio hasta el final. La probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de sus ramas y la probabilidad de varios caminos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. Ejemplo 6: Tenemos una urna A con bolas rojas y tres verdes y otra urna B con 5 bolas rojas y 4 verdes. Elegimos una urna al azar y de ella extraemos una bola. Haz el árbol de probabilidades y calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja. 5 4 P ( roja) 0, Diagrama cartesiano: Un diagrama cartesiano es una tabla de doble entrada que nos da todas las posibilidades que se pueden obtener al realizar un experimento compuesto por dos pruebas. Ejemplo 7: Lanzamos dos dados de seis caras numeradas del al 6 y queremos saber la suma de puntos. Representa el diagrama cartesiano y calcula la probabilidad de obtener suma 9.

7 el blog de mate de aida. CS II: Probabilidad pág Tabla de contingencia: 4 P ( Suma 9) 0, 6 Llamamos variables cualitativas a aquellas cuyo resultado es un valor o categoría de entre un conjunto finito de respuestas posibles. El sexo, el estado civil o el grupo sanguíneo son ejemplos de variables cualitativas. Cuando se analizan variables cualitativas es habitual representar en tablas las frecuencias de casos observados para cada una de las diferentes categorías de las variables, las cuales se denominan tablas de contingencia. Se incluye una última fila y columna con los totales parciales. Es, por tanto, una tabla que nos permite organizar los elementos de una población según dos características. Se llama de contingencia porque en ella se presentan todas las posibilidades o contingencias. Ejemplo 8: En un centro de bachillerato de 800 alumnos, sabemos que hay 40 chicas de las que 0 practican deporte y que 05 chicos no practican deporte. a) Haz la tabla de contingencia. b) Quiénes llevan una vida más sana, los chicos o las chicas? Chicas Chicos Total Practican deporte No practican deporte Total que una chica practique deporte) = = 0, que un chico practique deporte) = = 0,7 80 Ejemplo 9: Se sigue la pista, durante un año, a motos de tres marcas distintas: SETA, FLOR y AVE. Unas han tenido algún accidente serio (AC) y otras no (NO AC). Los resultados se reparten como aparece en la tabla, que empezamos completando con las sumas parciales y con la suma total.

8 el blog de mate de aida. CS II: Probabilidad pág. 8 SETA FLOR AVE AC NO AC Si entre las mil motos que han tenido un accidente AC, elegimos una al azar, es fácil hallar las probabilidades condicionadas: 400 P (SETA/AC) = = 0,4 000 (Sabiendo que ha tenido un accidente, cuál es la probabilidad de que sea SETA?) Análogamente: FLOR/AC) = = 0,; AVE/AC) = = 0, También se puede calcular la probabilidad de que una moto de cierta marca tenga un accidente: AC/SETA) = = 0,008; AC/FLOR) = = 0,00; AC/AVE) = = 0, Estos resultados hacen ver que la marca más segura es SETA y la menos, AVE. Comparando estas 000 probabilidades condicionadas con la probabilidad total, AC) = = 0,0, vemos que los sucesos FLOR y AC son independientes, mientras que SETA y AVE no son independientes con AC. Experimentos compuestos Hay experiencias en las que fácilmente se pueden distinguir varias etapas. Se llaman pruebas compuestas y su estudio se simplifica mucho calculando las probabilidades de sus componentes. Dos pruebas son independientes cuando el resultado de una no influye en la otra. En caso contrario se llaman dependientes. Ejemplo: Lanzamos una moneda y un dado. Es evidente que son independientes. Ejemplo: Sacamos dos cartas de la baraja. El resultado de la primera si influye en la segunda (por ejemplo, si en la primera sacamos AS, es menos probable que lo saquemos en la segunda). Son dependientes. Experimentos independientes: Sean A y B dos sucesos; se dice que B es independiente de A si se verifica: = B/A), supuesto A) 0 En consecuencia, si dos sucesos son independientes se verifica: A A) Ejemplo 0: De una baraja española de 40 cartas sacamos, primero una, la devolvemos y luego sacamos otra. Sean los sucesos A: sacar oros y B: sacar copas. Cómo son los sucesos A y B, dependientes o independientes? Cuál es la probabilidad de sacar primero oros y después copas?

9 el blog de mate de aida. CS II: Probabilidad pág. 9 Los sucesos A y B son independientes ya que, al haber devolución en la segunda extracción, tenemos las mismas cartas que en la primera extracción. 0 0 A A) 0, Experimentos dependientes: (Probabilidad compuesta o teorema del producto) Dos experimentos son dependientes cuando el resultado del primero influye en las probabilidades de los sucesos del segundo. Las probabilidades de sucesos compuestos se obtienen así: S enª ys enª PS PS S P, es decir: / P[S en ª] P[S en ª sabiendo que ocurrió S en ª] Si se encadenan más de dos experimentos dependientes, las probabilidades de los sucesos compuestos se obtienen análogamente. Por ejemplo, para tres pruebas: S en ª ys enª ys enª PS PS / S PS S ys P / Esta fórmula se puede generalizar para n y se llama ley de probabilidad compuesta. Es el estudio de la probabilidad de un camino de un árbol, que, como ya sabemos calcular, es el producto de las ramas que componen el camino. Ejemplo : En un baile en el que el 0 % de las chicas rubias tienen ojos negros, cuál es la probabilidad de sacar a bailar, al azar, a una rubia de ojos negros, si el 40 % de las chicas del baile son rubias? R= rubia ; N= ojos negros. 40 ( R) 00 5 P ; 0 ( N / R) 00 0 P R N) R) N / R) Ejemplo : Tenemos un cofre y sabemos que tiene 5 monedas de oro y 75 de plata. Cuál es la probabilidad de sacar del cofre tres monedas de oro sin devolución? Sean los sucesos A: sacar moneda de oro la primera, B: sacar moneda de oro la segunda y C: sacar moneda de oro la tercera.

10 el blog de mate de aida. CS II: Probabilidad pág A B C) A) B / A) C / A 0, Probabilidad total: Si A, A,, A n son sucesos incompatibles del experimento E tales que probabilidad de cualquier suceso S, se calcula mediante la expresión: n i A i E, entonces, la S) = A ) S/A ) + A ) S/A ) + + A n) S/A n) S) se llama probabilidad total. La demostración es sencilla teniendo en cuenta que: S = (S A ) (S A )... (S A n ) Siendo todos incompatibles, por lo tanto: P (S) = P (S A ) + P (S A ) P (S A n ) = = P (A) P (S / A) + P (A) P (S / A) P (An) P (S / An ) Ejemplo : Probamos tres vacunas A, A, A en 00 personas: la vacuna A, en 0; la A, en 0; y la A, en 50. Pasado el tiempo adecuado, observamos que del grupo A, no han contraído la enfermedad; del A, 7, y del A, 9. Qué probabilidad tenemos de que elegida una persona al azar esté sana? S= personas sanas S) = A ) S/A ) + A ) S/A ) + A ) S/A ) = 0, 79 Teorema de Bayes: Si A, A,, A n son sucesos incompatibles del experimento E tales que n i A i 9 50 E, y S un suceso cualquiera, al que se puede llegar pasando por los sucesos A, A,, A n,,, cuál es la probabilidad de que haya sido pasando por A i (probabilidad de que se verifique A i condicionado a S)? A i ) S/A i ) A i/s) A ) S/A ) A ) S/A ) A n ) S/A n )

11 el blog de mate de aida. CS II: Probabilidad pág. A /S) i Ai S) S) Las probabilidades A i ) se llaman a priori porque son conocidas. Las probabilidades B/A i ) se llaman verosimilitudes, por ser creíbles, ya que no ofrecen ninguna duda. Las probabilidades A i / se llaman a posteriori porque son las que tenemos que calcular. Ejemplo 4: Probamos tres vacunas A, A, A en 00 personas: la vacuna A, en 0; la A, en 0; y la A, en 50. Pasado el tiempo adecuado, observamos que del grupo A, no han contraído la enfermedad; del A, 7, y del A, 9. Si elegimos una persona al azar y está sana, qué probabilidad tenemos de que proceda del grupo A? A) S/A ) A /S) A ) S/A ) A ) S/A ) A ) S/A ) 0,49 Ejemplo 5: Tres máquinas M, M, M producen el 45 %, el 0 % y el 5 %, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del %, 4 % y 5 %. A) Seleccionamos una pieza al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuosa. Tomamos, al azar, una pieza, y resulta ser defectuosa, calcula la probabilidad de que haya sido producida por la máquina M. Solución: D = la pieza es defectuosa N = la pieza no es defectuosa A) D) M ) D/M ) M ) D/M ) M ) D/M ) 0,45 0,0 0,0 0,04 0,5 0,05 0,08

12 el blog de mate de aida. CS II: Probabilidad pág. Utilizando el teorema de Bayes: M ) D/M ) M /D) M ) D/M ) M ) D/M ) M ) D/M ) 0,0 0,04 0 0,6 0,45 0,0 0,0 0,04 0,5 0, ,45 0,0 5 C) P ( M / D) 0, 55 0,45 0,0 0,0 0,04 0,5 0, ,5 0,05 5 P ( M / D) 0,9 0,45 0,0 0,0 0,04 0,5 0,05 80 La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es M. Ejemplo 6: Tenemos tres urnas: U con bolas rojas y 5 negras, U con bolas rojas y negra; y U con bolas rojas y negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna U? Solución: R = sacar bola roja N = sacar bola negra Utilizando el teorema de Bayes: U ) R/U ) U /R) U ) R/U ) U ) R/U ) U ) R/U ) / /8 (/) (/8) (/ ) (/) (/ ) (/5) ,60