CAPÍTULO IV CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

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1 CAPÍTULO IV CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Por qué hablar de Probabilidad En el primer capítulo cuando definimos algunos conceptos hablamos de población y de muestra, dijimos que cuando trabajamos con datos lo hacemos en general con una muestra ya que, por distintos motivos como veremos en el capítulo VI, nos resulta más accesible. Pero al trabajar con una parte y no con toda la población nos obliga luego a hacer generalizaciones para conocer al todo y este paso de la muestra a la población nos produce incertidumbre. Por ello es necesario establecer reglas y criterios claros para extender las conclusiones más allá de los datos observados. Cómo inferir conclusiones generales que abarquen los casos no observados? Cuando hacemos las generalizaciones la incertidumbre se paga dice Ambrosi aceptando cierto margen de error y todos los esfuerzos se dirigen a hacer que éste sea mínimo. Los métodos que propone la Estadística han demostrado, al aplicarse en diversos campos y circunstancias, que son robustos y confiables. (pág. 191 y 21) Si en la muestra con la que estamos trabajando, los elementos que la integran tuvieron todos, una posibilidad o probabilidad de ser elegidos, la muestra es aleatoria y, por lo tanto, podemos tener una mayor confianza que no tomamos sólo aquellos elementos que nos interesaban o que teníamos más cerca. Esto nos permite reducir la incertidumbre y aumentar nuestra confianza en términos de probabilidad. Probabilidad es una palabra que nos es bastante familiar en el leguaje cotidiano. En general, sin darnos cuenta, hablamos en términos como es probable que llegue tarde porque tengo un turno con el médico o es probable que suba el precio de los alimentos de primera necesidad porque estamos próximos a las fiestas de fin de año, etc. I - ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS

2 Antes de introducirnos en el tema vamos a repasar algunos conceptos básicos. 1- Un experimento aleatorio ε es cualquier prueba cuyo resultado no se puede predecir con exactitud. Mientras que un experimento determinista es aquel donde si conocemos el resultado, por ejemplo puedo, decir con exactitud qué sucederá si pongo agua en un recipiente sobre el fuego. 2- un suceso aleatorio E, es cada uno de los posibles resultados, o una combinación de resultados posibles de ese experimento aleatorio y, 3- a su vez, el conjunto de todos los resultados posibles del experimento aleatorio se le llama espacio muestral S. Por su definición decimos que sólo en los experimentos aleatorios hablamos de probabilidad. Ejemplo: dado el experimento tirar dos monedas ε : veamos el espacio muestral S y algunos posibles resultados del experimento o sucesos aleatorios E: Experimento aleatorio ε : tirar dos monedas Espacio muestral S : { (c,s); (s, c); (c,c); (s,s) } E 1: que salgan dos caras E 2: que salga al menos una cara Sucesos aleatorios o eventos E 3: que salga un sello. (posibles resultados).. Para poder medir la probabilidad de cada evento surge la teoría de probabilidades. Esta teoría se desarrolla por la preocupación de los nobles franceses por tener éxito en los juegos de azar. Toda probabilidad cumple con tres axiomas. como: Según la teoría clásica de probabilidades, la probabilidad se define P (E) = m n

3 donde m: es el número de resultados favorables al suceso E y n: es el número de todos los resultados igualmente posibles e igualmente probables en el experimento ε. La definición clásica de probabilidades (de Laplace) sólo se puede aplicar a los experimentos con un número finito de resultados favorables y, por lo tanto, también es finito el número de casos posibles. Por una definición más moderna de probabilidades basada en la experimentación, vemos que en el experimento de lanzar una moneda, a medida que aumenta n, o sea, el número de tiradas, más se aproxima a ½ o 0,5 la probabilidad de que el evento salga cara. Esta definición se basa en las frecuencias relativas que no son otra cosa que la cantidad de veces que ocurre un suceso, sobre el total de pruebas m/n. Por eso deducimos que el suceso E tiene la probabilidad P (E), significa que las frecuencias relativas del suceso E, al crecer n, tienden a hacerse constantes y decimos que el experimento muestra regularidad estadística o estabilidad en las frecuencias relativas. Esta propiedad de las frecuencias relativas es la que permite aplicar el cálculo de probabilidades a problemas reales, o sea, es el nexo que une la Teoría de las Probabilidades con la Estadística Inferencial. PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA PROBABILIDAD (AXIOMAS) 1- La probabilidad de un suceso aleatorio cierto, es igual a la unidad: P (E) = m n = = 1 n n Ejemplo: cuál es la probabilidad que al tirar un dado aparezca una cara con por lo menos un punto? Recordemos que si el dado no está sesgado todas las caras tienen la misma probabilidad de salir. La P (1) o la probabilidad de la cara con 1 punto es igual a 1/6; la de P(2) es igual a 1/6;y así para las seis caras;

4 por lo tanto la probabilidad que aparezca una cara con al menos 1 punto al arrojar un dado es: P (E)= 6 6 = 1 2- La probabilidad de un suceso aleatorio imposible es igual a cero: P (E) = m 0 = = 0 n n Ejemplo: cuál es la probabilidad de que al arrojar un dado aparezca una cara con siete puntos? P (E) = m 0 = = 0 n 6 3- La probabilidad de un suceso aleatorio es un número comprendido entre 0 y la unidad. Ninguna probabilidad puede ser menor que cero ni mayor que uno. 0 P(E) 1 Cómo sumar probabilidades? Tenemos que diferenciar para ello, los sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles, de los sucesos no excluyentes o compatibles. a- Con eventos mutuamente excluyentes: Dos eventos son mutuamente excluyentes o incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común, o sea, no pueden ocurrir simultáneamente. Ejemplo: sea el experimento aleatorio lanzar un dado: A : que el dado muestre número par A : { 2, 4, 6 } B : que el dado muestre número impar B : { 1, 3, 5 }

5 A y B son sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles porque no puede ocurrir simultáneamente. Sale un número par o un número impar al tirar una vez un dado. Si realizamos el diagrama de Venn observamos que: A B = Ø A B Podemos decir entonces que dado dos eventos excluyentes o incompatibles, la suma de A y B es igual a la suma de las probabilidades individuales. En 3 3 nuestro ejemplo la P(A) = y la P(B) = por lo que la probabilidad P (A ó B ) 6 6 = P (A υ B) = P (A) + P (B) Adición de Sucesos Mutuamente Excluyentes P (A ó B ) = P (E 1 ) + P (E 2 ) La regla de la adición se puede extender al caso de más de dos sucesos. P(A o B o C..K) = P(a) + P(B) + P(C)+ + P(K) Ejemplo: Supongamos que de un grupo de 75 estudiantes universitarios 30 son nacidos en Mendoza (M) y 25 en otra provincia (OP). Nadie puede haber nacido en Mendoza y a su vez en otra provincia, podemos entonces calcular la probabilidad de que al escoger un alumno al azar de éste grupo sea mendocino o nacido en otra provincia: P (M υ OP) = P (M) + P (OP)

6 30 P (M) = P (OP) = P (M υ OP) = = 75 = 0,73 b- Con eventos no excluyentes o compatibles Dos o más eventos son no excluyentes o compatibles cuando tienen elementos en común y, por lo tanto, pueden ocurrir simultáneamente. Ejemplo: sea el experimento aleatorio ε : tirar un dado A: el dado muestra número par A: { 2, 4, 6 } B: el dado muestra número mayor que 3 B: { 4, 5, 6 } Si al tirar el dado aparece el número 4, se dan simultáneamente los sucesos A y B, porque el 4 pertenece a ambos sucesos; por lo tanto A y B son no excluyentes o compatibles y la intersección entre ellos no es igual a vacío: A B Ø A B Podemos decir entonces, que dados dos eventos compatibles o no excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno o el otro o ambos, es igual a la

7 probabilidad de un evento más la probabilidad del otro, menos la probabilidad conjunta de ambos eventos. P (A υ B) = P (A) + P (B) P ( A B ) En nuestro ejemplo la probabilidad del evento P(A) es 3/6 y la del evento P(B) es 3/6. Como ambos tienen en común los valores 4 y 6 por ser números par (A) y mayor que tres (B), los eventos A y B son compatibles porque tienen elementos en común por lo que pueden ocurrir en forma conjunta. Si sumamos 3 3 el resultado de un evento: más el del otro evento: vamos a sumar dos 6 6 veces la probabilidad de ocurrencia del valor 4 y el 6 por eso debemos restar la probabilidad de la intersección: P (A υ B) = P (A) + P (B) P ( A B ) = = 6 4 Adición de sucesos no excluyentes o compatibles o Probabilidades Totales. Ejemplo: supongamos que de un grupo de estudiantes universitarios tengamos la siguiente clasificación según el lugar de nacimiento: Otras Mendocinos Sanjuaninos procedencias (m) (s) (op) Total Hombres (H) Mujeres (M) Total Si seleccionamos una persona de ese grupo al azar cuál es la probabilidad de que se seleccione una mujer o un mendocino? P (M υ m) = P (M) + P (m) P ( M m )

8 30 La probabilidad de mujer es: P (M) = La probabilidad de haber nacido en Mendoza: P (m) = La probabilidad de ser mujer y mendocina es: P ( M m ) = 75 Por lo que la probabilidad de escoger una mujer o un estudiante nacido en Mendoza, siendo estos eventos compatibles o no excluyentes es: P (M υ m) = P (M υ m) = 75 P (M υ m) = 0,73 ó del 73% PROBABILIDAD CONDICIONAL A veces interesa conocer la probabilidad de ocurrencia de un suceso B bajo la condición de que ya se ha verificado un suceso A. Es decir, para hallar la probabilidad de B es necesario saber si ocurrió A. Esta probabilidad se la llama probabilidad condicional de B dado A; se anota P(B/A) y se lee: probabilidad de B dado A. Se reduce nuestra esfera de interés a un subconjunto del conjunto universal: P( B I A) P (B / A) =, el subconjunto A, pasa a denominarse espacio P( A) muestral reducido. Ejemplo: siguiendo con los datos del ejercicio anterior, supongamos que queremos seleccionar al azar un estudiante mendocino, si ya fue seleccionado el grupo de estudiantes mujeres. El espacio muestral reducido es el conjunto de mujeres P (m/ M) = P ( m I M P ( M ) )

9 P (m/ M) = = = 0,33 30 Esta probabilidad se denomina condicional porque, siguiendo el ejemplo, el evento M (mujer), que ya ocurrió, actúa como condicionante, modificando la probabilidad de ocurrencia de m (mendocino). Nota: dado dos eventos A y B se llama probabilidad conjunta: A B. El signo señala o simboliza una intersección. Probabilidad conjunta Frecuentemente necesitamos que ocurran en forma conjunta dos eventos A y B, o sea, P( A B ). Esto se conoce como la probabilidad de que ocurran el evento A y B. Según la ecuación anterior: P (A B ) = P (B / A) P (A) P ( B A ) = P (A / B) P (B) A esto se denomina probabilidad de la multiplicación. Pero para poder multiplicar sucesos o eventos, debemos saber primero si ellos son independientes o dependientes a- Eventos independientes Si se cumple que la P (B / A) = P (B ) ó P (A / B ) = P (A ) se dice que los sucesos A y B son independientes y que la probabilidad de uno de ellos no depende de la ocurrencia del otro. Los sucesos son independientes y por lo tanto la ocurrencia conjunta estará dada por: P ( B A ) = P (B) P (A) P ( A B ) = P (A) P (B) Por lo tanto, la probabilidad de que aparezcan simultáneamente dos sucesos independientes, es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos.

10 Ejemplo: si en un grupo de 75 alumnos hay 40 de abogacía (A), 20 de economía (E) y 15 sociología (S) cuál es la probabilidad de extraer al azar uno de abogacía y uno de economía y uno de sociología, en ese orden? 40 P (A ) = P (E) = P (S) = 75 P (A y E y S) = = 0,028 Y si no repusiéramos a los alumnos una vez hecha la selección: P (A y E y S) = P (A y E y S) = 0, b- Eventos dependientes Si se cumple P(A / B ) P (A ) ó P(B / A) P (B ) entonces los sucesos son dependientes y la ley multiplicativa será: P (A B ) = P(B / A) P(A ) o P (A B ) = P(A / B) P(B ) Se lo llama también Probabilidades Compuestas. Veamos un ejemplo: supongamos que llamamos: A: al evento: tener un ingreso elevado y su probabilidad es de 10/70; B al evento: poseer automóvil y su probabilidad 50/70; (A B) al evento: tener auto e ingreso elevado y su probabilidad es 8/70. Se nos pide calcular la probabilidad de escoger al azar una persona de ese grupo que tenga ingreso elevado y posea automóvil. Si no supiéramos la relación existente entre uno y otro evento deberíamos, en primer lugar, probar si son dependientes.

11 Si son dependientes se cumple: P (A/B) P(A) Veamos qué ocurre: P (A/B) = P ( A I B ) P ( B ) = 8 50 / 70 / P (A/B) = = 0,16 P (A) = = 0, como 0,16 es distinto a 0,14 decimos que los eventos son dependientes, ya que se cumple P (A/B) P(A) P (A B) = P (A/B) P (A) = 0,16 0,14 = 0,0224 Dijimos que cuando los eventos son dependientes se cumple P (A B ) = P(B / A) P (A ) o P (A B ) = P(A / B) P (B ) Veamos si se cumple con un ejemplo: Supongamos que tenemos una muestra de 38 personas clasificadas por sexo y condición laboral: Ocupado Desocupado Total Narginal Varón Mujer Total marginal Calculemos la probabilidad de que al seleccionar al azar salgan conjuntamente varón y ocupado 1- P(V O) según la fórmula = P(V/O). P(O) P(V/O)= P(V/O)= P(O) = 38

12 P(V/O). P(O) =. = = 0, P(O V) = P(O/V). P(V) P(O/V).= P(O/V).= P(V) = P(O/V). P(V) =. = = 0, Vemos que ambos resultados son iguales, por lo tanto se cumple la aparición conjunta para eventos dependientes, es igual a P(A B) que se puede leer directamente en el cuadro. Por lo que podemos resumir diciendo cuando multiplicamos probabilidades la aparición conjunta de dos eventos se calcula según sean independientes o dependientes: a- eventos independientes: P(A B) = P(A). P(B) b- eventos dependientes: P(A B) = P(A/B).P(B) ó P(B/A).P(A) El tema de la teoría de las probabilidades es muy amplio, se ha escrito mucho sobre ello, pero no es un tema en el cual nos explayaremos en este trabajo. Siguiendo a García Ferrando podemos decir que el estudio elemental de algunas propiedades matemáticas de las probabilidades nos es suficiente para poder seguir adelante en nuestra revisión del trabajo estadístico en la sociología empírica (1992; pág. 123). VARIABLE ALEATORIA Cuando hablamos de variable nos referimos a una característica de un conjunto de unidades de análisis ya sea una población o una muestra, por ejemplo: Principal actividad que realiza un grupo de personas de 45 años. Número de piezas defectuosas de un proceso de producción. Tiempo que demora una persona de su casa al trabajo.

13 Distancia que recorre esa persona. Todas estas son características de la población que llamamos variables. Ahora bien, las variables pueden tomar distintos valores (valor numérico o modalidad) o resultados posibles a los cuales les asignamos un número real. Por ejemplo, supongamos que al escoger al azar dos personas de un grupo, nos interesa que sea X: trabajador dependiente (TD), los posibles resultados serán: S de x i fi s 1 (TD, otro) 1 s 2 (TD, TD) 2 s 3 (otro, TD) 1 s 4 (otro, otro) 0 Qué tenemos? Un experimento aleatorio ε y como resultado un espacio muestral S. A cada posible resultado, en el ejemplo de una variable nominal, le hemos asignado un número real (su frecuencia). Entonces podemos decir que una variable aleatoria es aquella cuyos valores surgen de asignar números a los resultados de un experimento aleatorio. Por ejemplo: Si trabajamos con una muestra aleatoria en donde cada uno de sus elementos ha sido seleccionado al azar, con una misma probabilidad de ocurrencia, y queremos estudiar la cantidad de hijos por familia, los valores asignados a esta característica en la muestra constituyen una variable aleatoria. X: cantidad de hijos fi

14 A cada uno de los valores de X: cantidad de hijos le hemos asignado un número real (fi). Tenemos una variable aleatoria. La podemos representar: Frecuencia Nº de hijos por familia Como a cada resultado de una variable aleatoria (v.a.) se le puede asignar una probabilidad, podemos construir una distribución de probabilidades a la cual podemos definir como: la función que surge de asignar probabilidades a cada uno de los resultados de una variable aleatoria. El recorrido de la v. a. X, o los posibles valores que puede tomar la v. a. X son R(X) = (O, 1, 2,..) y, a su vez, a cada uno de estos valores le corresponde una probabilidad. La probabilidad de escoger una familia que tenga 0 hijo, de nuestro ejemplo, es: P(x=0) = 2/40 ó 0,05 o del 5% P(x=1) = 4/40 ó 0,10 ó del 10% P(X=2) = 8/40 ó 0,20 ó del 20%.. fi = n = 40 En el siguiente cuadro podemos observar la variable aleatoria con los valores asignados a cada valor de la variable, su probabilidad de ocurrencia (distribución de probabilidad) y el porcentaje correspondiente (la probabilidad multiplicada por 100).

15 Distribución de probabilidad de la variable aleatoria cantidad de hijos por familia X: nº de hijos fi P(xi) % Como la variable que estamos trabajando es discreta podemos representar su distribución de probabilidad mediante un gráfico de bastones: Nº de hijos por familia en porcentajes Porcentaje Nº de hijos por familia Este es un ejemplo muy sencillo porque los valores que puede tomar la variable son enteros y, además muy pequeños. Pero, supongamos que tomamos la variable tiempo que demoran las personas en llegar de su casa al trabajo, en este caso no podemos hacer una tabla con todos los valores posibles porque son infinitos y, además, un infinito no numerable.