Métodos Estadísticos Capítulo II

Transcripción

1 Métodos Estadísticos Capítulo II Dr. Gabriel Arcos Espinosa

2 Contenidos El campo de la probabilidad y estadística Conceptos básicos Enfoque para asignar probabilidades Contenidos Reglas de probabilidad Probabilidad marginal, condicional y conjunta Técnicas de conteo Teorema de Bayes

3 Probabilidad Probabilidad: La que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento y su valor van desde cero hasta uno. Experimento: Proceso que conduce a que ocurra una y solamente una de varias observaciones posibles. Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o muestra. Resultado: Un suceso particular proveniente de un experimento. Evento: Conjunto de uno o más resultados de un experimento

4 Probabilidad Eventos Mutualmente Excluyentes: La ocurrencia de cualquier evento implica que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo. Eventos Colectivamente Exhaustivos: Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento. Eventos independientes: Son aquellos donde la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro o de los otro. Eventos Dependientes: Son aquellos donde cualquiera de los eventos esta influido por la ocurrencia de otro de ellos o de los demás.

5 Probabilidad Probabilidad Clásica Probabilidad Objetiva Probabilidad Empírica Probabilidad Probabilidad Subjetiva

6 Probabilidad La probabilidad clásica: esta se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. Probabilidad de un evento: Número de resultados favorables Número de resultados posibles Para aplicar el enfoque clásico, los eventos deben tener la misma posibilidad de ocurrencia. Además, el conjunto de eventos deben ser mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.

7 Probabilidad La probabilidad Empírico: Es la probabilidad de que un evento ocurra se determina observando en que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. Probabilidad de que suceda un evento: Número de veces que ocurrió el evento en el pasado Número total de observaciones Probabilidad Subjetiva. Es la posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento específico, que es asignada por una persona basándose en cualquier información que este disponible.

8 Probabilidad Regla de Probabilidad Reglas de adición. Regla especial de adición. Para aplicar la regla especial de adición, los eventos deben de ser mutuamente excluyentes. Regla especial de adición. P ( A o B) = P( A) + P( B) El conectivo lógico o corresponde a la unión U Para tres eventos mutuamente excluyentes, representados por A, B y C, la regla se expresa como: ( A o B o C) = P( A) + P( B) P( C) P +

9 Probabilidad Regla del complemento. ( A) =1 P( A) P ~ Esta es la regla del complemento. Observe que los eventos A y ~A son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando de 1 la probabilidad de que el evento no ocurra. Evento A (diagrama de Venn) ~A

10 Probabilidad Probabilidad Conjunta. Es la medida de la probabilidad que evalúa la posibilidad de que dos o mas eventos ocurran en forma simultanea. En resumen, la regla general de adición se refiere a los eventos que no son mutuamente excluyentes. Esta regla para dos eventos, indicados por A y B se escribe: Regla General de Adición P( A o B) = P( A) + P( B) P( A y B) El conectivo y corresponde a la intersección. En la expresión P(A o B), la palabra o indica que puede ocurrir A, o bien que puede ocurrir B. Esto incluye así mismo la posibilidad de que ocurran A y B. A este uso de la o a veces se le llama inclusivo. Dicho de otra forma, quizá uno vera con agrado que ocurren ambos, A y B, o bien que suceda cualquiera de los dos.

11 Reglas de multiplicación: Regla especial de la multiplicación. La regla especial de la multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes. Dos eventos son independientes, si la ocurrencia de uno no altera la probabilidad de que suceda el otro. De manera que si los eventos A y B son independientes, la ocurrencia de A no altera la probabilidad de B. Independientes: La ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad de la ocurrencia de cualquier otro evento

12 Regla especial de multiplicación: Si dos eventos A y B son independientes, la probabilidad de que ocurran A y B se obtiene multiplicando las dos probabilidades. Esta es la regla especial de multiplicación, que expresada en forma simbólica es: Regla especial de multiplicación: P(A y B)=P(A)P(B) Para tres eventos independientes A, B,C la regla especial de multiplicación que se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurran los tres eventos es: P(A y B y C)=P(A)P(B)P(C)

13 Probabilidad Condicional: Es la probabilidad de que ocurra un evento determinado, dado que otro evento ya haya sucedido. Si A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B, entonces, dicha probabilidad de calcula empleando la siguiente regla: Regla general de Multiplicación: P(A y B)=P(A)P(B/A) P ( B / A) = P ( A B) P( A) P(B\A) La probabilidad de que ocurra B dado que ya sucedió A

14 P(A y B) Son A y B independientes Si P(A y B)= P(A) P(B) A B No P(A y B)= P(A) P(B/A) A B

15 Caso especial. No independientes. No mutualmente Excluyentes. P ( A y B) = Intersección A B P(A o B)= P(A) +P(B)- P(A y B) P (A y B)

16 Diagramas de árbol Es una representación grafica útil para organizar cálculos que abarca varias etapas. Cada segmento en el árbol es una etapa del problema. Las probabilidades escritas cerca de las ramas son las probabilidades condicionales del experimento. Para mostrar la elaboración de un diagrama de árbol utilizaremos los datos de la siguiente tabla:

17 Lealtad de los trabajadores y tiempo de servicio en la empresa Lealtad Menor de 1 año 1 a 5 años Tiempo de Servicio 6 a 10 años Más de 10 años Total Si permanecería No permanecería

18 Lealtad Probabilidades Condicionales Servicio Probabilidades Conjuntas Permanecerán Menos de un año 1 a 5 años 6 a 10 años Mas de 10 años x x x x = = = = No Permanecerán Menos de un año 1 a 5 años 6 a 10 años x x x = = = Mas de 10 años x = El total debe sumar

19 Teorema de Bayes P ( A / B) i = P P( A1 ) P( B / Ai ) ( A ) P( B / A ) + P( A ) P( B / A ) Probabilidad a priori: Es la probabilidad inicial con base en el nivel actual de información. Probabilidad a posteriori: Es una probabilidad revisada con base en información adicional.

20 Principios de Conteo Formula de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa, y n formas de hacer otra, existirán m x n formas de hacer ambas Formula de la Multiplicación: Número total de arreglos= (m)(n)

21 Permutación. Permutación: Un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. n! Formula de la Permutación: n P r = ( n r)! n es el número total de los objetos r es el número de objetos seleccionados

22 Combinación. Si el orden en los objetos seleccionados no es importante, a cualquier selección se le llama una combinación. La formula para contar el numero de combinaciones de r objetos de un conjunto de n objetos es: n! Formula de la Combinación: n C r = r! ( n r)! Donde: n es el número total de los objetos r es el número de objetos seleccionados