MÓDULO 6 PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD

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1 MÓDULO 6 PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD INTRODUCCIÓN Los primeros cuatro módulos se centraron en la estadística descriptiva. Ahora la atención se dirigirá al estudio de la segunda faceta de la estadística, que es el cálculo de la posibilidad de que algo ocurra en el futuro: a la estadística Inferencial. PROPÓSITOS Y OBJETIVOS La base de la estadística Inferencial es la probabilidad, por lo que a partir de la siguiente lectura, definirás probabilidad, describirás los enfoques clásico, empírico y subjetivo de la probabilidad, definirás los términos experimento, evento y resultado, explicarás los conceptos de probabilidad condicional y probabilidad conjunta, aplicarás las reglas de adición y multiplicación en el cálculo de probabilidades, usarás un diagrama de árbol para organizar y evaluar probabilidades y calcularás una probabilidad utilizando el teorema de Bayes. ÍNDICE Concepto de probabilidad Enfoques de probabilidad Reglas de adición y multiplicación Diagramas de árbol Teorema de Bayes ORIENTACIÓN PARA EL ESTUDIO Algunas consideraciones para que logres una buena comprensión de este módulo es que hagas un resumen, un mapa conceptual o un cuadro sinóptico de cada una de las lecturas que realices. Trabajes y participes en cada una de las actividades propuestas con mucho empeño y aclares siempre cualquier duda que surja. Recuerda que mi correo es: PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD Para iniciar este segundo módulo, te recomiendo que pongas mucha atención en cada uno de los conceptos nuevos para ti y elabores con ellos un cuadro sinóptico. Al avanzar en el estudio de este módulo te sugiero que resuelvas cada uno de los ejemplos y aclares a la brevedad cualquier duda que te surja en cualquier procedimiento.

2 ORGANIZADOR AVANZADO PROBABILIDAD Objetiva Subjetiva DEFINICIÓN La Estadística Inferencial se ocupa de obtener conclusiones acerca de una población basándose en una muestra. Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomar decisiones, resulta importante que se evalúen en forma científica todos los riesgos implícitos conocidos. Es de gran ayuda en esta evaluación la Teoría de la Probabilidad. Como los conceptos de probabilidad son tan importantes en el campo de la Estadística Inferencial iniciaremos con el lenguaje básico de probabilidad. La probabilidad es una medida de la posibilidad relativa de que un evento ocurra en el futuro. Una probabilidad puede asumir valores entre cero y uno inclusive. Un valor cercano a cero significa que es poco probable que el evento suceda. Un valor cercano a uno significa que es altamente probable que el evento suceda. Hay tres definiciones de probabilidad: clásica, empírica y subjetiva.

3 Algunos conceptos importantes Vamos a definir algunos conceptos importantes a continuación. Con el fin de que te queden más claros los conceptos después de su definición, se muestra una tabla con ejemplos. Un experimento es un proceso que conduce a que ocurra una (y solamente una) de varias observaciones posibles. Un resultado es un suceso particular proveniente de un experimento. Un evento es un conjunto de uno o más resultados de un experimento. EXPERIMENTO Todos los posibles resultados Algunos eventos posibles Tirar un dado Obtener un 1 Obtener un 2 Obtener un 3 Obtener un 4 Obtener un 5 Obtener un 6 Obtener un número par Obtener un número > 4 Obtener un número 3 En ocasiones trabajaremos con eventos que son mutuamente excluyentes y con eventos independientes. Por ello es importante definirlos. Los eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera significa que ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismo tiempo: Al lanzar un dado si cae un número par no puede caer un número non. Los eventos son independientes si la ocurrencia de un evento no afecta la ocurrencia de otro: Los dos primeros hijos de un matrimonio son varones. A continuación se presentan ejemplos de los tipos de probabilidad. Se va a sacar una carta al azar de un juego de barajas de 52 cartas. Cuál es la probabilidad de que la carta sea una reina? Qué enfoque de probabilidad se emplea para contestar a esta pregunta?

4 El enfoque que se emplea para contestar es el de probabilidad clásica. Para ello se usa la definición de probabilidad clásica: La probabilidad de un evento es igual a: Número de resutlados favorables Número de resutlados posibles La Secretaría de Salud reporta que de 833 muertos, 24 mueren debido a un accidente automovilístico, 182 mueren de cáncer y 333 de enfermedades cardíacas. Cuál es la probabilidad de que una muerte en particular se deba a un accidente automovilístico? Qué enfoque de probabilidad usas para responder? El enfoque que se emplea para contestar es el de probabilidad empírica. Para ello se usa la definición de probabilidad empírica: La probabilidad de un evento es igual a: Número de veces que ocurrió el evento en el pasado Número de observaciones En el departamento académico del profesor López, se le han asignado a un total de 186 estudiantes la calificación de 10 de entre un total de 1,200 estudiantes. Cuál es la probabilidad de que un estudiante de su sección este semestre reciba una calificación de 10? Este es un ejemplo de la definición empírica de probabilidad. Encuentre la probabilidad de seleccionar un estudiante con calificación 10 : P(A) = 186/1,200 = Reglas básicas de probabilidad Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de la adición indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a la suma de sus probabilidades. P(A o B) = P(A) + P (B) La oficina de vuelos de Aeroméxico tiene registrada la siguiente información en su bitácora de vuelos entre Ciudad de México y Acapulco. Llegadas Frecuencia

5 Temprano 100 A tiempo 800 Tarde 75 Cancelado 25 Total 1000 Si A es el evento de que el vuelo llegue temprano, entonces: P(A) = 100/1000 = 0.10 Si B es el evento de que el vuelo llegue tarde, entonces: P (B) = 75/1000 = La probabilidad de que el vuelo llegue temprano o tarde es: P(A o B) = P(A) + P (B) = = La regla del complemento La regla del complemento es utilizada para determinar la probabilidad de que un evento ocurra, restando a 1 la probabilidad de que no ocurra dicho evento. Si P(A) es la probabilidad de un evento A y P (~A) es la probabilidad del complemento de A, P(A) + P (~A) = 1 o P(A) = 1 P (~A) Un diagrama de Venn ilustrando la regla del complemento se apreciaría así: A A Si retomamos el ejemplo anterior, usando la regla del complemento para encontrar la probabilidad de un evento (A) temprano o un evento (B) tarde tenemos: Si C es el evento de que el vuelo llegue a tiempo, entonces P(C) = 800/1000 = 0.8 Si D es el evento de que el vuelo se cancele, entonces P (D) = 25/1000 = 0.025

6 P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [ ] =0.175 C.8 D.25 (C o D)=(A o B)=0.175 La regla general de la adición Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) es dada por la siguiente fórmula: P(A o B) = P(A) + P (B) - P(A y B) El diagrama de Venn ilustra esta regla: A y B En una muestra de 500 estudiantes, 225 afirmaron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV, y 100 afirmaron tener ambos. T V 175 Ambos 100 Estéreo 225

7 Si un estudiante es seleccionado al azar, cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga sólo un estéreo? solo una TV? Ambos? P(S) = 225/500 = 0.45 P (T) = 175/500 = 0.35 P(S y T) = 100/500 = 0.20 Si un estudiante es seleccionado al azar, cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su cuarto? P(S o T) = P(S) + P (T) - P(S y T) = = 0.60 Probabilidad conjunta Mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran en forma simultánea. Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar de una baraja americana sea un rey o un corazón? CARTA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA EXPLICACIÓN Rey P(A)=4/52 Hay 4 reyes en una baraja de 52 cartas Corazón P(B)=13/52 Hay 13 corazones en una baraja de 52 cartas Rey de corazones P(A y B)=1/52 P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B)= Hay 1 rey de corazones en una baraja de 52 cartas Regla especial de la multiplicación La regla especial de la multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes. Recuerda que dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Esta regla se escribe: P(A y B) = P(A) P (B)

8 Cristina tiene acciones en IBM y GE. La probabilidad de que las acciones de IBM aumenten de valor el próximo año es 0.5, y la probabilidad de que las acciones de GE aumenten su valor el próximo año es 0.7. Suponga que las acciones de ambas empresas son eventos independientes. Cuál es la probabilidad de que las acciones de ambas empresas incrementen su valor el próximo año? P (IBM y GE) = (0.5) (0.7) = 0.35 Cuál es la probabilidad de que al menos una de estas acciones aumente su valor durante el próximo año? P(al menos una) = (0.5) (0.3) + (0.5)(0.7) + (0.7)(0.5) = = 0.85 Probabilidad condicional La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento determinado, dado que otro evento ya haya ocurrido. La probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido se escribe P(A B). Regla general de la multiplicación La regla general de la multiplicación es utilizada para encontrar la probabilidad conjunta de que dos eventos ocurran. La regla establece que dados dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que suceda A, por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B. La probabilidad conjunta P(A y B) está dada por la siguiente fórmula: P(A y B) = P(A) P (B/A) o P(A y B) = P (B) P(A/B) El director de la Escuela de Negocios de la Universidad Nacional, recopiló la siguiente información acerca de estudiantes no graduados en su escuela: Especialidad Hombre Mujer Total Contaduría Finanzas Mercadotecnia Administración Total

9 Si un estudiante es seleccionado al azar, cuál es la probabilidad de que el estudiante sea una mujer (F) pasante de contaduría (A)? P(A y F) = 110/1000 Dado que el estudiante es una mujer, cuál es la probabilidad de que ella sea pasante de contaduría? P(A F) = P(A y F)/P (F) = [110/1000]/[400/1000] = Diagrama de árbol El diagrama de árbol es una representación gráfica útil para organizar cálculos que abarcan varias etapas. Cada segmento en el árbol es una etapa del problema. Las probabilidades escritas cerca de las ramas son las probabilidades condicionales del experimento. En una bolsa que contiene 7 chips rojos y 5 chips azules, usted selecciona dos chips uno después del otro sin reemplazarlo. Elabore un diagrama de árbol mostrando esta información. Teorema de Bayes La interpretación más importante del Teorema de Bayes se basa en el uso de las probabilidades subjetivas. Por ejemplo, supongamos que una persona tiene determinadas creencias sobre la posible rentabilidad de un título en particular (suceso B). En este contexto, la probabilidad P (B) se denomina probabilidad a priori. Posteriormente se entera que un analista experto recomienda el mismo título (suceso A), dependiendo de la confianza que la persona tiene en los juicios del experto se podrían modificar sus creencias iníciales. Dado que se sabe que A ha ocurrido, la probabilidad relevante correspondiente a B es ahora la probabilidad condicional de B dado A, que se denota probabilidad a posteriori. Desde este punto de vista, se puede interpretar el Teorema de Bayes como un método que nos permite actualizar una probabilidad a priori

10 cuando se conoce la información adicional de que el suceso A ha tenido lugar. El Teorema sostiene que la actualización se realiza multiplicando la probabilidad a priori por P(A B)/P(A). La fórmula que se utiliza al aplicar el Teorema de Bayes es: P(A 1 B) P(A P(A 1 )P(B I A )P(B I A 1 1 ) P(A 1 2 )P(B I A 2 ) Una embotelladora de refresco de cola recibió varias denuncias acerca del bajo contenido de sus botellas. Una denuncia fue recibida hoy, pero el gerente de producción no puede identificar cuál de las dos plantas en Aguascalientes (A o B) llenó estas botellas. Cuál es la probabilidad de que las botellas defectuosas provengan de la planta A? La siguiente tabla resume la experiencia de producción de dicha embotelladora: % del total de producción % de botellas defectuosas A 55 3 B 45 4 La probabilidad de que las botellas fueran llenadas en la planta A se redujo de 0.55 a Después de haber revisado el tema de este módulo, te invito a revisar el siguiente esquema de evaluación. En él encontrarás las actividades que debes de realizar para evaluar el aprendizaje logrado hasta el momento. CALENDARIO Y ESQUEMA DE EVALUACIÓN Módulo 6 Semana 6 Actividad Incorporar: Leer la unidad 5 de la Antología. Hacer: Resuelve los siguientes problemas: ) P( A) P( U I A) (0.55)(0.03) P( A U ) P( A) P( U I A) P( B) P( U I B) (0.55)(0.03) (0.45)(0.04) 1) Un representante de ventas de seguros tiene cita hoy con cuatro clientes. Con su gran experiencia él sabe que la probabilidad de vender una póliza a un cliente es de Cuál es la probabilidad de vender una póliza a los cuatro clientes? 2) Hay 18 jugadores en la lista del equipo de béisbol de la preparatoria nacional. De los 18 jugadores 8 están actualmente registrados en la preparatoria. El entrenador decide nombrar tres capitanes y seleccionarlos al azar. El nombre de los jugadores

11 Medio de entrega están puestos en viejas gorras de béisbol y tres se seleccionan al azar. Cuál es la probabilidad de que ninguno de los seleccionados sean estudiantes de la preparatoria? Conectar: Elaborar una presentación en power point sobre los conceptos de probabilidad. (Máximo 5 diapositivas) El ejercicio deberá entregarse en un documento en Word. Tanto el documento como la diapositiva las debes colocar en la plataforma. Con respecto a la lectura de la unidad 5 de la Antología, deberás participar en el foro con el fin de aclarar y enriquecer el contenido de la misma. AUTOEVALUACIÓN 1. Elige la respuesta correcta 1. Cuál de los siguientes enunciados es correcto en probabilidad? A. Varía de 0 a 1. B. Debe asumir valores negativos. C. Debe ser mayor a 1. D. Puede reportarse únicamente con un decimal. E. Todas las anteriores. 2. Un experimento es: A. Un conjunto de eventos. B. Un conjunto de resultados. C. Siempre mayor a 1. D. El acto de tomar medidas de la observación de alguna actividad. E. Ninguna de las anteriores. 3. Cuál de las siguientes no es un tipo de probabilidad? A. Subjetiva B. Independiente C. Empírica D. Clásica 4. Dos eventos son independientes si: A. En virtud de haber ocurrido uno el otro no puede ocurrir. B. La probabilidad de que ocurra es mayor a 1. C. No podemos contar los posibles resultados. D. La probabilidad de que uno de los eventos ocurra no afecta a la probabilidad de que también el otro ocurra. E. Ninguna de las anteriores. 5. La regla especial de la Adición se usa para combinar:

12 A. Eventos independientes. B. Eventos mutuamente excluyentes C. Eventos cuya suma es mayor a 1. D. Eventos basados en probabilidad subjetiva E. La unión de probabilidades. 6. Usamos la Regla General de la Multiplicación para combinar: A. Eventos que son independientes. B. Eventos mutuamente excluyentes C. Eventos cuya suma es mayor a D. Eventos basados en probabilidad subjetiva E. La unión de probabilidades. 7. Cuando la probabilidad de un evento se encuentra al restar uno a la probabilidad de no ocurrencia, estamos usando: A. Probabilidad subjetiva B. La regla del complemento. C. La regla general de la adición. D. La regla especial de la multiplicación E. Unión de probabilidades 8. El Teorema de Bayes A. Es un ejemplo de probabilidad subjetiva B. Asume valores menores a 0. C. Es usado para revisar una probabilidad basándonos en información nueva o adicional. D. Se determina usando la regla del complemento. E. Ninguna de las anteriores. 9. En una compañía compran aparatos eléctricos de dos proveedores. 60% son comprados en Eléctrica Mayo, y el resto en Productos Harmon. El nivel de calidad de Eléctrica Mayo es mejor que el de Productos Harmon. 5% de los aparatos comprados en Eléctrica Mayo necesitan mantenimiento adicional, mientras que 8% de los de Productos Harmon lo necesitan. Un aparato eléctrico fue seleccionado al azar y se encontró defectuoso. Cuál es la probabilidad de que haya sido comprado en Productos Harmon? 10. Se recibieron dos cajas de camisas para hombre, provenientes de la fábrica. La caja 1 contenía 25 camisas deportivas y 15 de vestir. En la caja 2 había 30 deportivas y 10 de vestir. Se seleccionó al azar una de las cajas y de ésta se eligió, también aleatoriamente, una camisa para inspeccionarla. La prenda era deportiva. Dada esta información, cuál es la probabilidad de que dicha camisa provenga de la caja 1? BIBLIOGRAFÍA

13 - Larios Osorio, Víctor. Probabilidad. México, Lind, Douglas A. Estadística aplicada a los negocios y la economía. México, Mc. Graw Gill, Lind, Marchal, Mason. Estadística para administración y economía. México, Alfa omega, Newbold, P. Estadística para los negocios y la Economía. México, Pearson, Rodas, Olger. Teoría básica del Muestreo. México, Stevenson, J. William Estadística para administración y economía. México, Alfa omega, 2006