PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

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1 UNIDAD 1 PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Datos numéricos o mero azar? 1

2 Datos numéricos o mero azar? Datos numéricos o mero azar? Gerentes o administradores suelen basar sus decisiones en un análisis de incertidumbre: 1. Qué posibilidades hay de que las ventas disminuyan si los precios aumentan? 2. Cuál es la probabilidad de que un nuevo método de ensamble mejore la productividad? 3. Qué tan probable es que este proyecto se complete a tiempo? 4. Qué posibilidad hay de que una nueva inversión sea rentable? 2

3 Datos numéricos o mero azar? Al tomar decisiones pueden imperar 3 condiciones: la certidumbre, el riesgo, la incertidumbre. Si se identifican circunstancias, hechos y efectos las decisiones se hacen con certidumbre. A medida que la información escasea y es ambigua, el riesgo entra en juego, así luego se acude a probabilidades objetivas (claras) o subjetivas (intuición o juicios de opinión) Datos numéricos o mero azar? La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que un evento ocurra. Usado como medida del grado de incertidumbre asociado con cada evento listado. Los valores de probabilidad siempre se asignan en una escala de 0 a 1. 3

4 1.1 Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades Experimento: proceso que genera resultados bien definidos. En cada repetición ocurre uno y sólo uno de los resultados posibles del experimento. El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados del experimento. Un resultado experimental también se conoce como punto de la muestra para identificarlo como un elemento del espacio muestral Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones La identificación y el conteo de los resultados del experimento es un paso necesario en la asignación de probabilidades. Se estudiarán tres reglas de conteo útiles: a) Experimentos de pasos múltiples: permite determinar el número de resultados del experimento sin listarlos. Diagrama de árbol: representación gráfica que ayuda a visualizar un experimento de pasos múltiples. Cada trayectoria desde el nodo en el extremo izquierdo hasta uno de los nodos en el extremo derecho es una secuencia única de resultados. 4

5 1.1.1 Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones Ejemplo: análisis de un proyecto de expansión de Kentucky Power & Light Company (KP&L), dividido en dos etapas: 1 (diseño) y 2 (construcción). La duración posible de 1 sería de 2, 3 o 4 meses y la de 2 sería de 6, 7 u 8 meses. Se fijó una meta de 10 meses para completar todo el proyecto. Aun identificados los resultados del experimento, es necesario ver cómo se asignan los valores de probabilidad a éstos antes de evaluar la probabilidad de que el proyecto se complete dentro de los 10 meses deseados Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones b) Combinaciones: permite contar el número de resultados cuando el experimento consiste en la selección de n objetos de un conjunto (mayor) de N objetos. c) Permutaciones: permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan n objetos de un conjunto de N y el orden de selección es importante. Un experimento produce más permutaciones que combinaciones para el mismo número de objetos debido a que cada selección de n objetos se ordena de n! maneras distintas. 5

6 1.1.2 Asignación de probabilidades 3 enfoques: método clásico, frecuencia relativa y subjetivo; que deben cumplir: a) Método clásico: todos los resultados del experimento son igualmente probables. Si n resultados son posibles, una probabilidad de 1/n se asigna a cada resultado. b) Método de frecuencia relativa: datos disponibles para estimar la proporción del tiempo en que ocurre el resultado si el experimento se repite gran número de veces. c) Método subjetivo: usa cualquier información disponible (experiencia o intuición). Sea cual fuere el método empleado, se deben cumplir los dos requisitos básicos Asignación de probabilidades Ejemplo proyecto de KP&L: La gerencia decidió efectuar un estudio de los tiempos de terminación de proyectos similares realizados por KP&L durante los tres años pasados. 6

7 2. Eventos y sus probabilidades Evento: colección de puntos de la muestra (resultados del experimento). Ejemplo proyecto de KP&L: La gerencia está interesada en el evento (C): el proyecto completo se termine en 10 meses o menos. Otros eventos que podrían ser de interés para la gerencia son los siguientes: Dadas las probabilidades de los puntos de la muestra mostrados en tabla, se puede calcular la probabilidad de cualquier evento = suma de las probabilidades de los puntos de la muestra del evento. 2. Eventos y sus probabilidades Así, la probabilidad del evento C, denotada P(C), está dada por: Así también, la probabilidad para el evento de que el proyecto se complete en menos de 10 meses; o en más de 10 esta dado respectivamente por: En ocasiones un número grande de puntos de la muestra hace imposible tanto su identificación como la determinación de sus probabilidades asociadas (otros métodos). 7

8 3. Algunas relaciones básicas de probabilidad Complemento de un evento: Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento que consta de todos los puntos de la muestra que no están en A = A c. En cualquier probabilidad de aplicación debe ocurrir cualquier evento A o su complemento A c, es decir: P(A) + P(Ac) =1, y así: Ejemplo: un agente de compras establece una probabilidad de 0.90 de que un proveedor envíe mercancía sin partes defectuosas: P(A). Utilizando el complemento, se puede concluir que hay una probabilidad de = 0.10 = P(A c ) de que la mercancía contenga partes defectuosas. 3.1 Ley de la adición Útil para conocer la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de dos eventos: probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B, o ambos. Existen dos conceptos relacionados con la combinación de eventos: La ley de la adición se utiliza para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos: 8

9 3.1 Ley de la adición Ejemplo: En una planta de ensamble con 50 empleados, cada trabajador debe completar su tarea a tiempo y con el producto ensamblado que pase la inspección final. De vez en cuando, algunos trabajadores no cumplen: terminan con atraso o ensamblan un producto defectuoso. Al evaluarse el desempeño, se encontró que 5 de los 50 terminaron con atraso, 6 ensamblaron un producto defectuoso y 2 terminaron con atraso y ensamblaron un producto defectuoso. Con estos datos, el gerente decidió asignar una calificación baja a cualquier empleado cuyo trabajo estuviera atrasado o defectuoso, por lo que el evento de interés es L U D. Cuál es la probabilidad de que el gerente asigne una calificación de bajo desempeño a un empleado? Sean los eventos: y sus probabilidades (según la frecuencia relativa): En concreto, se desea conocer P(L U D): Hay una probabilidad de 0.18 de que un empleado seleccionado al azar reciba una calificación de bajo desempeño. 3.1 Ley de la adición: eventos mutuamente excluyentes Los eventos A y B son mutuamente excluyentes si, cuando ocurre un evento, el otro no puede ocurrir. Así, su intersección no contiene puntos de la muestra : P(A B)=0. Siendo así la ley de la adición: 9

10 4. Probabilidad condicional Se tiene un evento A con probabilidad P(A); además un evento relacionado B ocurre, lo que genera el cálculo de una nueva probabilidad de A: probabilidad condicional = P(A/B): la probabilidad de A dado B. Ejemplo: estado de ascensos de oficiales hombres y mujeres de una fuerza policiaca formada por 1200 oficiales, 960 hombres y 240 mujeres. Durante los últimos dos años fueron ascendidos 324 oficiales de policía. Revisado el registro de ascensos, un comité de mujeres policía planteó un caso de discriminación sobre la base de que 288 oficiales hombres fueron promovidos, en comparación con sólo 36 mujeres. Sean los eventos: Debido a que cada uno de estos valores da la probabilidad de la intersección de dos eventos, las probabilidades se llaman probabilidades conjuntas. 4. Probabilidad condicional Los valores en los bordes dan las probabilidades de cada caso por separado: probabilidades marginales (Σ probabilidades conjuntas en fila o columna). Análisis: cálculo de la probabilidad de que un oficial sea promovido dado que es hombre. En la notación de la probabilidad condicional se trata de determinar P(A/M). Solución: P(A/M) indica interés sólo en el estado de la promoción de los 960 oficiales hombres (tabla frecuencias). Debido a que 288 de estos 960 fueron ascendidos, la probabilidad de ser promovido, dado que es hombre, es de 288/960 = 0,30 ó 30%. Ahora si: esto es igual a decir que: 10

11 4. Probabilidad condicional Probabilidad condicional para dos eventos A y B: razón de una probabilidad conjunta a una probabilidad marginal: El diagrama de Venn da una comprensión intuitiva de la probabilidad condicional: Problema fundamental en el caso de la discriminación: probabilidades condicionales P(A/M) y P(A/W). Son iguales? 4.1 Eventos independientes Dado que P(A) = 0.27; P(A/M)= 0.30, y P(A/W)=0.15; la probabilidad de una promoción (evento A) no ha cambiado ni se ha visto influida por el género del policía. Dado que P(A/M) P(A), los eventos A y M son dependientes (así también W y M). Si la probabilidad del evento A no cambia por la existencia de M; ó P(A/M) = P(A); entonces A y M son eventos independientes. 11

12 4.2 Ley de la Multiplicación Se utiliza para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos. Se basa en la definición de la probabilidad condicional (despeje de ella): Ejemplo: Un departamento de circulación de periódicos sabe que 84% de las familias en un vecindario en particular se suscribe a la edición diaria del periódico. Además, se sabe que la probabilidad bilid d de que una familia que ya cuenta con una suscripción ió también adquiera la edición dominical es de 0, 75; Cuál es la probabilidad de que una familia se suscriba tanto a las ediciones dominicales como a las ediciones diarias del periódico? Solución: Si D: una familia se suscribe a la edición diaria, P(D) = 0,84. Además, si S: una familia adquiere la edición dominical; P(S/D)=0,75. Entonces: Ejemplo: Un gerente de estaciones de servicio sabe por su experiencia, que 80% de los clientes usa tarjeta de crédito cuando compra gasolina. Cuál es la probabilidad de que los siguientes dos clientes que compren gasolina usen tarjeta de crédito? Sea: entonces interesa A B entonces: 5. Teorema de Bayes A menudo se inicia con estimaciones de probabilidad previa (inicial) para eventos de interés; con nueva información (muestra, informe, prueba) se actualizan dichos valores con el cálculo de probabilidades posteriores. Ejemplo: una empresa de manufactura recibe embarques de refacciones de dos proveedores diferentes. Sea A1: la refacción proviene del proveedor 1, y A2: la refacción proviene del proveedor 2. En la actualidad, 65% de las partes adquiridas son del proveedor 1 y el 35% del proveedor 2. Así, si una refacción es seleccionada al azar, se asignan las probabilidades previas P(A1)= 0,65 y P(A2)=0,35. La calidad de las partes adquiridas varía con el proveedor (tabla), siendo G: una refacción está en buen estado y B: una refacción está en mal estado, siendo así los valores de probabilidad condicional: 12

13 5. Teorema de Bayes Ejemplo: En un experimento de 2 pasos se describe el proceso de la empresa que recibe una refacción de uno de los dos proveedores y luego descubre que está en buen o mal estado (4 resultados posibles). Cada resultado es la intersección de dos eventos, por lo que se usa la regla de la multiplicación para calcular las probabilidades conjuntas (árbol de probabilidades): 5. Teorema de Bayes Ejemplo: Suponiendo que una máquina se descompone porque intenta procesar una refacción en mal estado; cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor 1 y cuál de que provenga del proveedor 2? Solución: siendo B: la refacción está en mal estado, se buscan las probabilidades posteriores P(A1/B) y P(A2/B). Por la ley de la probabilidad condicional se sabe que: de donde por el árbol de probabilidades: Para P(B), note que B puede ocurrir sólo de dos maneras: (A1 B) y (A2 B), de ahí: Combinando las anteriores ecuaciones se obtiene el teorema de Bayes para: Con las que se encuentra que: 13

14 5. Teorema de Bayes Válido cuando los eventos de los que se quiere calcular las probabilidades posteriores son mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral total. Para el caso de los n eventos mutuamente excluyentes A 1, A 2,..., A n ; cuya unión es el espacio muestral entero, el calculo de cualquier probabilidad posterior P(A i /B) es: Con las probabilidades previas P(A 1 ), P(A 2 ),..., P(A n ) y las probabilidades condicionales apropiadas P(B/A 1 ), P(B/A 2 ),..., P(B/A n ), se calcula la probabilidad posterior de los eventos A 1, A 2,..., A n. 5.1 Teorema de Bayes: Método tabular Útil para efectuar los cálculos anteriores, según los siguientes pasos: 1 : Prepare 3 columnas: (1) eventos mutuamente excluyentes A i (prob. posteriores); (2) probabilidades previas P(A i ); (3) probabilidades condicionales P(B/A i ) de la nueva información B dada a cada evento. 2 En (4), calcule las probabilidades conjuntas P(A i B) para cada evento y la nueva información B (ley de la multiplicación): P(A i B) = P(A i )* P(B/A i ) 3 Sume las probabilidades conjuntas de (4) = probabilidad nueva información, P(B). 4 En (5), calcule las probabilidades posteriores (relación básica de la probabilidad condicional): P(A i /B) = P(A i B) / P(B) 14

15 GRACIAS POR SU ATENCIÓN.. 15